نظرية الأعداد الأساسية - الأعداد الأولية وعواملها

'اشرح نظرية العوامل.'

'أثبت باستخدام نظرية الباينوميال أن المعادلة التالية صحيحة: { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'المقام المشترك (الجذور): متعددات الحدود، المتعددية التي تقسم بالتساوي إلى جميع متعددات الشكل المعطاة، من اثنين أو أكثر من متعددات الحدود.'

'(1) أثبت أنه إذا كان m عددًا أوليًا ، فسيكون d_{m}=m.\n(2) أثبت بالاستقراء الرياضي أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية k ، يمكن قسم k^m-k على d_{m}.'

'قم بإثبات أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، فإن التعبير 4^{2n+1} + 3^{n+2} هو ضعف عدد 13.'

'رياضيات II\n(1) من (α-2)(α+3)=0، نحصل على α=2,-3\n(2) من α=2، k=8 ومن α=-3، k=-27\nلذلك k=8,-27'

'تمرين (1) أثبت أنه عندما يكون n عددا طبيعيا، 4^(2n+1) + 3^(n+2) هو مضاعف للرقم 13.'

'(1) عند قسمة $k ^ 3$ على $n$ بنصف $q$ وبقية $r$ ، بحيث $k ^ 3 = qn + r (0≤r≤n-1)$ عندما تكون $n$ و $k$ اعداد أولية متشابهتان ، فإن $n$ و $k ^ 3$ أيضًا اعداد أولية. لذلك ، $r ≠ 0$ ، لذلك $1≤r≤n-1$ قسمة الجانبين من (1) على $n$ تعطي $\\frac{k^ 3}{n} = q + \\frac{r}{n}$ من $1≤r≤n-1$ ، نعلم أن $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$ وبالتالي فإن 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1 ، لذلك $\\left[\\frac{k^ 3}{n}\\right] = \\left[q+\\frac{r}{n}\\right] = q$'

'(2) أثبت أن لجميع قيم k ، k^m - k قابل للقسمة على d_m. [1] عند k=1 ، 1^m - 1 = 0 و d_m ≠ 0 ، لذلك يمكن قسمة 0 على d_m. لذلك ، (1) صحيح. [2] نفترض أن (1) صالح لـ k=l ، أي l^m - l قابل للقسمة على d_m. عند التفكير في k=l+1 ، (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} استنادًا إلى الافتراض ، l^m - l قابل للقسمة على d_m. كما أن d_m هو أكبر مقسم مشترك لـ {m C_1, m C_2 ، ... ، m C_(m-1)} ، لذا يمكن قسمة هذه المصطلحات أيضًا على d_m. بالتالي ، (l+1)^m - (l+1) قابل للقسمة على d_m. وبالتالي ، عند k=l+1 ، (1) صحيح أيضًا. من [1] ، [2] ، يمكن استنتاج أن (1) صالح لجميع الأعداد الطبيعية k.'

'ثبت التالي عندما تكون p عددا أوليًا:\n(1) بالنسبة للأعداد الطبيعية k التي ترضي 1 ≤ k ≤ p-1 ، p_kC_k هو مضاعف لـ p.\n(2) 2^p-2 هو مضاعف للقوة.\n[جامعة توهوكو غاكوين]'

'لنعرف كلمة طول n كثلاثة أحرف (a،b،c) مرتبة أفقيا n مرات. هنا، n=1،2،3، ... الخ. على سبيل المثال، abbaca و caab هما كلمتان مختلفتان طولهما 4. بين تلك الكلمات من الطول n، لنعتبر تلك التي تحتوي على عدد فردي من الأحرف a على أنها xn، وبقية الكلمات نعتبرها yn. ابحث عن قيم xn وyn.'

'في التمرين 55 (1) [1] ، عندما تكون m=2 ، يكون d_2 هو العدد الطبيعي الأكبر الذي يقسم العدد الثنائي {2 C_1} = 2 ، لذلك d_2=2 ، وينطبق d_m=m. [2] عندما يكون m عدداً أولياً يزيد عن أو يساوي 3 ، {m C_1} = m ، لذلك يكفي إظهار أن {m C_2، m C_3 ، ... ، m C_m - 1} هي أضعاف لعدد m. بالنسبة للقيمة k=2,3،...،m-1 ، {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} وبالتالي، k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1}. نظرًا لأن m عدد أولي يزيد عن أو يساوي 3 ، و 2 ≤ k ≤ m-1 ، فإن k و m هما مضاعفة. بالتالي ، {m C_k} هي مضاعفة لعدد m. بالتالي ، ينطبق d_m=m. من [1] [2] ، إذا كان عدد m عددًا أوليًا ، فإن d_m=m.'

'تمرين شامل'

'(3) \ m, n \ هما أعداد طبيعية، و\ p \ هو عدد أولي، لذلك، \ m, n, p \ هي أعداد حقيقية غير صفرية. لذلك، من (1)، نحصل على \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \. أيضًا، في المعادلة \ a^{m} = b^{n} \، حيث \ 1 < a < b \، نجد أن\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { والذي يعني أن } a^{m} > a^{n} \\\\\\\القاعدة \ a \ أكبر من 1، لذا \ m > n \. وبالتالي، من (2)، نحصل على \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \، وبالتالي\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'دع الحلول للمسألة (1) تكون α و β، ولتكن f(x)=x^2+2ax+a-1. الشرط لكي تكون α و β بين الحلولين للمسألة (2) هو أن، في ظل شروط المسألة (3)، f(α)<0 و f(β)<0.'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية غير الصفر $x, y, z$ معادلات $3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$ ، اعثر على قيمة $\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$.'

'فرض أن الأعداد الصحيحة a و b ليست ضعفًا للعدد 3، ولنفترض f(x) = 2x^3 + a^2x^2 + 2b^2x + 1. أثبت أنه لا يوجد عدد صحيح x يُرضي f(x) = 0.'

'عندما تكون $4^{x}=6^{y}=24$، اعثر على قيمة $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$.'

'دعونا نراجع مفهوم الجذور المتكررة! في الرياضيات، تشير الجذور المتكررة إلى الحالة عندما يكون b^2-4ac=0 في المعادلة التربيعية ax^2+bx+c=0. في الصيغة لإيجاد الجذور لمعادلة تربيعية، x=-b±√(b^2-4ac)/(2a)، عندما يكون b^2-4ac=0، كلا √(b^2-4ac) و -√(b^2-4ac) هما 0، مما ينتج في الجذر x=-b/(2a).'

'أكثر من 10723 قطعة'

'لنكن n عددا طبيعيا أكبر من أو يساوي 3، أثبت عدم المساواة 4^{n}>8 n+1 (A).'

'أي من التالي هو عامل للمتعددية 2x^3+5x^2-23x+10؟'

'الشرط الضروري والكافي لوجود الأعداد الحقيقية x و y التي تُفي بالمعادلات x² - xy + y² = k و x + y = 1 هو k ≥ 0.'

'كيفية العثور على قيم k التي تجعل P(k) = 0'

'الأساسي 57: العثور على معاملات من الشروط القابلة للقسمة'

''

'إذا قمت بإيداع مليون ين مع سعر فائدة سنوي بنسبة 1٪ مركبة سنويًا، فبعد كم سنة سيتجاوز إجمالي المبلغ من رأس المال والفائدة مليون ين للمرة الأولى؟ يمكنك استخدام جدول اللوغاريتمات الشائع.'

'امتحان الحساب لمدرسة ماكوهاري الثانوية التابعة لمعهد التعليم شيبويا 2020'

'قم بترتيب الأعداد الصحيحة التي تزيد عن 1 والتي لا تكون صحيحة تامة ولا أعداد مكعبية بترتيب تصاعدي. 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، \\cdots \\cdots ما هو العدد الصحيح الثاني ألف وعشرون عندما يتم احتسابه من الأصغر؟'

'عندما يكون طول جانب المربع الأسود بين 1 سم و 100 سم ، يكون عدد المربعات البيضاء على الأقل 8 ((1+1) x 4 = 8) وعلى الأكثر 404 ((100+1) x 4 = 404). العدد الذي لا يمكن تعبيره كمجموعة من الأعداد الصحيحة المتتالية ، بخلاف 1 ، هو عدد صحيح لا يحتوي على عوامل غريبة. يمكن تعبير هذا النوع من الأرقام كمنتج للأعداد الأولية ، مثل 2 x 2 x 2. وبالتالي ، داخل النطاق المذكور ، هناك 8 (قطع) ، 16 (قطعة) ، 32 (قطعة) ، 64 ( قطعة) ، 128 (قطعة) ، و 256 (قطعة) ، مع أطوال جانبية مناسبة للمربعات السوداء تكون 1 سم و 3 سم و 7 سم و 15 سم و 31 سم و 63 سم ، على التوالي.'

"ما معنى '百八の煩脳'؟"

'السفير مُستقبل بشكل جيد في كل مرة زار فيها رئيس الوزراء.'

'بالنسبة للسؤال 5، الجزء المؤشر عليه كـ d ، معدل صرف العملات الأجنبية مع العملة الأخرى يُشار إليه بسوق الصرف الأجنبي. بالنسبة للبيانات X و Y التالية بخصوص هذا الموضوع، اختر التركيب الصحيح من الخيارات أدناه للإجابة.'

'كل نقطة 6 × 2'

'(2) عندما يتم تعبير 3240 كمنتج للأعداد الأولية ، 3240 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5.'

'قم بترتيب الأعداد الصحيحة التي أكبر من 1 وليست مربعات كاملة بترتيب تصاعدي مثل 2، 3، 5، 6، 7، 8، 10، ... ما هو العدد 300 عند العد من الأصغر؟'

None

'(1) قم بإثبات عدم المساواة $2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$ باستخدام نظرية الثنائيات. (2) اعثر على قيمة $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$.'

'خط الإحالة الخط المركب'

'أثبت أنه بالنسبة لعددين صحيحين a و b ، إذا كان a + b و ab اتحاديين ، فإن a و b اتحاديان.'

'ابحث عن عدد الأعداد الطبيعية التي أقل من أو تساوي 56 والتي هي متفاعلة بشكل أساسي مع 56.'

'لتكن a و b أعدادًا طبيعية حيث a + b = p + 4 و ab^{2} = q. العثور على الأعداد الأولية p و q التي تلبي هذه الشروط.'

'أثبت أنه بين أي 26 عددًا صحيحًا مختلف اختيارها من 1 إلى 50 ، يجب أن يكون هناك زوج من الأرقام يبلغ مجموعهم 51.'

'أثبت أن n^{2}+1 هو مضاعف للرقم 5 إذا وفقط إذا كان باقي قسمة n على 5 هو 2 أو 3.'

'حول العوامل الإيجابية لPR 3500'

'العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من واحد، ليس له قواسم إيجابية سوى 1 وحده، بينما يُطلق على العدد الذي ليس أوليًا اسم العدد المركب. على سبيل المثال، الأعداد 2، 3، 5، 7، 11، وما إلى ذلك هي أعداد أولية، بينما الأعداد 4، 6، 8، 9، وما إلى ذلك هي أعداد مركبة.'

''

None

'تحت الظروف المعطاة، عندما يكون p=3k+2، العدد الطبيعي p الذي يجعل p، 2p+1، و 4p+1 جميعها أعداد أولية هو p=3. بالنسبة للأعداد الأولية p التي تكون أكبر من أو تساوي 5، فإنه من الواضح أن إما 2p+1 أو 4p+1 سيكون كلاهما ضعفًا للعدد 3.'

'حدد صحة أو خطأ العبارات التالية:\n(2) العوامل الإيجابية للرقم 28 هي 1، 2، 4، 7، 14، و 28، و التي تكون مجموعها 6 عوامل. لذلك، هذه عبارة صحيحة.\n(3) عندما n=36، n يكون ضعف 4 و 6، ولكن ليس ضعف 24. لذلك، هذه عبارة خاطئة (حيث n=36 كضد مثال).'

'استخدام خصائص الأعداد الأولية'

'دليل بشأن الأعداد الأولية المتباينة'

'أثبت أن حاصل ضرب الأعداد المتتالية هو مضاعف للرقم 2.'

'أنا مشوش حول كيفية التعامل مع مشاكل الأعداد الأولية. تعريف الأعداد الأولية هو، "الأعداد الصحيحة التي تزيد عن 2 والتي لا تحتوي على مقسومات إيجابية سوى 1 وأنفسها"، واضح. المهمة هي كيفية استخدام هذا التعريف بفعالية. أولاً، دعنا نستوعب الخصائص التالية (1) و (2): (1) مقسومات العدد الأولي p هي ±1 و ±p (هناك 2 مقسوم إيجابي: 1 و p)، (2) الأعداد الأولية أكبر من 2، والعدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2. علاوة على ذلك، جميع الأعداد الأولية التي تزيد عن 3 هي أعداد أولية زوجية. من خلال استخدام خاصية "مقسومات العدد الأولي p هي ±1 و ±p"، يمكننا النظر في أربع حالات (A) إلى (D) عندما يكون (n-3)(n-9) عدد أولي p. انتبه إلى العلاقة n-9<n-3 و 1<p,-p<-1، حيث أن (B) n-9=1 و (C) n-3=-1 هما المحتملان فقط. ولاسيما، كن حذراً من الأخطاء مثل n-9=-1 في الحالات السالبة.'

''

''

'العثور على أصغر عدد صحيح إيجابي يكون عدد العوامل الإيجابية له 28.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'عدد الأعداد الطبيعية المتناسبة'

'ابحث عن القوى الرئيسية الأقصى والأقل مضاعف مشترك للأعداد 72 و 120.\nقسم بواسطة الأعداد الأولية المشتركة بين الأعداد الـ 12.\nعلى سبيل المثال، استمر في القسمة على 2.\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\nقم بحساب القوى الرئيسية الأقصى والأقل مضاعف مشترك.'

'العثور على جميع الأعداد الطبيعية p بحيث تكون الأعداد الثلاث p ، 2p + 1 ، 4p + 1 جميعها أعداد أولية.'

'لتكن p و q أعداد أولية حيث p<q. بالإضافة إلى ذلك، لتكن m و n أعداد صحيحة إيجابية بحيث m≥3 و n≥2. نفترض أن من بين الأعداد من 1 إلى p^m * q^n ، عدد الأعداد التي هي ضربات لـ p أو q هو 240. اعثر على مجموعة (p، q، m، n) التي تلبي هذه الشروط.'

'مثال أساسي 106 عدد العوامل الإيجابية\n(1) ابحث عن عدد العوامل الإيجابية للرقم 630.\n(2) إذا تم تجزئة العدد الطبيعي N إلى أسباب أولية، حيث تتضمن الأسباب الأولية p و 7 ولا توجد أسباب أولية أخرى. بالإضافة إلى ذلك، لدى N 6 عوامل إيجابية، ومجموع العوامل الإيجابية هو 104. اعثر على قيم عامل أولي p والعدد الطبيعي N.'

'الأعداد الكاملة والأعداد الأولية'

'(2) لنفترض أن a عدد صحيح موجب، وأن p = a^2 + 1 عدد أولي. بالتالي، n^2 + 1 هو مضاعف ل p إذا وفقط إذا كان الباقي عند قسمة n على p هو a أو p - a.'

''

'أثبت أنه بالنسبة لعددين أوليين تبادلا a و b ، فإن a+b و ab أيضًا أوليان.'

'العثور على القاسم الأكبر والمضاعف الصغرى المشتركة لعددين أو ثلاثة أعداد باستخدام تحليل العوامل الأولية.\n(1) 168، 378\n(2) 65،156،234'

None

'ابحث عن عدد الأعداد الطبيعية الأقل من 432 التي هي مقررة لـ 432.'

'(2) أثبت أنه إذا كان عدد طبيعي P لا يمكن قسمه على 2 أو 3 ، فيمكن تقسيم P^2-1 على 24.'

'ابحث عن عدد الأعداد الطبيعية أقل من 735 التي هي أولية مع 735.'

'لايجاد الباقي عند قسمة 13 مرفوف 15 على 5.'

'لنفرض أن a و b أعداد طبيعية. أثبت أنه إذا كانت ab هي ضعفية للرقم 3، فإما a أو b هو ضعفية للرقم 3.'

''

'يرجى الرسم بالتسلسل D → A → B → C → E. هناك 6 طرق لرسم D → A → B (3!). لكل من هذه ، هناك طريقة واحدة لرسم C ، وطريقة واحدة لرسم E. لذلك ، فإن العدد الإجمالي لطرق الرسم هو 6 × 1 × 1 = 6.'

'ابحث عن عدد المقسومات الإيجابية للعدد الصحيح الإيجابي 756.'

'المشكلة (2) يفكك العدد الطبيعي N إلى عوامل أولية، حيث العوامل الأولية هي p و 5، ولا توجد عوامل أولية أخرى. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي N على 8 عوامل موجبة، ومجموع العوامل الموجبة هو 90. اعثر على قيم عامل العدد الأولي p والعدد الطبيعي N.'

'الشرط لكون الأعداد الثلاثة جميعها أعداد أولية'

'عندما تكون عملية تحليل العوامل الأولية للعدد الطبيعي N هي N=p^a * q^b * r^c ......، فإن عدد القواسم الإيجابية للعدد N هو (a+1)(b+1)(c+1) ......'

'هناك لغز لتخمين العمر: يتبقى من عمري 1 عند القسمة على 3 ، ويتبقى 4 عند القسمة على 5 ، ويتبقى 1 عند القسمة على 7. يرجى تخمين عمري. إنه أقل من 105 سنوات.'

'قم بإثبات أن حاصل ضرب أربعة أعداد صحيحة متتالية n(n+1)(n+2)(n+3) هو مضاعف للرقم 24.'

'ترتيب تام'

'أثبت أن 2n-1 و 2n+1 هما أعداد أولية بالنسبة لأي عدد طبيعي n.'

'أثبت أنه عندما يكون العدد الطبيعي P غير قابل للقسمة على 2 أو 3 ، فإن P^2-1 قابل للقسمة على 24.'

'73 حذف'

'أثبت الشرط لتكون جميع الأرقام غير مركبة'

'مبدأ الحمامة (طريقة توزيع الغرف)'

'لتكن n عددًا طبيعيًا. اعثر على جميع قيم n التي تجعل التعبيرات التالية أعدادًا أولية:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'ما هي التحديات في اكتشاف الأعداد الأولية الكبيرة؟'

'العثور على أصغر عدد طبيعي n بحيث √(378n) يصبح عددا طبيعيا.'

''

'عندما يمكن تعبير عدد صحيح على أنه حاصل ضرب عدة أعداد صحيحة، يُطلق على كل عدد في الحاصل مصطلح عامل للعدد الأصلي. العوامل التي تكون أعداد أولية تُسمى عوامل أولية، وتعبير عدد طبيعي على شكل حاصل ضرب يحتوي فقط على أعداد أولية يُسمى تحليل عوامل أولية.'

'الأعداد الأولية التوأمية والثلاثية'

'العثور على أصغر عدد صحيح إيجابي لعدد المقسمات الإيجابية 28.'

'طريقة العثور على الأعداد الأولية (غربال إراتوستينس)\nإذا كان العدد الطبيعي n غير قابل للقسمة على جميع الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي جذره التربيعي، فإن n هو عدد أولي.\nباستخدام هذه القاعدة، فكر في طريقة للعثور على جميع الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي 50.'

'عدد القواسم والمجموع'

'تحليل العوامل'

'لنستعرض أساسيات تحليل العوامل!'

'الأساسيات 11: تحليل العوامل عن طريق استخراج العوامل المشتركة'

'(1) أثبت أن ضربنا اثنين من الأعداد الصحيحة المتصلة هو ضعفي الناتج.'

'عندما يكون لدى عددين a و b لا يوجد لديهما عوامل أولية مشتركة، فإن القاسم المشترك الأعظم بينهما هو 1. إذا كان القاسم المشترك الأعظم بين عددين a و b هو 1، فإن a و b يعتبران متعدد الأشكال.'

'14 (1) 144 طريقة\n(2) 720 طريقة\n(3) 1440 طريقة'

'دعونا نلخص الخطوات الأساسية لتقسيم العوامل الأساسية. لتطبيق الصيغ لتقسيم العوامل الأساسية:'

'عند رمي النرد مرتين، كم هو عدد الطرق التي يمكن أن يكون فيها حاصل ضرب النتائج مضاعفاً للرقم 12؟'

'من a≥1 و b≥1 ، يتبع من ذلك أن a+b>a+b-1≥1. بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأن a+b-1 هو عدد أولي ، فإن a+b-1=1. لذلك ، a+b=p. نظرًا لأن a≥1 و b≥1 ، يكون a=1 و b=1. وبالتالي ، من (2) ، نحصل على p=2 ، وهو عدد أولي. وبالتالي ، القيم ل a و b التي تجعل p عددًا أوليًا هي a=1 و b=1.'

'ما هو نتيجة حساب 60! ، وكم مرة يمكن تقسيمها على 3؟ 98\nعند حساب 50! ، كم من الأصفار ستتالي في نهايته؟'

'الدليل: نفترض أن العدد الصحيح n ليس ضعفًا للرقم 3، ثم يمكن تمثيل n بصورة 3k±1 (حيث k عدد صحيح). إذاً، n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k) والذي يجب أن يكون ضعفًا للرقم 3.'

'عامل العوامل المشتركة وقم بتقسيم العوامل.'

'95 (1) n=21 (2) n=30,270'

'اعثر على العمل الأكبر للأعداد التالية باستخدام خوارزمية أقليدس: (1) 221، 91 (2) 418، 247 (3) 1501، 899'

'العثور على جميع قيم p التي تجعل 51 و 2p+1 و 4p+1 أعداد أولية. تحقق مما إذا كان 2p+1 و 4p+1 أوليين عندما يكون p عددًا أوليًا.'

'أثبت أنه بالنسبة لعددين طبيعيين a و b ، إذا كان a و b أعداد متوافقة ، فإن a+b و ab أيضًا أعداد متوافقة.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عددين طبيعيين a وk ، a و ka+1 هما أعداد أولية متوافقتان.'

None

'ما هي نوعية المشاكل التي تعتبر جيدة للعمل عليها بعد حل الأمثلة الأساسية والقياسية؟'

'يرجى الإجابة على الأسئلة التالية: (1) احسب ناتج 60! ، وحدد الحد الأقصى لعدد المرات التي يمكن فيها قسمتها على 3. (2) احسب 50! ، وحدد كم من الأصفار المتتالية تظهر في النهاية.'

'قم بإثبات الآتي لأعداد طبيعية a، b:\n(1) إذا كان a و b أقل سوى بعضهما، فإن a^2 و b^2 أقل سوى بعضهما.\n(2) إذا كان a+b و ab أقل سوى بعضهما، فإن a و b أقل سوى بعضهما.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي 2، n^4+4 ليست عددا أوليا.'

'استخدم الرموز $\\subset ,=$ لوصف العلاقة بين المجموعتين $A$ و$B$. A=\\{n \\mid n هو عدد أولي أقل من أو يساوي 7 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'بالنسبة للأسئلة الرياضية التالية: (1) باستخدام الناتج من قسمة 10 على 2، وقسمة 4 على 2، وقسمة 2 على 2، باستخدام طريقة عد الأضعاف العددية للرقم 2، ما هو أقصى عدد من المرات التي يمكن أن يتم فيها قسم 10! على 2؟ (2) باستخدام الناتج من قسمة 10 على 5، احسب 10! وحدد كم عدد صفرات متتالية تظهر في النهاية؟'

'1) ابحث عن عدد المقسّمات الإيجابيّة للرقم 720.\n\n2) قسّم العدد الطبيعي N إلى عوامل أوليّة، حيث تكون العوامل الأولية هي 2 و 3، دون وجود عوامل أولية أخرى. كما يُعرف أنّ N يحتوي على بالضبط 10 مقسّمات إيجابيّة. ابحث عن جميع الأعداد الطبيعيّة N المطابقة لهذه الشروط.'

'العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يملك مقسمات إيجابية سوى 1 ونفسه. العدد المركب هو عدد طبيعي أكبر من 2 وليس عدداً أولياً.'

'كم عدد السلاسل التي يمكن تشكيلها باستخدام جميع 8 أحرف من TANABATA؟'

'سؤال A (2) ابحث عن عددين طبيعيين يتم تمثيلهما على أنهما 6m و 6n ، حيث m و n هما أعداد طبيعية متقابلة. نظرًا لأن 6m>6 و 6n>6 ، فإننا نحصل على m>1 و n>1. نظرًا لأن 4536=6m·6n ، نحصل على mn=126. نظرًا لأن mn ليس مربعًا كاملاً ، فإن m لا يمكن أن يكون يساوي n ، لذلك 1<m<n. بحل لأزواج m و n التي تلبي هذا الشرط ، نحصل على (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21),(7,18),(9,14). بين هذه الأزواج ، تكون الأعداد المتقابلة هي (2,63),(7,18),(9,14). لذلك ، العددين الطبيعيين المطلوبين هما 12,378 أو 42,108 أو 54,84.'

'كيف يتم تحويل الرقم الثنائي 101 إلى عشري؟'

"عندما تُرتب الحروف الثمانية لكلمة 'addition' أفقيًا في صف واحد، كم هي الطرق الممكنة لترتيبها؟"

'تعلم طريقة تحديد الأضعاف وتهيئة مثال 85!'

'العثور على أصغر عدد طبيعي يحتوي على 8 مقسمات إيجابية.'

'التدريب 99 (1) دع n يكون عددًا طبيعيًا. ابحث عن جميع قيم n التي تؤدي إلى حصول تعبيرات التالي على عدد أولى. (أ) n^{2}+6 n-27 (ب) n^{2}-16 n+39 (2) دع a, b تكون عددين طبيعيين، ولتكون p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b. ابحث عن جميع قيم a, b التي تجعل p عددًا أوليًا.'

'(1) كم عدد طبيعي N وجدت بحيث تكون لديها 3 أرقام عند تمثيلها في النظام الخماسي؟'

'العثور على أصغر عدد طبيعي بأربعة مقسمات إيجابية.'

'إجابة: جزء الرياضيات 50 حذف 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

''

'العثور على جميع القيم ل p التي تجعل p، 2p+1، و 4p+1 جميعها أعداد أولية.'

'ترتيب الاختيار مع تحديد النظام. ترتيب 20 اختيار مع تحديد النظام.'

''

'أثبت أن a و k a+1 هما أحادياً عندما تكون a و k أعداد طبيعية.'

'عند تقسيم المثال 83 إلى القيم القصوى والدنيا، نحصل على النتائج التالية.'

'مشكلة العثور على الحلول الصحيحة لمعادلة ديوفانتية خطية (3) (باستخدام خوارزمية أقليدس).'

'دعونا نراجع كيفية العثور على حلول صحيحة للمعادلات الديوفانتية الخطية! عندما لا تُعثر بسهولة على الحلول الصحيحة، يمكنك استخدام طريقة التقسيم المتتالي. من خلال تتبع حسابات طريقة التقسيم المتتالي بالعكس، يمكنك العثور على الحلول الصحيحة.'

'من المفترض أن الأعداد أ وب ليستا أعدادًا أوليتين، أي أن لديهما عامل أولي مشترك p، إذن أ = pk، ب = pl (k، l أعداد طبيعية).'

'عند رمي النرد بنفس الوقت، كم عدد الطرق التي يمكن أن لا يظهر فيها الرقم 1 على أي من النردين؟'

'هناك نقطة P على محور الأفق X. عند رمي النرد ذو السطوح الستة وظهور مضاعف للرقم 6، تتحرك P إلى الأمام بمقدار وحدة واحدة في الاتجاه الإيجابي لمحور X، وعندما لا يظهر مضاعف للرقم 6، تتحرك P بمقدار وحدتين في الاتجاه السالب لمحور X. عند رمي النرد 4 مرات، فإن احتمال أن تكون النقطة P، بدءًا من الأصل، في النقطة X=-2 هو A، واحتمال أن تكون في الأصل هو B.'

'ابحث عن عدد المقسمات الإيجابية لـ 648 ومجموعها.'

'ابحث عن أكبر عدد طبيعي مكون من ثلاثة أرقام يترك باقي قيمته 5 عند القسمة على 14 وباقي قيمته 7 عند القسمة على 9.'

'ابحث عن القيمة القصوى لـ n لأطفال EX والقيم المقابلة لأ ، ب'

'طريقة تحليل العوامل'

'خوارزمية أقليدس\nبالنسبة لأعداد طبيعية a و b ، إذا قسم a على b وكانت الباقية r ، فإن أكبر مقسم مشترك لـ a و b يساوي أكبر مقسم مشترك لـ b و r.\nمن خلال استخدام هذه الطريقة مرارًا وتكرارًا ، يمكننا العثور على أقل مضاعف مشترك لعددين طبيعيين. تُعرف هذه الطريقة باسم خوارزمية أقليدس أو ببساطة خوارزمية القسم.\nعلى سبيل المثال ، للعثور على أكبر مقسم مشترك بين 319 و 143\nمن خلال ملاحظة القسمة 319 على 143 مما أسفر عن المعادلة 319 = 143 * 2 + 33 ، وفقًا للنظرية ، بدلاً من العثور على أكبر مقسم مشترك بين 319 و 143 ، يمكننا العثور على أكبر مقسم مشترك للمقسم 143 والباقي 33. واستمرارًا في هذه العملية ، ستنخفض الباقيات. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الباقي هو أكبر أو يساوي 0 ، فسيصبح الباقي في نهاية المطاف 0. عندما يصبح الباقي 0 ، فإن المقسم في ذلك الخطوة هو أكبر مقسم مشترك المطلوب.'

'الرياضيات A\nTR\n(1) باستخدام معادلات التغاير، ابحث عن الآتي:\nابحث عن الباقي عند قسمة 12^{1000} على 11\nابحث عن الرقم الوحدات لـ 13^{81}\n(2) أثبت باستخدام معادلات التغاير أنه إذا كانت الأعداد الصحيحة a و b و c تحقق a^2+b^2=c^2، فإن واحد على الأقل من a و b هو مضاعف للعدد 3.'

'قسم 5390 على عدد طبيعي n بحيث يكون الباقي 0 والناتج يكون مربعًا لعدد طبيعي. ابحث عن القيمة الدنيا ل n التي تحقق هذا الشرط.'

'استخدام الانتماءات ، العثور على ما يلي:'

'العثور على أصغر عدد طبيعي يحتوي على 8 أقسام موجبة.'

''

'عامل عددًا طبيعيًا N ، حيث تكون العوامل الأساسية 3 و 5 ، ولا توجد عوامل أساسية أخرى. علاوة على ذلك ، يحتوي N على 6 مقسمات إيجابية تمامًا. العثور على جميع الأعداد الطبيعية N التي تستوفي هذه الشروط.'

'اشرح طريقة الضد ثم أثبت البديهية التالية T باستخدام العكس:'

'ابحث عن عدد عوامل 10000.'

'ابحث عن عدد مقسومي 10000.'

'لنكن a و b عددين طبيعيين. قم بإثبات ما يلي: (1) إذا كان a و b تؤولان، فإن a^{2} و b^{2} تؤولان. (2) إذا كان a + b و ab تؤولان، فإن a و b تؤولان.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي a، a و a+1 هما أعداد متبادلين.'

''

'اضرب 150 بعدد طبيعي من رقمين n من أجل جعله مربع لعدد طبيعي معين. ابحث عن أكبر قيمة لـ n التي تفي بهذا الشرط.'

'عند رمي ثلاثة نردات في نفس الوقت ، كم هي الطرق التي يمكن أن تظهر فيها جميع النيران أرقام فردية؟'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'ابحث عن عدد العناصر في المجموعات التاليةDentroالأعداد الطبيعية (أقل من 500):\n(1) مجموعة من الأرقام القابلة للقسمة على 3\n(2) مجموعة من الأرقام القابلة للقسمة على 3 و 5 و 7\n(3) مجموعة من الأرقام القابلة للقسمة على 3 لكن ليس على 5\n(4) مجموعة من الأرقام غير القابلة للقسمة على 3 أو 5 أو كلاهما\n(5) مجموعة من الأرقام القابلة للقسمة على 3 لكن ليس على 5 أو 7'

' (1) العثور على عدد القواسم الإيجابية للعدد 1800.\n\n(2) عند تحليل عدد طبيعي N إلى عوامل أولية، تكون عوامله الأولية هي 3 و 5، دون وجود عوامل أولية أخرى. أيضًا، تحتوي N على بالضبط 6 قواسم إيجابية. العثور على جميع تلك الأعداد الطبيعية N.'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية غير الصفر x ، y ، z 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}} ، ابحث عن قيمة \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'حدد عدد الحلول الحقيقية المتميزة لمعادلة x^3-3x^2-9x+k=0.'

'لنكن \ \\omega \ أحد حلول المعادلة التخيلية \ x^{3}=1 \، بعد ذلك، \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1=\\square, \\omega^{100}+\\omega^{50}=\\square \.'

'ابحث عن البند العام للتسلسل 1، 17، 35، 57، 87، 133، 211، ...'

'إذا كانت الأعداد الحقيقية x و y و z غير الصفر وتلبي 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}، فجد قيمة \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'عندما يكون مجموع الكسور الغير قابلة للتقليل مع الأعداد الأولية كمقامات بين 1 و 10 هو 198، ابحث عن قيمة ب.'

'من خلال استخدام المبرهنة الثنائية ، ابحث عن القيم التالية:'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'افترض جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 300.'

'نظرًا للسلسلة $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ، ابحث عن البند العام لهذه السلسلة.'

''

'يوجد رقمان مركبان تمامًا z=x+yi (حيث x ، y أعداد حقيقية) بحيث مربع z يساوي 8i. اعثر على هذه الـ z.'

'نفترض أنها تتسلسل حسابيا، النسبة المشتركة هي \\frac{6}{3}=2. إذا كان العنصر الثامن هو 1500، فإن 3* 2^{n-1}=1500. وبالتالي، 2^{n-1}=500، 500=2^{2}* 5^{3}، لذلك لا يوجد عدد طبيعي n يحقق هذا المعادلة. لذلك، فإنه لا يمكن أن يكون تسلسل حسابي.'

'أثبت أنه بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الإيجابية n ، 3^(3n-2)+5^(3n-1) هو ضعف للرقم 7.'

'ثبت أنه بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الإيجابية n ، فإن 3^{3n-2} + 5^{3n-1} هو مضاعف للرقم 7'

'أثبت أن عبارة "إذا لم يكن العدد الصحي n مضاعفًا لعدد 5، فإن n^{2} ليس مضاعفًا لعدد 5." صحيحة. واستخدم هذه العبارة لإثبات أن جذر 5 غير عددي.'

'لنكن k عدد صحيح إيجابي. اعثر على جميع قيم k بحيث يكون هناك عدد n واحد فقط يحقق 5n^{2}-2kn+1<0.'

'اختر الخيارات الصحيحة من A إلى E أدناه.'

'بالنسبة للمعادلتين $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$، حدد نطاق قيم الثابت $a$ بحيث تتحقق الشروط التالية:\n(1) كلا المعادلتين لديهما حلول حقيقية\n(2) على الأقل واحدة منهما ليس لديها حلول حقيقية\n(3) فقط واحدة منهما لديها حلول حقيقية'

'قم بتعبير عن الرموز وطرق التمثيل للمجموعة 44.'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية x، y المعادلة x²+y²=2، ابحث عن أقصى وأدنى قيم للتعبير 2x+y. كما، حدد قيم x و y في ذلك الوقت.'

'رمز جاوس والرسم البياني (رمز جاوسي)'

'١٨٠ (١)، (٣)'

'ابحث عن نطاق قيم الثابت k بحيث يكون لمعادلة الرتبة الثانية x² + (2k-1)x + (k-1)(k+3) = 0 جذور حقيقية.'

'بين ثلاثة أعداد طبيعية متتالية، مربع العدد الأصغر يساوي مجموع العددين الآخرين. ابحث عن هذه الأعداد الثلاثة.'

'(1) لا يمكن تحديد ما إذا كان واضحًا أو غير صحيح بسبب عدم وضوح معنى "كبير". لذلك، فهذه ليست عبارة قضائية.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$ بحيث المعادلة التربيعية $x^{2}+(a-3)x-a+6=0$ لا تحتوي على حلول حقيقية.'

'اعثر على عدد نقاط التقاطع بين القوس y = 2x^2 + 3x - a + 1 ومحور ال x باستخدام الثابت a.'

'تفكيك عوامل الرقم 2'

''

'ابحث عن حلول للمتباينات التربيعية المعاملة. ابحث عن حلول للمتباينات التالية.'

'الرجاء إثبات أن التعبير $(a-b)(b-c)(c-a)$ لديه عوامل.'

'العثور على شرط لوجود حلا أكبر من p وحلا أقل من p.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'ترجمة 17 (3) 1'

'11 (3) 0'

'عندما $k=-\x0crac{1}{2}$'

'مجموع سلسلة لانهائية باستخدام العلاقة التكرارية'

'أثبت أن \\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\).'

'بالترتيب، هو 10 (1) 2 (2)؛'

'(2) دع l و k يكونان عددين طبيعيين أوليين. أثبت أن الأعداد المركبة z^l, z^2l, z^3l, ..., z^kl جميعها متمايزة.'

''

'الرياضيات'

'من خلال استنتاج شرط فوز C بالمنافسة، نحصل على $\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$. نظرًا لأن $p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$، بتنظيف المقام وتبسيطه نحصل على $5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$. حل هذا العدمية يعطي $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$. لاحظ أن $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$، ومنذ $6<\\sqrt{41}<7$ يعني $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$. لذلك، مع $0<p<1$، لدينا $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$. بعد ذلك، نجد العدد الطبيعي $n$ الذي يرضي الشرط $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1). بحله يعطي $54<-10+\\sqrt{4100}<55$. حيث أن $n$ يزيد بشكل منتظم، اصغر $n$ الذي يرضي (1) هو $55$. لذلك، القيمة الدنيا ل $N$ المطلوبة هي 55.'

'في حالة الجذور التربيعية، يمكننا استخدام التفكيك للعثور على العامل الأكبر والمضاعف الأصغر المشترك، على غرار حالة الأعداد الصحيحة.'

'عندما يتم تشديد الوتر ، يفضل الصوت عندما يتم تقليل طوله إلى نصفه إلى صوت أعلى بثمانية أوكتافات. هنا ، يتم تقسيم نسبة طول الوتر بين سي ودو الأوكتاف العليا إلى 12 أجزاء متساوية ، مشكلين المعايرة الساخنة المساوية من 12 نغمة. هذه هي مقياس يُستخدم عادة.'

'ابحث عن الباقي عند قسمة 29^51 على 900.'

'عندما تكون الأعداد الحقيقية الإيجابية x ، y تحقق 9x ^2 + 16y ^2 = 144 ، فإن القيمة القصوى لـ xy هي √.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن حد أدنى من الدرجة لحدد متعددة x بحيث عند قسمه على x^2+1، يكون الباقي 3x+2، وعند قسمه على x^2+x+1، يكون الباقي 2x+3، ويكون الدرجة الدنيا لـ x 48.'

'العثور على جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية n بحيث يكون n^{n}+1 قابل للقسمة على 3.'

'حدد قيم ثوابت a و b بحيث f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 يمكن قسمته على (x-1)^{2}، حيث n هو عدد طبيعي.'

'٩١ (١) ٤ قطع'

'مبرهنة الباقي و مبرهنة العامل'

'169 (3) 2'

''

'\ p \ يكون عددا أوليًا، ولتكن العدد الصحيح \ r \ يرضي \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \. أظهر أن \ p_r \ قابل للقسمة على \ p \.'

'إذا كان a و b عددين أوليين وكانت معادلة الرباعية 3 x^{2}-12 a x+a b=0 لها حلولان صحيحان, فجد قيم a, b والحلول الصحيحة.'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ الشرط اللازم لتكون \ \\sqrt{d} \ عددًا صحيحًا هو أن يكون حاصل ضرب \a c\ عدد مربعي. بين الأعداد الطبيعية مثل \\(a, c(a>c>1)\\) ، الأصغر هو \ a=2^{3}, c=2 \ اختيار \b=3\ يعطي \d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\.'

'إذا كان باقي قسمة P(x) على (x-1)^{2} ثابتًا، فجد الباقي عند قسمة P(x) على (x-1)^{2}(x+1).'

'1042'

'في مربع على المستوى المركب، إذا كانت إحدى أزواج الرؤوس المجاورة نقطة 1 ونقطة 3+3i، فالعثور على الأعداد المركبة التي تمثل الرؤوس الأخرى الاثنين.'

''

'119 (1) 3'

''

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

None

'أثبت أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، ينطبق 2 ^ n> n.'

'شروط الأعداد الحقيقية والخيالية الصافية للعدد المركب z\nلنفترض z=a+bi (a و b هما أعداد حقيقية)\n• z حقيقي ⇔ z=̄z\nنظرًا لأن ̄z=z صحيح ، فإن a-bi=a+bi ، مما يعني -b=b ، لذلك b=0 ، لذا z=a ، و z هو حقيقي.\nعند التفكير في هذا على المستوى المركب ، النقطة z والنقطة ̄z نقطتان متناظرتان بالنسبة للمحور الحقيقي ، تتزامن هاتان النقطتان فقط على المحور الحقيقي ، لذلك z هو حقيقي.\n• z خيالي صاف ⇔ ̄z=-z و z≠0\nنظرًا لأن ̄z=-z و z≠0 صحيحان ، فإن a-bi=-a-bi ، مما يعني a=-a ، لذا a=0 ، لذلك z=bi ، وبما أن z≠0 ، فإذًا b≠0 ، لذا z هو خيالي صاف.\nعند التفكير في هذا على المستوى المركب ، النقطة ̄z والنقطة -z نقطتان متناظرتان بالنسبة للمحور الخيالي ، تتزامن هاتان النقطتان فقط على المحور الخيالي ، باستثناء الأصل O ، جميع النقاط الأخرى هي خيالية صافة ، لذلك z هو خيالي صاف.'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101 (2) 4'

''

'ثبت أنه بالنسبة للأعداد الطبيعية n و k التي ترضي 2 ≤ k ≤ n-2 ، فإن العدد الثنائي C(n, k) > n.'

'استخدام مصفاة اراتوستين ، اثبت أن هناك أكثر من 750 عدد صحيح غير أولي أقل من 1000.'

''

'القيمة القصوى لـ n يتم الحصول عليها عن طريق حساب عدد الأصفار في نهاية 50!، والتي تساوي عدد العامل الأولي 5 عند تحليل عوامل 50!. بين الأعداد الطبيعية من 1 إلى 50، عدد أضعاف 5 هو 10 (عدد أضعاف 5^2 هو 2، حيث 50 مقسومة على 5^2 هو 2). نظرًا لعدم وجود أضعاف 5^n (n ≥ 3)، فإن عدد العامل الأولي 5 هو 10+2=12. لذلك، القيمة القصوى لـ n التي يجب العثور عليها هي 12.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي n، f(n) = 5^{3n} + 5^{2n} + 5^n + 1. عندما لا يكون n مضاعفًا للرقم 4 ، فإن f(n) يكون مضاعفًا للرقم 13.'

'صف خطوات خوارزمية يوركليد وقدم مثالًا محددًا، من فضلك.'

'إذا كان a و b أعداد أولية، وكانت a k ضعف مضاعف ل b، فإن k هو ضعف مضاعف ل b أيضًا.'

'بالنسبة لعدد أولي p ، ابحث عن القيمة الدنيا ل p بحيث n = p^14 و n ≥ 1900.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، n^5 - n هو ضعف للعدد 15.'

'حول حاصل ضرب الأعداد الصحيحة المتتالية.'

'تمرين 6 III-> كتاب ص .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'يمكن تقسيم الأعداد الطبيعية التي تزيد عن 2 إلى عوامل أساسية.'

'مثال 75 | استخدام تحليل العوامل الأساسية'

'لتكن p عددًا أوليًا. ابحث عن جميع الأزواج من الأعداد الطبيعية (n، k) التي ترضي k ≤ n وبحيث معامل الثنائي (n، k) = p.'

'العثور على جميع الثلاثيات الأعداد الأولية (a, b, c) حيث تكون 40-أ-8 وبي-ج-8 أعداداً أولية.'

'الأعداد التي تزيد عن 125 وهي مضاعفات للرقم 5 تشمل 150 و 155 و 160 و 165 و 130 وغيرها. عند تحليل عوامل 165! إلى عوامل أولية، ما هو عدد العوامل الأولية 5؟'

'كم عدد طبيعي من 1 إلى 100 يمكن قسمته على 2 و 3 و 5؟ كم عدد طبيعي يمكن قسمته على 2 أو 3 أو 5؟ كم عدد يمكن قسمته على 2 ولكن لا يمكن قسمته على 3 أو 5؟'

'(2) أثبت أن هناك أعداد غير أولية بين a، b، c.'

'يرجى حل المشكلة المتعلقة بتعبئات غاوسية والمعادلات التربيعية.'

'ابحث عن قيم العدد الطبيعي n التي تجعل كل من n و n^{2}+2 عددين أوليين.'

"ارفق أمثلة لأعداد مركبة حيث ينطبق العكس من المبرهنة الفرماية الصغيرة 'إذا لم يرق العدد الصحيح المتقارن a إلى a^{p-1} ≡ 1 (mod p)، فيكون p ليس عددًا أوليًا (بل عددًا مركّبًا)': 9, 35."

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن العوامل للأرقام التالية. (1) 36 (2) 14 (3) هل 12345 عدد متعدد للرقم 3 أو 9؟ (4) هل 91 و 144 أعداد أوسطية؟'

'العثور على جميع الأعداد الفردية a التي تزيد عن 423 وأقل من 9999 والتي يمكن قسمها (a^2 - a) على 10000.'

'ثبت أن الأعداد المركبة لها دائمًا أعداد أولية كعوامل.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'في (3) (2) ، إذا قمنا بإزالة التمييز بين A و B و C ، يمكن تجميع الأشياء نفسها بطرق 3! كل واحدة ، لذلك 1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280 (طريقة)'

'العدد الأولي p يُرضي الشرط: m² - n² = p. قم بإثبات أن هناك زوج فريد من الأعداد الطبيعية (m، n) يرضي هذا الشرط.'

'أثبت أن p عدد أول أكبر من 3.'

'تحقق مما إذا كان 91 و 144 أعداد متضاربة.'

'ابحث عن العوامل الأولية للرقم 36.'

'لنفترض أن p عدد أول أكبر من 3 ، وأن p + 4 هو أيضًا عدد أول.'

'نفترض أن a و b و c ليست ضربات لعدد 5.'

'قم بإثبات الصيغة لإيجاد الرقم الكاتالاني الثانوي (رقم كاتالان Cn). بالإضافة إلى ذلك، اعثر على الرقم الكاتالاني عندما n=4.'

'أثبت العبارة التالية: إذا كان العدد الصحيح n ليس ضعفًا للرقم 3 ، فإن n² أيضًا ليس ضعفًا للرقم 3.'

'تحدى مقبول. الحل يحتوي أيضًا على =.'

'المثال 49 | تصنيف الأعداد الصحيحة بواسطة الباقي\nثبت ما يلي:\n(1) بالنسبة لأي عدد صحيح n، n^{4}+5 n^{2} هو مضاعف للعدد 3.\n(2) الباقي لا يكون أبدًا 3 عند تربيع عدد صحيح وقسمته على 5.'

'ابحث عن عدد العناصر في المجموعات التالية بين الأعداد الطبيعية الأقل من 500.'

'ابحث عن جميع العوامل للأرقام 25 و 36 المعطاة.'

'1) احسب ناتج عامل 20، كم مرة يمكن أن تقسم على 2.\n2) احسب العامل للرقم 25، كم عدد من الأصفار المتتالية ستظهر في النهاية.'

'لنفترض $n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$ . أثبت أن $T(n)=n$ عندما يكون $2^{m}-1$ عدد أولي، واستخدم $1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$.'

'إذا كانت أب عددا أوليا مضاعفًا لعدد p ، فإما أ أو ب هو مضاعف لعدد p.'

'مشكلة العوامل والأضعاف: ابحث عن عدد العوامل الإيجابية لعدد طبيعي N. عندما تكون تحليل العوامل الأساسية لعدد طبيعي N على شكل N=p^a q^b r^c ... ..., فإن عدد العوامل الإيجابية للعدد N هو'

'ثبت شروط وجود حلول صحيحة لهذا المعادلة غير المحددة 99 1 1'

'نظرًا لأن ( ( 3k + 1 ) ( 3k + 2 هو حاصل ضرب عددين متتاليين، فإنها عدد زوجي. لذلك، يمكن التعبير عنها بمعنى ( ( 3k + 1 ) ( 3k + 2 = 2l وهو ( p + 1 ) ( p + 2 ) ( p + 3 ) = 24ل( 2k + 1 . بما أن p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4 هي خمسة أعداد صحيحة متتالية، فإن واحد منها عدد زوجي. إذا افترضنا p = 5، فإن p + 4 = 9، وهو ليس عددًا أوليًا، مما يؤدي إلى أن p + 4 ليس عددًا أوليًا، لذلك p > 5، وبالتالي p, p + 4 هما أعداد أولية أكبر من 5، وبالتالي ليس عددين مضروبين في 5. لذلك، أحد p + 1, p + 2, p + 3 هو عدد زوجي. لذلك، ( ( p + 1 ) ( p + 2 ) ( p + 3 هو عدد زوجي. بناءً على 2 و 3، يمكننا الاستنتاج بأن ( ( p + 1 ) ( p + 2 ) ( p + 3 عدد مضروب في 24، وبالتالي عدد مضروب في 120.'

'بين الأعداد الطبيعية التي تقل عن 30، يوجد 15 مضاعفًا للرقم 2، 7 مضاعفات للرقم 2 مربع، 3 مضاعفات للرقم 2 مكعب، ومضاعف واحد للرقم 2 رابع. لذلك، عدد عوامل العدد الأولي 2 في تحليل عامل 30! هو'

'تمرين 15 III (→ الكتاب الصفحة 84)'

'ابحث عن جميع الأعداد الأولية $k$ بحيث $k^{2}+2$ هو عدد أولي، وأثبت عدم وجود حالات أخرى.'

'(1) العثور على أصغر عدد صحيح إيجابي n بحيث n! / 1024 عدد صحيح.'

'عندما تكون هناك زوجان من النرد الذين يحملون فقط وجوهين متساويين كل واحد، الحالة الوحيدة التي يمكن لضرب رقمين مختلفين بين 1 و 6 أن يصبحا مربعيتين كاملتين هي 2^2=1×4، لذلك تكون المجموعات التي تستوفي هذا الشرط هي {1,2,2} و {1,1,4},{2,2,4} و {1,4,4}, في هذه الحالة k=4,16، الذي يؤدي إلى k=4,10,15,16,40,90,120'

'من بين الأعداد الطبيعية أقل من 125، هناك 25 ضعفًا للرقم 5، 5 ضعفًا للرقم 5^2، وضعف واحد للرقم 5^3. لذلك ، فإن عدد العوامل الأساسية 5 في عاملة العامل 125! هو'

'ثبت أنه إذا كان عددان طبيعيان a و b هما أقران ، فإن a +b و a*b أيضًا هما أقران.'

'ابحث عن جميع تركيبات الأرقام من 0 إلى 5 حيث مجموع أرقامها هو ضعف للعدد 3.'

'المثال الهام 82 | إثبات عدم الرشد'

'أثبت أنه إذا كان 49 عددًا أوليًا ، فإن $p^{4}+14$ ليس عددًا أوليًا.'

'تعتبر تقسيم العدد التركيبي إلى عوامل أولية فريدة من نوعها، باستثناء ترتيب العوامل. لنثبت فرادة تقسيم العدد التركيبي إلى عوامل أولية باستخدام النظرية أعلاه. البرهان: لنفترض أن تقسيم العدد التركيبي a إلى عوامله الأولية تمثل بطريقتين مختلفتين.'

'اشرح الطريقة لتحديد ما إذا كان عدد صحيح N هو عدد أولي. على سبيل المثال، تحقق مما إذا كان 257 هو عدد أولي.'

'بالنسبة لأي عدد طبيعي n أكبر من 2 ، دع T(n) يكون مجموع جميع العوامل الإيجابية لـ n (باستثناء n نفسه). ابحث عن قيمة T(120).'

'مشكلة الأعداد الأولية\nفلنفترض أن n عدد طبيعي. أثبت أن الحالة الوحيدة التي تكون فيها n, n+2, و n+4 جميعها أعداد أولية هي عندما n=3.'

'المثال الأساسي 87 | مشكلة إثبات حول المعادلة a^2 + b^2 = c^2\n\nدع a، b، c يكونون أعدادًا طبيعية لا تحتوي على عوامل مشتركة سوى الواحد. عندما ترضي a، b، c المعادلة a^2 + b^2 = c^2، قم بإثبات ما يلي:\n(1) أحد a، b هو صحيح والآخر زوجي.\n(2) إذا كان a فرديًا ، فإن b ضعف 4.\n(3) على الأقل واحد من a، b هو ضعف 3.'

'مثال مهم 83 عدد الأعداد الطبيعية المتبادلة الأقليمية'

أثبت الفرضية التالية. (2) إذا كان $m n$ فرديًا، فإن كل من $m$ و $n$ فرديان.

احسب القيم العظمى والصغرى للدالة التربيعية $y = x^2 - 2ax + a$ في الفترة $1 \leqq x \leqq 2$ للحالات التالية (1) إلى (5). بافتراض أن a هو ثابت. (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

1. ليكن الحد الأدنى للدالة التربيعية $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ في المعادلة التكعيبية $41^{3} x$ هو $m$。 (1) عبر عن $m$ بدلالة $b$. (2) حدد القيمة القصوى لـ $m$ والقيمة المقابلة لـ $b$ عندما يتغير $b$.

مثال أساسي 76 لنفرض أن z=1+i. (2) جد أصغر عدد طبيعي n بحيث يكون z^n عددًا خياليًا بحتًا.