الجبر المتقدم - المصفوفات وعمليات المصفوفات

'العثور على البند العام للتسلسل \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المحدد بواسطة الشروط التالية'

"ما هي المحتويات الرئيسية لـ 'الجبر الخطي'؟"

'السلسلة {a_{n}} معرفة بأن a_{1}=3, و a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n. حدد الدالة التربيعية f(n) من أجل أن تكون السلسلة {a_{n}-f(n)} متتالية هندسية بنسبة مشتركة تساوي 2، وعبر عن a_{n} بالنسبة لـ n.'

'32'

'التمرين 40: حل المعادلات التفاضلية (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} و (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}. بناءً على الشروط الابتدائية a_{1} + b_{1} = 4 و a_{1} - b_{1} = 2 ، العثور على a_{n} و b_{n}.'

'(2) Transform the recurrence relation a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n}), use it to find the general term of the sequence {a_{n+1}-a_{n}}, and then use this result to find the general term of the original sequence a_n.'

'المعادلة تسري عندما 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} وتكون متساوية إذا \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'مثال 37 علاقة التكرار بين 3 عناصر متتالية (1)\nابحث عن العنصر العام للسلسلة \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المحددة بالشروط التالية.\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'بالنسبة إلى متتابعة هندسية بنسبة مشتركة إيجابية، مجموع أول 3 عناصر هو 21، ومجموع العناصر التالية 6 هو 1512. ابحث عن العنصر الأول ومجموع العناصر الأولى 5 في هذه المتتابعة.'

'مثال 51 | دليل عدم المساواة'

'إذا كان مجموع العناصر من العنصر الأول إلى العنصر الثامن في تسلسل {an} ممثل بواسطة Sn = 3n(n+5) ، فجد العنصر العام an.'

'عندما m=6 ، x=-2؛ عندما m=10 ، x=-8,0؛ عندما m=-6 ، x=4؛ عندما m=-10 ، x=2,10'

'ابحث عن البند العام للتسلسل (1).'

'حدد التسلسل {a_n} كما يلي.'

"ابحث عن العنصر الأول 'a' والفرق المشترك 'd' لسلسلة حسابية حيث مجموع أول 5 عناصر هو 20 ومجموع أول 20 عنصرًا هو 140."

'ابحث عن الحد العام للتسلسل {an} المحدد بالشروط التالية: a1=-1، an+1=an+4n-1'

'إذا كان مجموع أول n عناصر من تسلسل {a_n} يرضي 3 S_n = a_n + 2n - 1 ، فأجب على الأسئلة التالية:'

'ابحث عن البند الأول والنسبة المشتركة لتسلسل هندسي حيث مجموع العناصر الثلاثة الأولى هو 6 ومجموع العناصر الثانية إلى الرابعة هو -12.'

'العثور على مكونات اثنين من الفيكتورات. بالنسبة للفيكتورات \\( \\vec{a}=(2,1) \\) و \\( \\vec{b}=(4,-3) \\) ، حدد مكونات الفيكتورات \ \\vec{x} \ و \ \\vec{y} \ التي تحقق الشروط \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ و \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \.'

'في الهرم الأربعي PABC، دع H تكون قدم العمود من النقطة A إلى المستوى PBC، ودع PA=a، PB=b، PC=c.'

''

'في حفلة بمشاركة 5 أشخاص، حيث يقوم كل شخص بإعداد هدية ثم يقوم بسحب قرعة لمشاركتها، ما هو عدد الطرق التي يستلم فيها فقط شخصين محددين، A و B، هداياهم المعدة، بينما الثلاثة الباقين يتلقون هدايا مختلفة عن تلك التي قدموها؟ بالإضافة إلى ذلك، عدد الطرق التي يتلقى فيها شخص واحد فقط هدية معدتها هو .'

'ابحث عن البند العام للتسلسل {an} المحدد بالشروط التالية.'

'عندما تعرف تسلسلتان {a_n} و {b_n} على النحو التالي ، اجب على الأسئلة التالية. a_1=4 ، b_1=1 ، a_{n+1}=3a_n+b_n ، (1) ، b_{n+1}=a_n+3b_n. (1) العثور على البند العام للتسلسلات {a_n+b_n} و {a_n-b_n}. (2) العثور على البند العام للتسلسلات {a_n} و {b_n}.'

'بناءً على افتراض أن الربح لكل 1 كجم من المنتجات P و Q هو مليون ين و 3 ملايين ين على التوالي. الآن ، دعنا ننظر في الربح يوميًا. هنا ، يُفترض أن a هو عدد إيجابي. (i) عندما a = 1 ، القيم المحددة لـ x، y التي تعظم الربح هي (x، y) = (ノハ، ヒフ). (ii) عندما يأخذ a ما القيمة ، إن إنتاج المنتج Q فقط دون إنتاج المنتج P يمكن أن يزيد من الربح ، وأقصى ربح في ذلك الوقت هو مليون ين. (iii) الشرط الكافي والضروري لـ x، y من أجل تحقيق أقصى قدر من الربح فقط (x، y) = (تيتو، ناني) هو مو.'

'الفصل 1 تسلسلات - 327'

'(1) ابحث عن الترميز العام للتسلسلة \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ والترميز العام للتسلسلة \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \ ، حيث \ \\alpha \\neq \\ beta \ [اشارة الى مثال مهم 41].'

'استنتج ثلاث معادلات فرق متزامنة: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ (ارجع إلى المثال المهم 43) ، واحصل على معادلات من الشكل $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$, أو استنتج علاقات تكرار تنطوي فقط على $a_{n}$ أو $b_{n}$ (علاقات التكرار بين العناصر المتجاورة 3).'

'مجموع الأعداد الأولى إلى العدد الأخير من تسلسل {an} يُعبر عنه بـ Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...). (1) ابحث عن an. (2) أثبت أن ∑(k=1)^(n) k ak هو ضعف عدد 3.'

'لنفكر في السؤال التالي. يرجى العثور على الشكل العام للتسلسل \\\left\\{a_{n}\\right\\}\ المحدد من قبل كل شرط.'

'حل الأنظمة التالية من المعادلات الخطية.'

'تم تحريك القطعة الناقصة y = 2x^{2} + ax + b بمقدار 2 وحدة على طول محور x و -3 وحدات على طول محور y، وتم التطاير مع القطعة الناقصة y = 2x^{2}. ابحث عن قيم ثوابت a و b.'

'قرر تارو، عداء في سباق 100 متر، التركيز على السؤال (1) والتفكير في أفضل وتميُّز الخطوة لتحسين وقته.'

'بالنظر إلى \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \، نحصل على المعادلات التالية: \ 2 s+u=1 \ (1)، \ -s+3 t=3 \ (2)، \ s+2 t+u=2 \. اعثر على قيم s, t, u، وقم بالتعبير عن \ \\vec{p} \.'

''

'للمصفوفة A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right] ، اعثر على مصفوفتها العكسية.'

'من بين هذه المصفوفات، ما هي تلك نفس النوع؟ وأيضًا، ما هي تلك متساوية؟'

'شرح تعريف المصفوفة العكسية.'

'بالنسبة للمصفوفات A، B، C، D، أجب على الأسئلة (1) إلى (3).'

'هذه مشكلة في العثور على المصفوفة العكسية.'

'بشكل عام، في ضرب المصفوفات، لا تنطبق قانون الاتحاد (AB ≠ BA). لذلك، ليس من الممكن تلاعب بحرية في التعبيرات مثل الجذور. ما يمكن استخدامه بدون قيود هو قانون الربط (AB)C = A(BC) وقانون التوزيع (A+B)C = AC + BC، C(A+B) = CA + CB، ويمكن استخدامها لتلاعب التعبيرات. بالنسبة للمصفوفات A، B حيث AB=BA (أي، اتحادي)، يمكن إجراء الحسابات كما في التعابير العادية.'

'مجموع سلسلة لانهائية باستخدام العلاقات التكرارية'

'هل هناك مصفوفة عكسية للمصفوفات المعطاة. إذا كانت الإجابة بنعم، فجدّها.'

'المصفوفة المعكوسة\nشروط وجود مصفوفة معكوسة ومكوناتها'

'افترض التسلسل {a_{n}} الناتج عن الظروف (i)(ii).'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ لذلك $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ مرجع: تتحقق المساواة عندما $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$.'

'عندما تكون A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right)، اختر مصفوفتين مختلفتين للضرب وقم بحساب النتيجة.'

'عندما تستوفي المصفوفات A و B شرط AB=BA ، يُطلق عليها أنها قابلة للتبادل.'

'حساب العبارات التالية.'

'تحقق مما إذا كان هناك مصفوفة عكسية للمصفوفات التالية. إذا كان ذلك موجودًا ، فجد الإجابة.'

'اذكر ثلاث خصائص أساسية للمصفوفة المعكوسة.'

'أثبت أن Δ(AB) = Δ(A)Δ(B) للمصفوفات A و B.'

'ممارسة'

'القيمة القصوى هي 9/4 عندما تكون x=y=3√3؛ القيمة الدنيا هي -4 عندما تكون x=81، y=1/3'

'لنكن 28n عددًا صحيحًا إيجابيًا. دع f(n) يكون عدد نقاط الشبكة P(x, y, z) في الفضاء الذي يحقق النظام التالي من عدم المساوات حيث x، y، z جميعهم أعداد صحيحة، كم يقترب n من اللانهاية. ابحث عن الحد الذي يتجاهله lim_{n -> ∞} f(n)/n^3. النظام من عدم المساوات هو كما يلي: { x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }.'

'استنادًا إلى المصفوفات المعطاة ، قم بحساب المصفوفة X.'

'بالنسبة لمثلث ABC، دعنا نعتبر منتجات النقطة للمتجهات AB، BC، و CA على التوالي كما أتبع: المتجه AB·المتجه BC=x، المتجه BC·المتجه CA=y، و 320 المتجه CA·المتجه AB=z. عبِر عن مساحة المثلث ABC بالنسبة ل x, y, و z.'

'السؤال 1، الكتاب ص. 609\n(1) A: مصفوفة 2x2\nB: مصفوفة 2x3\nC: مصفوفة 3x2\nD: مصفوفة 3x3\n(2) المتجه الصف الثالث هو (1، -3)، المتجه العمود الثاني هو \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12} = 5، \\quad a_{32} = -3، \\quad a_{33} = 2'

'في النواقيس \ \\vec{x}, \\vec{y} \, عندما \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\), ابحث \ \\vec{x} \ و \ \\vec{y} \.'

'عبّر عن الدالة الهايبربولية التي تمر عبر النقط (-2,3) و (1,6)، مع الخط x=-3 كخط أفقي، في الصيغة y=(ax+b)/(cx+d).'

''

'الرياضيات ج\n(2) $\\vec{x} + 2\\vec{y} = \\vec{a}$\n(1), $\\vec{x} - 3\\vec{y} = \\vec{b}$\nلنعتبر (2)\nمن (1) $\\times 3 +$ (2) $\\times 2$ نحصل على $5\\vec{x} = 3\\vec{a} + 2\\vec{b}$\nبالتالي\n$\\vec{x} = \\frac{1}{5}(3\\vec{a} + 2\\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{3(1,1) + 2(1,3)\\} = (1, \\frac{9}{5})$\nأيضًا, من (1)-(2) لدينا $5\\vec{y} = \\vec{a} - \\vec{b}$\nلذلك\n$\\vec{y} = \\frac{1}{5}(\\vec{a} - \\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{(1,1) - (1,3)\\} = (0, -\\frac{2}{5})$\nعن طريق حل معادلات النظام\n$x, y$\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'

'عبّر عن x و y بالنّسبة لـ a و b، لتحقيق 2x+5y=a، 3x-2y=b.'

'السؤال 5: يرجى حل معادلة المصفوفات التالية.'

'عندما تكون \ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ و \ \\vec{a}+\\vec{b} \ متعامدة, و \ \\vec{a} \ و \ \\vec{a}-\\vec{b} \ متعامدة, احسب الزاوية \ \\theta \ بين \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \.'

''

'مثال هام: حدود (أقصى وأدنى) 13|uy+vx'

'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { لذلك، } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) لذلك \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'استخدام المعادلة التكرارية للعثور على عدد الحالات.'

'لكل من الحالات التالية ، حدد ما إذا كان هناك استراتيجية فوز لأحد اللاعبين A أو B.'

'حل النظام التالي من المعادلات.'

قم بإجراء العمليات الحسابية التالية. (1) 3 ec{a}+2 ec{a} (2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \) (3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \) (4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \) (5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)

نظرًا لأن \(ec{a}=(2,3,1)، ec{b}=(2,5,0)، ec{c}=(3,1,1) إن\)، عبر عن \(ec{p}=(5,10,-1)\) في الشكل s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} باستخدام الأعداد الحقيقية المناسبة $s، t، u$.