الجبر المتقدم - الدوال الأسية واللوغاريتمية

'حل المعادلة التالية:'

'الرياضيات II'

'(3) (2) من $M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\nلذلك، من $d_{n}=2^{M_{n}}$ يأتي d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nلذلك $\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$ (ثابت).\nلذلك، التسلسل $\\left\\{d_{n}\\right\\}$ هو تسلسل هندسي من الدرجة الأولى بفرق عام $d_{1}=a$ ونسبة مشتركة $r^{\\frac{1}{4}}$.'

'ما هي إنجازات جون نابير (1550-1617)؟'

'(1) لنفترض أنّ $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$، إذًا $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { و } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { الآن } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { لذلك } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { إذًا } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'جدول اللوغاريتمات الشائع: جدول اللوغاريتمات بقاعدة 10.'

'ابحث عن مجموع السلسلة التالية. مع الأخذ في الاعتبار أن n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'بمعرفة أن مجموع الأرقام الأولى 8 من متتالية هندسية هو 54، ومجموع الأرقام الأولى 16 هو 63، اعثر على مجموع الأرقام 17 إلى 24 من هذه المتتالية الهندسية.'

'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'مشكلة تدريبية: دع log_{2} x=t ، حيث 1≤x≤8 يتوافق مع 0≤t≤3. بالإضافة إلى ذلك ، دع log_{1/2} x=-log_{2} x=-t. حدد y=t^{2}-2 t+3 كدالة من t. ابحث عن أقصى وأدنى قيم لـ y ضمن النطاق 0≤t≤3.'

'الفصل 7 الدوال الاسية واللوغاريتمية - 147'

'إذا كان \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \ ، فأعبر عن \ \\log_{15} 8 \ بالنسبة لـ \ a \ و \ b \.'

'الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية'

''

'الدالة الأسية'

'ابحث عن قيمة اللوغاريتم.'

'أثبت أنه إذا كان 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1 ، فإن واحد على الأقل من x أو y أو z يجب أن يكون 1.'

'تأكيد شروط المعادلات اللوغاريتمية والأعداد الحقيقية'

'ابحث عن القيم التالية.'

'ابحث عن البند العام للعلاقة التكرارية $a_{n+1}=3a_n+2n-1$.'

'إذا قمت بإيداع مليون ين بمعدل فائدة سنوي قدره 1٪ يتم تراكمه سنويًا، في كم سنة ستتجاوز المبلغ الإجمالي لأول مرة 1.1 مليون ين؟ يُسمح باستخدام جدول اللوغاريتمات الشائع.'

'إليك مثالين حيث يتم استخدام سلسلة هندسية لا نهائية: التقسيم الثلاثي لمربع قسم ورقة مربعة بمساحة 1 إلى أربعة أقسام متساوية في شكل صليب، وقسم واحد لكل من A و B و C. قسم الباقي إلى أربعة أقسام متساوية مرة أخرى، وقسم واحد لكل من A و B و C. كرر هذه العملية بشكل لا نهاية، يمكن تعبير المساحة الإجمالية للورق التي يتم تلقيها بواسطة A، B و C كسلسلة هندسية لا نهائية الشكل التالي ∑(1/4)^n (من n=1 إلى ∞). اعثر على مجموع هذه السلسلة الهندسية لا نهائية.'

'من أجل أن تتقارب المتسلسلة $\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$ ، حدد نطاق القيم الحقيقية لـ $x$. كما ، اعثر على الحد للمتسلسلة في ذلك الوقت.'

'(1) القضاء على A ، B من المعادلة y=A \\sin x + B \\cos x -1 للحصول على المعادلة التفاضلية ③ 213.'

'بالنسبة لكرة تم إطلاقها مباشرة إلى أعلى بسرعة معينة، دع h مترًا يكون الارتفاع فوق الأرض x ثانية بعد الإطلاق. عندما تكون قيمة h معطاة بواسطة h=-5x²+40x، في أي نطاق من قيم x تكون الكرة في ارتفاع بين 35 مترًا و 65 مترًا عن الأرض؟'

''

'بالنسبة لتسلسل \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ ، يُفترض أن مجموع من العنصر الأولي \ p a_{1} \ إلى العنصر الثامن \ p^{n} a_{n} \ من التسلسل \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ يساوي \ q^{n} \. حيث \ p \\neq 0 \.\n(1) ابحث عن \ a_{n} \.\n(2) ابحث عن \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \.'

"(3) دع y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1، ثم y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 أكبر من 0 لجميع الأعداد الحقيقية، مما يعني أن y في ازدياد. لذلك، المعادلة x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 لها جذر واحد حقيقي."

'(2) إذا كان \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \ ، فجد قيمة \ \\log _{12} 7 \ بالنسبة لـ \a، b\.'

'ثبت المعادلات التالية:'

'قم بحل المعادلات وعدم المساواة التالية، حيث a هو ثابت إيجابي ليس يساوي 1.'

'حل الأوامر التالية.'

'عندما تكون 1 < a < b < a^{2} ، قم بترتيب: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1 بترتيب تصاعدي.'

'اجب على الأسئلة التالية حول خصائص الدوال اللوغاريتمية.'

"Considère l'échelle de la règle logarithmique ci-dessous."

'بالنسبة للعدد العقدي z ، يتم تحديد الدالة e ^ z عن طريق استبدال 11 بـ x في التعبير'

"التدريب العملي 67 |II| الكتاب ص.558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) المعادلة القطبية r=θ(θ≧0) تعطي x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ حيث dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ لذلك، جدول قيم x, y المتزايدة والمنخفضة بالنسبة إلى θ هو كما يلي. θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ أقصى محلي ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ أقصى محلي ↘ ومع ذلك، \\cos α−α sin α=0 هو شرط التحقق \\sin β+β\\cos β=0"

'لذلك ، اعثر على إحداثيات نقطة Q.'

'استخدام نظرية القيمة المتوسطة\n(1) أثبت أن المعادلة \\( 3^{x}=2(x+1) \\) لديها حلاً على الأقل في النطاق \ 1<x<2 \.\n(2) دع \\( f(x), g(x) \\) تكونان دوالاً مستمرتين على الفترة \ [a, b] \. إذا كانت \\( f(a)>g(a) \\) و \\( f(b)<g(b) \\) ، فأظهر أن المعادلة \\( f(x)=g(x) \\) لديها حلاً واحدًا على الأقل في النطاق \ a<x<b \.'

'يرجى ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'في الفصل 2 ، فليكن لدينا ثوابت a ، b بحيث 100<a<b. نعرف x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...) . إيجاد (1) إثبات عدم المساواة b^n < a(x_n)^n < 2b^n. (2) العثور على الحد lim n->∞ x_n.'

'المعادلة المعطاة 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3, x=0\\right)\\)'

'عبر عن حجم كل مجموعة من الأرقام باستخدام رموز العدمية.'

'بسط التعبيرات التالية.'

'31 وظائف لوغاريتمية'

''

'قيم التعابير التي تشمل كل من الدوال الأسية واللوغاريتمية'

'اللوغاريتم الشائع المستخدم في الحياة اليومية'

'حدود التسلسلات (5) ... باستخدام مبدأ الضغط ومبدأ الثنائي'

'لنكن fn(x) = (log x)^n (حيث n عدد صحيح أكبر من أو يساوي 3). هنا، log x هو اللوغاريتم الطبيعي. عندما تكون المنحنى y = fn(x) لديه نقطة منحنى (x_0, 8) ، ابحث عن قيم n و x_0 ، ورسم الشكل العام للمنحنى (بما في ذلك تقعبه). [جامعة تطوير الوظيفي]'

'أثبت أن المعادلة 3^x=2(x+1) لديها على الأقل حلاً حقيقياً في النطاق 1<x<2.'

'تمرن دع n يكون عددا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2.'

'(2) تبدد'

'لن n يكون عددا طبيعيا. أظهر أن الإشتقاق الثاني f^{(n)}(x) للدالة f(x)=x^{2} e^{x} يمكن تعبيره عند f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}، حيث a_{n} ثابت، وابحث عن قيمة a_{n}.'

'ابحث عن قيم الثوابت a و b بحيث y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x)و y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x صحيحة.'

'ألق n كرات في 2n صندوق. افترض أن كل كرة ستوضع في أحد الصناديق بنفس الاحتمال. لنفترض أن احتمال وجود كرة واحدة فقط في كل صندوق هو p_{n}. اعثر على الحد \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \.'

''

None

'احسب عدد الأرقام في 3^n للعدد الطبيعي n وجد حدّها.'

'مع الثوابت \ a, b \ حيث \ 0 < a < b \. لنفترض \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\)، البرهان (1) على عدم المساواة \\( b^{n} < a\\left(x_{n}\\right)^{n} < 2b^{n} \\). (2) العثور على \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \.'

'ترجم النص المعطى للمشكلة 309 في الرياضيات من اليابانية إلى العربية'

'102 (أ) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'

''

'(3) اللوغاريتم الطبيعي 2'

'(1) دع a تكون ثابتًا غير صفري. لـ x≥0، ابحث عن f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1).'

'قم بدراسة التقارب والتباعد لسلسلة هندسية لامتناهية التالية، وابحث عن المجموع إذا تقاربت.'

''

'91 جذر 3 مضروب في باي'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'بالنسبة للرقم e'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime}=e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime}=3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=9 e^{3 x} \\\\\n\\text { وبالتالي } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime}=9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'أثبت أن المعادلة 3^x = 2(x+1) لديها حلا واحد على الأقل في النطاق 1<x<2.'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'إنشاء حاوية PR. صب الماء برفق في هذه الحاوية بمعدل a لكل وحدة زمنية. دع أن V تمثل حجم الماء عندما يكون ارتفاع الماء h ، ونصف قطر الماء r ، ومساحة الماء S ، وحجم الماء V بعد الزمن t منذ بدء الصب. (1) التعبير عن V. (2) التعبير عن معدلات التغير dh/dt ، dr/dt ، dS/dt لـ h ، r ، S بالنسبة للزمن t باستخدام a و h.'