الجبر المتقدم - الأعداد المركبة والمستوى المركب

''

'إذا كانت المعادلة من الدرجة الثانية بمعاملات عقلانية لديها p+q√r كحل، فقم بشرح حلاً آخر وإظهار خصائصه.'

'ابحث عن العدد المركب z بحيث تكون تربيعه تساوي 3+4i.'

'غير قادر على تحديد ما إذا كان متوسط درجة جميع طلاب المدرسة الثانوية مختلفًا عن متوسط الدرجات المحلية'

'عند قسمة x^{2025} على x^{2}+1، دع الناتج يكون Q(x) والباقي يكون a x + b (a، b أعداد حقيقية). بالتالي، x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b. باستبدال x=i في كلا الجانبين، نحصل على i^{2025} = a i + b. هنا، i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i. لذلك، i = a i + b. وبما أن a و b هما أعداد حقيقية، فإن a=1، b=0. وبالتالي، الباقي المطلوب هو x.'

'يرجى تقديم أرقام الصفحات للمصطلحات المتعلقة بالأعداد العقدية.'

''

'ابحث عن قيمة التعبير التالي.'

'عندما a < 1 / 4 ، M = -3a + b + 1 ، عندما 1 / 4 ≤ a < 1 ، M = 2a√a + b ، عندما a ≥ 1 ، M = 3a + b - 1'

'الأعداد الصحيحة a، b ترضي المعادلة (a+bi)^{3}=-16+16i. هنا، i هو الوحدة التخيلية.\n(2) اعثر على قيمة i/(a+bi)- (1+5i)/4.'

'العثور على شروط الدوال لها قيم متطرفة والنطاق المسموح لقيم الدوال ليس لديها قيم متطرفة'

'مثال 19 | حكم جذر معادلات الدرجة الثانية (2)'

'هناك 3 عملات لكل من 100 ين و 3 عملات لكل من 50 ين، بمجموع 6 عملات، ونرد. عندما يتم رمي هذه العملات 6 ونرد واحد في نفس الوقت، يتم الحصول على الجائزة عن طريق ضرب القيمة المطلقة لحاصل ضرب مجموع المبلغ الإجمالي للعملات التي تعرض رؤوسها ونتيجة النرد n ناقص 2. على سبيل المثال، إذا كانت جميع العملات الستة تعرض رؤوسها وكان النرد يظهر 6، فإن المبلغ الإجمالي للعملات التي تعرض رؤوسها هو 450 ين مضروبًا في 4، مما يؤدي إلى الحصول على 1800 ين كجائزة.'

'ابحث عن قيمة المعادلة المعطاة عند \ x=1+\\sqrt{2} i \: \\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'عبّر عن الحسابات التالية بالشكل a+bi.\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'بالنسبة لعدد مركب z، اعثر على جميع الأعداد المركبة z بحيث z^2 = i.'

'حدد التسلسل {a_n} كـ {a_1 = 3، a_{n+1} = (a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3، ...)}'

'الأساسي 35: قسمة الأعداد المركبة'

'حدد تسلسل {a_n} على النحو التالي. دع a_1 = 2. بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، يتم تعريف إحداثي x لنقطة التقاطع للخط الذي يمر عبر (0,1) ، (a_n,0) والخط y = x باسم a_{n+1}.'

'(1) العثور على قيم الأعداد الحقيقية \ x, y \ التي ترضي المعادلة \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\).'

'بالنظر إلى قيمة 26 x التي تساوي -1/2 و 2/3 ، قم بحلها'

'المثال 1 إثبات عدم المساواة'

'في الرياضيات، ترتبط الأعداد الحقيقية x و y و z بنظام المعادلات {x+y+z=-1، x^2+y^2+z^2=7، x^3+y^3+z^3=-1} 1). في هذه الحالة، xy+yz+zx=⧁، xyz=1. لذلك، يحتوي نظام المعادلات (1) على ⧁ مجموعات من الحلول، من بينها تلبي x<y<z هي (x، y، z)=1.'

''

'الأساسية 34: الأعداد المركبة المعقوبة وجمعها/ضربها'

'ابحث عن المصطلح العام للتسلسل {an} الذي يتم تحديده بواسطة الشروط التالية.'

'حدد نطاق قيم الثابت k التي تستوفي الشروط التالية: (1) تحتوي الدالة f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 على نقاط حرجة. (2) تحتوي الدالة f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 على نقاط حرجة.'

'العثور على مجموع وحاصل ضرب كل من الأعداد التالية وعددها المركب المتعافي.'

'العثور على الأعداد المركبة التي تمثل النقطة التي تقسم القطعة الخطية المتصلة بنقطتين A(α) و B(β) داخليًا بنسبة m:n وخارجيًا.'

'لنكن a عددًا حقيقيًا إيجابيًا ولتكن w=a\\(\\left(\\cos \\frac{\\pi}{36}+i \\sin \\frac{\\pi}{36}\\right)\\). اعتبر التسلسل العددي المركب \\\left\\{z_{n}\\right\\}\ بأن \\(z_{1}=w, z_{n+1}=z_{n} w^{2 n+1}(n=1,2,\andotsandots)\\)'

'صيغة ز معقدة. لأي عدد معقد غير صفري d ، فإن النقط التي تلبي معادلة dz(z̅+1)=d̅z(z+1) في السطح المعقد يمثل أي نوع من الأشكال؟'

'عندما يرضي العدد المركب z المعادلة z+1/z=√2 ، اعثر على قيمة z^20+1/z^20.'

'(1) في السطح المكون، دع α تكون عددا مركبا غير حقيقي ودع β يكون عددًا حقيقيًا إيجابيًا. دع C تكون مسار الأعداد المركبة z التي تحقق العلاقة α*conj(z) + conj(α)*z = |z|^2. أظهر أن C هو دائرة تمر عبر الأصل.'

'جذور 6 البدائية ل 1. على سبيل المثال، في حالة n=6، نبحث عن حلول z^6 = 1 التي تصبح جذور بدائية 6. الحلول ل z^6 = 1 هي القيم الستة z_0، z_1، ...، z_5 كما هو معطى في الإجابة على المثال الأساسي 105 في الصفحة 528.'

'ننظر في تسلسل الأعداد العقدية \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \.'

'ترجم السؤال المعطى إلى عدة لغات.'

'التحويل من z إلى w الممثل بالمعادلة التالية يُسمى تحويل كسري من الدرجة الأولى (أو التحويل موبيوس).'

'في حياتنا اليومية، يُستخدم تيار الكهرباء المتناوب على نطاق واسع. في حساب الدوائر المتناوبة، يتم استخدام أحيانًا الأعداد المركبة والمعادلات التفاضلية، لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض ذلك. يرجى ملاحظة أن المحتوى التالي يتضمن مواضيع تعليمية جامعية، لذلك يكفي فهم تقريبي له.'

'حل المعادلة z^6=1 باستخدام الشكل القطبي.'

'لأسلسلة {a_{n}}، حيث a_{1}=3 و a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1}.'

'هناك 4 نقاط A(2+4i)، B(z)، C(المضاعفة المرافقة لـ z)، D(2z) على مستوى الأعداد المركبة. العثور على قيمة العدد المركب z عندما يكون الرباعي ABCD موازي للضلع.'

'على السطح المعقد، بالنسبة للنقاط الثلاث A(1+i)، B(3+4i)، C، عندما يكون مثلث ABC متساوي الضلعين، ابحث عن العدد المعقد z الذي يمثل النقطة C.'

'لنكن z عدد مركب. قم بإثبات أن |z|=1 عندما يكون z+1/z عددًا حقيقيًا. كما، اعثر على جميع الأعداد المركبة z التي تجعل z+1/z عددًا طبيعيًا.'

'عندما تكون المعادلتان التربيعيتان $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ و $x^{2}-2 m x-m=0$ لديهما حلاً مشتركًا واحدًا فقط ، فإن قيمة $m$ هي $\\qquad$ ، والحل المشترك هو $x=$ $\\square$.'

'هناك 12 تذكرة لليانصيب، بينها n تذكرة فائزة (0 ≤ n ≤ 12). عند استخراج ^3161 تذكرة من هذه التذاكر، تحصل التذاكر الفائزة على 3 نقاط والتذاكر الخاسرة على نقطة -1. ابحث عن نطاق قيم n التي يكون فيها الأمل في النقاط أكبر من أو يساوي 1.'

'حدد قيمة الثابت c بحيث يكون القيمة الدنيا للدالة f(x)=-x^{2}+4x+c هي -50 في النطاق (-4 ≤ x ≤ 4).'

'لعدد مركب \\\alpha=a+bi\ ومضاعفه المركب \\\overline{\\alpha}=a-bi\ ، تنطبق الخصائص التالية.'

''

'تم تحديد التسلسل {an} بواسطة a1=2، an+1=3an-n²+2n. من خلال النظر في دالة مربعة g(n) لجعل التسلسل {an}-g(n) تسلسل هندسي بمعدل مشترك يساوي 3، قم بالتعبير عن an بالنسبة لn.'

'العثور على نطاق القيم ل c بحيث المعادلة x^3-6x+c=0 تحتوي على حلين إيجابيين متميزين وحل واحد سلبي.'

'لنكن i وحدة الخيال، x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i. لنكن y متعامدة على x. ابحث عن القيم التالية.'

'لنقم بتسمية مجموع العناصر الأول إلى العنصر الثامن في تسلسل هندسي بنسبة مشتركة إيجابية بـ Sn. إذا كانت S2n=2 و S4n=164 ، فجد قيمة Sn.'

'تم تحديد التسلسل {an} على أن a1 = 2 والصيغة المتكررة an+1 = 2-an/(2an-1).'

'لنفترض i كوحدة مخيلية، ولتكن x=√3+√7i. دع y يكون العدد الكونجوغيتي لـ x. ابحث عن القيم التالية.'

''

'ابحث عن الحلول الاثنين لأن نسبة الحلول الاثنين هي 3:2.'

'ابحث عن نطاق للأعداد الحقيقية تتواجد فيه معادلة على الأقل جذور معقدة'

'هناك بالضبط عددان معقديان z=x+yi (x، y أعداد حقيقية) بحيث تربيع z يساوي i. ابحث عن هذه القيم.'

''

'بالنسبة إلى المقاييس اللوغاريتمية (1)، (2)، عند التركيز على المقاييس المعاكسة a و c، فضلاً عن b و d، يكون العلاقة a/c = b/d صحيحة دائمًا، مما يظهر أن نسبة المقاييس المعاكسة ثابتة. كما أنه، عند النظر إلى المقياس اللوغاريتمي (3)، العلاقة cf = de تكون صحيحة دائمًا.'

'العثور على الشروط التي بموجبها يمكن رسم ثلاث أقطار مختلفة من النقطة \\((a، b)\\) إلى المنحنى \y=x^{3}-x\ ، ورسم نطاق النقاط \\((a، b)\\) التي تستوفي هذا الشرط. [جامعة كانساي]'

'صيغة التكرار a_{n+1}=2 a_{n}-n من الصفحة السابقة لا تبدو مناسبة لأي من أعلى 3 أنماط كما هي. حتى إذا قمنا بتعويض a_{n+1} و a_{n} بـ α وننظر إلى المعادلة الخاصة α=2α-n ، سنجد أن α=n ، وبالتالي لا يمكننا المتابعة كما هو الحال في المثال الأساسي 30. لذا ، دعونا نلقي نظرة عن كثب على الإجابة على اليمين.'

'ابحث عن الترميز العام للتسلسل \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المحدد من خلال الشروط التالية.'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'الرجاء العثور على الحل للمعادلة x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).'

'ما هو معادلة القطع الناتجة عن ترجمة القطعة y=1/2 x^2 بطريقة تمر عبر النقطة (1,5) ويكون رأسه على الخط y=-x+2؟'

'عندما يتحرك النقطة z على طول الدائرة بمركز في نقطة الأصل O ونصف قطر 2، ما نوع الشكل الذي سيقوم النقطة w = \\frac{2z-i}{z+i} برسمه؟'

'اشرح كيفية التعامل مع القطاع الموجود يقابلها في المستوى المعقد لجمع الأعداد المركبة α + β.'

'العثور على الرقم المعقد الذي يمثل النقطة المحصل عليها بتدوير النقطة 2+2i حول النقطة i للزوايا التالية.'

'أود أن ألخص نوع الحركة الهندسية التي تمثل حسابات الأعداد المركبة.'

'المستوى المركب'

''

'حل المعادلة z^6=1.'

'بالنسبة للنقطتين A(-1+i) و B(3+4i) ، (2) نقطة الوسط M لقطع الخط AB.'

'مثال 90 | شكل مثلث (3)'

'ابحث عن مجموع وفرق الأعداد المركبة α=3+4i و β=1+2i ، ورسم النقاط التي تمثلها على مستوى الأعداد المركبة.'

'عندما يرضي العدد المركب z |z-1|≤|z-4|≤2|z-1| ، قم برسم نطاق حركة النقطة z على السطح المركب.'

'عندما (*) يحتوي على حلين خياليين يكونان متباينين، معبرين عن بعضهما البعض، ويمكن تمييزهما على أنهما $z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma$ خيالي)$,$ يمكننا تحديد من العلاقة بين الحلول والمعاملات أن $\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a$ و $\\gamma \\overline{\\gamma}=b$, مما يعني أن $a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$، وفي هذه الحالة، $D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$، ونظرًا لأن $\\gamma-\\overline{\\gamma}$ هو خيالي البحت، فإننا نحصل دائمًا على $D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$. من خلال دمج $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$، نحصل على $|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$، أو بشكل مكافئ، $\\left.\\left\\lvert\\,(الجزء الحقيقي لـ$\\gamma)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$. لذلك، يكون نطاق القيم الممكنة للحل الخيالي $z$ لـ (*) على $\\left.\\left\\lvert\\,(الجزء الحقيقي لـ$z)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$.'

'عندما يتحرك نقطة z على السطح المركب على طول المحيط باستثناء النقطة -1 من الدائرة الوحدية، ما نوع الشكل الذي يرسمه النقطة w الممثلة بالتعبير w=\\frac{2z+1}{z+1}؟'

'في هذا الفصل، تعلمنا عن جمع، طرح، ضرب، وقسمة الأعداد المركبة. بعد ذلك، دعونا نمثل الأعداد المركبة كنقاط على مستوى الإحداثيات ونفكر في المعنى الهندسي للأعداد المركبة. على وجه التحديد، سننظر في التفسير الهندسي للمجموع، الفرق، القيمة المطلقة، والمتجرجة للأعداد المركبة، بالإضافة إلى تعلم الشكل القطبي للتعامل مع حاصل الضرب والقسمة للأعداد المركبة، ونستكشف مجموعة متنوعة من الأشكال على المستوى المركب.'

'من نتيجة (1) ، الشرط لوجود عدد مركب z يحقق (2) هو α≤-2، -1≤α. بالتالي ، |α|≤2 يعني α=-2، -1≤α≤2.'

'هنا، يُعتبر جميع الأحرف أعدادًا مركبة. التحويل من z الممثل في المعادلة إلى w يُسمى تحويل كسري من الدرجة الأولى.'

'قم بتعبير الأعداد المركبة التالية في الشكل القطبي. يجب أن يراعي الزاوية 𝜃 الشرط 0 ≤ 𝜃 < 2π.'

'بالنسبة لرقم مركب z مختلف عن -1 ، عندما يتم تعريف الرقم المركب w بواسطة w= z/z+1 ، ابحث عن الشكل الذي تتبعه w عندما يتحرك z على طول المحور التخيلي. كما ابحث عن الشكل الذي يتبعه w عندما يتحرك z على الدائرة |z-1|=1 في السطح المركب.'

'عندما لا تكون النقاط O(0), A(3+4i), B(1+2i) متعامدة، ويتم تمثيل نتيجة الجمع بصيغة C(α+β)، كيف سيبدو مضلع OACB؟'

'في السطح العددي المركب، إذا كان نقطة P(z) ونقطة Q(w) متناظرتين بالنسبة للخط الذي يمر عبر الأصل O والنقطة A(α) (α ≠ 0)، فأعبر عن w بالنسبة لα و z.'

'(2) بالنسبة إلى عدد مركب $z$ الذي ليس عددًا حقيقيًا، قم بإثبات أن $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ هو عدد خيالي بحت.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد مركب z ، فإن التعبير z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z هو عدد حقيقي.'

''

'قم بتعبير عن الجملة المركبة لعدد z في الشكل القطبي.'

'بالنسبة للدالة f(x)=(x+1)/(x^2+2x+a) ، ابحث عن نطاق القيم للثابت a التي تحقق الشروط التالية:'

'لنكن \ z \ عددا مركبا غير صفري. 85 (1) إذا عبرنا عن \ z \ بقيمة مطلقة تساوي \ r \ وحجم زاوية يساوي \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) ، فجد القيم الممكنة لـ \ r \ و \ \\theta \ بحيث \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ تكون عدد حقيقي.'

'ضرب الأعداد المركبة والدوران (2)'

'المشكلة 12 تتعلق بصحة طريقة نيوتن لإيجاد الحلول الحقيقية (القيم التقريبية) للمعادلة f(x)=0 عندما تكون f(x) دالة محدبة.'

'(2) على الرسم البياني للأعداد التخيلية، للنقاط \\alpha, \eta، أظهر النقاط التالية: (أ) \\alpha+\eta (ب) \\alpha-\eta (ج) 2\\alpha+\eta (د) -(2\\alpha+\eta)'

'قدّم العدد المركب z=a+bi في الصيغة القطبية.'

'ضرب الأعداد العقدية والدوران (2)\n(1) بالنسبة لنقطتين z=3+i، w=2-i، ابحث عن العدد العقدة الذي يمثل النقطة المحصل عليها بدوران z حول مركز w بمقدار π/6.'

'لتكن a، c أعدادًا حقيقية، وβ عدد مركب. عندما تكون a ≠ 0 و |β|² > ac، يُمثل معادلة az¯z+β¯z+βz¯+c=0 دائرة بمركز في -β/a ونصف قطر √(|β|²-ac)/|α|، وعندما تكون a = 0 وβ ≠ 0، تمثل المعادلة β¯z+βz¯+c=0 خطًا. لمزيد من التفاصيل، راجع صفحة الحل p.109. في التمرين، لنكن k عددًا حقيقيًا وα=-1+i. يتحرك النقطة w على السطح المركب بتحقيق المعادلة w¯α-¯wα+ki=0. ابحث عن القيمة القصوى لـ k عندما تكون مسارات النقطة w لديها نقطة واحدة على الأقل مشتركة مع دائرة نصف قطرها 1 مركزها 1+i.'

'(1) فلنفترض أن العدد المركب z معطى في الصيغة z=r(cosθ+isinθ)، حيث r هو عدد حقيقي إيجابي وθ عدد حقيقي. قم بإثبات الشروط الضرورية والكافية لكلاً من التسلسلات {xn} و {yn} للتقارب نحو 0.'

'من المعادلة (1) ، إذا كانت لديها حلاً مركبًا بقيمة مطلقة تساوي 1 ، z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta ، ثم من (2) نحصل'

'بالنسبة للنقطتين A(-1+i) وB(3+4i) ، ابحث عن العدد المركب الذي يمثل النقطة التالية: (1) النقطة P التي تقسم الخط المستقيم AB بنسبة 2:1'

'بالنسبة للمثلث ABC مع الرؤوس في النقاط A(α)، B(β)، و C(γ) على السطح المعقد، إذا كان المعادلة 903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα صحيحة، فما نوع المثلث ABC؟'

'أظهر الشروط عندما تكون العدد المركب z أو z1، z2، z3، z4 على الدائرة الوحدية.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'اشرح المعنى الهندسي لضرب الأعداد المركبة.'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'في المستوى المركب، اجعل الأعداد المركبة التي تمثل رؤوس المثلث 0، α، β لأو، أ، ب على التوالي.'

'في السطح العقدي، ابحث عن النقطة الممثلة بالعدد العقدي α=3+4i، وابحث عن النقطة الممثلة بالعدد العقدي الحاصل عن ضربه في -2.'

'في هذا الفصل》 في الرياضيات I ، تعلمنا عن جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد المركبة. في هذا الفصل ، سنتعلم كيفية تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على السطح المركب والمعاني الهندسية للمجموع، الفرق، القيمة المطلقة، والأعداد المركبة المشتقة. بالإضافة إلى ذلك، للنظر في حاصل ضرب وقسمة الأعداد المركبة، سوف نتعلم عن التمثيل الهندسي للأعداد المركبة على السطح المركب بالشكل القطبي ودراسة أشكال مختلفة على السطح المركب.'

'ضرب الأعداد المركبة والدوران (2)\n(1) بالنسبة لنقطتين z=3+i و w=2-i، اعثر على العدد المركب الذي يمثل النقطة z بعد أن تم دورانها باتجاه عقارب الساعة بزاوية π/6 حول مركز النقطة w.\n(2) عندما العدد المركب الذي يمثل النقطة 3-2i بعد أن يتم دورانه حول مركز 1+i بزاوية θ (0 ≤ θ < 2π) هو (4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2، اعثر على قيمة θ.'

''

'في أي حالة يكون العدد المركب z تعريفه غير معروف؟'

'لذلك $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$، وبالتالي $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'احسب المعادلات التالية.'

'عبّر عن الأعداد العقدية التالية z بالصيغة القطبية. يُرجى ملاحظة أن الزاوية θ هي 0≤θ<2π.'

'بالنسبة للمثلث ABC مع الرؤوس في 3 نقاط A(α) ، B(β) ، و C(γ) على السطح المعقد ، ما نوع المثلث ABC عندما تنطبق المعادلات التالية؟\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

''

'نكون عددًا طبيعيًا يزيد عن 2 ، ويكون i الوحدة التخيلية.'

'ابحث عن حاصل قسمة العدد المركب \\\frac{c+d i}{a+b i}\.'

'عدد مركب'

'أثبت أنه عندما يكون معادلة الدرجة n التي يكون لها معاملات عقدية حلاً لـ p+q√r ، فالحل الآخر هو p-q√r.'

'يرجى إجراء عمليات حسابية مع الأعداد المركبة وحساب جذر الأعداد السالبة.'

'الفصل 2 الأعداد المركبة والمعادلات المرجعية إيجاد حلول المعادلات التربيعية ذات معاملات أعداد مركبة'

'لنكن k ثابتة حقيقية, i=√-1 تكون وحدة خيالية. ابحث عن قيمة k عندما يكون المعادلة (1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0 لها جذور خيالية خالصة.'

'ممارسة\nدع ك تكون ثابت حقيقي، ودع i تكون وحدة خيالية √(-1). ابحث عن قيمة k عندما يكون معادلة التربيع لـ x، (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0، لها جذور خيالية بحتة.'

'إذا كان ω هو أحد الحلول لمعادلة x^2+x+1=0 ، وكان α الحل الآخر ، استنادًا إلى العلاقة بين الحلول والمعاملات ، فإننا لدينا ω+α=-1...(1) وω*α=1.'

'العثور على القيمة القصوى والقيمة الدنيا لـ BC² تحت الظروف التالية: الشروط: عندما \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \، ثم \ \\cos \\theta < 0 \'

'عندما تكون x = (1 - √3i)/2، احسب قيمة x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1.'

'هناك سلسلة هندسية لا نهائية مع الأرقام الحقيقية كأول عنصر ونسبة مشتركة، والمجموع هو 3. بالإضافة إلى ذلك، هناك سلسلة هندسية لا نهاية لها حيث تكون كل مصطلح هو مكعب المصطلح المقابل في السلسلة الأولى، والمجموع هو 6. ابحث عن النسبة المشتركة للسلسلة الأولى.'

'حل المعادلة z^6=1 باستخدام الشكل القطبي.'

'في الرصيف المركب ، دع رؤوس المثلث O ، A ، B تكون ممثلة بأعداد مركبة 0 ، α ، و β'

None

'في السطح المركب، دع النقطة A تمثل 6، والنقطة B تمثل 7+7i. كما، لعدد حقيقي موجب t، دع النقطة P تمثل \\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7)\\.'

'الأجذور التربيعية للرقم 1\nالأجذور التربيعية للرقم 1 (أي، الحلول لمعادلة z^n=1) هي الأعداد المركبة التالية.\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'نظر في وظيفة لعدد مركب z، f(z)=z+1/z. عندما يحقق z 1/3<=|z|<=2 و 0<=arg z<=π/4، ابحث عن القيم القصوى والدنيا للجزء الحقيقي لـ f(z).'

'بالنسبة للعدد المركب z = cos(2/7π) + i sin(2/7π) ، اعثر على قيمة (4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6. كما اعثر على قيمة (1) 1/(1-z) + 1/(1-z^6). إذا كان t=(z^2+1)/z ، فأثبت أن t هو عدد حقيقي وأظهر أن t هو جذر للمعادلة الدرجية t^3+⏋⎹t^2-1␍t-ウ␍.'

'بالنسبة لثلاث نقاط A(α)، B(β)، C(γ) على السطح المركب\n(1) عندما تكون α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i، ابحث عن حجم ∠ABC.\n(2) عندما تكون α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a عدد حقيقي)، إذا كان a=⬜، فإن النقاط A, B, C هي مستقيمة؛ إذا كان a=1⬜، فإن AB⊥AC.'

''

'قم بحساب التعابير التالية.'

'أظهر حساب تعبير العدد المركب z في شكل قطبي باستخدام نظرية دي موير على الرأسمال المركب.'

'عبر عن الأعداد المركبة التالية في الشكل القطبي. افترض أن الوسيط θ يرضي 0 ≤ θ < 2π. (1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'ممارسة'

'لنفترض أن α عدد مركب بقيمة مطلقة تساوي واحد. في أي ظروف سيكون التعبير (α+z)/(1+αz) عددًا حقيقيًا؟'

'يمكن تمثيل عددين مركبين كما يلي \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \ ، حيث تكون قيم الزوايا بحيث \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \. (1) قم بتعبير \ \\alpha+1 \ في شكل قطبي ، حيث تحقق الزاوية \ \\theta \ صيغة \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \. (2) أظهر أن \ \eta=-\\alpha \ عندما يكون الجزء الحقيقي لـ \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ يساوي 0.'

'عبر عن الأعداد المركبة التالية في الشكل القطبي. افترض أن الزاوية theta بين 0 و 2π.'

'(أ) قم بتعبيرα وβ في الشكل القطبي: α = cos(θ1) + i sin(θ1)، β = cos(θ2) + i sin(θ2)، حيث 0 < θ1 < π < θ2 < 2π.'

'عندما يفي العدد المركب z بشرط arg z = π/4 و |(z+i)/(1+2i)| = 1، ابحث عن قيمة z.'

'مشكلة تتعلق بمعادلة دائرة في السطح المعقد. بالنسبة للمعادلة التي تمثل دائرة |z-α|=r، عند رفعها إلى مربع نحصل على |z-α|^{2}=r^{2}، وعند توسيعها يؤدي ذلك إلى z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0. تتضمن هذه المعادلة أرقامًا حقيقية، وبالتالي يلزم النظر في تمثيل هندسي. \nبعد ذلك، باستخدام أعداد حقيقية a ،c، ورقم معقد β، نستكشف أي شكل يمثله معادلة a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0. \nالحالة 1: عندما α ≠ 0، |β|^{2}>a c، و a ≠ 0، تمثل هذه المعادلة دائرة بمركز -β/a ونصف قطر |β|^{2}-a c|a. \nالحالة 2: عندما يكون a = 0 و \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0، تمثل المعادلة معادلة خطية A x + B y + c = 0 (من خلال تفسير الرقم المعقد β على أنه p + qi). الخط B هو متعامد على الخط الذي يربط النقطتين (0, β) (راجع السطر 261).'

'عندما تستوفي ثلاث نقاط مختلفة A(α), B(β), C(γ) الشروط التالية، ابحث عن مقاسات الزوايا الثلاث لمثلث ABC.'

'لنفترض وجود ثلاثة أعداد مركبة متمايزة α و β و γ بحيث ينطبق المعادلة α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3).'

''

'العثور على العدد المركب z الذي يمثل الرأس C لمثلث متساوي الأضلاع ABC مع القطعة AB كجانب واحد على السطح المركب مع النقاط A (1- I) و B (3- I + 2i).'

'ابحث عن العدد المركب الذي يمثل الجمود لمثلث ABC بالرؤوس A(α)، B(β)، و C(γ).'

'ابحث عن الرقم المركب z الذي يمثل رأس C من مثلث متساوي الأضلاع ABC مع الشريط AB كجانب واحد ، حيث A (-1 + i) و B (√3-1 + 2i) نقطتان على السطح المركب.'

''

''

'أثبت أن جميع الحلول لمعادلة zⁿ = α يمكن تعبير عنها بالشكل α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀.'

'لنفترض أنه بين ثلاثة أعداد مركبة مختلفة α، β، γ، ينطبق المعادلة α³ - 3α²β + 3αβ² - β³ = 8(β³ - 3β²γ + 3βγ² - γ³).'

'عبر عن الأعداد المركبة التالية في شكل قطبي. تفترض أن الأرجحية θ ترضي 0 ≤ θ < 2π.'

'بالنسبة للنقاط A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i) ، العثور على الأعداد المركبة التي تمثل النقاط التالية:\n(1) النقطة P التي تقسم القطعة AB بنسبة 3:2\n(2) النقطة Q التي تقسم القطعة AC خارجيًا بنسبة 2:1\n(3) نقطة M وسط القطعة AC\n(4) الرأس D للمتوازي الأضلاع ABCD\n(5) مركز الثقل G للمثلث ABC'

'على الرصيف المركب، هناك ثلاث نقاط O(0)، A(-1+3i) و B. عندما يكون △OAB مثلثاً مستقيم الزاوية متساوي الساقين، اعثر على العدد المركب z الذي يمثل النقطة B.'

'القيمة المطلقة'

'قم بحساب التعبيرات التالية.'

'بالنسبة لعدد مركب غير صفر d، ما نوع الشكل الذي تمثله معادلة dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1) في السطح المركب؟'

'ممارسة'

'لنكن أ عددًا حقيقيًا موجبًا ، و=a(cos(π/36) + i sin(π/36)) ، ويعرف تسلسل أعداد مركبة {z_n}، z_1 = w، z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...) . (1) العثور على حجة z_n.'

'عندما يرضي الرقم المركب z z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i ، استخدم خصائص الأعداد المركبة المتضادة للعثور على z.'

'لنكن α و β أعداد مركبة. (1) عندما |α|=|β|=1 وα-β+1=0، اعثر على قيم αβ وα/β+β/α. (2) عندما |α|=|β|=|α-β|=1، اعثر على قيمة |2β-α|.'

'قم بحساب التالي.'

'في السطح المركب، يتم تعيين العدد المركب α = a + bi إلى النقطة (a، b) على السطح التنسيقي. يُطلق على هذا السطح اسم السطح المركب. إذن، إلى أي نقطة على السطح المركب يتم تعيين العدد المركب α = 3 + 4i؟'

'عندما ترضي العدد المركب z المعادلة 3z + 2 \x08ar{z} = 10 - 3i ، ابحث عن z باستخدام خصائص الأعداد المركبة المترازة.'

'Considere la secuencia de números complejos definida por la siguiente relación de recurrencia: z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n = 1,2، ...). هنا، i هو وحدة التصوير. (1) ابحث عن z_2، z_3. (2) عبّر عن العلاقة المتكررة السابقة على أنها z_n+1 - α = ((1 + √3 i)/2)(z_n - α) وجد العدد المركب α. (3) ابحث عن البند العام z_n. (4) ابحث عن جميع الأعداد الطبيعية n التي ينطبق علىها z_n = -(1 - √3 i)/2.'

'ابحث عن حاصل ضرب αβ والناتج α/β للأعداد المركبة التالية.'

'في السطح المركب ، دع نقطتين A(α)، B(β) تكونان متصلتين بقطعة خط AB تقسم بنسبة m:n. النقطة التي تقسم داخليًا بنسبة m:n هي C(γ) وخارجيًا هي D(δ).'

'ضرب العدد المركب بقيمة مطلقة تبلغ 1/2، والوسيطة π/3 بواسطة z.'

'ابحث عن الرقم المركب w2 المحصل عليه بتدوير النقطة z = 4 - 2i بزاوية π / 3 باتجاه عقارب الساعة حول الأصل وتحجيم المسافة من الأصل بعامل 1/2.'

'ابحث عن العدد المركب z الذي يرضي |z|=5 و|z+5|=2√5، ثم احسب القيم التالية. 31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'في هذا الفصل، نتعلم كيف يتم تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على السطح المكون، فضلاً عن المعنى الهندسي لجمع الأعداد المركبة، الطرح، القيمة المطلقة، والأعداد المركبة المشتقة. بالإضافة إلى ذلك، نتعلم حول الشكل القطبي، التمثيل الهندسي للأعداد المركبة، وندرس أشكالًا متعددة على السطح المركب.'

'عندما تفي العدد المركب z بالشرط |z-3-4i|=2، اعثر على القيمة القصوى لـ |z| وقيمة z المقابلة.'

'ثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي \ n \, تنطبق المعادلة \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \.'

'ثبت أنه بالنسبة لخطين متماثلين l و m على المستوى المركب الذين لا يمرون عبر الأصل، فإن النقاط على الخط l دائمًا تُرضي المعادلة α z + ᾱ z = |α|².'

'فرض أن النقطة z على السطح المركب تقع على الدائرة الوحدية. أثبت أنه يمكن تمثيل z على أنه z = e^(iθ).'

''

'أثبت أنه بالنسبة لرقم مركب z ، حيث لا يكون z ^ 3 عددًا حقيقيًا ، z ^ 3 - (معقود z) ^ 3 هو خيالي بحت.'

''

'ثبت أن المتباينة |(α-β)/(1-αβ)|<1 تنطبق على الأعداد المركبة α، β مع قيمة مطلقة أصغر من 1.'

'في السطح المركب، ممثلاً النقاط على النحو -1+2i، 3+i. إذا اعتبرنا الشق AB جانبًا واحدًا، فجد تمثيل الأعداد المركبة لرؤوس الرباعي C، D.'

'ثبت أنه إذا كان معادلة الدرجة الرابعة ax^4+bx^2+c=0 لديها حلاً معقدًا α ، فإن الجمع المعقد لـ α هو أيضًا حلاً لهذه المعادلة.'

'لنكن i وحدة الخيال و k عددًا حقيقيًا. بالنسبة لـ α=-1+i ، يتحرك النقطة z على السطح المعقد على طول الدائرة الوحدية مع الأصل كمركز.'

''

''

'حدد العدد العقدي التالي في شكل قطبي ، حيث يرضي الارتفاع θ الشرط 0 ≤ θ < 2π. 1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π).'

'مشكلة تدريبية: في السطح المركب، اعتبر الأعداد المركبة a، b، c تعبر عن النقاط A، B، C على التوالي، حيث لا تكون النقاط على نفس الخط. اعتبر α، β، γ ثوابتًا، عبّر عن β/α وγ/α بالنسبة للأعداد المركبة a، b، c ومناقشيها a، b، c عندما تحقق العدد المركب z المعادلة αz+ βz+γ=0 التي تمثل الأشكال التالية: (1) المستقيم AB (2) المستقيم الذي يمر من خلال النقطة C ومتعامد على المستقيم AB'

''

'سؤال أساسي 106 شكل مثلث (1) بالنسبة لمثلث ABC بزوايا A(α)، B(β)، و C(γ) على السطح المركب، إذا كان المعادلة β-α=(1+√3i)(γ-α) صحيحة، فجد حجوم الزوايا الداخلية الثلاثة لمثلث ABC.'

'لنكن α عدد مركب بقيمة مطلقة تساوي 1. فإلى أي نوع من الأعداد المركبة z يصبح (α+z)/(1+αz) عددًا حقيقيًا؟'

'في السطح المعقد مع المنشأ O، دع نقاط تمثيل الأعداد المعقدة α، β تكون A، B على التوالي. حيث α ≠ 0، β ≠ 0. اختر معادلتين من المعادلات التالية التي تضمن أن المثلث △OAB هو دائمًا مثلث متساوي الساقين المثلث.'

''

'ابحث عن مكعب العدد المركب z = 1 + i وعبر عنه في شكل قطبي.'

'بالنسبة للعدد المركب z المختلف عن -1 ، نعرف العدد المركب w بأنه w=z/(z+1). عندما يتحرك النقطة z على طول الدائرة ذات نصف قطر 1 والمركز في الأصل ، ابحث عن الشكل الناتج عن النقطة w.'

'النظر في التسلسل {an} الذي يحدده الشروط (i) (ii).'

'مثال 89 تطبيق الأشكال المدورة'

'بالنسبة للنقاط A(-2-2i), B(5-3i), C(2+6i) ، ابحث عن الأعداد العقدية التي تمثل النقاط التالية.'

'نظر في النقاط الأربعة A(α), B(β), C(γ), D(δ) على المستوى المركب التي تشكل مضلع ABCD. افترض أن مضلع ABCD هو مضلع محدب يتمتع بزوايا داخلية أقل من 180 درجة. كما يفترض أن رؤوس المضلع ABCD مرتبة بترتيب تعكس عقارب الساعة كما A, B, C, D. قم ببناء مثلثات مستقيمة متطابقة APB, BQC, CRD, DSA بأضلاع AB, BC, CD, DA كالمقابلات لها في الخارج من مضلع ABCD. (1) ابحث عن العدد المركب الذي يمثل النقطة P. (2) الشرط الضروري والكافي لكون الموازي الرباعي PQRS هو مضلع المستطيل فيما يتعلق بأي نوع من المضلع ABCD؟ (3) إذا كان الموازي الرباعي PQRS هو موازي الرباعي، فأثبت أن الموازي الرباعي PQRS هو مربع.'

'لتكن α = 2+i و β = 4+5 i. ابحث عن العدد المركب γ الذي يمثل النقطة التي تم الحصول عليها بتدوير β حول α بزاوية π/4.'

'شرح جمع الأعداد المركبة Α و β كما α+β باستخدام القوى الموجهة واستخدم موازي الأضلاع لتوضيحه'

'المثال الهام 77 | استخدام الجذور التربيعية'

'المستوى العددي المُركب\nلنكن w = (1 + α) z + 1 + α. عندما تكون الخطوط OW و OZ متعامدة، أجب على الأسئلة التالية:\n(1) اعثر على قيمة |z-α|.\n(2) اعثر على العدد المركب z حتى تشكل △OAZ مثلثًا قائم الزاوية.\n[النوع: جامعة ياماغاتا]'

'ابحث عن البند العام لتسلسل الأعداد المركبة {zn} التي تفي بالشرط التالي.'

'ثبت أن عدم المساواة |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 تنطبق عندما تكون العدد العقد ا z=x+yi(x, y أعداد حقيقية) بحيث x≥0. كما، حدد متى تكون المساواة صحيحة.'

'استخدام الشكل القطبي z=r(cosθ+isinθ)'

'يرجى شرح العلاقة بين الأعداد المركبة والمتجهات في السطح، وإثبات أنها علاقة واحد لكل واحد.'

'ابحث عن العدد العقدي الذي يمثل نقاط A(-1+i) و B(3+4i).'

''

'لنفترض أن a، b أعداد حقيقية، ونفترض أن المعادلة الثالثية x^{3}+ax^{2}+bx+1=0 لديها جذر خيالي α. أثبت أن العدد المركب المتمم لـ α هو أيضاً جذر لهذه المعادلة. علاوة على ذلك، عبّر عن الجذر الثالث β والمعاملات a، b باستخدام α والمتمم لـ α.'

'حل علاقة الانعكاس للأعداد المركبة\n\ z_{1}=3 \ وعلاقة الانعكاس \\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\) التي تعرّف تسلسل من الأعداد المركبة \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \ ، والإجابة على الأسئلة التالية:\n(1) العثور على \ z_{n} \.\n(2) العثور على \ z_{21} \.'

'لنكن 𝛼 = -2 + 2𝑖 ، 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖. حيث أن الوسيطة هي 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) عبّر عن 𝛼𝛽 و 𝛼 / 𝛽 في شكل استقطاب على التوالي. (2) اعثر على 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ و |𝛼³ / 𝛽|.'

'الشرط لجعل النقاط الثلاثة التي تتضمن الأصل O متعامدة هو (1) ○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i. العثور على قيمة العدد الحقيقي x عندما تكون النقاط A(α)، B(β)، والأصل O متعامدة.'

'قم بتعبير الأعداد التعقيدية 1+i و sqrt(3)+i في الصيغة القطبية ، واحسب قيم cos(5/12π) و sin(5/12π) لكل منها.'

'فهم الأشكال الهندسية باستخدام الأعداد المركبة'

'الفصل 3 السطح المعقد 417\nحلا بديلًا 2 أ(3 i), ب(-3), ب(z) لنفترض أن |z-3 i|=2|z+3| إذاً AP=2BP وبالتالي AP:BP=2:1 ثم يتم تقسيم الجزء AB داخليًا بنسبة 2:1 بواسطة النقطة C(α) وخارجيًا بواسطة النقطة D(β) لذلك مجموعة النقاط P هي دائرة بـ C و D كقطر. α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i لذلك، مجموعة النقاط z هي دائرة بـ -2+i و -6-3 i كقطر. |z-3 i| تمثل المسافة بين النقاط A و P، و |z+3| تمثل المسافة بين النقاط B و P. الفصل 3'

'النقطة التي تم الحصول عليها بدوران النقطة z حول الأصل بزاوية θ هي (cos θ + i sin θ) z'

'توافق العدد المركب \ \\alpha \ مع \ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \.'

'قم بدراسة تقارب وانحراف المتسلسلات اللانهائية التالية ، وجد مجموعها إذا تقاربت.'

'العلاقة بين الأعداد المركبة والمتجهات في الهندسة'

'نظرًا لأعداد حقيقية x و y و z توافق x+y+z=√5+2، xy+yz+zx=2√5+1، xyz=2، ابحث عن قيم العبارات التالية: (1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'بالنسبة لمعادلة f(x)=0 لتحتوي على جذرين سالبين متميزين، يجب أن يتقاطع رسم y=f(x) مع الجزء السالب لمحور x في نقطتين مختلفتين. لذلك، يجب أن تكون جميع الشروط التالية صحيحة بشكل متزامن.'

'أمثلة على أعداد كاتالان 3 ... طرق تقسيم مضلع إلى مثلثات'

'العثور على الحل للمعادلة التالية:'

متقدم 40 إزالة $\sqrt{A^{2}}$ متقدم 41 تحويل المقام إلى عدد نسبي (2) متقدم 42 مسائل تتعلق بالأجزاء الصحيحة والعشرية متقدم 43 إزالة الجذور المزدوجة متقدم 44 حل المتباينات التي تحتوي على قيم مطلقة من خلال تحليل الحلات متقدم 45 متباينة تحتوي على علامتي قيمة مطلقة متقدم 46 شروط أن يكون لنظام المتباينات حلول

احسب التعبيرات التالية. 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

يرجى شرح تمثيل الأعداد المركبة بالصورة القطبية.

التدريب ممارسة 3 هناك 6 نقاط \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \) على مستوى العدد العقدي. عندما يكون الشكل السداسي $\mathrm{ABCDEF}$ هو شكل سداسي منتظم كما هو موضح في الشكل: egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( \mathrm{D}\left(z_{4} ight) \) هو ア $\square$ اختر الحل المناسب (يمكنك اختيار نفس الخيار عدة مرات): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

أوجد مركز (بالإحداثيات القطبية) ونصف قطر الدوائر الممثلة بالمعادلات القطبية التالية. 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

احسب التعبيرات التالية. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

الفصل 3 المستوى العقدي 13 المستوى العقدي 14 الشكل القطبي للأعداد المركبة 15 مبرهنة دي موفر 16 الأعداد المركبة والأشكال

التدريب 74 أعطى α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π) و β=3(cos π/4 + i sin π/4)، جد αβ و α/β.

بفرض أن العدد المركب $z$ يحقق $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$، أوجد قيمة $z^{15} + \frac{1}{z^{15}}$.

أوجد قيمة z^{15}+rac{1}{z^{15}} عندما يكون العدد العقدي z يحقق z+rac{1}{z}=\sqrt{2}.

ما النقطة \( (-1+i) z \) التي تمثل موقع النقطة $z$ بعد تحريكها. افترض أن نطاق زاوية الدوران $heta$ هو $0 \leqq heta<2 \pi$.

الأضعاف الحقيقية للأعداد المركبة بالنسبة للعدد الحقيقي $k$ والعدد المركب $\alpha = a + b i$، كما هو موضح في الرسم البياني التالي، عندما تكون $\alpha \neq 0$، يقع النقطة $k \alpha$ على الخط $\ell$ الذي يمر بالنقطتين 0 و $\alpha$. على العكس، تمثل النقاط على هذا الخط $\ell$ المضاعفات الحقيقية للعدد المركب $\alpha$. النظر في الحالات التالية: 1. $\alpha = 1 + i$، $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$، $k = -3$ لكل حالة، احسب $k \alpha$ ووصف موقعها من 0 على السطح المركب.

إذا تم تدوير النقطة lpha بمقدار rac{\pi}{3} حول الأصل للحصول على النقطة eta، حيث eta = 2 + 2i، فابحث عن العدد المركب الذي يمثل النقطة lpha.

بالنسبة إلى ثلاث نقاط مختلفة O(0)، A(α)، B(β) على المستوى المركب، حيث α و β تحققان المعادلات التالية. ما هو نوع المثلث △OAB؟ (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

(1) ارسم النقاط التي تمثل الأعداد المركبة التالية على المستوى المركب. (أ) $5-2 i$ (ب) $-1+3 i$ (ج) -2 (د) 1 (هـ) $-3 i$ (و) $2 i$ (2) أجب عن الأعداد المركبة التي تقابل النقاط التالية على مستوى الإحداثيات. (أ) \( (-3,1) \) (ب) \( (4,0) \) (ج) \( (0,-2) \)

افترض أن lpha=2+3i, eta=-6+xi . إذا كانت النقطتان \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) والأصل $\mathrm{O}$ على استقامة واحدة، جد قيمة العدد الحقيقي $x$.

قوم بتمثيل الأعداد المركبة التالية في الشكل القطبي. نطاق الزاوية θ هو 0 ≤ θ < 2π. (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

عندما lpha = e^{i\pi/6} و eta = e^{-i\pi/4} ، احسب $m$ و $n$. (1) $m=6, n=12$

عندما تكون هناك مساواة بين ثلاثة أعداد مركبة مختلفة lpha, eta, \gamma بحيث تكون المعادلة \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \) صحيحة، أجب عن الأسئلة التالية. (1) احسب rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} . (2) احسب قياسات الزوايا ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} للمثلث $riangle \mathrm{ABC}$ برؤوسه عند النقاط lpha, eta, \gamma .

الرياضيات C EX عندما يتحرك النقطة \( \mathrm{P}(z) \) على المستوى المعقد على دائرة مركزها النقطة $2 i$ ونصف قطرها 1، حدد الشكل الذي يرسمه النقطة \( \mathrm{Q}(w) \) الذي يحقق \( w=(1+i)(z-1) \) 27.

عندما يكون النقطة rac{z}{z-2} في المستوى العقدي تقع على المحور التخيلي، ما نوع الشكل الذي يرسمه النقطة $z$ أثناء تحركها؟

باعتبار أن الأعداد المركبة lpha, eta تحقق المعادلة rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} ، احسب زوايا المثلث $riangle \mathrm{OAB}$ برؤوس عند النقاط \( \mathrm{O}(0) \)، \( \mathrm{A}(lpha) \)، و \( \mathrm{B}(eta) \) في المستوى العقدي.

احسب التعبيرات التالية. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

المثال 73: α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4)، أوجد α β و α/β.

بالنسبة للأعداد الطبيعية $n$ التي تفي بشرط $1 \leqq n \leqq 100$، كم عدد القيم $n$ التي تحقق المعادلة lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 حيث أن العدد التخيلي lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} ؟

لنفرض $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$. أوجد العدد المركب $w$ الذي يمثل النقطة $z$ بعد تدويرها حول الأصل بمقدار -rac{\pi}{4} .

أثبت أنه بالنسبة لعدد مركب $z$، إذا كان $|z|=\sqrt{2}$، فإن z+rac{2}{z} هو عدد حقيقي.

بالنظر إلى الأعداد المركبة lpha, eta, \gamma, \delta حيث lpha + eta + \gamma + \delta = 0 و |lpha| = |eta| = |\γ| = |\δ| = 1 ، جد قيمة |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} .

أثبت العبارات التالية عن الأعداد المركبة z, lpha . (1) إذا كان $k$ عددًا موجبًا و $|z|=k$، فإن z+rac{k^{2}}{z} هو عدد حقيقي. (2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z هو عدد حقيقي.

أوجد العدد المركب الذي يمثل النقطة الناتجة عن تدوير النقطة 2+2i حول النقطة i بالزوايا التالية: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

بالنسبة للنقاط المختلفة الثلاثة على المستوى المركب O(0), A(α), B(β)، حيث α, β تحقق المعادلات التالية. ما نوع المثلث ΔOAB؟ (1) α² + β² = 0 (2) 3α² + β² = 0

مثّل هندسيًا حاصل ضرب الأعداد المركبة $z_1 \cdot z_2$، واشرحها. كمثال، احسب ناتج الضرب المحدد \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \)، \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \).

يرجى توضيح خصائص الأعداد المركبة المترافقة على المستوى المركب.

في المستوى المركب، عندما تتحرك النقطة z على الدائرة التي يكون مركزها O ونصف قطرها 1، ما نوع الشكل الذي ستصفه النقطة w الممثلة بالمعادلات التالية؟ (1) w=rac{z+2}{z-1} (حيث z eq 1) (2) w=rac{z+1}{2z-1}

على المستوى العقدي، النقطة A تمثل العدد العقدي $z = a + bi$. (1) النقطة B تمثل العدد العقدي المصاحب له $\overline{z} = a - bi$. أوجد إحداثيات النقطة B. (2) أوجد المسافة بين النقطة A والنقطة B.

في المستوى العقدي، هناك ثلاث نقاط \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \). إذا كان $\triangle \mathrm{OAB}$ مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين، فابحث عن العدد العقدي $z$ الذي يمثل النقطة $\mathrm{B}$.

ابحث عن قيم lpha و eta لـ 34. lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

(1) أرسم النقاط الممثلة للأعداد المركبة التالية على المستوى المركب. (ア) $4+2 i$ (イ) $-2-3 i$ (ウ) 3 (エ) -4 (才) $4 i$ (力) $-i$ (2) أجب عن الأعداد المركبة المقابلة للنقاط التالية على المستوى الإحداثي. (ア) \( (5,-2) \) (个) \( (-1,0) \) (ウ) \( (0,3) \)

إذا كان z = r(\cos \theta + i \sin \theta)، فاعبر عن القيمة المطلقة والحجة للأعداد المركبة التالية باستخدام r و \theta. واعتبر أن r>0. (1) 2z (2) -z (3) ar{z} (4) \frac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2ar{z}

باستخدام العدد المركب $\sqrt{3}+i$، احسب ما يلي. (5) أوجد \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \).

لتكن $\alpha$ و eta أعدادًا مركبة بحيث أن كل من الجزء الحقيقي والخيالي لـ $\alpha$ موجبان، وأيضًا |\alpha|=|eta|=1 . علمًا بأن النقاط الثلاث i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta تشكل مثلثًا متساوي الأضلاع في المستوى المركب، جد $\alpha$ و eta . [جامعة شيزوكا]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )