تحليل الناقلات (هندسة المنحنيات والأسطح) - الضرب النقطي والضرب الصليبي

'ابحث عن الراكب النقطي والزاوية \ \\theta \ بين الناقلين \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\).'

'لإظهار الشرط الذي يجب توافره حتى تكون النقاط \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ متعامدة، قم بعرض الخاصية التالية:'

'لتكن $\\mathrm{ABCD}$ قاعدة هرم رباعي $\\mathrm{OABCD}$ بحيث $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. بالنسبة لأربعة أعداد حقيقية غير صفرية $p, q, r, s$، دع النقاط $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ تكون محددة بواسطة $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$، $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$، $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$، $\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. أثبت أنه إذا كانت النقاط الأربعة $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ على نفس السطح، فإن $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$.'

'في المثلث الرباعي OABC ، دع L يكون النقطة التي تقسم الجانب AB بنسبة 1:3 ، وM تكون النقطة التي تقسم الجانب OC بنسبة 3:1 ، وN تكون النقطة التي تقسم القطعة CL بنسبة 3:2 ، و P تكون تقاطع القطع LM و ON. إذا كانت OA=a ، OB=b ، OC=c ، فعبر عن ON و OP بالنسبة ل a, b, و c.'

''

'المتجهات a و b على المستوى الإحداثي ليست متوازية. دع a و b تكونان متجهات موضع تتوافق مع النقاط A و B، على التوالي. أيضًا ، لأعداد حقيقية موجبة x و y ، دع x a و y b يكونان متجهات موضع تتوافق مع النقاط P و Q. عندما يقسم قطعة الخط PQ القطعة AB بنسبة 2:1 ، العثور على القيمة الدنيا لـ xy. يعتبر جميع متجهات الموضع بالنسبة إلى الأصل O.'

'معادلة الخط الناجمة عن الاتجاه المستقيم المتعامد على الاتجاه n (الذي لا يساوي الصفر) والمار بنقطة A(نقطة a) هي n·(p-a)=0'

'تعريف الضرب النقطي'

'تعريف الضرب الداخلي، الضرب الداخلي والمكونات \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nتعريف الضرب الداخلي\nإذا كانت الزاوية بين \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ هي \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) , فإن\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nالضرب الداخلي والمكونات\nإذا كانت \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) , فإن\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nأيضًا، إذا كانت الزاوية بين \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ هي \ \\theta \ , فإن\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'مشكلة دليلية حول الحركة الدائرية المتجانسة\nالنقطة P تتحرك على مسار دائري بنصف قطر r مركزه الأصل O، بدءًا من النقطة الثابتة P₀، بحيث يدور OP بسرعة ω راديان في الثانية.\n(1) اعثر على مقدار v لسرعة P.\n(2) أظهر أن السرعة الخطية لـ P ومتجه السرعة متعامدان.'

'بفضل العوامل a و b التي تحقق |a|=5, |b|=3, |a-2 b|=7. إذا كان الزاوية بين a-2 b و 2 a+b هي θ، ابحث عن قيمة cos θ.'

'اعثر على حاصل الضرب النقطي والزاوية $\\theta$ بين الناقلين $\\vec{a}=(-2,1,2)$ و $\\vec{b}=(-1,1,0)$.'

''

'بالنسبة للفيكتورات غير الصفرية a و b ، بحيث a+2b و a-2b معمودة ، و |a+2b|=2|b|.'

'صف الشروط ليكون الناقلان a و b عموديان.'

'هناك نقطة \\mathrm{P} داخل \\triangle \\mathrm{ABC} مثل 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}. (1) أين توجد النقطة \\mathrm{P}? (2) احسب نسبة المساحات \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB}.'

'في مربع ABCD ذو طول جانب 2 ، اعثر على المنتجات النقطية التالية.'

'ثبت باستخدام الفيكتورات أن المعادلة 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 تنطبق في المتوازي الرباعي ABCD.'

'نقاط معينة 4 A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5) .'

'المثال الأساسي 22 المثال القياسي 33'

'في الهرم الرباعي OABC ، دع نقطة وسط الجانب OA تكون P ، ونقطة وسط الجانب BC تكون Q ، ونقطة تقسم القطعة PQ بنسبة 1:2 تكون R ، ونقطة تقاطع الخط OR والمستوى ABC تكون S. إذا كان OA = vector a ، OB = vector b ، OC = vector c ، فقم بالتعبير عن OS بالنسبة للفيكتور a, b و c.'

'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \، بعطور أن \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ ودع القائم كمركز بـ H. اعتبر \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} = \\vec{a} \ و \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} = \\vec{b} \ ثم أجب على الأسئلة التالية'

'ابحث عن حاصل الضرب وزاوية $\\theta$ بين النواة $\\vec{a}$ و \\vec{b .'

'في مثلث ABC القائم ، مع الفيكتور AB = a ، AC = b ، و BC = c ، العثور على منتجات النقطة a⋅b ، b⋅c ، و c⋅a.'

'ابحث عن قيمة $x$ التي تجعل $\\ vec {a} = (x + 2،1)$ و $\\ vec {b} = (1،-6)$ متعامدة.'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'استقلال والاعتماد مرة واحدة'

'النقطة P تتحرك على طول الضلع OA، لذلك يمكن تمثيلها كـ OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1). أيضًا، تتحرك النقطة Q على طول الضلع BC، لذلك يمكن تمثيلها كـ OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1). احسب القيمة الدنيا لمربع PQ في هذا الوقت.'

'في الفضاء الإحداثي مع الأصل كمركز، فلنأ(5،4،-2(.) أية. ما نوع من الرقم يمثل مجموعة نقاط P(x, y, z) التي تحقق $|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$؟ كما، عبّر عن المعادلة في مصطلحات x, y, z.'

'حل المشكلة الناشئة من مشكلة البعد التالية. \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ يؤدي إلى \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'نظرًا لأن \ \\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{PH} \, فإننا نرى أن \ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{PH} = 0 \, مما يعني أن \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). لذلك ، \ k = 4 \'

'ابحث عن الزاوية θ بين الفيكتور a و b بحيث يكون a-(2/5)b متعامد على a+b، ويكون a متعامد على a-b.'

'(1) إثبات:'

'مثال 10 حساب الضرب الداخلي (التعريف)'

'في الهرم المنشوري ABCD ، لنكن M منتصف الحافة AB و N منتصف الحافة CD.\n(1) هل هناك نقطة P تحقق المعادلة PA + PB = PC + PD؟ قدم دليلاً وأجب.'

'معادلات الضرب الداخلي في مشاكل شكل المثلث'

'شرح طريقة حساب حاصل ضرب النقطي للمتجهات وقم بالحساب باستخدام مثال محدد.'

'مثال 18 العثور على القطاع المماسي لثلاثي الأضلاع\nفي مثلث OAB ، بـ OA = 5، OB = 6، AB = 7، والقطب H. دع الفهرس OA يكون a وفهرس OB يكون b ، وأجب على الأسئلة التالية:\n1. ابحث عن المنتج النقطي a·b.\n2. عبّر عن الناقل OH في مصطلحات a و b.'

'في الهرم OABC ، دعنا نكون ⃗a=⇀OA، ⃗b=⇀OB، ⃗c=⇀OC. دعونا نرمز نقاط منتصف الشرائط OA، OB، OC، BC، CA، AB بالتسميات L، M، N، P، Q، R على التوالي ، ودع ⃗p=⇀LP، ⃗q=⇀MQ، ⃗r=⇀NR.'

'معادلة الخط الناجمة عن النقطة A (ناقص متجه) ومنحرفة بزاوية قائمة عن n (غير مساوية للصفر) هي: n · (p - a) = 0.'

'احسب حاصل ضرب الفيكتورات واشرح معناه الهندسي.'

'ثبت عدم المساواة العشرين للمتجه'

'(1) نظرًا لأن \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, فإن \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. ابحث عن العدد الحقيقي \ k \ وحدد قيم \ a \ و \ b \ عند \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) و \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\).'

'تعريف الضرب النقطي والمكونات حيث \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nالزاوية بين \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ تُمثل بواسطة \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\) .\nثم، الضرب النقطي للمتجهات \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ معطى بواسطة \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nبالنسبة لـ \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) ، فإن الضرب النقطي للمتجهات هو \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\nأيضًا، جيب الزاوية \ \\theta \ معطى بواسطة \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'

'لنضع P(0, s, 0)، Q(t+1, t+3, -t). حساب PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2. عندما تكون s-t-3=0 و t+1/2=0، أي s=5/2, t=-1/2، القيمة الدنيا هي 1/2. لذلك، يحقق PQ قيمة دنياً تبلغ 1/جذر(2) عندما تكون s=5/2, t=-1/2. وبعبارة أخرى، عندما تكون P(0,5/2,0)، Q(1/2,5/2,1/2)، القيمة الدنيا هي 1/جذر(2).'

'ثبت أن لأربع نقاط O, A, B, C في الفضاء التي ليست على نفس السطح، إذا كان الفيكتور OA=a، الفيكتور OB=b، والفيكتور OC=c، فإن أي فيكتور p يمكن تعبير عنه بشكل فريد في الشكل p=s*a+t*b+u*c (حيث s, t, u أعداد حقيقية).'

'|𝛼 + t𝛽| أكبر من أو تساوي 0، لذلك، عندما يتم تقليل |𝛼 + t𝛽|^2، يتم تقليل |𝛼 + t𝛽| أيضًا. وبالتالي، |𝛼 + t𝛽| يأخذ القيمة الدنيا في √26 عند t=-1. حلا آخر هو أخذ النقطة O كأصل، 𝛼 = OA، و 𝛽 = OB. النقطة C المحددة بواسطة 𝛼 + t𝛽 = OC تمر عبر النقطة A وتقع على خط موازٍ ل OB. لذلك، لكي يتم تقليل |𝛼 + t𝛽|، يجب أن يكون (𝛼 + t𝛽) عموديًا على 𝛽. في هذه الحالة، لدينا (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0، مما يؤدي إلى حل (2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0، مما يؤدي إلى 3t + 3 = 0، وبالتالي t = -1. في هذه النقطة، |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26. لذلك، |𝛼 + t𝛽| يحقق القيمة الدنيا لـ √26 عند t=-1.'

'مرجع إضافي\nالمرجع: العثور على الناتج المتجانس \\vec{u} لـ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} و \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. القيمة القصوى والقيمة الدنيا لحاصل الضرب للمتجهات\n2. المتجهات مع المسار، المنطقة\n3. الحجم الأقصى للهرم الرباعي\n4. معالجة معادلات المتجهات\n5. الأشكال الهندسية في الفضاء (سطح كروي)\n6. الحد الذي يقترب منه النقطة المتحركة على السطح المركب\n7. نطاق وجود النقاط على السطح المركب\n8. مشكلات اندماج خصائص الأعداد المركبة والأعداد الصحيحة\n9. التمثيل المعلمي والمسار\n10. مشكلات اندماج السطح المركب والمعادلات والمنحنيات'

'المثال 11 | حساب المنتج النقطي (المكونات)'

'(2) استمرار'

'في تتراهيدرون منتظم ABCD بطول الحافة 2 ، اعثر على حاصل ضرب القطاع AB والقطاع AC.'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+ \\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| = \\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}= \\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'لنفترض A(r1,θ1) و B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0]. باستخدام قانون الجيوب، اعثر على المسافة AB بين النقطة A والنقطة B.'

'كيف تعبر عن تساوي القطبين a و b عندما يكون لديهم نفس المقدار والاتجاه؟'

'بشكل عام ، تتفق النوافذ في الفضاء \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ على الشروط التالية: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'قطع الخط AB والنقطة P. عندما تكون المعادلة التالية صحيحة ، ما هو موقع النقطة P.'

'في الفضاء ذو الإحداثيات مع النقطة O كالأصل، ما نوع الشكل الذي يمثله مجموع نقاط P(x, y, z) التي تستوفي الشروط التالية؟ كما، عبر عن المعادلات في x, y, z:\n(1) عند A(3,-6,2)، النقطة P تستوفي |→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0.\n(2) عند A(1,0,0)، B(0,2,0)، C(0,0,3)، النقطة P تستوفي →AP⋅(→BP+2→CP)=0.'

'السؤال 31 | معادلة الدائرة الناقطة\nبالنسبة للمثلث OAB على السطح وأي نقطة P، تمثل المعادلات الناقطة التالية دائرة. أي نوع من الدوائر هو؟\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'

'بالنسبة للنقاط O(0,0,0)، A(2,1,-2)، B(3,4,0)، ابحث عن ناقل مستقيمي لكل من ناقل الضلع وناقل الضلع مع مقدار √5.'

'أظهر ما يلي.'

'(1) ما نوع الشكل الذي تمثله معادلة الاتجاه |3→OA+2→OB-5→OP|=5 لنقطتين متميزتين A وB وأي نقطة P على السطح؟ (2) هناك نقاط P ومثلث ABC على السطح. ابحث عن مجموعة النقاط P التي تستوفي شرط 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC.'

'أثبت أنه على مستوى، لأربع نقاط متميزة A و B و C و D، ونقطة O غير موجودة على الخط AB، حيث OA=a، OB=b. وإذا كان OC=3a-2b، OD=-3a+4b، ثم AB∥CD.'

'باعتبار رباعي ABCD والنقطة O ، مع OA = a و OB = b و OC = c و OD = d. إذا كان a + c = b + d و a · c = b · d، فحدد شكل هذا الرباعي.'

'عندما يتحرك النقطة A على القطع $\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$, الرجاء العثور على القيمة القصوى لحاصل الضرب $\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$. حيث A(x, y) و B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}), O النقطة الأصل.'

'ثبت المعادلة \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \'

'استخدام البعد المتعامد للتصوير الظلي'

'تمرين(2) ابحث عن الزاوية \ \\theta \ التي تتكون من قبل الاتجاهين غير الصفر \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ عند وجود عدد حقيقي فريد \ t \ بحيث تكون \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ و \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ عمودية.'

'بناءً على الفيكتور OA والفيكتور OB. اعثر على مساحة مثلث QBC إذا كان النقطة Q تفي بالشرط 256 فيكتور AQ + 3 فيكتور BQ + 2 فيكتور CQ = فيكتور 0.'

'ابحث عن القطاع \\\vec{p}\ الذي يكون متعامدًا على كل من القطبين \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) و \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) وله مقدار \\\sqrt{5}\.'

'العمودية والمنتج النقطي للمتجهات'

'أثبت أنه عندما تكون \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\) ، فإن \ \\vec{a} / / \\vec{b} \.'

'معادلة الاتجاه للخط الذي يمر بنقطة A(𝑎) وموازي لد(≠0) هي 𝑝=𝑎+𝑡𝑑. الأساسيات الصفحة 343.'

'في مثلث OAB، دع vec{a} = \\overrightarrow{OA} و vec{b} = \\overrightarrow{OB}، حيث |\\vec{a}|=3 و |\\vec{b}|=5، و \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}. اعثر على متجه الوضع الذي يبدأ من O حيث يتقاطع محاور زاوية \\angle AOB مع دائرة تمتلك مركزًا في B ونصف قطر \\sqrt{10}، باستخدام vec{a} و vec{b}.'

'نظرًا لشريط الخط AB والنقطة P. عند حدوث المعادلة التالية ، أين تقع النقطة P؟ (2) AP-3BP+4BA = 0'

'أثبت أنه عندما تكون A و B هما متجهان بنقطة الأصل كنقطة بداية، فإن معادلة الاتجاه لزاوية نصفها التي تتكون من المتجهات OA = a و OB = b معطاة بواسطة p = t(a/|a| + b/|b|)، حيث t هو متغير.'

'المتجهات المتوازية والمنتج النقطي'

'حل المثال 20 (2) في الصفحة 54 باستخدام المعلومات المعطاة'

'ابحث عن قيمة t عندما يكون الزاوية بين الناقلين \\( \\vec{a} = (1, t) \\) و \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) هي \ 30^{\\circ} \. افترض t > 0.'

'(1) الشرط لـ $\\ vec {a} \\perp \\ vec {b}$ هو $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 0$ وهنا $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 3 \\times x + 2 \\times 6 = 3x + 12$ وبالتالي $3x + 12 = 0$ وبالتالي $x = -4$ (2) الشرط لـ $\\ vec {R} \\perp \\ vec {b}$ هو $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 0$ هنا $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 3 \\times(-1) + x \\times \\sqrt {3} \\ = \\sqrt {3} x - 3$ وبالتالي $\\sqrt {3} x - 3 = 0$ وبالتالي $x = \\sqrt {3}$'

'ممارسة نظرًا للخط العادي أ ب والنقطة بي، في أي مكان يقع النقطة بي عندما تنطبق المعادلة التالية؟ (1) 3 المتجه AP + 4 المتجه BP = 2 المتجه AB'

'عندما تستوفي الناقلات a ، b (1) | a + b | = 4 و (2) | a - b | = 3 ، اعثر على قيمة a·b.'

'على السطح، من (1)، يُعطى أن زاوية ACB = زاوية CAD وزاوية BFC = زاوية DFA. هذا يعني أن شكل الفيكتورات BC // AD.'

'قم بممارسة إثبات ما يلي في الحالة التي تكون فيها \ \\vec{a}, \\vec{b} \ هما متجهان في الفضاء غير الصفري، و \ s, t \ هما أعداد حقيقية غير سلبية، و \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \.'

'المنتج النقطي للمتجهات: \\( \\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \\) هو'

'معادلة النصف الناقص للسطح ألفا التي تمر عبر النقطة أ(المتجه أ) ومتعامدة على المتجه غير الصفري n هي n·(p-المتجه أ)=0 (كما تم مناقشته في الفقرة 1، الصفحة 387).'

'ثبت المتباينات التالية.'

'باعتبار متوازي الأضلاع ABCD والنقطة O، حيث يكون الناقل OA هو a، والناقل OB هو b، والناقل OC هو c، والناقل OD هو d. إذا كان a + c = b + d و a · c = b · d، فتحديد شكل هذا المتوازي الأضلاع.'

'بناءً على |a| = 3، |b| = 2، |a-2b| = sqrt{17}، اعثر على قيمة الرقم الحقيقي t الذي يجعل a+b و a+tb متعامدان.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن المعادلة القطبية للخط الذي يمر عبر النقطة \\( A(a, \\alpha) \\) ومنفرد بـ OA.'

'المنتج النقطي للفيكتورات'

'بما أن السطح ABC محدد بواسطة النقاط A(1,1,0) ، B(3,4,5) ، و C(1,3,6) في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ابحث عن قيمة z إذا كان هناك نقطة P(4,5,z) على السطح.'

في مثلث قائم الزاوية $\mathrm{ABC}$ الموضح في الشكل على اليمين، ليكن \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} . احسب حاصل الضرب النقطي ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} على التوالي. علمًا بأن |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 ، وأن الزاوية بين ec{a} و ec{b} هي $90^{\circ}$.

تدريب 19 (3) لتكن |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 . اجب عن الأسئلة التالية: (1) عندما يكون ec{a} \cdot ec{b}=-1 ، احسب قيمة |ec{a}-ec{b}| . (2) عندما يكون |ec{a}+ec{b}|=1 ، احسب قيمتي ec{a} \cdot ec{b} و |2 ec{a}-3 ec{b}| .

أوجد الجداء النقطي والزاوية $heta$ بين المتجهين التاليين ec{a} و ec{b} . \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

أثبت أن المعادلات التالية صحيحة: (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

احسب جداء الاتجاهات $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ والزواية $\theta$ بينهما: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

خصائص الجداء النقطي احسب الجداء النقطي للمتجهات التالية وتحقق من خصائص الجداء النقطي. ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) الجداء النقطي يساوي 0 خصائص الجداء النقطي بالنسبة للجداء النقطي للمتجهات، الخصائص التالية 1 إلى 5 صالحة. 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) حيث أن k هو عدد حقيقي. برهان ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight)، ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight)، ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight)。

(1) من $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ لدينا $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ لذلك \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) ومن ثم $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ بما أن $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$، لدينا \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) أي أن $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$، إذن $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! لذلك $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ نظرًا لأن $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$، إذن $\quad \theta=135^{\circ}$

لتكن $k$ ثابتاً حقيقياً. هناك نقطة $\mathrm{P}$ ومثلث $\mathrm{ABC}$ في مستوى معين، والمعادلة التالية محققة. $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) عندما تكون النقطة $\mathrm{P}$ على الخط $\mathrm{AB}$، يكون $k=\square$. (2) عندما تكون النقطة $\mathrm{P}$ داخل مثلث $\mathrm{ABC}$، فإن $<k<\square$ يحقق. ومع ذلك، تعتبر النقطة $\mathrm{P}$ ليست على محيط مثلث $\mathrm{ABC}$.

أوجد الزاوية $heta$ التي تشكلها حاصل الضرب النقطي للمتجهين ec{a} و ec{b} .\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

أوجد قيمة $x$ عندما تكون الزاوية بين المتجهين \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) هي $45^{\circ}$.

حاصل الضرب الداخلي لمتجهات الزوايا المتكونة بحاصل الضرب الداخلي لمتجهات (الفضاء)

أوجد الضرب الداخلي $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ للمتجهين $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ و $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. خذ ثلاث نقاط $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ واجعل الزاوية بين $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ و $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ هي $heta$.

أوجد قيمتي $s$ و $t$ عندما يكون المتجهان \( \vec{a}=(s, 3 s-1, s-1) و \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) متوازيين.

أعطيت متجه \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) و\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) حيث $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$. أثبت ما يلي: $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

أوجد قيمة $x$ عندما تكون الزاوية بين المتجهين \( ec{a}=(2,1,1) \) و \( ec{b}=(x, 1,-2) \) هي $60^{\circ}$.

العلاقة بين الجداء النقطي والعمل

أثبت أن المتجهات متعامدة باستخدام حاصل الضرب النقطي.

شرط أن تكون 13 نقطة على خط مستقيم [شرط التوازي] [= المثال 25]. عندما تكون النقاط A وB مختلفة، تكون النقطة C على الخط AB ⇔ يوجد عدد حقيقي k يجعل $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$. عندما تكون النقطة C على الخط AB الذي يمر عبر النقاط المختلفة A و B، فإن $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ أو $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$.

في مكعب بطول ضلع 1 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$، احسب النواتج الداخلية التالية. (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

الضرب الداخلي للمتجهات الأشكال والضرب الداخلي للمتجهات (المساحة) (1)

التدريب ممارسة 1 (4) لنفرض أن $k$ ثابت حقيقي. يوجد نقطة $\mathrm{P}$ ومثلث $\mathrm{ABC}$ على مستوى معين ، ويحققان المعادلة التالية: 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) عندما تكون النقطة $\mathrm{P}$ على الخط $\mathrm{AB}$، يكون $k=\square$. (2) عندما تكون النقطة $\mathrm{P}$ داخل المثلث $\mathrm{ABC}$، يكون $<k<\square$. افترض أن النقطة $\mathrm{P}$ ليست على حافة المثلث $\mathrm{ABC}$.

حدد قيمة $x$ التي تجعل المتجهين $\vec{a}, \vec{b}$ متوازيين. (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

أوجد مساحة المثلث OAB S في الحالات التالية. (1) عندما |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2

احسب مكونات الجداء الداخلي للوحدات المتجهة (الفضاء)

(2) نظرًا لأن \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \)، لدينا \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) لذلك \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) وبالتالي $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ نظراً لأن $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$، فمن ثم $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) ومن ثم $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$، وبالتالي $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ يُعتبر كـ $|\vec{p}|^{2}$. نظرًا لأن $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$، فمن ثم $\quad \theta=60^{\circ}$

أوجد نواتج الضرب النقطي التالية. (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

لذلك، لنفترض $heta$ هي الزاوية بين $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ و $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$، إذن \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] وبما أن $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$، إذن $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 لتكن الزاوية بين المتجهات غير الصفرية $\vec{p}$ و$\vec{q}$ هي $\theta$، إذن $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

يرجى حساب ناتج الضرب النقطي للمتجهات التالية $\vec{a}$ و $\vec{b}$:\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$، بزاوية $\theta = 60^{\circ}$ بين المتجهات، و | $\vec{a}$ | = 5، | $\vec{b}$ | = 3

(1) أوجد قيمة $x$ بحيث تصبح \( \vec{a}=(5,1) \) و \( \vec{b}=(2, x) \) متعامدين. (2) أوجد المتجه الأحادي $\vec{e}$ المتعامد مع \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \).

تُعطى المتجهات \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight) \) و \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \) حيث $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$. أثبت أن التالي صحيح: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0

يرجى حساب الجداء النقطي للمتجهين التاليين: المتجه \(\vec{a} = (3, 4)\) والمتجه \(\vec{b} = (1, 2)\)

بالنسبة للمتجهات المعروضة في الشكل على اليمين، قم بإدراج جميع أزواج أرقام المتجهات على النحو التالي. (1) المتجهات التي لها نفس الحجم (2) المتجهات التي لها نفس الاتجاه (3) المتجهات المتساوية (4) المتجهات المتعاقبة

في المثلث $riangle \mathrm{ABC}$ الذي تقع رؤوسه عند النقاط \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \)، احسب حاصل الضرب الداخلي $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ وقياس الزاوية $\mathrm{ABC}$ المشار إليها بـ $heta$.

زاوية بين المتجهات وشرط التعامد احسب الزاوية بين المتجهين ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) واثبت أن هذه المتجهات متعامدة. لنفرض أن الزاوية بين متجهين غير صفريين ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight) هي $heta$. عندها \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} حيث $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$