AI tutor | The No.1 Homework Finishing Free App

'تمارين (1) العثور على إحداثيات النقطة Q التي تم الحصول عليها بتدوير النقطة P (-2،3) حول المنشأ بمقدار 5/6π.'

'لنفترض (أ) A(-3)، B(7)، C(2). ابحث عن المسافات بين نقاط A و B ، B و C ، C و A ، على التوالي. (2) اعثر على إحداثيات النقاط R التي تقسم القطعة القطعية PQ الرابطة بين نقطتين P(-4) و Q(8) بنسبة 1:3 ، والنقاط S التي تقسم الشريط بنسبة 3:1 خارجيًا ، ونقطة M الوسيطة للشريط RS.'

'التفاضلية 186 شروط لتكون منحنيات متعامدة'

'امثل الزوايا التالية وحدد في أي ربع يقع كل زاوية.'

'عند تحريك ميكرومتر الهدف على المسرح, إلى أي اتجاه يجب تحريكه؟ قم باختيار أقرب اتجاه واكتب الرمز.'

'ابحث عن المسافة بين نقطتين.'

"لقد تعلمت خصائص الناقلات في السطح والفضاء. دعونا نلخص ونقارن كل شيء باستثناء 'الانعكاس' للفصل D.470."

''

'تؤخذ أربع نقاط A(0,1,1)، B(0,2,3)، C(1,3,0)، D(0,1,2) في الفضاء. لنكن الخط الذي يمر عبر النقطتين A و B هو ℓ، والخط الذي يمر عبر النقطتين C و D هو m.'

'(3) خط يمر عبر نقطة ثابتة A (المتجه a) ومتعامد على ناقض الصفر n'

'ما هو الرأسي (المتجه)؟'

'(1) يُمثل الخط المتوازي مع الفيكتور d الذي ليس صفر ويمر بنقطة ثابتة A(الفيكتور a) كما p=a+td، حيث d هو فيكتور اتجاه الخط'

'العثور على متجهات الموضع للتقاطعات 26.'

'طرق مختلفة للعثور على النقطة الموضعية لنقطة التقاطع'

'العثور على نطاق وجود نهاية الاتجاه. (٤)'

'مساواة وقيمة القوى المتجهة'

'شرح ثلاث قواعد أساسية لعمليات الفيكتور.'

'العثور على معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة (1،2،-3) وموازي للمتجه d=(3،-1،2).'

'(1) على السطح موجودة 4 نقاط مختلفة A و B و C و D ونقطة O ليست على الخط AB. إذا كان OA=a، OB=b، OC=3a-2b، و OD=-3a+4b ، فأثبت أن AB متوازي مع CD.'

'في المعين المتوازي ABCD ، إذا كانت مضاعفة للمتجه BP تساوي المتجه BC ، وكانت 2 مضاعفة للمتجه AQ بجمع المتجه AB تساوي المتجه AC ، فما هي شكل الرباعي ABPQ؟'

'في مثلث متساوي الأضلاع ABC ذو طول جانب 2، دع L و M و N يكونوا نقط الوسط للأضلاع AB و BC و CA على التوالي. اعثر على جميع النقاط التالية الممثلة بواسطة النقاط 6 A و B و C و L و M و N:'

''

'عمليات الفيكتور'

'عندما \ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \، فأعرب عن \ \\vec{x}-\\vec{y} \ فيما يتعلق بـ \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.'

'في الفضاء، ابحث عن الناقل الموحد t الذي هو موروثي لمحور x، ويشكل زاوية 45 درجة مع محور z الإيجابي، ويحتوي على مكون y إيجابي.'

'عندما يتحرك نقطة P على السطح وإحداثياتها (x، y) هي وظائف للوقت t، أجب على الأسئلة التالية:\n1. اشتق المعادلة الناقلة التي تمثل السرعة.\n2. اشتق المعادلة الناقلة التي تمثل التسارع.'

''

'البحث عن متجه النقطة التقاطعية للخطوط.'

'شرط التوافق\nعندما تكون نقطتان A، B مختلفتان\nعندما تكون النقطة P على الخط المستقيم AB\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ لبعض العدد الحقيقي k'

'بعطي ثلاث نقاط A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), ابحث عن التالي:'

'لنكن إحداثيات القطب للنقطة أ (r₁، θ₁)، وإحداثيات القطب للنقطة ب (r₂، θ₂). اعثر على المسافة AB بين النقطة أ والنقطة ب.'

'شرح شروط توازي الأسهم.'

'(2) د، إ، إف نقاط على الخطوط الممتدة لنقاط أو، بي، سي على التوالي، بحيث يكون دي = 1/2 × أو، إي = 2/3 × أوب، وأف = 1/3 × أوس. إذا كان المستوى الذي يحتوي على النقاط الثلاث د، إ، إف يتقاطع مع الخط OQ في النقطة R، فعبّر عن الرأس OR في صورة الرؤوس a وb وc.'

'لنكن نقاط منتصف الأضلاع AB، BC، CD، DA للرباعي ABCD K، L، M، N على التوالي، ونقاط منتصف القطرين AC، BD S، T على التوالي. (1) إذا كانت الفيكتورات الوضعية للرؤوس A، B، C، D على التوالي a، b، c، d، فقم بالتعبير عن فيكتور الوضع لنقطة وسط القطعة KM باستخدام a، b، c، d. (2) من خلال التعبير عن فيكتورات مواقع نقاط منتصف القطع LN، ST باستخدام a، b، c، d، قم بإثبات أن القطع الثلاث KM، LN، ST تتقاطع في نقطة واحدة.'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'شروط التعامد، التزامن\n(1) شروط التعامد\nعندما تكون نقطتان مختلفتان A و B، إذا كانت النقطة P على الخط AB، فإنه يوجد عدد حقيقي k بحيث الاتجاه AP = k اتجاه AB.'

'معادلات الفضاء'

'في مكعب OAPB-CRSQ ، لنكن 𝑝=⃗OP ، 𝑞=⃗OQ ، 𝑟=⃗OR. عبّر عن ⃗OA بالنسبة إلى 𝑝 ، 𝑞 ، 𝑟.'

'في المكعب المتوازي الأضلاع ABCD-EFGH، دع P يكون نقطة وسط القطر AG، ولنفترض أن الفيكتور AB يساوي a، الفيكتور AD يساوي b، والفيكتور AE يساوي c. عبّر عن الفيكتورات AC، AG، BH، وCP بالنسبة ل a، b، و c.'

'العثور على متجهات المواقع لنقاط التقاطع 26'

'بالنظر إلى \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \ ، هناك مستطيل \ \\mathrm{ABCD} \. إذا كان \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ ، فأعبر عن القطاع الوحدة موازٍ لـ \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ بتعبير \ \\vec{b}, \\vec{d} \.'

'شرح المفاهيم الأساسية. على وجه الخصوص ، قدم شرحًا مفصلًا للمتجهات الموضعية ، ونقاط منتصف الشرائط الخطية ، ومراكز الثلاثيات.'

'لنكن z عددًا مركبًا. ابحث عن نطاق النقاط لـ z التي تشكل مثلثًا حادًا في مستوى الأعداد المركبة مع النقاط A(1) ، B(z) ، و C(z^2) ، وصوّر ذلك.'

'(1) شرح العمليات النمائية التالية فيما يتعلق بالمفاهيم الأساسية للمتجهات الفضائية.\n\n- المساواة\n- الجمع\n- الطرح\n- المتجه العكسي\n- المتجه الصفري\n- الضرب العلوي'

'شرح فرق الفيكتور وتمثيله.'

'المفاهيم الأساسية\n3. متجه موقع الجاذبية للمثلث\nلنكن نقاط A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) هي رؤوس المثلث ABC، ولتكن G هو متجه موقع الجاذبية. ثم\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(٢) الخط الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين A(𝐚) و B(𝐛)'

'تمرين 1 ابحث عن جميع الإتجاهات النووية التالية التي يتم تمثيلها باستخدام 6 نقاط متسدس الأضلاع ABCDEF مع طول جانبي قيمته 1 ونقطة تقاطع القطرين AD وBE.'

'بالنسبة لمثلث OAB، دع OP = sOA + tOB. حدد نطاق وجود النقطة P عندما تستوفي الأرقام الحقيقية s و t الشروط التالية.'

'ما هو العلاقة بين هذين الناقلين؟'

"في مثلث ABC ذو الرؤوس A(a)، B(b)، C(c)، دع D يكون النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 2:3، ودع E تكون النقطة التي تقسم الضلع BC خارجيًا بنسبة 1:2. دع G يكون مركز ثقل مثلث ABC و G' يكون مركز ثقل مثلث AED. عبّر عن النواقل التالية بالنسبة ل a، b، و c.\n(1) نواقل المواقع للنقاط D، E، G'\n(2) GG'"

'عندما |𝑎|=3، ابحث عن متجه وحدة متوازٍ مع 𝑎.'

'يرجى شرح تحليل الناقل.'

'نطاق وجود نقطة النهاية لناقل'

'ابحث عن المسافة بين النقطة الأصل O والنقطة P(2,3,1).'

'69 (2) هو -2 في اتجاه المحور x و -3 في اتجاه المحور y'

''

'(1) انتقل 4 وحدات على طول المحور اكس و -7 وحدات على طول المحور واي\n(2) انتقل -5/2 وحدة على طول المحور اكس و -35/4 وحدة على طول المحور واي'

''

"ارسم النقاط P(z)، A(α)، P'(-z)، B(z+α)، C(z-α) على المستوى المركب، حيث z=3+2i وα=1-i."

'بالنسبة للنقاط A(1,2,3)، B(-3,2,-1)، وC(-4,2,1)، ابحث عن ما يلي:'

'تمثيل منحنى معلمي'

'في المستطيل ABCD، AB = 3 و AD = 4. دع الناقل AB يكون b والناقل AC يكون c. (1) إذا كان E نقطة منتصف الضلع AD، فعبر عن الناقل DE باستخدام b و c. (2) عبر عن ناقل وحدة d في نفس الاتجاه الخاص بـ c باستخدام c.'

'اكتب التمثيل المكوني للمتجهات'

''

'العلاقة بين نقاط ومتجهات في الفضاء\nبالنسبة لنقطتين \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) ،\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'إحداثيات قطبية ↔ إحداثيات مستوية'

''

'(1) اعثر على معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة A(3,1) ومنصف للمتجه n=(3،-7).'

'نظم الخطوة هنا'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'بالنسبة للمتجهات $\\ vec a، \\ vec b$ على اليمين، رسم البياني التالي:'

'في السداسي النظامي ABCDEF، حيث AB→=a و AF→=b. قم بتمثيل الأبعاد التالية بالنسبة ل a و b. (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'

'ابحث عن معادلة الخط الذي يمر بالنقطة C(1،-5) ويكون متعامدًا على الخط AB، حيث A(3،1) و B(-2،2) ، باستخدام الفيكتورات.'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'لنركز على نتائج المثال في الصفحة السابقة.'

'سؤال مثال'

'شرح تمثيل المكونات الخاصة بالفضاء في المتجهات.'

''

'في الهرم OABC ، افترض ان OA=a ، OB=b و OC=c. وضع M كنقطة منتصف AB ، وضع N كنقطة تقسم BC بنسبة 3:1 ، ووضع G كمركز لمثلث OAB. حدد الفيكتور MN و GN بالنسبة ل a ، b ، و c.'

'لنفكر في خط مستقيم يمر عبر نقطة وله ميل معطى (اتجاه). لنكون الخط الذي يمر عبر النقطة A(\\\vec{a}\) ومتوازياً مع ناقص صفري \\\vec{d}\ كالتالي.'

''

'مشكلة رياضية: العثور على الناقل المركزي للمثلث OAB. نظرًا لأن النقطة G هي النقطة المركزية للمثلث ، فيمكن حساب فاصلة النقطة G على النحو التالي.'

'بالنسبة للنقاط \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) ، ابحث عن التالي:\n(1) المسافة بين النقاط \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \\n(2) إحداثيات النقطة \ \\mathrm{P} \ التي تقسم القطعة \ \\mathrm{BC} \ بنسبة 1:3\n(3) إحداثيات النقطة \ \\mathrm{Q} \ التي تقسم القطعة \ \\mathrm{AB} \ بالتناسب 2:3 بشكل خارجي\n(4) إحداثيات منتصف القطعة CA التي تمر عبرها القطعة\n(5) إحداثيات مركز الثقل G للمثلث \ \\triangle \\mathrm{PQR} \'

'بالنسبة للنقاط A(0,3,7)، B(3,-3,1)، C(-6,2,-1)، ابحث عن ما يلي:\n(1) المسافة بين النقطتين A و B\n(2) إحداثيات نقطة تقسم القطعة AB بنسبة 2:1\n(3) إحداثيات نقطة تقسم القطعة AB خارجيًا بنسبة 3:2\n(4) إحداثيات نقطة وسط القطعة BC\n(5) إحداثيات المركز الثقيل للمثلث ABC'

'المتجه العكسي'

'الخط العمودي على الرأسي \ \\vec{n} \\nأخيرًا، دعونا ننظر في التعبير عن الخط باستخدام الضرب النقطي.\nمرورًا بنقطة \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\)، ونقطة غير معدومة \ \\overrightarrow{0} \ عمودية على الرأسي \ \\vec{n} \ يُعبر عنها بالخط \ g \، وأي نقطة على الخط \ g \ تُعبر عنها بـ \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) بحيث \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ أو \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) يمثل المعادلة الناقطية لخط يمر عبر النقطة \ \\mathrm{A} \ وهو عمودي على الرأسي \ \\vec{n} \. بالإضافة إلى ذلك، يشار إلى \ \\vec{n} \ باسم الناقص الطبيعي للخط \ g \.\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \ صحيح فقط عندما تتطابق النقطة P مع النقطة A.\nالناقص الطبيعي للخط \ g \ هو منتصب عليه.\nالآن، دعونا نحل مشكلة معادلة النقطية.'

'ابحث عن القواهد الموضعية لنقاط التقسيم الداخلية والخارجية.'

'الهرم \ \\mathrm{OABCD} \ مع القاعدة \ \\mathrm{ABCD} \ يرضي \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+ \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}= \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+ \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. وبالنسبة لأربعة أعداد حقيقية \p, q, r, s\ مختلفة عن الصفر, نحدد النقاط الأربع \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ كما يلي: \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. أظهر أنه إذا كانت \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ في نفس المستوى, فإنه ينطبق \ \\frac {1}{p} + \\frac {1}{r} = \\frac {1}{q} + \\frac {1} {s} \.'

'ممارسة'

''

'بنقطتي P(5،-3،7) و Q(7،1،2) المعطاة، ابحث عن المكونات والمقدار للمتجه PQ.'

'قم برسم موقع النقاط التالية في الإحداثيات القطبية:'

'صف نطاق وجود نقطة بي في حال تحركها بتحقيق شرط s + t ≤ 1، s ≥ 0، t ≥ 0.'

'ابحث عن الشرط الضروري والكافي لتغطية نقطة (نقطة البي) على الخط المستقيم AB الذي يمر من خلال نقطتين مختلفتين A (نقطة الألف) و B (نقطة الباء).'

'مثال هام 63 | طول العمود المشترك\nفي الفضاء المحدد، يكون النقطة أ(1,3,0) على خط يوازي الاتجاه a=(-1,1,-1)، والنقطة بي(-1,3,2) على خط يوازي الاتجاه b=(-1,2,0). لتكن ب نقطة على الخط l وك نقطة على الخط m. اعثر على القيمة الدنيا لقيمة |PQ| للمتجه PQ، وإحداثيات النقاط P وQ في هذه اللحظة.'

'الشرط لتكون الفيكتورات متوازية ( \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ ) هو أن يوجد عدد حقيقي ( \ k \ ) بحيث \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'

'بالنسبة لثلاثي △OAB ، نفترض →OP = →OA+t→OB. ابحث عن نطاق وجود النقطة P عندما ترضي الأعداد الحقيقية s و t العلاقات التالية: (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'

'بالنظر إلى القطعة AB والنقطة P المعطاة، عندما تكون AP + 3BP + 4AB = 0، أين تكون نقطة P موجودة؟'

'التمرين 38:\n(1) (أ) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) لذلك\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'لنأخذ نقطة وسط القطر RT كـ G ، ونأخذ الناتج المتجه OP=p ، الناتج المتجه OR=r ، والناتج المتجه OS=s.'

'شرح قواعد عمليات القطب واستخدم تلك القواعد لإثبات الخصائص.'

'ابحث عن النقطة P، والتي تقسم القطعة النقطية المتصلة بالنقاط A(a) و B(b) إلى m:n.'

'في هذه الحالة، مع O كالنقطة الأصل، $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ لذلك $H(3,2,-2)$'

'شرح وتحديد الشروط لتكون الفيكتورات متوازية.'

'ابحث عن القطار الموضعي g للمركز الثقيل G لمثلث ABC ، مع A (a) ، B (b) ، C (c) كمثلثات.'

'إذا كانت \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, و \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, و \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \, فإن أي متجه \ \\vec{p} \ يمكن تمثيله بشكل فريد كما يلي: \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, حيث \ s, t \ هما أعداد حقيقية.'

'مشكلة (تحقق)'

'الصفحة 15 | معادلة النواتج وموقع النقاط (2)'

'متجه الوضع وشرط التناظر\nنقطتان \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\) ، متجه الوضع لنقطة تقسم القطعة \ \\mathrm{AB} \ بنسبة \ m: n \ ۔\nالقسم الداخلي: \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \ ، القسم الخارجي: \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nشرط التناظر\nعندما تكون النقاط \ \\mathrm{A}، \\mathrm{B} \ مختلفة ، فإنه يوجد عدد حقيقي \ k \ بحيث تكون النقطة \ \\mathrm{P} \ على الخط \ \\mathrm{AB} \\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ لبعض العدد الحقيقي \ k \'

'استنادًا إلى المعلومات المقدمة، العثور على التعابير والعلاقات لمختلف الفيكتورات.'

'اشرح كيف يمكن تفكيك الناقل الترابي p باستخدام اثنين من الناقلين غير المتوازيين a و b.'

'العثور على المعادلات المعلمية للمنحنى التالي.'

'يرمز القطع النقطي الموجه AB كمتجه →AB. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تمثيل المتجهات أيضًا باستخدام رسمة واحدة مع سهم ، مثل →a، →b. كيف نمثل قيمة المتجهات →AB ، →a؟'

'عندما تكون إحداثيات النقطة ومكونات الناقلة \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)'

'بالنسبة لقطع الخط التي تربط النقطة A (المتجه a) والنقطة B (المتجه b) كـ AB ، قم بتعبير متجهات المواقع للنقاط التالية بالأسهم a وب.'

'كيف تكتب القطب OA + القطب AC؟'

'لنكن إحداثيات النقطة C هي \\((x, y, z)\\). باستخدام شرط أن متوازي الأضلاع \ \\mathrm{ABCD} \ هو موشور، اعثر على إحداثيات C.'

'ابحث عن نطاق حركة النقطة P في ظل الشروط التالية.'

'يرجى إثبات أن مقدار الضرب الحقيقي k*𝐚 هو k مرات مقدار 𝐚، والاتجاه هو نفس اتجاه 𝐚 عندما k > 0 ومعاكس عندما k < 0. '

'ابحث عن المعادلة الناتجة لخط يمر من خلال نقطة أ(𝑎→) وموازٍ للمتجه 𝑑 (𝑑 ≠ 𝑎→).'

'في مثلث OAB ، اعثر على نطاق نقاط P التي تفي بالشروط التالية.'

'نظرًا للقطعة AB والنقطة P. عندما يكون المعادلة التالية صحيحة، أين توجد النقطة P؟'

'ترجم النص المعطى إلى لغات متعددة.'

'في السطح XY ، إحداثيات النقطة A هي (1،0) ، إحداثيات النقطة B هي (cos 𝛼، sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π) ، وإحداثيات النقطة C هي (cos 𝛽، sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π) دون فقدان العمومية. لذلك، OA=(1،0) ، OB=(cos 𝛼، sin 𝛼) ، OC=(cos 𝛽، sin 𝛽).'

'لتكن p ثابتًا موجبًا ، ولتكون القاعدة ا=(1,1) و الثانية ب=(1,-p) . الآن ، إذا كان زاوية بين القاعدتين a و b تساوي ٦٠ درجة ، اعثر على قيمة p.'

'ابحث عن مكونات كل ناقل، حيث 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\، \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\، \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\، و\\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'

'العثور على معادلة خط'

'مثال 37 | الوحدات المتجهة المتعامدة على اثنين من الفيكتورات'

'في مثلث حاد الزوايا ABC، مع A(→a)، B(→b)، C(→c)، BC=a، CA=b، AB=c. إذا تم تعريف مركز الزاوية A بواسطة IA(→iA)، فعبر عن الفيكتور →iA بالنسبة إلى →a، →b، و→c.'

'(1) العثور على المسافة بين نقطة P(0,1,4) والنقطة Q(-4,5,0).'

'معادلات الفيكتور'

'[3] اشتق معادلة الفيكتور لخط مستقيم يمر عبر النقطة A (فيكتور a) ومنحني إلى الفيكتور n (حيث n ليس يساوي صفر الفيكتور).'

''

'في مثلث ABC ذو الرؤوس A(a)، B(b)، وC(c)، حيث يقسم النقطة P الضلع AB بنسبة 2:1، النقطة Q تقسم الضلع BC من الخارج بنسبة 3:2، والنقطة R تقسم الضلع CA من الخارج بنسبة 1:3. دع G يكون مركز الثقل لمثلث PQR. عبّر عن الفيكتورات التالية بالنسبة إلى a، b، وc: (1) فيكتورات مواقع النقاط P، Q، R (2) فيكتور PQ (3) فيكتور موقع النقطة G'

'النقطة Q تقسم القطعة OP خارجيا بنسبة 4:1، لذلك'

'ثبت أن المتبين |المتجه AP| + |المتجه AQ| + |المتجه AR| ≥ 3/√2 ينطبق على 4 نقاط P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) في الأعداد الحقيقية.'

'تحقق من إحداثيات نقطة P (x، y) وخذ نقطة Q.'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'نظرًا لأن المتجهات \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\, و \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (حيث O هو الأصل)، بالنظر إلى \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\ و \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\، قم برسم المتجهات \\\vec{a}\ و \\\vec{b}\ على مستوى الإحداثيات.'

'(1) عبّر عن \ \\overrightarrow{G U} \ كـ \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'معادلة دائرة الناقل'

'العثور على معادلات الخطوط التالية:'

'نفكر في مثلث متساوي الأضلاع ABC بطول ضلع 1 على السطح. بالنسبة لنقطة P ، دعنا يكون الفيكتور v(P) هو v(P)=→PA−3→PB+2→PC. أثبت: (1) v(P) هو فيكتور ثابت مستقل عن P. (2) عندما |→PA+→PB+→PC|=|v(P)| ، على أي شكل تكون نقطة P.'

'قم بأداء جمع الناقص، الطرح، الضرب بمقياس وعمليات الناقص بين نقطتين باستخدام مكونات الناقص.'

'لنكن مراكز الدوائر C1 و C2 هما O1 و O2 على التوالي. ما هو الفيكتور من مركز O1 إلى مركز O2؟'

'بالنسبة لأي نقطة P على الخط ، دع OP = p. في هذه الحالة ، ما هو معادلة الخط المتجه؟'

'ترجم التعبير المعطى إلى عدة لغات.'

'عندما لا تكون أربع نقاط O, A, B, C في نفس السطح، إذا كان $\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$، $\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$، $\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$، فإن أي متجه $\\vec{p}$ يمكن تمثيله بشكل فريد كـ $\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$، حيث $s$، $t$، $u$ هي أعداد حقيقية.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q بعد تدوير النقطة P(3،-1) حول النقطة A(-1،2) كالمركز بمقدار -π/3.'

'يرجى تقديم الصيغة لحساب المسافة AB بين النقطتين A(r1, θ1) و B(r2, θ2).'

'رسم النقاط التالية في الإحداثيات القطبية والعثور على الإحداثيات القطرية.'

'(1) ابحث عن إحداثيات النقطة B بعد دوران النقطة A(2,1) حول الأصل O بزاوية π/4 راديان.\n(2) كانت النقطة P مركز الدوران عندما تمت دورة النقطة A(2,1) بزاوية π/4 راديان إلى الإحداثيات (1-√2, -2+2√2). ابحث عن إحداثيات النقطة P.'

'نقطة P تتحرك على محيط دائرة نصف قطرها r مركزها الأصل O، بدءًا من النقطة الثابتة P0، بحيث يدور OP بسرعة زاوية ثابتة ω في الثانية.'

'فهم أساسيات الفيكتورات (تعريف الفيكتورات، الخصائص، والعمليات الأساسية).'

'في المستوى الإحداثي، هناك ثلاث نقاط ثابتة A و B و C، ونقطة متحركة P، مع القطاع AB=(3,1)، القطاع BC=(1,2)، والقطاع AP يتم تمثيله على أنه (2t، 3t) باستخدام العدد الحقيقي t.'

'موضوع مهم 40 | مقارنة مقادير الفيكتور'

'ابحث عن المسافة بين نقطتين التاليتين.'

'\ \\triangle OAB \, ابحث عن نطاق وجود النقطة \ P \ التي تحقق المعادلات التالية. \\ n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\l\\\\ \\\\ eqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'

'ابحث عن قيمة القياس للفيكتورات التالية.'

''

''

'مفهوم الفضائيات للمراقبة الإسقاطية'

''

'حول حلول النواقل الموضعية والشروط للوجود في نفس المستوى'

'الفصل 1 القطع النهائي على السطح - في مثلث OAB، حدد نطاق نقاط P التي تُفي بالمعادلات التالية:\n1) OP = sOA + tOB ، s + t = 1/3 ، s ≥ 0 ، t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB ، 3s + 2t = 4 ، s ≥ 0 ، t ≥ 0'

'في الفضاء التحديدي PR، هناك 4 نقاط O(0,0,0)، A(3,-2,-1)، B(1,1,1)، C(-1,4,2). ابحث عن الفيكتور p الذي يكون عموديا على كل من الفيكتورات OA و BC، بمقدار 3√3.'

'ابحث عن متجه عمودي واحد للخط التالي.'

'نظرًا لأن 4|a|=3 ، النواقل المطلوبة هي'

'ابحث عن نطاق وجود نقطة P التي تفي بالشروط التالية.'

'نطاق وجود النقاط التي تحقق معادلة الاتجاه وإحداثيات التقاطع'

'نظرًا لأربع نقاط A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b).'

'أثبت أن المعادلات التالية صحيحة في المخروط الرباعي ABCD: (1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'تطبيق النواقل على الهندسة الهندسية'

'مثال 21 | تمثيل الفضاء الناقل\nفي المكعب المتوازي ABCD-EFGH ، دع نصف قطر القطر AG يكون P ، ولنفترض → AB = 𝑎 ، → AD = 𝑏 ، → AE = 𝑐. عبّر عن → AC ، → AG ، → BH ، → CP بتعبير 𝑎 ، 𝑏 ، 𝑐.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة المعطاة.'

''

'شرح شرط توازي الفيكتورات.'

'استخدم المعادلات التالية لتوضيح خصائص الفيكتورات:'

'في مثلث ABC برؤوس A(a)، B(b)، وC(c)، حيث يقسم النقطة P الضلع AB داخليًا بنسبة 2:1، المثلث Q يقسم الضلع BC خارجيًا بنسبة 3:2، والنقطة R تقسم الضلع CA خارجيًا بنسبة 1:3، والنقطة G هي مركز ثقل مثلث PQR. عبِّر عن الأسهم التالية في صورة a, b, و c: (1) أسهم مواقع النقاط P, Q, و R (2) الرّباعي PQ (3 ) الموقع من النقطة G'

'لننظر إلى دائرة بمركز O. هناك 3 نقاط A و B و C على محيط هذه الدائرة بحيث يكون المتجه OA + المتجه OB + المتجه OC = 0. أثبت أن مثلث ABC مثلث متساوي الأضلاع.'

'تحليل الأسهم في المستطيل الأبجدي نقطة E تقسم الضلع BC داخليًا بنسبة 2:1 في المستطيل الأبجدي ABCD، والنقطة F هي تقاطع القطرين AC وBD، والنقطة G هي تقاطع الشرائح AE وBD. دع القطاع AB=b والقطاع AD=d. (1) عبر عن القطاعات AE، AF، GC بالنسبة ل b و d. (2) إذا كانت القُطبية AE=e والقُطبية AF=f، فعبر عن القطاع BD بالنسبة ل e و f.'

'اعتمادية خطية واعتمادية خطية للمتجهات في الفضاء'

'عندما لا تكون الثلاثة الفيكتورات a و b و c على نفس الخط المستقيم، اعثر على معادلة السطح الذي يمر عبر هذه النقاط الثلاثة.'

'في \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ ، ابحث عن نطاق النقاط \ \\mathrm{P} \ التي تستوفي المعادلات التالية:'

'بالنسبة للمتجهات a، b، c، قم برسم المتجهات التالية:\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'

'لتكن \\( \\vec{a}=(1,-1,2) \\) و \\( \\vec{b}=(1,1,-1) \\). ابحث عن أقل قيمة للقيمة المطلقة لـ \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (حيث \ t \ عدد حقيقي) والقيمة المقابلة لـ \ t \.'

'تطبيقات النّصوص دع s و t و u يكونون أعدادًا حقيقية على نفس المستوى. يقع النّقطة P (p) في المستوى الّذي حدّده ثلاث نقاط A (a)، B (b)، و C (c) إذا وكان فقط إذا ⇔CP⃗=sCA⃗+tCB⃗ ⇔p⃗=sa⃗+tb⃗+uc⃗، s+t+u=1'

'مثال مهم 61: معادلات الخطوط\nالعثور على معادلات الخطوط التالية:\n(1) تمر عبر النقطة A(1,3,-2) ومتوازية للمتجه d=(3,2,-4)\n(2) تمر عبر النقطتين A(0,1,1) و B(-1,3,1)\n(3) تمر عبر النقطة A(-3,5,2) ومتوازية للمتجه d=(0,0,1)'

'يتم تمثيل أي نقطة على الخط بالنقطة P(x،y) مع t كمعلم.'

'ابحث عن معادلة الخط \ \\ell \ الذي يمر من خلال النقطة A(\ \\vec{a} \) ومتوازي مع السهم غير الصفري \ \\vec{d} \.'

'يمكن تعبير أي متجه \ \\vec{p} \ على السطح بالنسبة لمتجهين \\( \\vec{a}, \\vec{b} ( \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} ) \\) كما يلي:'

'قم بأداء العمليات الناقصة التالية للفيكتور: 1. العثور على مجموع الفيكتور A = (3، 4) والفيكتور B = (1، 2). 2. العثور على الفرق بين الفيكتور A = (3، 4) والفيكتور B = (1، 2).'

'معادلة السطح المتجه المحددة بواسطة ثلاث نقاط غير متعامدة A(⃗a)، B(⃗b)، C(⃗c) والنقطة التي لا تتحول P(⃗p)، مع s، t، u كأعداد حقيقية، هي ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c، s+t+u=1 أو ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'عندما تكون اتجاهات الناقلين a و b هي نفسها وكذلك قيمتها، فإن هذين الناقلين يُعتبران متساويين.'

'ابحث عن قيمة الرقم الحقيقي $t$ التي يكون الزاوية بين النواقل $\\vec{a} + t \\vec{b}$ و $\\vec{b} + t \\vec{a}$ تساوي $120^{\\circ}$ ، مع العلم بأن $\\vec{a} = (3, 4, 5)$ و $\\vec{b} = (7, 1, 0)$.'

'العثور على الأعداد المركبة التي تمثل النقاط التالية. (1) منتصف الخط AB الذي يربط النقطتين A(-3+6i) و B(5-8i) (2) النقطة P التي تقسم الخط AB الذي يربط النقطتين A(2-3i) و B(-7+3i) بنسبة 2:1، والنقطة Q التي تقسم بشكل خارجي.'

'شرح جمع الفيكتور وطرحه.'

'ابحث عن الزاوية θ التي تشكلها البينيان. حيث 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'بالنسبة للقطعة الخطية التي تربط النقاط A(a) و B(b) كـ AB، قم بالتعبير عن الفراغات الناقصة للنقاط التالية بالنسبة ل a و b.'

'متجه الموقع ونقاط التقسيم الداخلية ونقاط التقسيم الخارجية\nلنكن متجه الموقع \ \\vec{p} \ ولنعبر عن النقطة على أنها \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\).\nفي الفضاء، تنطبق القواعد التالية تمامًا مثلما هو الحال في السطح:\n\nالمشكلة 1: بالنسبة إلى النقاط \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\)، قم بتوجيه المعادلات التالية.\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. ابحث عن متجه الموقع لنقطة تقسم قطعة الخط \ \\mathrm{AB} \ بنسبة \ m: n \.\n3. ابحث عن متجه الموقع للنقطة الوسطى لقطعة الخط \ \\mathrm{AB} \ .\n4. ابحث عن متجه الموقع لمركز الثقل G لـ \ \\triangle \\mathrm{ABC} \.'

'شرح تفكيك الفيكتورات.'

'السؤال 71\n(1) اعثر على النقطة (-3, -1, 7).\n(2) اعثر على النقطة (18/11, 26/11, 12/11).'

'ابحث عن نطاق وجود النقطة P في مثلث OAB الذي يحقق المعادلات التالية:\n(1) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n(2) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'ابحث عن المسافة بين نقطة A(r1, θ1) والنقطة B(r2, θ2).'

'متجهات الموضع والمتجهات والأشكال: شرح كيف تشكل متجهات الموضع والمتجهات الأشكال.'

'ممارسة (1) بالنسبة لمتجهين غير صفر \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ ، عندما يكون \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ عمودي على \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \ ، وعندما تكون الشرط \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \ صحيحة ، اعثر على الزاوية \ \\theta \ التي تتكون منها \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \.'

'لنفترض أن الفيكتور \ \\vec{a} \ و \ \\vec{b} \ اللذان لا يكونان متساويين الصفر متعامدين. دع الزاوية بين \ \\vec{a}+\\vec{b} \ و \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ تكون \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \. (1) عبّر عن \ \\sin ^{2} \\theta \ بالنسبة لـ \ x \ و \ y \ حيث \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \. (2) ابحث عن القيمة القصوى لـ \ \\theta \.'

"المتجه هو كمية لها كل من المقدار والاتجاه. يناقش هذا الفصل النواقل القائمة على شرائح الخط الموجهة على مستوى، ممثلاً النواقل بأزواج من الأرقام (المكونات)، والعمليات مثل 'المنتج النقطي'، وتطبيق النواقل على الهندسة الهندسة الهندسة. فهم مفهوم 'الاستقلال الخطي' في النواقل أمرٌ حاسمٌ للتحضير للدراسات المستقبلية في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والمجالات الأخرى."

'حدد مواقع النقاط التالية الممثلة في الإحداثيات القطبية: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\)، \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\)، \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\)。'

'لنأخذ \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ كنقطة البداية، \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (حيث s و t هما أعداد حقيقية).'

'أجب على الأسئلة التالية.'

'في مثلث OAB ، دع C يكون نقطة وسط OA و D تكون النقطة التي تقسم OB بنسبة 1:3 خارجيًا. إذا كان متجه OA هو a ، وكان 35 مرة متجه OB هو b ، فجد معادلة الخط التالية.'

'في الموازي تمام السداسي \ABCD-EFGH\، عند \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\ ، يُعبر عن \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ في صورة \\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\.'

'ابحث عن التمثيل المعلمي للخط التالي بمعامل t.'

'ابحث عن التمثيل المعلمي للخط التالي بمعلم t: يمر عبر النقطة بي(-4,3) ومتوازي للمتجه d=(5,6).'

'المعادلة الاتجاهية لدائرة: المعادلة الاتجاهية لدائرة بمركز C(c) ونصف قطر r هي |p-c|=r'

''

'ابحث عن المسافة بين نقطتين التاليتين.'

'اعثر على مكونات والقيمة المطلقة للمتجه PQ بين النقطتين P(5، -3، 7) وQ(7، 1، 2).'

'في هذا المثال، بعد توجيه الأقطار \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), يُعبر عن القطار \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) في شكل \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ أعداد حقيقية.'

None

'قم برسم جمع وطرح الناقلات وضربها بالعدد النوعي.'

'تعلم حول المعادلات النقطية ومواقع النقاط (1).'

'المثال 14 | مساواة الفيكتورات وموقع النقاط (1)'

'دع N يمثل النقطة التي تقسم AB بنسبة 2:3. دع P يمثل نقطة تقاطع شقي LM وON. إذا كانت a هي الفيكتور OA و b هي الفيكتور OB، فعبر عن ON و OP بالنسبة للفيكتورات a و b.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ما هو الفرق في التفكير بين النهج 1 والنهج 2 من أجل المثال الأساسي 24؟'

'عند النظر في دائرة C بنصف قطر r ومتجه الموقع الوسط →OA على السطح الإحداثي ب EXO كنقطة الأصل. لنكون متجه الموقع لنقطة P على المحيط →OP. كما، فإن ننظر إلى نقطة B خارج دائرة C مع متجه الموقع →OB. بالإضافة إلى ذلك، دع Q يكون منتصف نقاط B وP، مع متجه الموقع →OQ. يتم تحديد D كالشكل الذي يتم تتبعه بواسطة النقطة Q مع حركة النقطة P على طول المحيط.\n(1) ابحث عن المعادلة الناقلية التي تمثل الدائرة C.'

'حدد نطاق وجود النقاط التي ترضي معادلة الاتجاه. يرجى الإجابة باستخدام مثال من الشكل الهندسي الفضائي.'

'العثور على الناقل العمودي للخط التالي.'

'تعلم حول معادلات الناقل ومواقع النقاط (2).'

'ابحث عن معادلة السطح التي تمر عبر النقطة (-1،2،3) ومنتصبة على الخط \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3.'

'أثبت أن النقطة P تقع على الخط AB، حيث يتم تحديد AB بواسطة نقطتين مختلفتين A(a) و B(b).'

'نظرًا للنقاط A(2,1,0) ، B(1,0,1) ، C(0,1,2) ، D(1,3,7) ، يكون E النقطة المتناظرة لنقطة D بالنسبة للمستوى الذي يمر من خلال النقاط A و B و C. اعثر على إحداثيات النقطة E.'

'(1) ابحث عن إحداثيات النقطة المتناظرة مع النقطة P(-3، 4، 1) بالنسبة للنقطة A(1، -2، 3).'

'شرط التتوالية: عندما تكون نقطتان A و B مختلفتان ، يكون النقطة P على الخط AB إذا وفقط إذا كان الاتجاه AP يساوي k مرات الاتجاه AB ، حيث k هو عدد حقيقي.'

'العثور على معادلة المستقيم الذي يمر عبر النقطة A والمنتصبة على الناقل n. (2) A(1,3), n=(-1,2)'

'ابحث عن المعادلات المعلمية للخطوط التالية، مع المعلم t.'

'بعد توجيه نقطتين A(ناقل a) و B(ناقل b)، ابحث عن ناقل الموضع للنقطة التي يتم تقسيم قطعة الخط AB إلى m:n.'

''

'في المساحة الإحداثية، الأشكال والمعادلات الناقلة: شرح تمثيل الأشكال في المساحة الإحداثية واستخدام المعادلات الناقلة.'

'يكون النقطة P على الخط AB إذا وفقط إذا كانت هناك أعداد حقيقية s و t موجودة بحيث يكون الفيكتور OP يساوي s مرات الفيكتور OA بالإضافة إلى t مرات الفيكتور OB، و s + t = 1'

'العثور على التمثيل المعلق للخطوط المستقيمة التالية مع المعامل t. كما ، عبرها من دون المعامل t.'

'صف مكونات النواقل في الفضاء، الناتج المركب: شرح حساب مكونات النواقل في الفضاء وناتجه المركب.'

'السؤال 46\n(1) اعثر على إحداثيات النقطة (0، 1/4، 0).\n(2) اعثر على إحداثيات النقطة (0، -21، 17/2).'

'لنكن a = (0,1,2)، b = (2,4,6). بالنسبة لأرقام حقيقية t، حيث -1 ≤ t ≤ 1، العثور على قيم x التي تعظم وتقلل من مقدار x عند x = a + tb.'

'إذا كان $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$، ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية للعدد $k$ بحيث $|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$ ينطبق لجميع الأعداد الحقيقية $t$.'

'في الفضاء ، هناك مثلث ABC بزوايا A(5,0,1) ، B(4,2,0) ، C(0,1,5). (1) العثور على طول الشرائح AB و BC و CA. (2) العثور على مساحة S للمثلث ABC.'

'نفترض وجود مستوى α محدد بواسطة ثلاث نقاط غير متخطية A (متجه a) و B (متجه b) و C (متجه c). عندما يكون النقطة P (متجه p) على المستوى α ، ينطبق المعادلة الناقصة التالية. قم بإثبات هذا.'

'النقطة C تقسم الضلع \\\mathrm{OA}\ للمثلث \\\triangle OAB\ بنسبة 3:1 ، والنقطة D تقسم الضلع \\\mathrm{OB}\ بنسبة 4:1. دعونا نكون P هو تقاطع الشرائح \\\mathrm{AD}\ و \\\mathrm{BC}\ ، و Q يكون تقاطع الشرائح \\\mathrm{OP}\ و \\\mathrm{AB}\. بالنظر إلى أن \\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\ و \\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\ ، فقم بالتعبير عن \\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\ بالنسبة لـ \\\vec{a}\ و \\\vec{b}\ وجد نسبة BP إلى CP. أيضًا ، قم بالتعبير عن \\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\ بالنسبة لـ \\\vec{a}\ و \\\vec{b}\ وحدد نسبة \\\mathrm{OP}\ إلى \\\mathrm{PQ}\.'

'ما هو الانحناء الذي يمثله المعادلة القطبية r = sin αθ؟ كما، يرجى إظهار التغير في عدد الأوراق النباتية بناءً على قيمة a.'

'في القطع المستقيم AB، عند تحديد الاتجاه من النقطة A إلى النقطة B، يُطلق عليه القطع المستقيم الموجه AB. في القطع المستقيم الموجه AB، يُسمى A نقطته الابتدائية ويُسمى B نقطته النهائية. يُطلق على طول القطعة AB مقدار القطع المستقيم الموجه AB أو طوله. من خلال تجاهل الاختلاف في المكان، والتركيز فقط على الاتجاه والمقدار يُطلق عليه اسم الاتجاه. اكتب الاتجاه الممثل بواسطة القطعة المستقيمة الموجهة AB.'

'يرجى حل المشكلة باستخدام الإحداثيات.'

'(1) ابحث عن المسافة بين نقطتين A(1,-1,3) و B(-1,0,1).'

الشرط لكي تكون النقطة P(\vec{p}) على المستوى المحدد بواسطة النقاط الثلاث A(\vec{a}), B(\vec{b}), و C(\vec{c}) هو $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■ إن متَّجهة موقع مركز المثلث $\triangle \mathrm{ABC}$، متَّجهة موقع مركز G لمثلث ABC تُحدد كما يلي. متَّجهة موقع مركز $\triangle \mathrm{ABC}$ الذي له رؤوس \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) هي $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

حول تساوي معاملات المتجهات: إذا ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}، فإن s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}، t = t^{\prime}$

لتكن lpha=x-2 i و eta=3-6 i . عندما تكون النقطتان \( \mathrm{A}(lpha) \) و \( \mathrm{B}(eta) \) على نفس الخط المستقيم مع الأصل $\mathrm{O}$، أوجد قيمة العدد الحقيقي $x$.

يرجى حل مسألة المتجهات في المستوى.

بالنظر إلى المثلث $riangle \mathrm{ABC}$ برؤوس \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \)، أوجد مقدار الزاوية ngle \mathrm{BAC} التي تُرمز بـ $heta$.

المتجهات المتوازية يُقال إن المتجهين غير الصفريين ec{a}، \ec{b} متوازيان إذا كان لهما نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس، ويكتب $\vec{a}/\vec{b}$. من تعريف مضاعفات الأعداد الحقيقية للمتجهات، فإن ما يلي صحيح. بعد ذلك، أثبت أن المتجهات النموذجية ecа= лучший )، \вейвек نفس وتساوي \( 2 \vec {b}।

أوجد الزاوية $\theta$ بين المتجهين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ في الحالات التالية: (1) عندما يكون $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ (2) عندما يكون $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ و $\vec{a}-3 \vec{b}$ عمودياً على $2 \vec{a}+ \vec{b}$

في الفضاء، هناك نقاط \( \mathrm{A}(ec{a}) \) و\( \mathrm{B}(ec{b})\). أوجد متجه الموضع للنقطة التي تقسم بشكل خارجي قطعة الخط AB بنسبة m:n.

نظرًا لمكونات المتجهات \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \) ، عبّر عن المتجهات التالية في شكل مكونات. (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

نطاق وجود النقطة $\mathrm{P}$ التي تحقق معادلة المتجه: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

معطى \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) ورقم حقيقي $t$، ليكن \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \). أوجد قيمة $t$ التي تصغّر $|\vec{p}|$ وقيمة $|\vec{p}|$ في تلك النقطة.

بالنسبة للمتجهات الموضحة في الشكل الأيمن، قم بإدراج جميع أزواج أرقام المتجهات التي تفي بالمعايير التالية: (1) المتجهات التي لها نفس القيمة المطلقة (2) المتجهات التي لها نفس الاتجاه (3) المتجهات المتساوية (4) المتجهات المعاكسة

افهم المعنى الهندسي لجمع المتجهات وتناول المثال 2!

هناك نقطتان ثابتتان O و A ونقطة متحركة P. معطى أن \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} و \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} ، عندما |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 ، يكون النقطة P على محيط دائرة معينة. أوجد مركز هذه الدائرة ونصف قطرها. افترض أن ec{a} eq \overrightarrow{0} .

في الشكل الرباعي $A B C D$ الموجود على اليمين، وهو معين، النقطة $O$ هي نقطة تقاطع القطريين $A C$ و $\mathrm{BD}$. معطى أن $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) ارسم المتجهين $\vec{a}-\vec{b}$ و $\vec{a}-\vec{c}$. (2) ما نوع المتجه $\vec{b}+\vec{c}$؟

تحليل المتجه ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b}. يمكن التعبير عن أي متجه ec{p} بشكل وحيد باستخدام الأعداد الحقيقية $s, t$ على الشكل ec{p}=s ec{a}+t ec{b}.

في فضاء الإحداثيات، احسب المسافة بين نقطتين. إذا كانت إحداثيات النقطة A هي (a1, a2, a3) وإحداثيات النقطة B هي (b1, b2, b3)، فما هي المسافة بين A و B؟

دعنا نفكر في المعنى الهندسي لإضافة المتجهات. بالنسبة للمتجهات $\vec{a}, \vec{b}$ على اليمين، ارسم $\vec{a}+\vec{b}$。

حدد قيمة $x$ بحيث تكون المتجهات ec{a}, ec{b} التالية متوازية. (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

بداخل $riangle \mathrm{ABC}$ نقطة $\mathrm{P}$ بحيث $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ صحيح. (1) أين تقع النقطة $\mathrm{P}$؟ (2) أوجد نسبة المساحات $riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}$.

مثال 35 أقل مقدار لمتجه (الفضاء) \(ec{a}=(2,-4,-3)\) و\(ec{b}=(1,-1,1)\). أوجد أصغر مقدار لـ ec{a}+t ec{b} (حيث $t$ عدد حقيقي) وقيمة $t$ عند هذا الأصغر. [معهد تشيبا للتكنولوجيا]

مضاعف العدد الحقيقي للمتجه\ بالنظر إلى العدد الحقيقي $k$ والمتجه \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \)، يُعرّف المتجه $k \vec{a}$ بمضاعفة المتجه $\vec{a}$ بالعدد $k$ كما يلي: 1. إذا كان $k > 0$، فإن المتجه $\vec{a}$ له نفس الاتجاه، لكن مقداره يصبح $k$ مرة أكبر. على وجه الخصوص، $1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. إذا كان $k < 0$، فإن المتجه $k \vec{a}$ يصبح في الاتجاه المعاكس لـ $\vec{a}$ ومقداره يصبح \( |k| \ ) مرة أكبر. على وجه الخصوص، \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. إذا كان $k=0$، تكون النتيجة متجه الصفر $\overrightarrow{0}$، بمعنى $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ بعد ذلك، تحقق من هذا بالمثال المعطى. مثال: اضرب المتجه \( \vec{a} = (3, -2) \) بالعدد الحقيقي $k = 2, -3, 0$.

طريقة الحل البديلة لـ $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ (نفس الشيء حتى الخطوة 11). باعتبار النقطة D كنقطة البداية، $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ لذلك، من (1)، \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ تحقق من ذلك.

إذا كان z=4+2i, lpha=1+3i ، فقم برسم النقاط \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) على المستوى العقدي.

إحداثيات النقطة A هي (2,-4)، إحداثيات النقطة B هي (-2,2)، وإحداثيات النقطة C هي (0,-4). بالنسبة للمتجهات ec{a}, ec{b}, ec{c}، أجب عن الأسئلة التالية: (1) عبر عن المتجهات ec{a}, ec{b}, ec{c} في الشكل المكون. (2) احسب مقادير |ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}|.

أثبت أن المعادلات التالية صحيحة. (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

متجه الموقع، تطبيق على الأشكال متجه الموقع لنقاط التقسيم (الفضاء)

أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) ويكون عمودياً على المتجه \( ec{n}=(1,-2,3) \).

يرجى حل المشكلة المتعلقة بالمتجهات في الفضاء.

اشرح معادلة المتجه للخط.

في كل من الحالات التالية، احسب الزاوية $\theta$ بين $\vec{a}$ و $\vec{b}$. (1) عندما يكون $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ (2) عندما يكون $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$ و $\vec{a}-\vec{b}$ عموديان على $6 \vec{a}+7 \vec{b}$

على مستوى، فكر في △ABC والنقاط P وQ. أجب عن مواضع النقاط P وQ عندما تكون المعادلات التالية صحيحة: (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

احسب إحداثيات مركز الثقل للنقاط A وB وC. إذا كانت إحداثيات النقطة A هي (a1, a2, a3) وإحداثيات النقطة B هي (b1, b2, b3) وإحداثيات النقطة C هي (c1, c2, c3)، ما هي إحداثيات مركز الثقل؟

بالنسبة لنقطتين \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) و \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \)، \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2 ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]

في المثلث $riangle \mathrm{ABC}$ الذي رؤوسه عند النقاط \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \)، يكون $\mathrm{P}$ نقطة منتصف الضلع $\mathrm{AB}$، و $\mathrm{Q}$ النقطة التي تقسم الضلع $\mathrm{BC}$ خارجياً بنسبة 1:2، و $\mathrm{R}$ النقطة التي تقسم الضلع $\mathrm{CA}$ خارجياً بنسبة 2:1. يكون G هو مركز التثاقل في $riangle \mathrm{AQR}$. عبّر عن المتجهات التالية باستخدام ec{a}, ec{b}, ec{c} : (1) متجه موقع النقطة G (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

إذا كانت النقطة P على المستوى KLM، فابحث عن مقدار المتجه OP |€{ec{\mathrm{OP}}}|.

اوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة \( \mathrm{A}(4,2,2) \) ويكون عمودياً على المتجه \( ec{n}=(2,-3,1) )。

بالنسبة لمثلث $riangle \mathrm{OAB}$، دع $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$. إذا كان الأعداد الحقيقية $s$ و $t$ تحقق s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 ، فحدد نطاق وجود النقطة $\mathrm{P}$.

عند إعطاء \(ec{a}=(3,-4)\) و \(ec{b}=(-2,1)\)، عبّر عن مكونات المتجهات التالية: (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

بالنسبة لمثلث OAB، لنفترض $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$。عندما تفي الأعداد الحقيقية $s, t$ بالمعادلات التالية، حدد نطاق وجود النقطة P： (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3، \quad s \geqq 0، \quad t \geqq 0$

الفصل 1 المتجهات في المستوي- 23 EX 3 نقاط \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) موجودة. (1) أوجد جيب تمام الزاوية $\theta$ بين $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ و $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ وهو $\cos \theta$. (2) أوجد مساحة المثلث $\triangle \mathrm{ABC}$. (3) أوجد القيمة العددية الحقيقية t التي تصغر مقدار المتجه $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ وأقل قيمة له.

بالنسبة إلى المتجهات الموضحة في الشكل على اليمين، قم بإدراج جميع أزواج أرقام المتجهات كما يلي: (1) المتجهات ذات المقدار المتساوي (2) المتجهات ذات الاتجاه نفسه (3) المتجهات المتساوية (4) المتجهات المتعاكسة

لنفترض \( ec{a}=(1,2,3) \) و \( ec{b}=(2,0,-1) \). أوجد القيمة الدنيا لـ |ec{c}| وقيمة $t$ عند تلك القيمة الدنيا، حيث ec{c}=ec{a}+t ec{b} .

افترض أنه في المستوى، هناك $riangle \mathrm{ABC}$ والنقاط $\mathrm{P}$ و$\mathrm{Q}$. عندما تكون المعادلات التالية صحيحة، أجب عن مواقع النقاط $\mathrm{P}$ و$\mathrm{Q}$. (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

عند إعطاء المتجهين \vec{a} و \vec{b}. إذا كان |\vec{a}| = 2\sqrt{10}، |\vec{b}| = \sqrt{5}، و \vec{a} \cdot \vec{b} = -10، أجب عن الأسئلة التالية. (1) لأي عدد حقيقي t، جد القيمة الصغرى لـ |\vec{a} + t\vec{b}| وقيمة t في ذلك الوقت. (2) للقيمة t التي تم الحصول عليها في (1)، اثبت أن \vec{a} + t\vec{b} عمودي على \vec{b}.

في الفضاء، يتم تمثيل قطعة مستقيمة موجهة من النقطة A إلى النقطة B بواسطة $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ويتم تمثيل حجمها بواسطة $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$. يتم أيضًا غالبًا تمثيل متجهات الفضاء بواسطة أحرف صغيرة مثل ec{a} و ec{b} . يتم تعريف المتجهات في الفضاء بنفس الطريقة تمامًا كما في المستوي. أجب عن الأسئلة التالية حول الخصائص الأساسية للمتجهات. 1. إذا كان ec{a} و ec{b} لهما نفس الاتجاه والحجم، كيف يمكن تمثيلهما؟ 2. كيف يتم تمثيل المتجه العكسي ل ec{a} ؟ 3. ماذا تسمى المتجهات التي لها حجم 0 وحجم 1 على التوالي؟ 4. أعط أمثلة على جمع المتجهات وطرحها، وتكاثر عدد حقيقي.

مُعطى z=3+2 i, lpha=1-i ، ارسم النقاط \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) على المستوى العقدي.

(1) أوجد قيمة $x$ بحيث يكون \( \vec{a}=(x+2,1) \) و \( \vec{b}=(1,-6) \) متعامدين. (2) أوجد المتجه $\vec{d}$ الذي يكون عموديًا على \( \vec{c}=(2,1) \) وله مقدار $2 \sqrt{5}$.

أوجد معادلة الخط التي تحقق الشروط التالية باستخدام المتجهات: (1) يمر بالنقطة \( \mathrm{A}(-2,3) \) ويوازي المتجه \( ec{d}=(2,1) \) (2) يمر بالنقطتين \( \mathrm{A}(-1,2) \) و \( \mathrm{B}(3,1) \)

بالنسبة للمتجهين التاليين \vec{a}, \vec{b}، ارسم \vec{a}-\vec{b}。

(1) في المثلث $riangle \mathrm{OAB}$، عند \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} ، عبّر عن مساحة $S$ للمثلث $riangle \mathrm{OAB}$ باستخدام ec{a} وec{b}. (2) باستخدام (1)، عندما $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3, |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$، أوجد مساحة $S$ للمثلث $riangle \mathrm{OAB}$.

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

أوجد إحداثيات النقطة P التي تقسم الجزء المستقيم AB داخلياً بنسبة m:n. إذا كانت إحداثيات النقطة A هي (a1, a2, a3) وإحداثيات النقطة B هي (b1, b2, b3)، فما هي إحداثيات النقطة P؟

إحداثيات نقطة المنتصف للمقطع المستقيم AB $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$