هندسة الأشكال الصلبة - حجم ومساحة السطح

'لنأخذ المحور الأفقي x، ونأخذ نقطة P على المحور الأفقي. يشكل الجزء العرضي بواسطة مستوى عمودي على المحور الأفقي يمر من خلال النقطة P مثلثًا قائمًا ذو أضلاع متساوية PQR. دع x تكون إحداثيات نقطة P، ثم PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}. لذلك، دعنا نعتبر مساحة المثلث PQR على أنها S(x)، ثم S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2}). اعتمادًا على مساحة هذا المثلث، لنجد الحجم V.'

'نظرًا لوجود مربع مستطيلي بأطوال أضلاع a و b و c. عند استخدام الجانب ذو الطول b كمحور للدوران ودوران مربع 90 درجة ، يُعرف الصلب الناتج من جميع النقاط التي يمر بها المربع بـ V. (1) عبر حجم V بالنسبة ل a و b و c. (2) عندما a+b+c=1 ، اعثر على نطاق القيم الممكنة لحجم V. [جامعة طوكيو]'

'قم بقطع هذا الصلب بمستوى يمر عبر النقاط Q و S الرأسي على القاعدة، ثم قم بالقطع بمستوٍ تقائي على القاعدة يمر عبر النقاط T و R، وادهن الوجوه التي تم إنشاءها بواسطة القطع فقط. اعتبر الصلب الذي يحتوي على النقاط A و B و C كما يلي: الصلب X، Y، Z على التوالي. إذا كانت نسبة حجم الصلب Y إلى الصلب Z هي 4:1، فأجب على الاسئلة التالية.'

'ما هو حجم الهرم O-KLMN مقارنة بحجم السداسي الأسطواني ABCD-EFGH'

'(3) يتم أخذ النقاط P و Q و R على الأضلاع AE و BF و CG بحيث AP: PE = 2:1، BQ: QF = 1:1، CR: RG = 1:2. يُظهر الشكل 2 إضافة النقاط P و Q و R إلى الشكل 1. عند تشكيل صلب بقطع هرم OKLMN بمستوى يمر من خلال النقاط P و Q و R، ما هو الضعف من حجم هرم OKLMN هو حجم الصلب الذي يشمل النقطة O؟'

'(2) إذا تم قطع مكعب بواسطة مستوى يمر عبر النقاط P و R و T ، ومستوى يمر عبر النقاط Q و R و T في نفس الوقت ، ابحث عن نسبة حجوم الصلب الناتج من نقطة B والصلب الناتج من نقطة E ، بأبسط نسبة عددية.'

'أجب على الأسئلة التالية. يتم حساب حجم المخروط كـ (مساحة القاعدة) × (الارتفاع).\n(١) عند تجميع هذا الرسم التوضيحي المفتوح، أي الحواف تلمس الحافة أ؟ الرجاء الإجابة باستخدام الرموز من الحواف I إلى K.\n(٢) كم عدد حواف المتجانس C؟\n(٣) لنلقب المكعب الذي يحتوي على حافة واحدة مقياسها ٦ سم بـ D.\nعبّر عن نسبة الحجم بين المتجانس C والمكعب D في أبسط صورة ممكنة من العدد الصحيح.'

'عندما يقطع مستوى يمر عبر النقاط P ، Q ، و F هذا الصلب ، يتقاطع المستوى مع حافة AE في نقطة R.'

'ما هي مساحة قاع حوض الماء أ مقارنة بمساحة قاع حوض الماء ب؟'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'في هندسة الأشكال الثلاثية الأبعاد Z ، إذا كان نسبة مساحة الجزء الملون إلى مساحة الجزء غير الملون هي 1: 4 ، ما هي النسبة البسيطة لمساحات سطوح المادة الصلبة X والمادة الصلبة Z؟'

''

'في مشكلة إيجاد حجم الشكل الصلب، احسب حجوم الأشكال الهندسية التالية.'

'عندما يقطع مستوى يمر عبر نقاط منتصف الحواف AE ، BF ، CG ، DH الهرم O-KLMN ، ما هي نسبة مساحة القسم القاطع إلى مساحة الرباعي ABCD؟'

'كما هو مبين في الرسم البياني، هناك صلب بجميع الوجوه المسطحة، حيث الحافة AB موازية للحافة EF، الحافة BC موازية لـ FG، الحافة CD موازية لـ GH، والحافة DA موازية للحافة HE.'

'لتكن p، q أعداد حقيقية إيجابية. بالنظر إلى المساحة ذات المحور الأصلي O ، فإن ثلاث نقاط P(p, 0, 0) ، Q(0, q, 0) ، R(0, 0, 1) تفي بشرط ∠PRQ=π/6'

'نقاط معينة A(1، -2، -3)، B(2، 1، 1)، C(-1، -3، 2)، D(3، -4، -1). حدد إحداثيات الرؤوس الأخرى للمكعب الموازي مع شرائط AB و AC و AD كثلاثة حواف.'

'هناك حاوية على شكل نصف كرة لها نصف قطر 2 مليئة بالماء. عند تميلها بزاوية α بلطف، ينخفض مستوى الماء بمقدار 197h(2)، وتصبح نسبة الماء المتساكب إلى الماء المتبقي في الحاوية 11:5. ابحث عن قيم h و α. قدم الإجابة لـ α بالراديان.'

'ابحث عن حجم V للكتلة التي تم الحصول عليها بتدوير الشكل التالي حول محور الـ x مرة واحدة. (2) الدائرة x^{2}+(y-2)^{2}=4 ومحتواها'

'ابحث عن حجم الجسم الثوري الناتج عن دوران حول الخط y=x. اعتبار الشروط التالية: نظام المعادلات غير المتساوية 0 <= x <= t، x² - x <= y <= x، 0 <= t <= 2.'

'عندما يزيد حجم الكرة بنسبة 1٪ ، فبنسبة تقريبية كم تزيد نصف القطر r ومساحة سطح S للكرة؟'

'حجم الهرم الرباعي'

''

'احسب حجم المنحنى الذي يمثله المعادلات المعلمية والجسم الصلب للدوران.'

'في الفضاء ثلاثي الأبعاد، دور مثلث OAB ذو الرؤوس O(0,0,0)، A(1,0,0)، و B(1,1,0) حول محور ال x لتشكيل مخروط V. حساب حجم الجسم الناتج عن دوران المخروط V حول محور ال y.'

'هناك اثنان من أسطوانات الدائرة الممتدة إلى مالانها مع اقطارها التي تكون دوائر نصف قطرها a. الآن، افترض أن هذين الاسطوانتين تتقاطعان مع محاورهما المركزية تشكل زاوية π/4. احسب حجم التقاطع (الجزء المشترك).'

'لنكن r عددًا حقيقيًا موجبًا. في الفضاء xyz، ننظر إلى مجموعة النقاط التي ترضي النظام التالي من عدم المساواة: x^{2} + y^{2} \\le r^{2}, y^{2} + z^{2} \\ge r^{2}, z^{2} + x^{2} \\le r^{2}. اعثر على حجم الجسم عن طريق النظر في القطاع عبر السطح x = t (0 \\le t \\le r).'

'احسب حجم جسم الدوران في الفضاء الإحداثي (2).'

'ابحث عن حجم صلب يمثله نظام من عدم المساواة.'

'مراجعة'

'اقلع كل وجه من الهرم المثلثي ومكعب مُثمن بألوان. يتم طلاء كل وجه بلون واحد فقط. علاوة على ذلك، يُعتبر دوران ومطابقة أنماط الألوان متطابقة. عند وجود 12 لونًا، عدد الطرق لطلاء الهرم المثلثي بحيث تكون كل الوجوه بألوان مختلفة هو A [ ]. أيضًا، عند وجود 8 ألوان، عدد الطرق لطلاء المكعب المثمن بحيث تكون كل الوجوه بألوان مختلفة هو B [ ].'

''

'كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن تلون بها وجوه المجسمات المعطاة؟ افترض أن التلوينات المعادلة دوريًا تعتبر نفسها. (1) طريقة تلوين كل وجه من هرم رباعي القاعدة بـ 5 ألوان مختلفة (2) طريقة تلوين كل وجه من بريزم مثلثي بـ 5 ألوان مختلفة'

'المثال الأساسي 138 ارتفاع وحجم الهرم الرباعي الأساسي\nلنكن ABCD هرمًا رباعيًا منتظم الحافة بطول a.\n(1) عبّر عن ارتفاع هذا الهرم بالنسبة لـ a.\n(2) عبّر عن حجم هذا الهرم بالنسبة لـ a.'

'هناك مكعب بطول جانبي بطول 6 سم. حدد حجم المتوازي المستطيل النظامي الناتج عن تقاطع القطرين لكل وجه من وجوه هذا المكعب.'

'يمكن التوصل إلى أن \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ من \ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \ يكون النقطة على نصف الدائرة بنصف قطر 1، حيث تكون إحداثيات السينات \ x \ هي \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \، هي النقطة \ \\mathrm{P} \ في الشكل. الزاوية \ \\theta \ التي نبحث عنها هي \ \\angle \\mathrm{AOP} \.'

'مخروط بارتفاع 4 ونصف قطر القاعدة √2 هو ملامس لكرة O على جانبه وأيضًا في وسط M من قاعدته. اعثر على حجم V ومساحة السطح S للكرة O.'

'نسبة الحجم بين المكعب والتتراهيدرون رقم 102'

''

'في الهرم المثلث ABCD الموضح على اليمين، AD=2, BD=4, CD=6, زوايا ADB=ADC=BDC=90 درجة، ابحث عن القيم التالية.'

'في الهرم ABCD، حيث AD=2، BD=4، CD=6، ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°، ابحث عن القيم التالية:\n(1) حجم V للهرم ABCD\n(2) مساحة S لل△ABC\n(3) الطول d للمنظر العمودي المسقط من الرأس D على السطح الأفقي ABC'

'هناك ورقة معدنية رقيقة على شكل مستطيل حيث تكون الطول ضعف العرض. من زوايا هذه الورقة ، يتم قص مربعات بطول جانب 1 سم لإنشاء صندوق مستطيلي بدون غطاء. من أجل جعل حجم الصندوق بين 4 سم³ و 24 سم³ ، ما هي النطاق يجب أن يكون فيه الارتفاع؟'

'ابحث عن ما يلي لهرم OABC:'

''

'العثور على الحد الأقصى لحجم اسطواني مستدير عالج داخل كرة نصف قطرها 6. كما ، حدد ارتفاع الاسطوانة في تلك اللحظة.'

'احسب حجم المثلث الرباعي النظامي'

'أجب على الأسئلة التالية عندما يكون كل رأس من المضلع العشروني النظامي دبلغ طول ضلته 1 على سطح كرة S. العشروني المنتظم له جميع الأوجه متطابقة ومتكافئة وكل رأس مشترك بخمس مثلثات متساوية الضلع.'

'نظرًا لوجود مكعب بحافة طولية تبلغ 1 ، ABCD-EFGH ، مستوى يحتوي على النقاط A و C و F ، والذي يتقاطع مع الخط BH عند النقاط P وخط عمودي يسقط من النقطة P إلى المستوى ABCD يتقاطع في النقطة Q.'

'ابحث عن حجم اسطوانة ومخروط عندما تكون مساحة القاع هي S والارتفاع هو h. كما، ابحث عن حجم ومساحة سطح كرة ذات نصف قطر r.'

'قم بإنشاء مثلث متساوي الأضلاع ABC بجانب 3 كأساس للهرم PABC ، حيث PA=PB=PC=2. اسحب عمودي PH من الرأس P إلى القاعدة ABC.'

'في الهرم الرباعي ABCD، حيث AB=3، BC=√13، CA=4، DA=DB=DC=3، قم بإسقاط عمودي DH من الرأس D على مثلث ABC. اعثر على طول القطعة DH وحجم الهرم الرباعي ABCD.'

'لنكن ABC مثلث متساوي الأضلاع ذو طول جانبي 3، ولنكن PABC تيتراهيدرون بثوابت PA=PB=PC=2. يتم إسقاط خط رأسي PH من النقطة P إلى القاعدة ABC.'

'احتساب الارتفاع والحجم لهرم رباعي منتظم\nفي هرم رباعي منتظم ABCD بطول ضلع a ، اسحب خطًا عموديًا AH من الرأس A إلى مثلث BCD.\n(1) عبّر عن طول h لـ AH في صيغة a.\n(2) عبّر عن الحجم V للهرم الرباعي المنتظم ABCD في صيغة a.\n(3) عبّر عن طول الخط العمودي المسحوب من النقطة H إلى مثلث ABC في صيغة a.'

'لنكن I مركز الكرة المتماسة. الأربعة أهرامات IABC وIACD وIABD وIBCD متطابقة ، لذلك'

'حساب حجم المخروط الرباعي الأساسي'

''

'هناك مكعب A. قم بتقليل A عموديًا بمقدار 1 سم ، أفقيًا بمقدار 2 سم ، وزد الارتفاع بمقدار 4 سم لإنشاء البريزم الأستطيلي B. بالإضافة إلى ذلك ، قم بتمديد A عموديًا بمقدار 1 سم ، أفقيًا بمقدار 2 سم ، وتقليل الارتفاع بمقدار 2 سم لإنشاء البريزم الأستطيلي C. عندما يكون حجم A أكبر من حجم B ولكنه ليس أكبر من حجم C ، اعثر على نطاق طول جانب واحد من A.'

'يرجى حساب حجم دodecahedron النظامي W.'

'الارتفاع والحجم للهرم الرباعي الأوجه'

'في الهرم الرباعي ABCD ، AB = AC = 3 ، ∠BAC = 90 درجة ، AD = 2 ، BD = CD = √7 ، ومنتصف BC هو M. في هذه الحالة ، BC = مربع ، DM = مثلث ، ∠DAM = درجات مستطيلة ، وحجم الهرم الرباعي ABCD هو المنطمس.'

'ابحث عن مساحة مثلث وتطبيقه في الهندسة الصلبة'

'ابحث عن حجم الهرم الأربعي الأسطواني ABCD.'

'في المثلث الرباعي المنتظم ABCD مع طول جانبي 3، يتم إسقاط عمودي AH من الرأس A إلى القاعدة BCD. بالنظر إلى أن النقطة E على الحافة AB لها AE=1، ابحث عن:\n(1) sin∠ABH\n(2) حجم المثلث الرباعي EBCD'

'ابحث عن حجم الهرم OABC. كما أن تجد المسافة بين النقطة O والسطح المستو ABC.'

'عندما يزيد حجم الكرة بنسبة 1٪ ، فما نسبة زيادة النصف قطر؟'

'(2) دع حجم الحاوية $Q$ يكون $V_{1}$. بالنسبة لهرم $ABCD$ بطول حافة $b$...'

'في النطاق 0 ≤ x ≤ π ، ما هو حجم الجسم V الذي تم تشكيله بتدوير الشكل المحاط بالمنحنيات y=sin x, y=sin 2x حول محور x؟'

'(2) في الفضاء ، عندما يتحرك مركز كرة بنصف قطر 1 على طول جانب من مربع طول الضلع 4 لمدة جولة ، ابحث عن حجم V للجزء من الكرة الذي يمر من خلاله.'

'في الفضاء التكويني, نظر إلى مربع S ذو الرؤوس A(-1,1,0)، B(1,1,0)، C(1,-1,0)، و D(-1,-1,0) المحددة بواسطة المتبادلات |x| ≤ 1، |y| ≤ 1 في المستوى xy. دع V1 يكون الصلب الناتج عن دوران المربع S حول الخط BD، و V2 يكون الصلب الناتج عن دوران المربع S حول الخط AC.'

''

'مثال 20: حجم الجسم المستدار حول قطر مكعب'

'نفكر في مخروط دائري مستقيم بالمنشأ كوسط ودائرة بالنصف كقاعدة ، تتضمن قمة A(1،1،0) ، B(1،-1،0) ، C(-1،-1،0) ، D(-1،1،0) ، E(1،0،1) ، F(-1،0،1) مكعب ثلاثي. العثور على حجم هذا المخروط الدائري الأقل ونصف قطر قاعده في ذلك الوقت.'

None

'لنكن S كجسم كروي بنصف قطر 1 وسط ا الأصلي في الفضاء المحدد. بالنسبة لنقاط A و B و C و D المتحركة على S، لنفترض F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2).(1) فليكن →OA= a، →OB= b، →OC= c، →OD = d، حيث يوجد ثابت k مختلف عن a و b و c و d، بحيث F=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d). ابحث عن قيمة الثابت k.(2) ابحث عن القيمة القصوى M ل F عندما تتحرك النقاط A و B و C و D على S.(3) عندما تكون إحداثيات النقطة C هي (-1/4, √15/4, 0) وإحداثيات النقطة D هي (1, 0, 0)، حدد جميع أزواج النقاط A و B على S حيث F=M.'

'ابحث عن النصف القطر r لمخروط يقلل من حجم المخروط الدائري المستقيم.'

'الهرم ذو الأسطح الأربعة ABCD والنقطة P تتفق مع المعادلة AP+3BP+2CP+6DP=0.'

'تمرين 3 الحد الأقصى لحجم الهرم\nفي الهرم OABC، حيث |OA|=a، |OB|=b، |OC|=c، ∠AOB=90°، ∠AOC=α، ∠BOC=β. مع العلم أن 0°<α<90°، 0°<β<90°، وα+β>90°.\n(1) عبّر عن المنتجات النقطية OA⋅OC، OB⋅OC بالنسبة ل a, b, c, α, β.\n(2) لنكن CH القائمة المنسدلة من النقطة C على المستوى الذي يحتوي على △OAB.\nإذا كان OH=kOA+lOB (حيث k, l أعداد حقيقية)، فعبّر عن k, l بالنسبة ل a, b, c, α, β.\n(3) عبّر عن حجم V للهرم OABC بالنسبة ل a, b, c, α, β.\n(4) عندما تكون a, b, c ثوابت وتستوفي α, β الشرط α+β=120°، اعثر على القيمة القصوى لـ V.'

'مثال 20 حجم الصلب للدوران حول القطر الطويل للمكعب'

None

'ابحث عن حجم V للصلب المحصل عليه بتدوير القطعة $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \\geqq 0)$ والمنطقة المحصورة بواسطة محور y حول محور y مرة واحدة. هنا، $a>0, b>0$.'

'(3) العثور على القيمة المطلقة لإحداثي $x$ للنقطة A. النقطتان B و P على مستوى $yz$. العثور على الارتفاع من المخروط المائل POAB وحساب حجمه.'

''

'ابحث عن حجم الصلب الناتج عن دوران المنطقة المحيطة بين المستقيم y=x والقوس y=x^2-x حول المحور OA كمحور ، حيث A هو نقطة تقاطع بين المستقيم والقوس (باستثناء المنشأ O).'

''

'حجم الجسم الدوري: ابحث عن حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى y = √x حول محور x من x = 0 إلى x = 1.'

'ابحث عن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى y=-2x^2-1 ومحور الx وخطي x=-1 و x=2 حول محور الx.'

'صندوق مستطيلي ABCDEFGH بأضلاع طولها AB = x، AD = y، و AE = z في الفضاء. إذا كان طول القطر AG هو 3، ومساحة السطح S هي 16، فإن'

'ابحث عن حجم الجسم الناتج عن تشكيل قواعد ارتكاز بين النقطة P(x, 0) و Q(x, 4-x^2) كجزء واحد على مستوٍ عمودي على محور الإكس. وبينما تتحرك P على طول محور الإكس من النقطة الأصلية O إلى النقطة (2,0).'

'إذا كان AB = x، AD = y، AE = z، ويوجد مكعب مستطيل ABCD-EFGH في الفضاء. إذا كان طول القطر AG هو 3، ومساحة السطح S هي 16'

''

'وعاء على شكل مخروط دائري مقلوب بنصف قطر 5 سم وارتفاع 10 سم. يتم سكب الماء بلطف في الوعاء بمعدل 2 سم³/ثانية. حدد ما يلي عندما تصل عمق الماء إلى 4 سم:\n(1) السرعة التي ترتفع بها مستوى الماء\n(2) الزيادة في نسبة مساحة سطح الماء'

'حجم الصلب الناتج عن دوران S1 حول محور الاكس مرة واحدة'

'ابحث عن حجم V للجسم الصلب التالي للدوران.'

'النقطة A على الشَّاقول PQ معطاة بواسطة OA = OP + sPQ (0 <= s <= 1) حيث'

'في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاث نقاط O(0,0,0)، A(1,0,1)، B(0,√3,1). يقعون في المستوى z=0 ودائرة بمركز O ونصف قطر 1 تكون W. عندما يتحرك النقطة P على طول القطعة المستقيمة OA والنقطة Q تتحرك حول أو داخل الدائرة W، مما يضمن بأن تكون ⃗OR=⃗OP+⃗OQ، فإن جميع النقاط R تشكل صلب V_A. بالمثل، عندما تتحرك النقطة P على طول القطعة المستقيمة OB والنقطة Q تتحرك حول أو داخل الدائرة W، مما يضمن بأن تكون ⃗OR=⃗OP+⃗OQ، فإن جميع النقاط R تشكل صلب V_B. علاوة على ذلك، يُعتبر التداخل بين V_A و V_B جزءًا من V. (1) عبّر عن مساحة الشق المستقطع من الصلب V بواسطة الزاوية θ المقطوعة بواسطة السطح z=cosθ(0≤θ≤π/2). (2) حدد حجم الصلب V.'

'ابحث عن حجم $V$ للجسم الصلب الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta$ (لـ $-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$) ومحور الإكس حول محور الإكس مرة واحدة.'

'ابحث عن حجم شكل ثلاثي الأبعاد \ V \.'

'هناك اسطوانتان ممتدتان إلى ما لا نهاية على كلا الجانبين، مع أقراص قطع تشكل دوائراً بنصف قطر a. الآن، لنفترض أن تتقاطع هذه الأسطوانات لتشكل محورًا مركزيًا بزاوية π/4. اعثر على حجم الجزء المتقاطع (الجزء المشترك). [المصدر: جامعة نساء اليابان]'

'حجم صلب تم إنشاؤه بتدوير خط في الفضاء المحوري'

''

'العثور على حجم V للصلب الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير المنطقة المحاطة بالقوس y=x^{2}-2 x والخط y=-x+2 حول محور x مرة واحدة.'

'نظرًا للطوب الثلاثي مع الرؤوس A(1,1,0)، B(1,-1,0)، C(-1,-1,0)، D(-1,1,0)، E(1,0,1)، و F(-1,0,1) ومخروط دائري مستقيم مع الدائرة في المستوى xy المتمركزة في مركز الأصل كالقاعدة. اعثر على الحد الأدنى لحجم مثل هذا المخروط ونصف القطر r للقاعدة في ذلك الوقت.'

'مشكلات تطبيق الحد الأقصى والحد الأدنى (2) ... الموضوع هو الأشكال المكانية'

'عندما يزيد حجم كرة V بنسبة 1٪ ، بنسبة ماذا تزيد أقطار الكرة r ومساحتها السطحية S تقريبا؟'

'العثور على حجم الجسم الصلب المحصل عليه بدوران الأشكال التالية حول المستقيم y=x: (1) المنطقة المحيطة بالقوس النابض y=x^2 والمستقيم y=x. (2) المنطقة المحاطة بالمنحنى y=sin x (0 <= x <= pi) والخطين y=x و x+y=pi.'

''

'تحدى السؤال'

'المثال الأساسي 171 كمية الماء المتسربة من الحاوية'

'المنحنى C: y = x ^ 3 يمر عبر نقطتين O (0،0) و A (1،1). العثور على الحجم V الصلب الناتج عن تدوير المنطقة المحاطة بالمنحنى C وشريط الخط OA حول الخط OA.'

'حجم المثلث الأضلاع الأربعة'

'هناك اسطوانة بقاعدة لها نصف قطر a وارتفاع a. عندما يقوم السطح الذي يحتوي قطر AB للقاعدة ويلتف بزاوية 30 درجة من الأسفل بتقسيم الأسطوانة إلى جسمين، ابحث عن حجم V للجسم الأصغر.'

'في الفضاء التحويلي EX، يوجد اسطوانة تستوفي في نفس الوقت عدم المساواة $x^{2}+y^{2} \\leqq 1$ و $0 \\leqq z \\leqq 3$. عندما يتم تقسيم هذه الأسطوانة إلى صلبين بواسطة مستوى يمر عبر النقطة $(1,0,1)$ ويحتوي على محور الرأس (يشكل زاوية $\\frac{\\pi}{4}$ مع المستوى 2133)، ابحث عن حجم الصلب الذي يحتوي على النقطة $(1,0,0)$.'

'لديك حاوية نصف كروية بنصف قطر 2 مليئة بالماء. عند إمالتها بزاوية α بلطف ، انخفض سطح الماء بـ h ، وأصبحت نسبة كمية الماء التي انسكبت إلى الكمية المتبقية في الحاوية 11:5. احسب قيم h وα.'

'كيفية حساب الحجم'

'عند تقليل كل جانب من مكعب له طول ضلع يبلغ 5 سم بمقدار 0.02 سم، كم سيتناقص مساحة السطح والحجم للمكعب؟ الرجاء حسابه إلى رقمين عشريين.'

'في الفضاء مع النقطة O(0, 0, 0) كالأصل، هناك ثلاث نقاط A(1, 2, 0)، B(0, 2, 3)، C(1, 0, 3). ابحث عن حجم الهرم OABC.'

'394 مثال 62 معادلة الاتجاه ونسبة حجم شبه المنحرف'

'ننظر إلى النقاط P (u، u، 0) و Q (u، 0، √(1-u^2)) في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أثناء تغيير u من 0 إلى 1، يُعرف السطح الذي يتكون من قطعة الخط PQ بـ S.'

'فليكن حجم المخروط OABC V,'

'ابحث عن حجم V للجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى y = f(x) ومحور y والخط y = f(1) حول محور y، حيث f(x)=xe^x+e/2.'

'حل المشكلة الرياضية: دع y = cos x (0 ≤ x ≤ π/2) تمثل منحنى. يُعرف حجم الصلب الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى والمحور x والمحور y حول المحور x بتوقيع V1. يُعرف حجم مخروط دائري مستقيم بقطر قاعدة 1 وارتفاع π/2 بتوقيع V2. حساب قيمة V = V1 - V2.'

'اشرح كيفية حساب حجم الكائن الثلاثي الأبعاد الدوراني حول محور x، واحسب بشكل محدد باستخدام الدالة f(x).'

'حل مشكلات الحد الأقصى والحد الأدنى المتعلقة بالهندسة الصلبة.'

'ابحث عن حجم V للمادة التي تم إنشاؤها عن طريق تدوير المنطقة المحاطة بالمنحنيين حول محور السين x. يتم تحديد المنحنيات بواسطة y = f(x) و y = g(x) (a <= x <= b ، حيث f(x) >= g(x) >= 0).'

'ابحث عن الحجم الناتج عن دوران حول المحور y.'

'ابحث عن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بالمنحنى x=f(θ), y=g(θ), محور ال x، وخطين x=a, x=b (a < b) حول محور ال x باستخدام طريقة الأسطوانات الدائرية.'

'اعثر على حجم V للجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى y=cosx (0 ≤ x ≤ π), y=-1، ومحور y حول محور y مرة واحدة.'

'في الفضاء مع نقطة البداية O كمركز، هناك ثلاث نقاط A(1,2,0)، B(0,2,3)، C(1,0,3). ابحث عن حجم الهرم OABC.'

'احسب حجم الجسم الصلب الناتج عن دوران الشكل الذي تم اعتباره في (2) (1) حول محور y مرة واحدة.'

'العثور على حجم الجسم الصلب الناتج عن دوران حول محور y. شرح باستخدام وظيفة g(y).'

''

'ترجم السؤال المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن حجم V للجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى x=tanθ، y=cos2θ (-π/2<θ<π/2)، ومحور ال x حول محور ال x.'

'اشرح كيفية العثور على ارتفاع مخروط دائري مستقيم.'

'أريد تلوين كل وجه من أوجه التتراهيدرون النظامي. ومع ذلك، يُعتبر تدوير التتراهيدرون لمطابقة التلوين هو نفسه. (1) كم عدد الطرق المتاحة للتلوين باستخدام جميع الألوان الأربعة المختلفة. (2) بين الطرق المختلفة للتلوين بثلاثة ألوان ، كم عدد الطرق المختلفة للتلوين باستخدام الألوان الثلاثة. كما ، إذا كان يمكن أن يكون هناك لون بين الثلاثة الذي لا يستخدم ، كم عدد طرق التلوين.'

'مثال 73 | حجم المتعددة السطوح\nمتعددة السطوح تحتوي على 6 مربعات بطول ضلع 3 و 8 مثلثات متساوية الأضلاع كأوجه مدرجة في مكعب كما هو مبين في الشكل. اعثر على حجم هذه المتعددة السطوح. [جامعة ستسونان] دليل التركيز على أن تكون مدرجة في مكعب. اعتبار متعددة السطوح التي تتكون من قطع جميع الزوايا للمكعب بواسطة مستوى يمر عبر نقاط منتصف كل حافة من حواف المكعب.'

'لوح من الفولاذ الرفيع له طول يكون ضعف عرضه. يتم قص مربعات بحجم طول ضلعها 5 سم من أربع زوايا هذا اللوح كما هو موضح في الرسم البياني وطيها لإنشاء حاوية مستطيلة مفتوحة. عندما يكون حجم هذه الحاوية هو 1.5 لتر، ما هي الأبعاد الأصلية للوح بالسنتيمتر؟'

'144'

'يوجد هرم رباعي PABC مع حواف طولها 3. ابحث عن حجم الشكل المتبقي بعد إزالة 4 أهرامات بطول 1 من الداخل.'