هندسة الأشكال الصلبة - خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد (الأجسام الهندسية، الأسطوانات، المخاريط، الكرات)

'ابحث عن محور مركز الدائرة C ، التي تلامس وتحيط بالدائرة المعطاة في (2) وتلامس محور الاكس.'

'المنطقة الممثلة بواسطة المعادلات'

'نظرًا لأسطوانة محاطة بكرة ذات نصف قطر 2 ، ولنكن ارتفاعها 2x. (1) عبّر عن نصف قطر a للقاعدة بالتداخل للاسطوانة بالنسبة لx. (2) عبّر عن حجم V للاسطوانة بالنسبة لـ x. (3) اعثر على القيمة القصوى ل V. [معهد هوكايدو للتكنولوجيا]'

'2019 محاولة الأكاديمية التعليمية ماكوهاري للمدرسة الثانوية في شيبويا (26) الراصد يقف أمام الجرف. يواجه المراقب جنوب شرق الجرف أ ، جنوب غرب الجرف ب ، وشمال الجرف ج.'

'لماذا لا نقيس تمدد قضيب معدني بمسطرة؟ قم بشرح موجز بحوالي 20 كلمة.'

'وفقًا للفقرة (1) ، تنحدر الطبقات في المنطقة من الجنوب إلى الشمال ، لذلك في الاتجاه الشرقي - الغربي ، يكون التراكيب مكدسة بشكل أفقي تقريبًا ، لذلك في الجرف C المواجه للجنوب ، يبدو كل طبقة تقريبًا أفقية.'

'لماذا يتم استخدام الأرضيات المرتفعة لمنع الرطوبة والفيضانات؟'

'أثبت أن الشكل الناتج من المعادلة القطبية \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ هو نفس الشكل الناتج من معادلة الأعداد المركبة \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ واسكتشف مخطط هذا الشكل.'

'معادلات 3 كرات'

''

'هناك كرتين كرويتين $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$ و $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. دع التقاطع بين الكراتين الكرويتين $S_{1}, S_{2}$ يكون الدائرة $C$. ابحث عن:\n(1) إحداثيات المركز $P$ ونصف القطر $r$ للدائرة $C$\n(2) معادلة السطح $α$ التي تحتوي على الدائرة $C$'

'لنكن النقطة على الدائرة C ذات النصف قطر 1 المتمركزة في مركز الأصل كـ \\( (\\cos \\theta, \\sin \\theta) \\) تكون P. لتكن الدائرة الملامسة للدائرة C في النقطة P والتي تلامس أيضًا محور y تكون S، ولتكن إحداثيات مركزها Q هي (u, v). (١) عبّر عن u و v بالنسبة لـ \ \\cos \\theta \ و \ \\sin \\theta \ على التوالي. (٢) لنعتبر مساحة الدائرة S كالتالي \\( D(\\theta) \\). حدد \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\).'

'في الفضاء التمامي مع نقطة O كأصل، لنفترض A(5,4,-2).'

'نعتبر مكعبًا له رؤوس O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1) في الفضاء الإحداثيات. لنكن نقطة P نقطة التقسيم للضلع OA بنسبة 3:1، ونكن نقطة Q نقطة التقسيم للضلع CE بنسبة 1:2، ونكن نقطة R نقطة التقسيم للضلع BF بنسبة 1:3. يُعرف السطح الذي يمر من خلال النقاط P و Q و R بـ α.'

'ابحث عن معادلة الكرة التي تمر عبر النقاط (1،1،1)، (-1،1،-1)، (-1،-1،0)، (2،1،0). كما، حدد إحداثيات مركزها ونصف قطرها.'

'في الهرم الرباعي ABCD، AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD²، و∠ADB=90°. دع G يكون مركز ثقل مثلث ABC.'

'بناءً على مستطيل ABCD في الفضاء حيث إحداثيات النقطة A هي (5،0،0) وإحداثيات النقطة D هي (-5،0،0)، مع طول الضلع AB يكون 5. علاوة على ذلك، كل من إحداثيات النقطة B وإحداثيات النقطة Z إيجابية، وطول الإسقاط العمودي من النقطة B إلى السطح XY هو 3. يرجى العثور على إحداثيات النقاط B و C.'

'ابحث عن المساحة التي يمر من خلالها الشعاع الذي يوصل نقطة على المنحنى الممثل بالمعادلة القطبية $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ والقطب $\\mathrm{O}$. الأساسيات 182، الرياضيات $\\mathrm{C}$ ص. 303 مرجع'

'ابحث عن معادلة سطح كروي يمر عبر النقاط (0,0,0)، (6,0,0)، (0,4,0)، و (0,0,-8). كما، حدد إحداثيات مركزه ونصف القطر.'

'احسب عدد الوجوه (f)، الحواف (e)، والرؤوس (v) للمتعدد السطوح الناتج عن قطع جميع الرؤوس لهندسة الايكوساهيدرون النظامية بمستوى يمر عبر منتصف كل حافة.'

'الفصل 3 الخصائص الهندسية للأشكال EX ⊕ 91 الشكل على اليمين [1] هو جسم متعدد الأضلاع تم الحصول عليه عن طريق قطع 8 رؤوس بمستوى يمر عبر نقاط منتصف كل حافة من مكعب منتظم. دعونا نرمز لهذا الجسم متعدد الأضلاع بـ X. الشكل على اليمين [2] هو جسم متعدد الأضلاع تم الحصول عليه عن طريق قطع الرؤوس بمستوى يمر عبر نقاط منتصف كل حافة لجسم X. دعونا نرمز لهذا الجسم متعدد الأضلاع بـ Y. (1) حدد عدد الوجوه والحواف والرؤوس لجسم X، على التوالي. (2) حدد عدد الوجوه والحواف والرؤوس لجسم Y، على التوالي.'

'ابحث عن طول جانب من الهرم الرباعي النظامي المحاط داخل كرة نصف قطرها 1.'

'ابحث عن طول جانب من الهرم الرباعي النظامي المرسوم داخل كرة نصف قطرها 1.'

'مثال المشكلة 141 في العثور على القيمة الدنيا لخط مكسور على تيتراهيدرون\nالقيمة معروفة لتيتراهيدرون ABCD حيث AB=BC=CA=8 ، AD=7. عندما cos∠CAD=11/14 ، ابحث عن ما يلي:\n(1) طول الضلع CD\n(2) حجم ∠ACD\n(3) بالنسبة للنقطة E على الضلع AC ، ابحث عن القيمة الدنيا لـ BE+ED'

'الشكل على اليمين [1] هو متعدد الأوجه حصلنا عليه بقطع ثمانية رؤوس من مكعب منتظم بمستوى يمر عبر نقاط منتصف كل حافة. سنسمي هذا المتعدد الأوجه X. الشكل على اليمين [2] يصور المتعدد الأوجه الناتج بقطع المتعدد الأوجه [1]، الذي سنسميه Y.'

'في المكعب في الشكل إلى اليمين، AD=AE=1، EF=√3. (1) العثور على الحافة المنتصبة على الحافة BF.'

'نظرًا لوجود مخروط دائري صحيح بنصف قطر قاعدة 2 وارتفاع يساوي \ \\sqrt{5} \. دع \ \\mathrm{O} \ يكون رأس هذا المخروط، ودع \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ تكون الطرفين لقطر القاعدة. كما دع \ \\mathrm{P} \ يكون نقطة الوسط للشق \ \\mathrm{OB} \. ابحث عن البعد الأقصر على السطح الجانبي للمخروط من A إلى P.'

"في الشكل على اليمين، خط AB مماس للدوائر O و O' في النقاط A و B على التوالي. إذا كانت أقطار الدوائر O و O' هي 5 و 4، وكانت المسافة بين المركزين O و O' هي 6، فجد طول القطعة AB."

'قم برسم كل وجه من الهرم الرباعي الأساسي والمكعب الرباعي الأساسي بالألوان. يتم رسم لون واحد فقط على كل وجه. كما يعتبر دورانه 323 درجة لتتطابق مع التلوين هو نفس الشيء. عند وجود 12 ألوان ، هناك 7 طرق لرسم وجوه الهرم الرباعي الأساسي بحيث يكون لكل وجه لون مختلف. عند وجود 8 ألوان ، هناك مليار طريقة لرسم وجوه المكعب الرباعي الأساسي بحيث يكون لكل وجه لون مختلف.'

'تُظهر الشكلة على اليمين شكل هندسي صلب تم تشكيله عن طريق قطع مكعب على مستوى يحتوي على حواف DH ، BF.'

'يجب طلاء كل وجه من مكعب بطريقة تجعل الوجوه المجاورة لها ألوان مختلفة. ومع ذلك ، يُعتبر دوران المكعب الذي يؤدي إلى نفس التلوين نفسه. (1) كم هناك من الطرق للطلاء باستخدام جميع 6 ألوان مختلفة؟ (2) كم هناك من الطرق لاستخدام جميع 5 ألوان مختلفة؟'

'يرجى العثور على عدد الوجوه f والحواف e والرؤوس v للجسم الهندسي الذي تم تشكيله عن طريق قطع جميع الرؤوس للأضلاع المنتظمة مع مستوى يمر من خلال منتصف كل حافة.'

'استخدم شرط أن مجموع الزوايا المتعاكسة 180 درجة لإثبات أن رباعي الأضلاع موجود داخل دائرة.'

None

"في الشكل على اليمين، الخط AB يلامس الدوائر O و O' في النقاط A و B على التوالي. إذا تم تحديد شعاعي الدوائر O و O' على التوالي باعتبارهما r و r' (r < r')، والمسافة بين مراكز الدائرتين بأنها d، ثم أثبت أن AB = √(d^2 - (r' - r)^2)."

'حدد عدد الوجوه f، الحواف e، والرؤوس v للأجسام متعددة السطوح التالية:\n(1) جسم متعدد السطوح يتألف من 12 مضلع معمول به بانتظام و 20 سداسي الأضلاع معمول به بانتظام\n(2) جسم متعدد السطوح تم تشكيله من خلال قص جميع الزوايا بمستوى يمر عبر نقاط تقسيم كل حافة منح رباعي السطوح العادي، كما هو موضح في الشكل على اليمين'

'الضوء الذي يُنبعث من المصابيح وما شابهها ينتشر على شكل مخروطي، ولكن عند إضاءته بالزاوية الصحيحة، يصبح حافة المنطقة المضاءة هي قطع مكافئ. يحدث هذه الظاهرة لأن قطع المخروط بشكل متواز لجنراتركسه يُؤدي إلى ظهور قطعة مكافئة على الحافة.'

'موقع النقاط في الفضاء\nتمثل النقاط على السطح بزوج من الأعداد الحقيقية، ويمكن أيضًا وصف النقاط في الفضاء باستخدام إحداثيات، والتي تتألف من ثلاثية من الأعداد الحقيقية. لنفترض وجود نقطة C في الفضاء ونعرف ثلاث خطوط عددية متعامدة بمنتصف النقطة O كما هو موضح في الرسم البياني. يُطلق عليها كل من محور الـ x ، ومحور الـ y ، ومحور الـ z على التوالي، ويُعرفون مجتمعين بمحاور الإحداثيات. بالإضافة إلى ذلك، يُطلق على النقطة O اسم الأصل.\nالمستوى الذي يحدده محور الـ x ومحور الـ y يُعرف بمستوى xy، المستوى الذي يحدده محور الـ y ومحور الـ z هو مستوى yz، والمستوى الذي يحدده محور الـ z ومحور الـ x هو مستوى zx.\nفي مستوى الإحداثيات، هناك محورين، محور الـ x (أفقي) ومحور الـ y (رأسي)، ولكن في الفضاء الإحداثي، يتم إضافة محور الـ z (ارتفاع). تُشار إلى هذه الثلاثة محاور معًا باسم مستوى الإحداثيات.'

'يرجى الإجابة (من أ إلى ج) التي تناسب الجدول التالي.'

'من خلال تمرير مستوى عبر نقاط منتصف كل حافة للدهساذرون الثانوي، وقطع جميع الرؤوس، قم بتحديد عدد الوجوه f، الحواف e، والرؤوس v للمتعدد الوجوه الناتج بـ 21 وجهًا.'

'بالنسبة لمتعدد السطوح القطري ذو 8 رؤوس و 6 وجوه، دعنا نجد عدد الحواف.'

'احسب عدد الوجوه f ، حواف e ، والرؤوس v للجسم الهندسي المحدب الذي يتكون من خلال قطع جميع رؤوس المكعب الثماني النظامي بمستوى يمر عبر النقاط التي تقسم كل حافة إلى ثلاثة أقسام.'

'اختر المصطلح الرياضي الذي يتوافق مع الهيكل الشبه منتظم من بين المصطلحات الرياضية التالية.'

'أثبت أنه في هرم مربع صحيح A-BCDE حيث تكون جميع الحواف ذات طول متساوٍ ، عند تعيين نقطة منتصف الحافة AD كـ M ، الحافة AD عمودية على السطح MEC.'

'في الهرم المنتظم ABCDE-FGHIJ المعروض في الرسم البياني، أجب على الأسئلة التالية.'

'في مشاكل تتعلق بالأجسام متعددة الأوجه ، يُستخدم مبرهنة أويلر للأجسام المتعددة الأوجه لتوضيح العلاقة بين الرؤوس والحواف والأوجه.'

'قانون الجيب يعبر عن العلاقة بين جيب الزوايا الثلاثة الداخلية للمثلث وأطوال أضلاعه الثلاثة. لإثبات هذا القانون، يتم استخدام نظرية زوايا الدائرة المعروفة في المدرسة الإعدادية.'

'لمخروط دائري متقيح يندرج في كرة ذات نصف قطر 1 ، ابحث عن الارتفاع ونصف القاعدة والمنطقة الجانبية لتكبيرها.'

'تخيل قطع أنبوب ورقي ملفوف بشكل مائل. كيف تعتقد أن الحافة ستبدو عندما يتم فتح الورق؟ هنا، نفترض أن نصف قطر القاعدة هو 1، وأن الزاوية بين حافة القطع والقاعدة هي π/4 (=45 درجة).'

'في المخروط الرباعي O-ABCD، حيث تكون طول احدى أضلاع القاعدة 2a والارتفاع يُساوي a. اوجد ما يلي:\n(1) طول الخط الرأسي AE المُرسوم من الرأس A إلى الحافة OB\n(2) بالنسبة للنقطة E في (1)، اوجد قياس زاوية AEC ومساحة مثلث AEC'

'لتسهيل حساب المنطقة عن طريق القسمة'

'عندما تكون جميع رؤوس الهرم العشروني النظامي W بطول 1 على سطح كرة S ، أجب على الأسئلة التالية. هرم عشروني عادي يحتوي على جميع الوجوه المتطابقة من المثلثات المتساوية الأضلاع ، حيث يتمتع كل رأس بمشاركة 5 مثلثات.'

'الرياضيات I'

'(1) بواسطة قاعدة الجيب'

'لنفترض أن هناك موشور مثلثي مستقيم T بقاعدة مثلث ABC حيث AB=2، AC=3، و BC=t(1<t<5). يتم تحديد الموشور المثلثي المستقيم على أنه موشور يكون فيه كل الحواف عمودية على القاعدة. علاوة على ذلك، لنفترض أن هناك كرة S موجودة داخل T وتلامس جميع وجوه T.'

''

'بما أن ارتفاع المنشور المثلثي الأيمن هو 4، دعنا نعتبر نصف قطر الكرة هو r، حيث 0 < r ≤ 2'

'الهرم الرباعي والكرة'

'كما هو مبين في الشكل، يتم أخذ ثلاث نقاط D و E و F خارج △ABC بحيث تشكل △ABD و △BCE و △CAF مثلثات متساوية الأضلاع. لنكن S هو مساحة △ABC، وطول الأضلاع الثلاثة BC=a، CA=b، AB=c. أجب على الأسئلة التالية: (1) لنكن ∠BAC=θ، عبّر عن sinθ بالنسبة ل b و c و S، وعبّر عن cosθ بالنسبة ل a و b و c. (2) عبّر عن DC² بالنسبة ل a و b و c و S. من المسموح باستخدام الهوية العامة cos(60°+θ)=\\frac{cosθ-√3 sinθ}{2}. (3) لنكن T هو متوسط مساحة المثلثات المتساوية الأضلاع الثلاثة، عبّر عن DC² بالنسبة ل S و T.'

'ابحث عن طول جانب واحد لهرم منتظم يمكن رسمه في دائرة نصف قطرها 1.'

'هناك مخروط دائري مستقيم بقاعدة نصف قطرها 2 وارتفاعها √5. لنكن O رأس هذا المخروط، ولتكن A و B نقطتي نهاية قطر القاعدة. إذا كان نقطة وسط مقطع OB هي P، فما هي المسافة الأقصر من A إلى P على السطح الجانبي؟'

'العثور على القيمة الدنيا لخط مكسور على الهرم المثلثي مثال 141\nهناك هرم مثلثي ABCD حيث AB=BC=CA=8 و AD=7. عندما cos∠CAD=11/14، العثور على الآتي:\n(1) طول الحافة CD\n(2) حجم ∠ACD\n(3) بالنسبة لنقطة E على الحافة AC، العثور على القيمة الدنيا لـ BE+ED\nالأساسيات 121،137'

'مثال 127 مشكلة قياس (الفضاء)\nكما هو موضح في الرسم البياني على اليمين ، تقف عمود الكهرباء عموديًا على مستو يحتوي على نقاط A و B و C. عند النظر من النقطتين A و B ، يكون زاوية رفع قمة العمود D على التوالي 60 درجة و 45 درجة. بناءً على أن المسافة بين A و B هي 6 متر ، و ∠ACB = 30 درجة ، اعثر على ارتفاع العمود CD. افترض عدم المراعاة لارتفاع العين.'

'الهرم الرباعي والكرة\nدعونا ننظر في الهرم الرباعي ABCD بحافة طولها a.\n(1) عبر عن شعاع R للكرة المحيطة بالهرم الرباعي بالنسبة ل a.\n(2) عبر عن شعاع r للكرة المدرجة في الهرم الرباعي بالنسبة ل a.'

'ابحث عن طول حافة مكعب منتظم محاط داخل كرة نصف قطرها 1.'

'هناك مخروط دائري مستقيم بقاعدة نصف قطرها 2 وارتفاع √5. لنكن O رأس هذا المخروط ، وليكن A و B طرفي قطر القاعدة ، وليكن P منتصف قطعة OB. ابحث عن أقصر مسافة من A إلى P على السطح الجانبي.'

'في الفضاء، يتم تعريف النقطة عادة بإحداثياتها ومسافتها إلى الأصل O.'

'العثور على معادلة سطح كروي بمركز في النقطة (أ ، ب ، ج) ونصف قطر r.'

'العثور على معادلات الكرات التالية.'

'ترجم إحداثيات النقطة المركزية ونصف القطر بالترتيب'

'ابحث عن العدد الحقيقي a، وعندما يتحرك النقطة P على جميع كرة S،'

'كما هو موضح في الرسم البياني ، دع S و T و U تكون نقاط تقاطع السطح z=t (0<t<2/3) مع محيط القرص D وشريط الخط CQ.'

'معادلة كرة'

'ممارسة: نظرًا لمعادلة السطح $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ واثنتين من الكرات $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$، ابحث عن الآتي. (1) معادلة كرة تمر عبر الأصل وتتضمن تقاطع السطح $\\alpha$ والكرة $S_{1}$ (2) معادلة السطح التي تحتوي على الدائرة $C$ لتقاطع بين الكرات $S_{1}$ و $S_{2}$، إلى جانب إحداثيات مركز الدائرة $P$ ونصف القطر $r$'

'ما هو شكل مثلث ABC الذي يتكون من النقاط الثلاث A(4,7,2)، B(2,3,-2)، C(6,5,-6)؟'

'المنطق العمودي المسقط من مركز الكرة C(a، b، c) إلى الإحداثيات xy يمر عبر مركز الدائرة (5/6، 5/6، 0). لذلك، إحداثيات نقطة C ومركز الدائرة تكون متساوية وهي a=5/6، b=5/6. بالإضافة إلى ذلك، نصف قطر الكرة S هو OC = √(〖(5/6)〗^2+〖(5/6)〗^2+c^2) = √(c^2 + 25/18). وبالتالي، معادلة كرة S هي (x-5/6)^2 + (y-5/6)^2 + (z-c)^2 = c^2 + 25/18. عندما تكون النقطة (t+2، t+2، t) على سطح الكرة S، (t+2-5/6)^2 + (t+2-5/6)^2 + (t-c)^2 = c^2 + 25/18، أي 9t^2 - 2(3c-7)t + 4 = 0. الشرط الضروري والكافي لأن تحتوي الخط l على نقاط مشتركة مع الكرة S هو أن المعادلة التربيعية ل t (1) تحتوي على حلول حقيقية. لذلك، دع D تكن التمييزية، وحل مع D≥0 يؤدي إلى (3c-1)(3c-13)≥0. من ذلك، يتبين أن c≤1/3 أو c≥13/3. وبالتالي، الشروط التي يجب أن تلبيها a، b، c هي a=b=5/6 و (c≤1/3 أو c≥13/3).'

'بفرض a>0. ابحث عن التالي للكرة التي تمر عبر النقاط O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) بمعادلة 54.'

'شرح خصائص القطع الناقص واستنتج خصائص نقطة P على القطعة الناقصة.'

'يُعطى سداسي الأضلاع المنتظم ABCDEF بطول جانب 1. عندما يتحرك النقطة P على الحافة AB والنقطة Q على الحافة CD بشكل مستقل، ابحث عن المنطقة التي من خلالها يمكن للنقطة R، تقسيم الشريط PQ بنسبة 2:1، المرور.'

'(2) نظرًا لأن الكرة ملامسة لكل مستوى إحداثي وتمر عبر النقطة (5، -1، 4)، فإن الشعاع يتم تعريفه بأنه r، وإحداثيات المركز هي (r، -r، r). وبالتالي، معادلة الكرة هي'

'ابحث عن معادلة السطح الذي يمر عبر النقطة (-1,2,3) ومنصف للخط المعطى بواسطة (4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3'

'أثبت أن النقاط التي يتقاطع فيها-segments AG_A ، BG_B ، CG_C ، و DG_D بنسب 3:1 تتطابق لشكل رباعي ABCD مع الأوزان G_A، G_B، G_C، و G_D للمثلثات BCD، ACD، ABD، و ABC على التوالي.'

'لنكن معادلة الكرة $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=16$، والمستوى $\\alpha: 6x-2y+3z=5$ الذي يشكل دائرة $C$. ابحث عن إحداثيات المركز ونصف قطر هذه الدائرة.'

'معادلة الكرة'

'ابحث عن إحداثيات رؤوس الحجم المستطيل OABC-DEFG إلى اليمين، باستثناء النقطة O.'

'نظرًا للمساحة البيانية ، دائرة بنصف قطر 1 متمركزة في النقطة الأصلية على المستوى السطحيxy. دع S يكون المخروط (بما في ذلك الداخل) مع هذه الدائرة كقاعدة له والنقطة (0،0،2) كرأس له. أيضًا ، يرجى النظر في النقطة A(1,0,2).'

'(2) النقطة B تمر من خلالها والمستوى α عمودي على المحور x. على المستوى α، مع النقطة C(1,0,0) كمركز ونصف قطر CB = √(3²+4²) = 5 يكون على الدائرة، دع R يكون نقطة متحركة على الدائرة. ثم، CB = CR، QB = √(QC² + CB²)، QR = √(QC² + CR²). لذلك، QB = QR، لذلك، D(1,0,-5)، وبالتالي AQ + QB = AQ + QD ≥ AD. نظرًا لأن النقاط A وQ وD على المستوى zx، تحدث القيمة الدنيا لـ AQ + QD عندما تكون Q على الخط AD. لذلك، القيمة الدنيا لـ AQ + QB هي AD = √((1-2)² + (0-0)² + (-5-3)²) = √65.'

'في المكعب ABCD-EFGH، أثبت أن نقاط منتصف الحواف FB، BC، CD، DH، HE و EF جميعها في نفس المستوى.'

'ننظر إلى مثلث ABC مع ثلاث نقاط A و B و C على المنحنى K: y=1/x. أثبت أن مركز الثقل H للمثلث ABC يقع على المنحنى K.'

'ابحث عن حجم الجزء في الفضاء الإحداثي حيث أن المسافة إلى محور السينات، محور الصادات، ومحور الزيتا أقل من أو تساوي 1.'

'في الفضاء الإحداثي، اعثر على حجم الجزء الذي تكون فيه المسافة إلى المحور السيني والمحور الصادي والمحور الزيدي كلها أقل من أو تساوي 1.'

'في الفضاء الإحداثي، ابحث عن حجم المنطقة حيث المسافة إلى كل من محور الإكس ومحور الواي أقل من أو تساوي 1.'

'ابحث عن مساحة المنطقة على المستوى z = t (-1 ≤ t ≤ 1) حيث تكون المسافة إلى محور السينات ومحور الصادات أقل من أو تساوي 1.'

'لنكن إحداثيات القطب للنقطة A هي (10،0)، ولنكن Q أي نقطة على الدائرة C التي يكون قطرها الخط الذي يربط القطب O بالنقطة A. ارسم عمودًا من القطب O إلى الشكل المستقيم للدائرة C عند النقطة Q، ولنكن إحداثيات النقطة P (r،θ)، ابحث عن المعادلة القطبية لمساره. هنا، 0 ≤ θ < π.'

'مثال 54: معادلة كرة (2)'

'تمرين 1: قم بإثبات أن المجموع 1/OP^2 + 1/OQ^2 ثابت عند رسم خطين نصف متعامدين من مركز الأقلب O إلى نقط التقاطع P وQ.'

"النقاط O، A'، B' على مستوى xy، لذلك الشكل الناتج من تقاطع السطح الكروي S ومستوى xy هو دائرة تمر عبر O، A'، B'."

'معادلة كرة - كرة نصف قطرها r مركزها النقطة (a، b، c) (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'لنكن نقطة \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) ولتكن \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) موازية للخط \ \\ell \.\n(1) اعثر على إحداثيات نقطة التقاطع بين الخط \ \\ell \ والمستوى \ 2x-3y+z=0 \.\n(2) اعثر على طول القطعة التي يتم قطعها بواسطة الخط \ \\ell \ على الكرة \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\).'

"(2) عندما يتنقل t عبر جميع الأعداد الحقيقية ، فلنعتبر الخط الذي يحدده النقطة (t+2, t+2, t) في الفضاء xyz ب l. بمرور الكرة S مع مركز C(a, b, c) عبر النقاط O(0,0,0) ، A'(2,1,0) ، B'(1,2,0) ومشاركتها نقطة مع الخط l ، العثور على الشروط ل a, b, c. [جامعة هوكايدو]"

'في الفضاء ، يُعرف مجموع نقاط تكون مسافة ثابتة r عن نقطة ثابتة C باسم كرة بمركز C ونصف قطر r.'

''

'في الهرم $ABCD$، دع $G_A$، $G_B$، $G_C$، $G_D$ تكون أوسط نقاط المثلث $BCD$، $ACD$، $ABD$، $ABC$ على التوالي. أثبت أن النقاط التي تقسم الشرائح $AG_A$، $BG_B$، $CG_C$، $DG_D$ بنسبة $3:1$ تتطابق.'

'هناك أربع نقاط A(4,0,0)، B(0,8,0)، C(0,0,4)، D(0,0,2).'

'ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع للخط الذي يمر من خلال النقط A(3,1,-1) و B(-2,-3,2) مع السطح xy, السطح yz, والسطح zx.'

'(2) المستوى ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0 يلامس سطح كروي مركزه (3، 2، 1) بنصف قطر √5. ابحث عن قيمة الثابت a.'

'بالنظر إلى أن المركز هو (1، -3، 2) والكرة التي تمر عبر الأصل تتقاطع مع السطح z=k لتشكيل دائرة لها نصف قطر √5. ابحث عن قيمة k.'

'تعلمت عن القطع الناقصة في السطح، الآن أنت تتعلم أساسيات القطع الناقصة في الفضاء، وفهم معادلات الأشكال (الخطوط، الكرات، الخ) في إحداثيات الفضاء.'

'ابحث عن إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة التي تتشكل من تقاطع سطح كروي بمركز (-1, 5, 3) ونصف قطر 4 مع المستوى x=1.'

'العثور على معادلة الكرة التالية.'

'لنكن \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) هما نقطتي نهاية قطر لسطح كروي \ S \ في الفضاء الإحداثي. عندما تتحرك النقطة \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) على سطح \ S \ ، اعثر على القيمة القصوى لـ \ 3x+4y+5z \. كما، حدد إحداثيات P في تلك النقطة.'

'لنقاط A(2،-1،3)، B(5،2،3)، C(2،2،0)، أثبت: (1) أن المثلث ذو الرؤوس A، B، C هو مثلث متساوي الأضلاع. (2) إذا كانت ثلاث نقاط من الهرم الرباعي النظامي هي A، B، C، فجد إحداثيات النقطة الرابعة D.'

'إيجاد إحداثيات نقاط التقاطع بين الخط الذي يمر عبر النقاط A(2,4,0) و B(0,-5,6) والكرة بمركز في (0,2,0) ونصف قطر 2.'

'بالنظر إلى أن مركز الكرة هو (1، -2، 3a) ونصف القطر هو √13 ، عندما تتقاطع هذه الكرة مع مستوى xy ، تتكون دائرة بنصف قطرها 2. ابحث عن قيمة a. كما، حدد إحداثيات مركز هذه الدائرة.'

'(1) العثور على معادلات الأشكال التي تتكون من تقاطع كرة بمركز (-1,3,2) ونصف قطر 5 مع الأسطح xy و yz و zx.'

'في الخماسي النظامي ABCDE مع طول الضلع 1 ، دع AB يكون الناقل b و AE يكون الناقل e.'

'في السطح المركب، اجعل نقطتي A و B تمثل -1+2i و 3+i على التوالي. إذا كانت AB وجهًا واحدًا لمربع محدد، فجد أعداد الأساس المربعي التي تمثل رؤوس C و D للمربع ABCD.'

'النظر في النقاط الثلاث O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2). لنفترض أن النقطة P(x,y,z) تتحرك بحيث |PO|=|PA|=|PB|.'

'(2) الكرة ذات المركز (1، -2، 3a) ونصف قطرها sqrt(13) تتقاطع مع سطح xy لتشكيل دائرة بنصف قطر 2. ابحث عن قيمة a. كما ابحث عن إحداثيات مركز هذه الدائرة.'

''

'بالنسبة للنقاط A(2،-1،3) ، B(5،2،3) ، C(2،2،0): (1) أثبت أن مثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع. (2) إذا كان A و B و C هم النقاط الثلاثة لهرم رباعي منتظم ، فجد إحداثيات الرأس الرابع D.'

'لنفترض a>0. ابحث عن النقاط التالية للكرة المارة من خلال النقاط O(0,0,0), A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0): (1) إحداثيات الوسط ونصف القطر (2) معادلة التقاطع مع مستوى zx'

'بالنظر إلى كرة بمركز (2، -3، 4) ونصف قطرها r تتقاطع مع مستوى XY لتشكيل دائرة ذات نصف قطر 3. حدد قيمة r.'

'ثم، فكر في الهرم الثماني الأوجه النظامي وكرة ملامسة لجميع وجوهه، وتخيل قطعًا عرضيًا من خلال مستوٍ يحتوي على نقاط الاتصال، كما هو مبين في الرسم البياني على اليمين [2]. إذا كان شعاع الكرة هو r، فإن مساحة المثلث القائم في قسم الشبكة هي'

'اشرح كيفية إيجاد ارتفاع المثلث الثلاثي.'

'بافتراض وجود مكعب كما هو موضح في الشكل اليميني، فإن المسار من A إلى D هو تصرف من 3 إلى اليمين، 2 لأعلى، و 1 لأعلى،'

'قم بإثبات التالي لهرم ABCD:\n1. انطبق M نصف الفرع AB.\n(A) الفرع AB هو عمودي على السطح CDM.\n(T) الفرع AB عمودي على الفرع CD.\n2. امتص باعتبار P، Q، R، S منتصفات الأضلاع BC، AC، AD، وBD على التوالي ،ثم المستطيل PQRS هو مربع.'

'قم بتحديد عدد الوجوه f، الحواف e، والرؤوس v للشكل الهندسي الذي يتكون عن طريق قطع جميع الرؤوس للهبة العشرونية النظامية بمستوى يمر عبر منتصف كل حافة.'

'احسب الحد الأدنى لعدد الألوان المطلوبة لمكعب منتظم.'

'الرجاء حساب المسافة الأقصر في الرسم التوضيحي المفتوح.'

'برهن: A هو قدم العمود للهرم الرباعي.'

'العثور على عدد الوجوه f ، والحواف e ، والرؤوس v للجسم الهندسي الذي تتكون منه بقص جميع الزوايا من خلال مستوٍ يمر عبر منتصف كل حافة من الوتد الثنائي عشر المنتظم.'

'وفقًا لعكس نظرية الظل، الخط DA هو مماس للدائرة التي تمر عبر النقاط A، E، و F.'

'Considere the tetrahedron ABCD في الفضاء. أثبت أنه يوجد سطح كروي يمر عبر جميع الرؤوس A, B, C, D.'

'يريد المستخدم بأن يلوِّن كل وجه لمكعب بحيث تكون الوجوه المجاورة لها ألوانًا مختلفة. ومع ذلك، يُعتبر الدورانات للمكعب التي تؤدي إلى نفس التلوين متطابقة.'

أوجد معادلة الكرة التي مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها r.

لنفترض أن a هو رقم حقيقي. في فضاء xyz، نعتبر النقاط الأربع A(0, a, 4)، B(-2, 0, 3)، C(1, 0, 2)، وD(0, 2, 3)، ونضع مصدر ضوء عند النقطة P(1, 0, 6). (1) إحداثيات ظل النقطة A على مستوى xy الذي ينشئه مصدر الضوء هي (アイ, ウ a, 0). (2) ظل مثلث BCD على مستوى xy الذي ينشئه مصدر الضوء هو أيضًا مثلث. إحداثيات رؤوس هذا المثلث هي 力 > ク.

15 (2) \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \), \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \)

تقاطع الكرة والمستويات تقاطع الكرة \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) مع المستويات التالية هو دائرة. أوجد إحداثيات مركزها ونصف قطرها. (1) مستوى $x y$ (2) مستوى $y z$ (3) مستوى $y=4$

كرة مركزها الأصل ونصف قُطرها r $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

(1) أوجد إحداثيات المركز ونصف قطر الكرة $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$. (2) أوجد معادلة الكرة التي تمر بالنقاط \( (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2) \).

جد معادلة الكرة متمركزة عند النقطة (a, b, c) وبنصف القطر r \(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

معادلة الكرة أوجد معادلات الكرات التالية. (1) كرة مركزها عند النقطة \( (3,-2,1) \) ونصف قطرها 2 (2) كرة مركزها عند الأصل وتمر بالنقطة \( (2,1,-3) \) (3) كرة نهايات قطرها عند النقطة \( \mathrm{A}(5,3,-2) \) والنقطة \( \mathrm{B}(-1,3,2) \)

يتقاطع السطح الكروي \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \) مع الطائرات التالية في دائرة. أوجد إحداثيات المركز ونصف القطر. (1) yz-plane (2) zx-plane (3) plane $z=3$

معادلة الكرة (الصيغة العامة)

أوجد معادلات الكرات على النحو التالي. (1) كرة مركزها الأصل بنصف قطر $2 \sqrt{2}$ (2) كرة مركزها النقطة A(6,5,-3) تمر عبر النقطة B(2,4,-3) (3) كرة نهايتي قطرها هما A(-1,4,9) و B(7,0,1)

معادلة الكرة في الفضاء الإحداثي

جد معادلة الكرة كما يلي.

الأشكال في الفضاءات الإحداثية: تقاطع الكرة والمستوى

أسقط عموديًّا $\mathrm{OH}$ من النقطة الأولى $\mathrm{O}$ إلى المستوى $\mathrm{ABC}$ المحدد بالنقاط الثلاث \( \mathrm{A}(2,0,0)، \mathrm{B}(0,1,0)، \mathrm{C}(0,0,-2) \). حدد إحداثيات النقطة $\mathrm{H}$ وطول القطعة $\mathrm{OH}$.