هندسة الأشكال الهندسية - التشابه والمتطابقة

'في مثلث ABC، حيث 43AB=6، AC=4، و cosB=3/4، أجب على الأسئلة التالية: (1) ابحث عن طول الضلع BC. (2) عندما يكون زاوية C حادة، ابحث عن مساحة مثلث ABC. (3) بالنسبة لمثلث ABC من السؤال (2)، حدد شعاعي دائرته الخارجية والمحاذية.'

'حدد المناطق الممثلة بواسطة المتباينات التالية.'

'لنفترض نصف قطر الدائرة الداخلية بالرقم r، ونصف قطر الدائرة الخارجية بالرقم R، و h=r/R. كما، والزاوية A=2α، B=2β، C=2γ.'

'نقط القسم الداخلي والخارجي\nابحث عن إحداثيات النقاط التي تقسم القطعة AB داخليًا وخارجيًا بنسبة m إلى n.\nنقطة القسم الداخلي $\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\nنقطة القسم الخارجي $\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

''

'تمرين (1) عندما يتحرك مثلث PAB مع النقاط A (0، -2) ، B (0، 6) ، والنقطة P كنقاط كما أن AP: BP = 1:3 ، اعثر على مسار نقطة P.'

'فهم إحداثيات نقاط القسم الداخلي والخارجي بين نقطتين.'

'عند تصغير الشكل A إلى 1/4 ، يتم الحصول على شكل مماثل ، حيث يتم وضعه في (1) إلى (3) من الشكل A ، مما يؤدي إلى الحصول على الشكل B. بعد ذلك ، من خلال تصغير الشكل B إلى 1/4 ، يتم الحصول على شكل مماثل آخر ، حيث يتم وضعه مرة أخرى في (1) إلى (3) من الشكل A ، مما يؤدي إلى الحصول على شكل ذاتي المماثل. قم بتطبيق هذا الشكل ذاتي المماثل على نمط مثلث باسكال.'

'ابحث عن الزاوية الحادة التي تكونت من قبل الخطين y=5x(1) و y=\\frac{2}{3}x(2).'

'حول الزوايا التالية من الدرجات إلى الراديان ومن الراديان إلى الدرجات.'

'TR 132\nالعثور على الزاوية التي تشكلها الخطان 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) و \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nعلى افتراض أن الزاوية التي تشكلها الخطان هي حادة.\nواسمحوا للزاوية التي تشكلها الخطوط (1) و (2) مع اتجاه ال \ x \ الموجب أن تعبر بـ \ \\alpha, \eta \'

'ابحث عن مسار نقطة P بالمساواة بمن اتساعة من النقطتين A(-1,-2) و B(-3,2).'

'خطوة إلى الأمام'

'استخدم صيغة الجمع للعثور على قيم sin 75° و tan 15°. نظرًا لعدم كون 75° زاوية قياسية على المسطرة ، فإنه لا يمكن حسابها مباشرة باستخدام تعريفات المثلثات. من خلال التعبير عن 75° في شكل مجموع أو الفرق بين الزوايا مثل 30° و 45° و 60° ، وما إلى ذلك ، يمكنك استخدام صيغة الجمع لتحديد الدوال المثلثية ل 75°.'

'هل الخطان التاليان متوازيان أم عموديان؟'

'(1) إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات P₁ و P₂ هي x من المعادلة x² - 2tx + 2t = -x² + 2x، والتي تبسط إلى x² - (t+1)x + t = 0. بحل هذا، نحصل على (x-1)(x-t) = 0، مما يؤدي إلى x=1, t. عندما 0<t<1، S هي مساحة المنطقة الحمراء في الرسم البياني، وهي'

'شرط الرأسية لمستقيمين\nبالنسبة لمستقيمين y=m_{1} x+n_{1} و y=m_{2} x+n_{2}، تكون المستقيمات رأسية عندما يكون حاصل ضرب ميلهما يساوي -1.'

'عند تحديد حجم زاوية ممثلة بنصف قطر معين ، يتم تحديد موقع النصف القطر ، ولكن بالمقابل ، حتى إذا تم تحديد موقع النصف القطر ، هناك عدد لا يحصى من الزوايا التي يمكن أن يمثلها ، وليس فقط واحدة. هذا يرجع إلى أن النصف القطر يعود إلى موقعه الأصلي بعد دورة كاملة.\\n\\nالزاوية التي تشكلها النصف القطر OP والخط الابتدائي OX تُعرف بـ$\\alpha$ ، ثم الزاوية التي يمثلها النصف القطر OP هي $\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$ هو عدد صحيح $) \\) \\( \\cdots, -300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$ وهو نفسه بالنسبة للأشعة'

'نقطة التقسيم ونقطة التقسيم الخارجية m ، n هما أعداد موجبة. عندما يُرضي نقطة P على الشريط المستقيم AB AP: PB = m: n ، يُطلق على النقطة P تقسيم الشريط المستقيم AB بنسبة m: n ، ويُطلق على النقطة P نقطة التقسيم الداخلية للشريط المستقيم AB. أيضًا ، عندما ترضي نقطة Q على تمديد الشريط المستقيم AB AQ: QB = m: n (m≠n) ، يُطلق على النقطة Q تقسيم الشريط المستقيم AB بنسبة m: n ، ويُطلق على النقطة Q نقطة التقسيم الخارجية للشريط المستقيم AB. عمومًا ، ينطبق ما يلي: \nالتقسيم الداخلي \nالتقسيم الخارجي عندما m>n'

'العثور على منحنى النقطة P بحيث يكون نسبة مسافتها من النقطتين O (0,0) و A (3,6) هي 1:2.'

'ابحث عن إحداثيات النقاط التالية.'

'بيتي أقرب إلى منزل السيد أ.'

'اختر طبقة من النقاط A إلى F في نقطة Y التي تكون نفس الطبقة الخاصة ب e في النقطة X في الشكل 2، وقدم الرمز.'

''

'يُسمى المنطقة المظللة للمثلث في الشكل على اليمين (4) بـ K. بفرض أن مساحة الرباعي ABCD هي 1، فإن مساحة المستطيل BCQP أيضًا 1، لذلك مساحة المستطيل RPQS هي أيضًا 1. مساحة المثلث RPQ هي 1/2. علاوة على ذلك، يُعتبر المثلثات RBU و QSU متشابهة، بنسبة تشابه RB: QS = 2:1، لذا RU: UQ = 2:1. بالإضافة إلى ذلك، يُعتبر المثلثان PBT و QST متطابقين، لذلك من المعروف أن PT = TQ. لذلك، K هو 1/2 مرات مساحة المثلث RPQ، وهو 1/6 مرات، لذا K = 1/2 * 1/6 = 1/12. لذلك، مساحة الرباعي ABCD هي 12 مرة K.'

'شكل الأشكال الهندسية الثنائية - نسب الأضلاع والمساحات (1) كما هو موضح في الشكل على اليمين، قم بوضع علامة على مركز الدائرة كـ O وقم بربط O مع النقاط E، F، G، و H على المحيط. علاوة على ذلك، نظرًا لأن مثلث ABD هو مثلث متساوي الأضلاع، فإن الزوايا المميزة بالرموز هي 60 درجة، والزوايا المميزة بـ • هي 60 ÷ 2 = 30 درجة. وبالتالي، جميع المثلثات القائمة مع ○ و هي نصف المثلثات المتساوية الأضلاع. لذلك، بالتركيز على مثلث ODH، HD: OD = 1:2، وبالتركيز على مثلث AOD، OD: AD = 1:2، لذلك إذا تم اعتبار طول HD كـ 1، فإن طول OD هو 1 × 2/1 = 2، وطول AD هو 2 × 2/1 = 4. وبالتالي، AH: HD = (4-1): 1 = 3:1.'

'أجب على الأسئلة التالية.'

'مشكلة في قياس الطول والدقة (1) تقسم المقياس 39 مم إلى 20 أجزاء متساوية وتحتوي على خط تخريج أدق مرسوم عليها، لذا فإن فاصل إحدى درجات 39 ÷ 20 = 1.95 (مم).'

'في الشكل 10، المسافة بين XY هي 65-30=35 (زيادات) كما تم قياسها بواسطة ميكرومتر العدسة العاكسة، وهي 50 زيادة كما تم قياسها بواسطة ميكرومتر العدسة الهدف. زيادة واحدة على ميكرومتر العدسة الهدف تبلغ 10 ميكرومترات، لذلك مع 50 زيادة، تصبح 10 x 50 = 500 ميكرومتر. لذلك، الطول المرئي لكل زيادة على ميكرومتر العدسة العاكسة هو 500 ÷ 35 = 14.28...، والذي يساوي 14.3 ميكرومتر.'

'بالنسبة للجزء المؤكد في السطر 4، تصف الجمل من أ إلى ج إما راوسوداكي، إيواكيسان، أو تشوكايسان. اختر الجملة الصحيحة وتركيبة الجبل من الخيارات التالية وأجب بالرقم.'

'عند التحقيق في هذه الأرض، تبين أن طول AC هو 15 مترًا، وطول BC هو 18 مترًا، وحجم زاوية B هو ضعف حجم زاوية C تمامًا. في هذه الحالة، ما هي المسافة بين T و B؟'

'عند قطع هذا الصلب بمستوى يمر عبر النقاط P و Q و F ، اجتاز المستوى الحافة AE في النقطة R.'

'بعد ذلك، ارسم خطًا مربعًا مع الخط الذي يربط المركز O والنقطة B ، ويمر عبر النقطة B. النقطة التي يتقاطع فيها الخطان هي النقطة C. نظرًا لأن أطوال CA و CB دائمًا متساوية ، يمكن رسم دائرة بالنقطة C كمركز ومرورًا بالنقاط A و B. قوس هذه الدائرة هو المسار الذي سلكه الكوكب الأجنبي بوان.'

'عند النظر بنفس النهج كما في (2)(1) ، لدينا OI:ID=3:1 ، مما يعني أنه إذا تم اعتبار مساحة مثلث HID بمقدار 1 ، فإن مساحة مثلث HOI هي 1 × 3/1 = 3. لذلك ، مساحة المضلع EFGH هي 3 × 8 = 24. أيضًا ، مساحة مثلث HOD هي 1 + 3 = 4 ، لذلك مساحة مثلث AOH هي 4 × 3/1 = 12 ، ومساحة مثلث AOD هي 4 + 12 = 16. وبالتالي ، مساحة المضلع ABCD هي 16 × 4 = 64 ، ونسبة مساحات المضلع EFGH إلى المضلع ABCD هي 24:64 = 3:8.'

''

'مساحة مثلث AFC تساوي مساحة مثلث AEC. علاوة على ذلك، عند إضافة كل من المثلثين إلى مثلث ADC، تكون مساحات مثلث CDF ومثلث AED متساوية أيضًا. لذلك، مساحة مثلث AED هي 3 × 1 ÷ 2 = 1.5 (سم^2)، لذلك مساحة مثلث CDF هي أيضًا 1.5 سم^2 ومساحة المربع بـ CD كجانب واحد هي ضعف مساحة مثلث CDF، وهي 1.5 × 2 = 3 (سم^2).'

'بالنسبة للميكرومترين ، اختر واحدًا من الخيارات لرؤية المزيد عند زيادة تكبير عدسة العين من 10 مرات إلى 40 مرة ، وقدم الرمز.'

'في مثلث ABC ، الزاوية B هي زاوية قائمة وفي مثلث ACD ، الزاوية C هي زاوية قائمة ، والزوايا المحددة بالنقاط متساوية. النقطة E هي تقاطع تمديدات الجانبين BC و AD. طول الضلع AB هو 2 سم ، وطول الضلع BC هو 1 سم. (2) ما هو طول CE بالسنتيمتر؟'

'(1) كلما زادت قيمة المسافة في الشكل 2 ، كلما انخفضت قيمة الإضاءة. وبمعنى آخر ، كلما زادت المسافة بين المصباح وجهاز قياس الإضاءة ، كلما انخفضت الإضاءة.'

'في الشكل (2)، يتحرك مارك على طول محيط يكون مركزه X في البداية، بينما هاري يتحرك على طول محيط يكون مركزه Y. في الشكل (2)، المثلث OFX والمثلث YOX كلاهما مثلثان نصف المثلث المتساوي الأضلاع، لذا إذا قمنا بتعيين XF=1، فإن OX=1×2=2، و XY=2×2=4. لذا، نسبة أقطار المحيطات التي يتحرك عليها مارك وهاري هي XF:YF=1:(4-1)=1:3. بعد ذلك، الزاوية المركزية للجزء الذي يتحرك عليه مارك هي 120 درجة، وهناك إجمالًا 6 أجزاء من هذا النوع. أيضًا، الزاوية المركزية للجزء الذي يتحرك عليه هاري هي 60 درجة، وهناك إجمالًا 3 أجزاء من هذا النوع. لذلك، نسبة المسافات التي يتحركها مارك وهاري هي {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3، لذلك يمكننا تحديد أن سرعة مارك تساوي 4/3=1 و 1/3 مرة سرعة هاري.'

'في طريقة أخرى لحل المشكلة، في الشكل 4، الأشكال المثلثية DBG و DCG متطابقة، فلتكن زاوية BDG θ وزاوية CDG φ، ثم θ + φ = 90 درجة، لذلك مجموع 2θ و 2φ هو 180 درجة. لذلك، حجم زاوية ADB هو 2θ. بالإضافة إلى ذلك، عند اختيار نقطة H على BD بحيث AD = AH، تكون المثلثات ATH و ATD متطابقة، مما يعني أن حجم زاوية AHT هو أيضًا 2θ. ونتيجة لزوايا المثلث ABH الخارجية، نجد أن حجم زاوية HAB هو θ، كما هو موضح في الشكل 5. في الشكل 5، يبلغ طول AC 15 مترًا، وأطوال DB و DC متساوية، مما يجعل طول الشريط السميك 15 مترًا. وعلاوة على ذلك، نظرًا لأن AD = BH و DT = HT، يكون طول BT هو نصف طول الشريط السميك، أي 15 ÷ 2 = 7.5 أمتار. يجدر بالذكر أن طول BT لا يتأثر بطول BC.'

'(٢) كما هو موضح في الشكل ٣، تمديد BA و PQ يتقاطعان في نقطة M، حيث يتقاطع MF و AE في النقطة R. في المثلث MAQ والمثلث MBP في الشكل، تبلغ طول AQ 4 سم (8-4)، وتبلغ طول BP 6 سم (8-2). لذلك، نسبة التماثل هي AQ:BP = 4:6 = 2:3. لذلك، يتم حساب طول MA كـ 6*2/3-2=12 سم. علاوة على ذلك، المثلثان MRA و FRE متشابهان أيضًا، بنسبة تماثل تبلغ MA:FE = 12:9 = 4:3، مما يعني AR:RE = 4:3.'

'نظرًا لأن مثلث ADC ومثلث CDB متشابهان ، فإن CD = سم ، ويمكن التعبير عن ذلك على أنه 1:=:3. أيضًا ، P:Q=R:S ، عندئذ Q × R=P × S ، لذلك × =1 × 3=3. لذلك ، يمكن أيضًا حساب مساحة المربع مع CD كجانب واحد بمقدار 3 سم^2.'

'حدد قيمة p ، بحيث تصبح القطتان m=(1, p) و n=(p+3, 4) موازيتين.'

'أثبت: في مثلث ABC ، دع الأضلاع BC و CA و AB يتم قسمها داخليًا بواسطة النقاط P و Q و R بنسبة m:n (m>0 ، n>0). إذا كان 24R ، فإن أوزان مثلث ABC و PQR تتطابق.'

'حدد شروط جعل قطعة الخط AB و CD متوازيتين، وكذلك الشروط لكونهما عموديين، لنقاط مختلفة A(α)، B(β)، C(γ)، D(δ).'

'بالنسبة لنطاق وجود النقطة P في مثلث OAB على السطح، إذا كان OP = sOA + tOB ، فإن نطاق وجود النقطة P يكون كما يلي: (1) خط AB إذا وفقط إذا كان s + t = 1 ؛ وبشكل خاص، شريط الخط AB إذا وفقط إذا كان s + t = 1، s ≥ 0، t ≥ 0. (2) محيط وداخل مثلث OAB إذا وفقط إذا كان 0 ≤ s + t ≤ 1، s ≥ 0، t ≥ 0. (3) محيط وداخل متوازي الأضلاع OACB إذا وفقط إذا كان 0 ≤ s ≤ 1، و 0 ≤ t ≤ 1.'

'في المستوى المحدد ب xy، ننظر إلى النقاط \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) ولتكن \ \\mathrm{P} \ نقطة يكون حاصل ضرب مسافاتها من هذه النقاط قيمة ثابتة تساوي \ 2 a^2 \. اعتبر مسار نقطة \ \\mathrm{P} \ كـ \ C \. مع الأخذ بعين الإعتبار أن \ a>0 \.\n(1) ابحث عن معادلة النقطة \ C \ فيما يتعلق بالإحداثيات البيضاء \\( (x, y) \\).\n(2) ابحث عن المعادلة القطبية لـ \ C \ مع الأصل كقطب والمحور x الإيجابي كخط بداية، في الإحداثيات القطبية \\( (r, \\theta) \\).\n(3) أثبت أن الجزء من \ C \ باستثناء الأصل يقع في النطاق المشترك بين الربع الأول والربع الثالث في المستوى.'

'حول الإحداثيات القطبية (r، θ) إلى إحداثيات قطبية (x، y).'

'في تمرين تطبيقي، تكون 3 نقاط A و B و C على دائرة بمركز O ونصف قطر 1، بحيث (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. دع زاوية AOB تكون α والزاوية AOC تكون β. حدد: (1) أثبت أن OB متعامد على OC. (2) اعثر على cosα و cosβ.'

'في مثلث متساوي الأضلاع ABC ذو الطول a ، دع P₁ يكون قدم العمود المنطلق من الرأس A إلى الضلع BC. لتكن Q₁ قدم العمود من P₁ إلى الضلع AB. R₁ قدم العمود من Q₁ إلى الضلع CA. ولتكن P₂ قدم العمود من R₁ إلى الضلع BC. من خلال تكرار هذه العملية ، ستتم وضع النقاط P₁ ، P₂ ، ... ، Pn ، ... على طول الضلع BC. حدد الموقع الحد الذي ستصل إليه نقطة Pn. الزاوية أساسا 26 درجة.'

'(4) مركز القائمة (في حالة مثلث حاد \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) نقطة تقاطع ثلاث قياسات \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nدع \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ تكون نقاط التقاطع بين الخط \ \\mathrm{AH} \ مع الضلع \ \\mathrm{BC} \ والخط \ \\mathrm{CH} \ مع الضلع \ \\mathrm{AB} \ على التوالي ، ثم \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ نحصل على\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nبالمثل ، \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nلذلك ، من (*) نحصل على \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nوهكذا ، من \\left( ** \\) لدينا \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'العثور على المعادلات القطبية للدائرة والخط التاليين في الإحداثيات القطبية. افترض أن a>0.'

'لنكن s ليس مساويًا ل 0. بالنسبة للنقاط الثلاث O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t) المتميزة، حيث تكون النقاط P, Q في نفس الربع و OP // OQ، فلنكن α هو الزاوية بين الخط OP واتجاه المحور x الإيجابي. احسب قيمة tan α.'

'المشكلة 107: تطبيقات المثلثات\nلقياس ارتفاع مبنى ما، تم قياس زاوية الارتفاع إلى النقطة العلوية P للمبنى من نقطة تبعد 10 أمتار وعلى ارتفاع 1.5 متر، ووجدت أنها تبلغ 65 درجة.\nاستخدم جدول المثلثات في نهاية الكتاب، وأجب على الأسئلة التالية:\n(1) تحديد ارتفاع هذا المبنى. قم بتقريبه إلى أقرب متر.\n(2) من نقطة تبعد 15 مترًا عن المبنى، قم بتحديد زاوية الارتفاع إلى النقطة P وفقًا لنفس الإجراء.'

'في المثلث ABC، ∠C=90° ، AB: AC=5:4. على تمديد الضلع BC بما وراء النقطة C ، نأخذ CD=376. دع E يكون منتصف الضلع AB ، ودع BF يكون العمود المنسدل من النقطة B إلى الخط AD. أجب على الأسئلة التالية: (1) أثبت أن EF= EC. (2) اعثر على نسبة المناطق بين مثلث ABC ومثلث CEF.'

'أثبت أنه في مثلث غير متطابق ABC، عندما يكون O هو مركز المحيط، G هو مركز الثقل، و H هو مركز القائمة، يكون G على شريط OH و OG:GH=1:2.'

'باستخدام قاعدة الجيب وقاعدة الجيب: العثور على أضلاع وزوايا المثلث.'

'المثال الأساسي 131 مساحة مثلث'

'زاوية المحيط: حجم زاوية المحيط لقوس ما هو ثابت، ويساوي نصف حجم الزاوية المركزية لهذا القوس.'

'هناك بركة دائرية في حديقة قريبة. في يوم ما ، قررت أنا وصديقي قياس مساحة هذه البركة ، لذلك خرجنا مع شريط قياس وطباشير. علمنا نقاط أ، ب، وج عند ثلاثة أماكن على حافة البركة. عندما قمنا بقياس المسافات الأفقية AB ، BC ، CA ، كانت 9 أمتار ، 6 أمتار ، 12 مترًا على التوالي. 1. ابحث عن جيب ، جيب تمامًا ، وجيب الزاوية ABC. 2. ابحث عن مساحة هذه البركة.'

'لتكن θ زاوية حادة. عندما يأخذ أحد sin θ، cos θ، tan θ قيمة معينة، اعثر على قيم النسب الزاوية الأخرى 2 في كل حالة.'

'في مثلث ABC، حيث AB = 3، AC = 2، و ∠BAC = 60°، دع D يكون نقطة التقاطع بين المحاور لزاوية A و BC. ابحث عن طول القطعة AD.'

'رياضيات I'

'الدليل كالتالي: قم بربط EP وFQ وEF ومحلل العمود لـEF. دع O يكون مركز الدائرة. قم بربط OE وOF وامتدادات AD وامتدادات BC يتقاطعان عند P. قم بربط OF وامتداد ED يتقاطع في Q. بموجب النتيجة المستخلصة من المثال 1، تقسم EF ∠BOF و∠EOQ، و ∠EOF=∠EOQ. الأهم، المثلث EOF متطابق إلى المثلث POQ (بواسطة ضلع - ضلع - زاوية)، لذلك EP^2 + FQ^2 = EO^2 + OF^2 = EF^2.'

'أثبت أنه في مثلث ABC، عند تمثيل أحجام الزوايا A و B و C بالترتيب باستخدام A و B و C على التوالي، فإن المعادلة cos((A+B)/2) = sin(C/2) صحيحة.'

'مبرهنة تشيفا\nعندما تتقاطع خط يربط النقطتين A و B و C من المثلث ABC أو النقاط على الأضلاع BC و CA و AB أو تمديدهما، وتكون نقاط التقاطع هي P و Q و R،\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'في مثلث ABC، الجيبA: الجيبB: الجيبC=5:7:8. لذلك، جيب C هو (املأ الفراغ). علاوة على ذلك، إذا كان طول الضلع BC يساوي 1، فإن مساحة مثلث ABC هي (املأ الفراغ).'

'365'

'العلاقة بين أضلاع وزوايا مثلث\nنظرية\n14\n1. في مثلث واحد\n 1. في مثلث، الزاوية المقابلة للضلع الأكبر أكبر من الزاوية المقابلة للضلع الأصغر.\n 2. في مثلث، الضلع المقابل للزاوية الأكبر أطول من الضلع المقابل للزاوية الأصغر.\nوهذا يعني \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"عندما تتقاطع الدوائر O و O' ذات أقطار 5 و 8 على التوالي من الخارج في النقطة A ، وتتقاطع الخط المشترك الخارجي لهاتين الدائرتين مع الدوائر O و O' في النقاط B و C على التوالي ، فلنكن تقاطع البا الذي تمديده والدائرة O' هو D. اثبت: (1) أن AB مستقيم عمودي على AC. (2) اثبت أن النقاط C و O' و D متعامدة. (3) احسب نسبة AB: AC: BC."

'في مثلث ABC، افترض أن نصف قطر الدائرة المحيطة R. إذا كان A=30°، B=105°، a=5، فجد قيم R و c.'

'عدد المستطيلات (بما في ذلك المربعات) التي يتكون منها تقاطع 7 خطوط x=k(k=0,1,2,⋯6) و5 خطوط y=l(l=0,1,2,3,4) على السطح الإحداثي. بالإضافة إلى عدد المستطيلات ذات مساحة 4.'

''

'مثال أساسي 70 نسبة مساحات الجالون والمثلث'

'قانون الاكوسين'

'المثال 124 أقصى زاوية في مثلث في مثلث ABC، العثور على قياس الزاوية الأكبر لهذا المثلث تحت الظروف التالية. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

' باستخدام قاعدة الجيب، اعثر على أطوال الأضلاع الأخرى للمثلث التالي: A هو 45° وطول الجانب المعاكس a هو 2.'

'هناك ورقة أوريجامي بشكل مثلث متساوي الأضلاع ABC بمقاس جانب يبلغ 10 سم. يتم أخذ النقاط D على الجانب AB و E على الجانب AC بحيث يكون الشريط DE متوازيًا مع الجانب BC. عند طي الورقة على طول الشريط DE ، يتم تعريف S كمساحة التداخل بين مثلث ADE ورباعي الأضلاع BCED. القيمة القصوى لـ S تحدث عندما يكون طول الشريط DE هو x سم ، وفي هذه النقطة ، S = y سم مربع.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'(2) في مثلث ABC، حيث AB=4، BC=3، و CA=2، دع D و E تكون النقاط التي تتقاطع فيها زاوية A ومضاعفاتها لزاوية الخارجية مع الخط BC. حدد طول القطاع DE.'

'في زاوية حادة PR XOY ، يتم توفير نقطتين A و B كما هو موضح في الشكل على اليمين. على نصف الخطوط 480 X و OY ، يتم أخذ نقاط P و Q على التوالي لتقليل AP + PQ + QB ، أين يجب وضع P و Q على التوالي؟'

'في المثلث ABC على اليمين ، G هو مركز ثقل مثلث ABC ، والقطعة GD موازية للضلع BC. ابحث عن نسبة مساحات المثلثين DBC و ABC.'

'طول محاور الزاوية في مثلث'

'في مثلث ABC، بموجب قاعدة جيب المشتقات\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { لذلك } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { وبالتالي } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { لذلك }\n\\end{array}\n\\]\n'

'من الشروط المعطاة، عند تحديد العناصر الثلاثة الأخرى للمثلث، الطرق الخاصة باستخدام المبرهنات بناءً على الشروط هي كالتالي: ١. جانب وزواياه المجاورة (احصل على b، c، A من شروط a، B، C) A = ١٨٠° - (B + C)؛ مبرهنة الجيب: a / sinA = b / sinB = c / sinC؛ ٢. جانبان والزاوية المضمنة (احصل على a، B، C من شروط b، c، A) مبرهنة الكوسين a² = b² + c² - ٢bc cosA للعثور على a؛ مبرهنة الكوسين cosB = (c² + a² - b²) / (٢ca) للعثور على B؛ C = ١٨٠° - (A+B)؛ ٣. ثلاثة أضلاع (احصل على A، B، C من شروط a، b، c) مبرهنة الكوسين cosA = (b² + c² - a²) / (٢bc) للعثور على A؛ مبرهنة الكوسين cosB = (c² + a² - b²) / (٢ca) للعثور على B؛ C = ١٨٠° - (A + B)ـ'

'في مثلث ABC، عندما تكون sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19، اعثر على قياس أكبر زاوية في هذا المثلث.'

''

'ثبت الآتي في مثلث متسلطم ABC (AB>AC) مع خط الإقسام AD لزاوية A ، الوسيط AM ، العمود AH:'

'هناك رباعي ABCD متداخل في دائرة. إذا كان AB=8, BC=3, BD=7, و AD=5، فجد طول A والجانب CD. كما، اعثر على مساحة S لرباعي ABCD.'

'في المثلث ABC، إذا كان C يساوي 45 درجة وكانت قيمة b جذر 3 وكانت قيمة c جذر 2، فجد قيم A, B, و a.'

'(3) نظرًا لأن $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$ ، فإن $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$ ، لذلك $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$ . أيضًا ، $\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$ ، لذلك $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$ ، وبالتالي $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$ . لذلك، $\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$ .'

'المضلع ABCD متسوى حول الدائرة O. دعنا نعتبر النقاط التي تتقاطع فيها الجوانب AB, BC, CD, DA مع الدائرة O على التوالي P, Q, R, S، ودعنا نعتبر طول الشقوق AP, BQ, CR, DS على التوالي a, b, c, d. عندما لا تكون أي من الخطوط AC, PQ, RS موازية لبعضها:\n(1) لنفترض أن نقطة تقاطع AC وPQ هي X، أثبت أن AX: XC = a: c.\n(2) لنفترض أن نقطة تقاطع AC وRS هي Y، أثبت أن AY: YC = AX: XC.'

'صف خصائص مثلث A: a^2 = 64، b^2 + c^2 = 61'

'في مثلث متساوي الأضلاع ، تكون زوايا القاعدة متساوية. علاوة على ذلك ، يقسم الخط المستقيم لزاوية القمة في مثلث متساوي الأضلاع القاعدة إلى نصفين عموديا. باستخدام هذه المعلومات ، حل المشكلة التالية: في مثلث متساوي الأضلاع ABC ، إذا كانت زاوية القمة ∠A = 100 درجة ، فما هو قياس زاوية القاعدة ∠B؟'

'في مثلث ABC ، يتم ربط نقطة O داخل المثلث بالأركان الثلاثة ، متقاطعة مع الأضلاع BC ، CA ، و AB في النقاط D ، E ، F ، وتمر تمديد FE عبر النقطة E لتتقاطع مع تمديد الجانب BC في النقطة G.'

'المشكلة 381. مقارنة محيط مثلث'

'في المثلث ABC، كل جانب مماس لدائرة في النقاط P، Q، R كما هو موضح في الشكل أدناه. ابحث عن أطوال القطاع AQ و BC.'

'المثال الأساسي 133: طول المحور المستقيم للزاوية في مثلث (2)'

'العكس من قاعدة تشيفا'

'في مثلث ABC ، إذا قسم النقطة P الضلع BC بنسبة m:n ، وقسم النقطة Q الضلع CA بنسبة l:m ، وقسم النقطة R الضلع AB بنسبة n:l، فإن الخطوط AP و BQ و CR تتقاطع في نقطة واحدة. قم بإثبات ذلك باستخدام عكس نظرية سيفا.'

'ثبت أن المعادلة التالية صحيحة في مثلث ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'في مثلث ABC ، دع D يكون النقطة التي تتقاطع فيها نصف زاوية الزاوية B مع الضلع AC. ابحث عن طول القطعة BD.'

'النقاط الرئيسية لحل مشاكل الزوايا'

'Exemplo básico 68: Usando o centroide e o ortocentro\nSeja H o ortocentro do triângulo acutângulo ABC, O o centroide e OM a linha perpendicular de O para o lado BC. Além disso, tome o ponto K no círculo circunscrito ao triângulo ABC de modo que o segmento CK se torne um diâmetro do círculo. Prove o seguinte:\n1. BK = 2OM\n2. O quadrilátero AKBH é um paralelogramo\n3. AH = 2OM'

'مضلع محاط بدائرة'

'استخدم عكس نظرية سيفا لإثبات أن الوسيطات الثلاثة للمثلث تتقاطع في نقطة واحدة.'

'ثبت عكس نظرية الرقم 90 للشكل الأساسي'

'في مثلث ABC، حيث AB=8، BC=3، CA=6، دع D يكون النقطة التي تتقاطع فيها محور زاوية A مع الخط BC. ابحث عن طول القطعة CD.'

'في مثلث زاويه حاده ABC ، دع BD و CE تكون الأوتاد المسقطة من النقاط B و C إلى الجانبين المقابلين لهما. إذا كان BC=a ، فقم بتعبير الزاوية A بالنسبة للزوايا. يمكنك استخدام الخاصية التي إذا كانت زاوية PRQ في شريط PQ=90° ، فإن نقطة R تقع على الدائرة مع PQ كقطر.'

''

'أثبت أن في مثلث حاد الزاوية ABC، مع نقطة تقاطع H ومركز الدائرة O، نقطة منتصف الضلع BC هو M، ونقطة منتصف القطعة AH هو N، طول القطعة MN يساوي نصف قطر المحيط المحيط لمثلث ABC، بإستخدام حقيقة ان AH=2OM.'

'في التخطيط، إذا كانت AR:RB=3:4 و BP=PC، ابحث عن AQ:QC.'

'بعد أن تعطى القطعة AB ذات الطول a وقطعتان بطول b و c، قم برسم قطعة طولها \ \\frac{a c}{b} \.'

'متى يجب تطبيق قاعدة الجيب وقاعدة الجيب التكويني؟ يمكن استخدام كل من قاعدة الجيب وقاعدة الجيب التكويني لإيجاد أطوال الأضلاع وأحجام الزوايا ، وأحيانًا قد يكون الأمر مربكًا أيهما يجب استخدامه. هل هناك طريقة لتحديد ذلك؟'

'اعثر على طول قطعة الخط BF.'

''

'في النقطة H على الأرض المستوية PR ، يقف عمود عمودي على الأرض. عند رؤية قمة العمود من نقاط A و B ، فإن زوايا الارتفاع تكون 30 درجة و 60 درجة على التوالي. كما أنه من خلال المسح الأرضي ، يُعرف أن المسافة بين A و B هي 20 مترًا ، و ∠AHB=60 درجة. حدد ارتفاع العمود. افترض عدم مراعاة ارتفاع العين.'

'الفصل 4: الهندسة والقياس EX في المضلع ABCD المربع الناتج في دائرة، حيث DA = 2AB و ∠BAD = 120°، و E هو تقاطع القطرين BD و AC، يقسم E القطع BD إلى 3:4.\n(1) BD =؟ AB، AE = 1؟ AB.\n(2) CE =؟؟ AB، BC = I؟؟ AB.\n(3) AB: BC: CD: DA = 1:؟: الطاقة: 2.\n(4) إذا كان شعاع الدائرة يساوي 1، فإن AB =؟، ومساحة المضلع ABCD S =؟.'

'في الرباعي ABCD الملتف داخل دائرة، حيث AB=2، BC=1، CD=3، و cos∠BCD=-1/6. في هذه الحالة، طول AD هو، ما هي مساحة الرباعي ABCD.'

'بالنسبة لشريط الخط AB المعطى، رسم النقاط التالية. (1) النقطة E تقسم الشريط الخط AB داخلياً بنسبة 3:2 (2) النقطة F تقسم الشريط الخط AB خارجياً بنسبة 3:1'

'في مثلث ABC، حيث AB=3، BC=4، وCA=6، دع D يكون النقطة التي تتقاطع فيها مقسم زاوية A الزاوية الخارجية مع خط BC. ابحث عن طول القطعة BD.'

'ابحث عن مساحة مثلث ABC ومتوازي الأضلاع ABCD في الشكل المعطى.'

'حل تمرين 122الأساسي للمثلثات(1)لكل حالة ، ابحث عن طول الضلع المتبقي وأحجام الزوايا للمثلث ABC. (1) a=√3, B=45°, C=15° (2) b=2, c=√3+1, A=30°'

'قاعدة الجيب'

'قررت هاناكو وتارو العمل معًا على المشكلة التالية ومحاولة التفكير باستخدام برنامج رسم الرسوم البيانية.'

''

'أثبت أنه في مثلث ABC، إذا كانت الزوايا ∠A و ∠B و ∠C تمثل ب A و B و C على التوالي، فإن المعادلة (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 صحيحة.'

'(4) العثور على المثلث ذو أصغر نصف قطر للدائرة المحيطة.'

'يُستخدم مصطلح الميل لوصف ميل الطرق والسكك الحديدية. باستخدام نسب المثلثات، أجب على الأسئلة التالية. (١) يُعبر عن الميل للطريق غالبًا بالنسب المئوية (%)٠ تُشير النسبة المئوية إلى ارتفاع الإرتفاع عند التحرك 100 متر أفقيًا. على طريق معين، يوجد علامة تشير إلى ٢٣٪٠ ما هو زاوية الميل القريبة لهذا الطريق؟ (٢) يُعبر عن ميل السكك الحديدية عادة بالآلاف (%)٠ يُشير كل ألفية إلى تزايد الإرتفاع عندما تتحرك ١٠٠٠ متر أفقيًا٠ على خط سكة حديد معين، هناك علامة تشير إلى ١٨٪٠ ما هي الزاوية القريبة لميل هذا الخط الحديدي؟'

'علاقة الأضلاع والزوايا في مثلث'

'في \ \\triangle ABC \ ، حيث \ \\angle C=90^\\circ \ و \ AB:AC=5:4 \ ، يتم بناء نقطة \ D \ على تمديد الضلع \ BC \ بحيث \ CA=CD \. لنكن \ E \ نقطة منتصف ضلع \ AB \ ، ولنكن \ BF \ العمود من النقطة \ B \ إلى الخط \ AD \. أجب على الأسئلة التالية: [جامعة ميازاكي]\n(1) أثبت أن \ EF=EC \.\n(2) احسب نسبة مساحات \ \\triangle ABC \ و \ \\triangle CEF \.'

'من (5) BC = 9، BD: DC = 4: 5، لدينا BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. لذلك، BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2) بموجب قانون الجيوب'

'في مثلث ABC ، أظهر العلاقة بين a² و b² و c² بناءً على نطاق زاوية A.'

'يرجى شرح معاني العبارات التالية: الزوايا المجاورة، الزوايا الرأسية، الزوايا الحادة، الزوايا الغير قائمة، الزوايا الداخلية، الزوايا الخارجية، المتطابقة، المتشابهة، محدد رأسي، مقسم زاوية، مثلث حاد الزوايا، مثلث قائم الزاوية، مثلث غير قائم الزاوية، وتر، قوس، زاوية مركزية، زاوية مدرجة، مستقيم للدائرة، جانب متقابل، قطري، متوازي الأضلاع.'

'أثبت أن المثلث ABC متشابه للمثلث AEF.'

'في المثلث ABC ، حيث BC = 5 ، CA = 3 ، AB = 7. دع D و E يكونان النقطتين التي تتقاطع فيهما زاوية A والمقسم الخارجي لتلك الزاوية مع الخط BC ، يجب إيجاد طول القطعة DE.'

'يرجى استخدام خصائص وتعريفات مركز التماس، مركز الدائرة المضلعة، مركز القائمة، ومركز التثقيف للإجابة على مشاكل المثلث التالية.'

'الحل البديل (نفس الحل حتى الخطوة 11)\n (1) من \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ بالمثل\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n وبالتالي \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} لذلك \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'نظرية معكوسة لقضية مينيلوس'

'نظرًا لوجود متوازي الأضلاع ABCD الذي يلتف حول دائرة. حيث AB=8، BC=3، BD=7، و AD=5، ابحث عن طول CD. بالإضافة إلى ذلك، احسب مساحة S للمتوازي الأضلاع ABCD.'

'المثال الأساسي 1142 الزوايا التي تشكلها الخطوط\n(1) اعثر على الزاوية α التي تشكلها الخط y=-1/√3x مع الاتجاه الإيجابي لمحور الـ x، والزاوية β التي تشكلها الخط y=1/√3x مع الاتجاه الإيجابي لمحور الـ x. كما، اعثر على الزاوية الحادة التي تشكلها الخطوط الاثنان. افترض أن 0° < α < 180°، 0° < β < 180°.\n(2) اعثر على الزاوية الحادة θ التي تشكلها الخطوط y=-√3x و y=x+1.'

'في مثلث ABC المتطابق الزاوية، حيث AC = BC و AB = 6، يتم بناء مستطيلين بأطوال عمودية متساوية كما هو موضح في الرسم إلى اليمين. ما هو القيمة القصوى لمجموع مساحات المستطيلين عند بنائهما للحصول على المجموع الأقصى؟\nبناءً على الشروط المعطاة، AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nكما هو موضح في الرسم، دع D و E و F و G يكونون النقاط، ولنكن x هو الطول العمودي للمستطيلات:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nأيضًا، نظرًا لأن 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2، مما يعني 0 < x < 3√2 / 2\n\nليكون y هو مجموع مساحات المستطيلين:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nفي (1)، y يصل إلى قيمته القصوى وهي 6 عند x = √2.'

'استخدام مبرهنة منيلوس في المثلث ABC والخط DF'

'شرط التشابه بين المثلثين: إذا كان أحد الشروط التالية متوفرًا ، فإن المثلثين متشابهين. [1] نسبة الأضلاع الثلاثة متساوية. [2] زوجين من الأضلاع متناسبين والزوايا الزائدة متساوية. [3] زوجين من الزوايا متساويين.'

''

''

'ثبت أنه في مثلث ABC، إذا كان M منتصف الضلع BC وخطوط قسمة ∠AMB و ∠AMC تتقاطع مع الأضلاع AB و AC في النقاط D و E على التوالي، فإن DE // BC.'

''

'بالنسبة لرباعي الأضلاع مع مجموع أطوال القطرين 10 سم:\n(1) العثور على أقصى مساحة.\n(2) العثور على الحد الأدنى للمحيط.'

'المبرهنة 2: في مثلث ABC مع AB ≠ AC، يقسم تقاطع مقسم زاوية الخارج ل ∠A وتمديد الجانب BC الجانب BC بنسبة AB: AC.'

'في مثلث ABC ، دع D يكون نقطة منتصف جانب AB ، واسم E نقطة منتصف القطعة CD ، و F نقطة تقاطع AE و BC. اعثر على نسبة AE إلى EF.'

'حل المشكلة التالية حول مثلث.'

'تقنع بإستخدام الرسوم البيانية فان وتغلب على المثال 49!'

''

'الرباعي ABCD مرسوم داخل دائرة، حيث AB=4، BC=2، و DA=DC.'

'مثال 378\nفي مثلث ABC حيث AB=10، BC=5، CA=6، دع ∠A ومقسمات زواياه الخارجية تتقاطع مع الضلع BC أو تمديده في نقاط D و E. اعثر على طول القطعة DE.'

'تسيطر على قاعدة الجيب وتهزم المثال 126!'

'ابحث عن COSA باستخدام قاعدة الجيب ومن ثم احسب مساحة وارتفاع المثلث باستخدام النتيجة.'

'ما هي المسافة التي تحركتها أفقيًا عند المشي 80 مترًا على منحدر بزاوية ميل تبلغ 8 درجات من المستوى الأفقي؟ كم متراً هبطت رأسيًا؟'

'عندما تعطى جانبين والزاوية بينهما ، يمكننا استخدام قاعدة الجيب.'

'مع وجود مثلث متساوي الأضلاع ABC مع طول جانب 1. يتم اتخاذ النقطة P على القوس BC الذي لا يتضمن الرأس A ، بحيث PA=a، PB=b، PC=c (b>c). دعنا نحسب قيمة a²+b²+c². نظرًا لأن ∠APB=∠APC=α درجة ، يمكن تطبيق قاعدة الجيبية في المثلث ABP.'

'من نقطتين A و B ، واللتين تبعدان عن بعضهما 1 كم في البحر ، ترى النقطتان قمة الجبل نفسها C. من النقطة A ، زاوية الارتفاع نحو الشرق 30 درجة ، بينما من النقطة B ، الزاوية نحو الشمال الشرقي تبلغ 45 درجة. اعثر على ارتفاع CD للجبل. افترض أن النقطة D تقع مباشرة تحت C ، والنقاط A و B و D على نفس السطح الأفقي. كما تفترض أن sqrt(6)=2.45.'

''

'إذا كانت 90° < A < 180° ، في الرسم البياني على اليمين ، فإن الشق BD هو القطر لدائرة الضم المحيطة بالمثلث ABC. في هذه الحالة ، \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ مما يعني أن \ \\angle BDC = 180° - A \ ، وبالتالي \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \، لذلك \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'هناك ثلاث حالات للعلاقة الوضعية بين الخط `ℓ` والمستوى `α`.'

'تحديد شكل مثلث من مساواة الأضلاع والزوايا'

'النقطة H هي مركز الدائرة الداخلي للمثلث DEF لأنها تمثل تقاطع خطوط قسم الزوايا للزاوية DFE والزاوية FDE.'

'يرجى شرح خصائص خطوط تقسيم الزوايا والنسب في مثلث.'

'في المثلث ABC، إذا كانت a²cosA sinB=b²cosB sinA صحيحة، فما هو شكل المثلث ABC؟'

'في مثلث ABC، إذا كانت a²cosA sinB = b²cosB sinA صحيحة، فما هو شكل المثلث ABC؟'

'لنكن O هو مركز المثلث الحاد ABC. إذا تقاطع محور زاوية BAO الدائرة المحيطة بالمثلث ABC في النقطة D، فأثبت أن AB متوازي مع OD.'

'ارسم عمودًا من النقطة D إلى الضلع AB ، ولنفترض أن نقطة التقاطع تسمى H ، ثم AH=BH=\\frac{1}{2}. لذلك ، باستخدام (2) ، \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. التركيز على مثلث DAH.\n\nبالرجوع إليه ، ارسم عموديًا من الرأس A إلى الضلع BC ، ولنفترض أن نقطة التقاطع تسمى E ، ثم BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nلذلك ، \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. خط نصف زاوية مثلث متساوي الضلع يقسم القاعدة عموديًا.'

'هناك دائرتان متلامستان عند النقطة P. كما هو موضح في الشكل إلى اليمين، تتقاطع خطين يمران عبر النقطة P مع الدائرة الخارجية في النقاط A و B، ومع الدائرة الداخلية في النقاط C و D. قم بإثبات أن AB متوازيان مع CD.'

'في الشكل على اليمين، L ، M ، N هم نقاط التماس لأضلاع △ABC مع الدائرة الموضوعة داخلياً، ∠C =90°، AL =3، BM =10. (1) لتكن r نصف قطر الدائرة الموضوعة داخلياً ، فعبر عن أطوال AC و BC ب r كل. (2) اعثر على قيمة r.'

'في مثلث ABC ، عندما تكون b=2√6 ، c=3√2+√6 ، و A=60° ، اعثر على طول الضلع المتبقي وحجم الزاوية الأخرى.'

''

'في المنشور المستطيل ABCD، حيث AD // BC، AB=5، BC=7، CD=6، DA=3. دع E يكون تقاطع الخط السالك من D متوازيا ل AB والضلع BC ، ودع ∠DEC=θ. اوجد القيم التالية.'

'الفصل 7: التطبيقات على المثلثات\n135\nفي المثلث ABC ، حيث AB = 7 و BC = 4√2 و ∠ABC = 45° ، مع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC المعبر عنه بـ O.\n(1) CA = $هي مربع ، ونصف قطر الدائرة المحيطة ب O هو$.\n(2) على قوس BC للدائرة المحيطة O ، باستثناء النقطة A ، يُؤخذ نقطة D بحيث CD = √10. في هذه الحالة ، بالنظر إلى أن ∠ADC = $ ، لنفترض AD = x ، ثم x = √.'

'في مثلث ABC ، دعنا نقسم الضلع AB بنسبة 3:2 في النقطة D ، ونقسم الضلع AC بنسبة 4:3 في النقطة E. دع تقاطع BE و CD يكون النقطة P ، وتقاطع خط AF و BC يكون النقطة F. اعثر على نسبة BF: FC.'

'نقطة L، M، N هي نقاط اللمس لأضلاع مثلث ABC مع الدائرة الداخلية، ∠C=90°، AL=3، BM=10. (1) عبّر عن أطوال AC و BC بالنسبة إلى r، نصف قطر الدائرة الداخلية. (2) اعثر على قيمة r.'

'من النقاط A و B، تم رصد النقاط C و D على الجانب المقابل للقناة كما هو مبين في الخريطة على اليمين. يفترض أن النقاط A و B و C و D على نفس الارتفاع.\n(1) العثور على أطوال BD و BC (أمتار).\n(2) العثور على طول CD (أمتار).\n\nيمكن أن تظل الإجابات على شكل جذر مربع.\n& 〜GUIDE استخدم مبرهنة الجيب ومبرهنة الجيب الزائد للعثور على المثلثات القابلة للتطبيق.\n(1) في مثلث ABD، يُعرف الجانب الأحد وزاويتان، مما يمكن من استخدام مبرهنة الجيب.\n(2) في مثلث BDC، يُعرف جانبان والزاوية بينهما، مما يمكن من استخدام مبرهنة الجيب الزائد.'

'المثال 123: المثلث القائم وقيم المثلثات'

'أثبت أنه في مثلث ABC ، إذا كان ∠B > ∠C ، فإن b > c.'

'الفصل 3 خصائص الأشكال\nوعلاوة على ذلك، في ∆AFE و ∆ABC\n∠A مشترك، ∠AFE=∠ABC\nلذلك، نظرًا لأن معايير زاويتان متساويتان، ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nوبالتالي، ∆AFE=1/4∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) من (1)، فلنفترض أن مساحة الشكل ذو الأضلاع الأربعة AFGE هي T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nوبالتالي، من (1) و (2)، ∆ABC/T=12S/4S=3\nوبالتالي 3 مرات'

'في الشكل على اليمين، قم بحساب قيم الجيب، والكوساين، والظل من الزاوية θ.'

'من خلال تثليث ABC الموجود على اليمين ، ابحث عن قيم جيوب ، جيكوس ، وظاهرة 15 درجة.'

'في الشكل إلى اليمين، النقطة I هي مركز الدائرة المدرجة للمثلث ABC. احسب التالي: (1) α (2) CI: ID'

'(1) بالنظر إلى α=90°، AB=2، BC=3، ابحث عن أحجام الزوايا الثلاثة للمثلث △ABC.\n(2) بالنظر إلى α=70°، β=γ، ابحث عن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث △ABC.'

'في الشكل المعطى ، اعثر على قيمة α. هنا ، (1) يشير إلى أن BC = DC ، و (3) يذكر بأن نقطة O هي مركز الدائرة.'

'التعبير في صورة معدلات الجيب والتكونات للزوايا الحادة'

'النظرية 1: تقسم تقاطع مقسم الزاوية A الداخلي لثلاثي ABC مع الجانب BC الجانب BC بنسبة AB: AC.'

'لنفترض أن المضلع ABCD مرسوم داخل الدائرة O، حيث AB=2، BC=3، CD=1، و ∠ABC=60°. اعثر على:\n(1) طول القطعة AC\n(2) طول الضلع AD\n(3) نصف قطر الدائرة R'

''

"في الرياضيات، قم بإثبات ما يلي: في الشكل أعلاه، الخط AB يلامس الدوائر O و O' في النقاط A و B على التوالي. إذا كانت نصوع الدوائر r و r' (r < r')، وكانت المسافة بين مراكز الدائرتين هي d، فقم بإثبات أن AB يساوي sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."

'يمكن حساب مساحة مثلث كنصف القاعدة مضروبة في الارتفاع. دعونا نعبر عن هذه الصيغة باستخدام المثلثات.'

'هناك ميل مستقيم بطول 125 مترًا. عند تسلق هذا المنحدر ، تزداد الارتفاع بمقدار 21.7 مترًا. ما هو زاوية الميل التقريبية لهذا المنحدر؟ وأيضًا ، ما هي المسافة الأفقية لهذا المنحدر بالأمتار؟ الرجاء النظر في استخدام نسب المثلثات.'

'نصف قطر دائرة الدائرة المحصورة والمنطقة'

'أجب على السؤال التالي. ابحث عن العناصر الأخرى للمثلث عندما تكون a=√3+1، A=75°، C=60°، أو عندما تكون a=√3-1، A=15°، C=120°.'

'(2) عندما يتشابك مركز الدائرة والمركز الداخلي للمثلث ABC, دعنا نسمي هذه النقطة O. نظرًا لأن O هو مركز الدائرة, فإن OB=OC. لذلك ∠OBC=∠OCB. بالإضافة إلى ذلك, النقطة O هي أيضًا مركز الداخلي للمثلث ABC.\n\n[\nبدء مجموعة المعادلات\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\nانتهاء مجموعة المعادلات\n\\]\n\nبالمثل, يمكننا الحصول على أن\nمركز الداخلي\n\n\\angle A=\\angle C\n\nلذلك, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nبالتالي, المثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع.'

'من حافة سطح سقف مبنى بارتفاع 20 مترًا، أثناء النظر إلى نقطة معينة، فإن الزاوية التي تُشكل مع مستوى الأرض 32 درجة. ابحث عن المسافة بين تلك النقطة والمبنى. كما، ابحث عن المسافة بين تلك النقطة وحافة سقف المبنى. قم بتقريب الناتج إلى الرقمين العشريين.'

'استخدم نظرية زوايا الدائرة لاستنتاج الزوايا الداخلية لكل مثلث، واستخدم قانون الجيوب وقانون الأضلاع.'

''

''

'في مثلث ABC، حيث AB=4 وBC=5 وCA=6، دع D و E تكون النقاط التي تقاطع زاوية A ومقسم زاوية الخارجي تقاطع خط BC. ابحث عن طول القطعة DE.'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'في مثلث ABC، AB=AC=1، ∠ABC=72°. نتخذ النقطة D على الضلع AC بحيث ∠ABD=∠CBD.\n(1) احسب قياس ∠BDC.\n(2) احسب طول الضلع BC.\n(3) احسب قيمة cos 36°.'

'في المثلث ABC ، تكون نقاط D و E نقطتي وسط الأضلاع BC و AC على التوالي. كما أن د و أي:AD تتقاطع في نقطة F ، ونقطة منتصف الشعاع AF هي G ، وتقاطع CG و BE في نقطة H. (1) إذا كان BE = 6 ، ابحث عن طول شعاعي FE و FH. (2) ابحث عن نسبة مساحات مثلث EHC إلى مثلث ABC.'

'■ مركز الدائرة المحيطة ... نقطة تقاطع مثلث المثلث الداخلية\nمحاقن الزوايا\nالنقطة P هي على محور الزاوية ∠ ABC P هي على محور الزاوية مما يعني أنها على مساواة بين BA و BC - بعبارة أخرى ، محور ∠ ABC هو مجموعة نقاط تبعد مسافة متساوية عن الخطين BA و BC.'

"بعد أن توازت دائرتان O و O' عالجان في النقطة A. إذا تقاطعت المستقيمة المماسة للدائرة O' في النقطة B مع الدائرة O في نقطتين C و D كما هو موضح في الشكل، فقم بإثبات أن AB يقسم زاوية ∠CAD الخارجية إلى نصفين."

'في الشكل على اليمين، افترض أن طول الوترين هو واحد لكل منهما. ابحث عن أطوال الأضلاع الباقية واملأ الفراغات. ثم، قم بالتحقق من قيم الجيب والتمام والتمام المشترك لـ 30 و 45 و 60 درجة.'

'العثور على طول الضلع المتبقي بعد إعطاء ضلعين وقطر واحد'

'في △ABC ، مع نصف قطر الدائرة المحيطة يكون R ، العثور على ما يلي: (1) عندما تكون a=10 ، A=30° ، B=45° ، العثور على C ، b ، R. (2) عندما تكون b=3 ، B=60° ، C=75° ، العثور على A ، a ، R. (3) عندما تكون c=2 ، R=√2 ، العثور على C.'

'في △ABC ، حيث نصف قطر الدائرة المحيطة R ، ابحث عن ما يلي.'

''

'في مثلث ABC ، دع D يكون النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 3:2 ، ودع E تكون النقطة التي تقسم الضلع AB بنسبة 4:1. دع P يكون تقاطع الشرائط AD و CE ، ودع F يكون تقاطع الخط BF والضلع CA.'

'مبرهنة الزاوية الدائرية\nحجم الزاوية الدائرية المتوافقة مع قوس معين ثابت، وهو نصف الزاوية المركزية المتوافقة مع ذلك القوس. بمعنى آخر، في الشكل على اليمين، $\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ وعندما يكون $\\mathrm{AB}$ قطرًا، $\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\nعكس مبرهنة الزاوية الدائرية\nبالنسبة لأربع نقاط $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$، إذا كانت النقاط $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ تقع على نفس الجانب من الخط $\\mathrm{AB}$\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nفإن الأربع نقاط $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ تقع على نفس الدائرة.'

'الفصل السادس نسب المثلثات - 115 TR 121'

''

"هناك ثلاثة مثلثات قائمة متشابهة ABC وA'B'C'. نظرًا لأن نسب الأضلاع المقابلة متساوية، فإن هناك ثلاث معادلات التالية بخصوص النسب. دعونا ننظر في هذه النسب الثلاث: (1) BC/AB = B'C'/A'B'، (2) AC/AB = A'C'/A'B'، (3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'الفصل 3 خصائص الأشكال الهندسية - 195\n(2) النقطة E هي نقطة منتصف الضلع AC ، لذلك المثلث ABC = 2 المثلث EBC\nأيضًا ، نظرًا لأن BF: FE = 2:1 ، BE: FE = 3:1\n\n\المثلث EBC = 3 المثلث EFC\\]\nوعلاوة على ذلك ، FH: HE = 2:1 ، لذلك FE: HE = 3:1 ، وبالتالي المثلث EFC = 3 المثلث EHC\nلذلك\n\\[\egin{aligned}\nالمثلث ABC & = 2 المثلث EBC = 2 \\cdot 3 المثلث EFC \\\\\n& = 6 المثلث EFC = 6 \\cdot 3 المثلث EHC \\\\\n& = 18 المثلث EHC\n\\end{aligned}\\nوبالتالي المثلث EHC: المثلث ABC = 1:18\n- نظرًا لأن لديهم ارتفاعًا مشتركًا\n\ المثلث ABC: المثلث EBC = AC: EC \\n\ المثلث EBC: المثلث EFC = BE: FE \\n\ المثلث EFC: المثلث EHC = FE: HE \'

'في الرسم البياني على اليمين، دع ∠A = α، ∠B = β. ابحث عن قيم الجيب والتمام والتماس لα وβ.'

' (1) كما هو موضح في الشكل ، بالنسبة للشكل الخماسي النظامي والنقاط A و B و H ، عندما ∠AOB = 360° / 5 = 72° ، و r = 10 ، و θ = 1/2 × 72° = 36° ، باستخدام النتيجة من السؤال السابق ، فإن طول الضلع الواحد يتمثل في\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756 ، وتقريبه إلى AB = 11.8. طول الرأسي هو OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090 ، وتقريب الى OH = 8.1.'

'في مثلث ABC ، ابحث عن التالي. حيث يتم تعريف مساحة مثلث ABC كـ S. 76 (1) عند A=120°, c=8, S=14√3 ، ابحث عن a, b (2) عند b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5 ، ابحث عن sinA, a (3) عندما a=13, b=14, c=15 ، وطول الخط الرأسي من الرأس A إلى الضلع BC يتم تعريفه كـ h ، ابحث عن S, h'

'ثبت أنه عندما تتقاطع ثلاث خطوط مختلفة x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 في نقطة واحدة، فإن النقاط الثلاث (1,1), (4,5), (a,b) تكون على نفس الخط.'

'العثور على المسار الناتج عن نقطة P بحيث يكون نسبة مسافتها من النقطتين A(0,0) و B(5,0) تكون 2:3.'

''

'عندما يكون مثلث ABC مثلث متطابق الساقين ، ابحث عن قيمة a.'

'(1) نظرًا لأن ميل الخطين متساوي، فإن الخطين متوازيان.\n(2) من y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3 ، يمكننا تحديد أن ميل الخطين 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1، وبالتالي، الخطين متعامدان.'

'ما هو الزاوية بالراديان؟'

'ابحث عن الموضع الهندسي للنقطة P التي ترضي الشروط التالية: (1) مجموع مربعات المسافات من النقاط A(-4,0) و B(4,0) إلى النقطة P هو 36. (2) نسبة المسافات من النقاط A(0,0) و B(9,0) إلى النقطة P هي PA:PB=2:1. (3) تتغير النقطة P بحيث يفي الثلاثي ABC التي تحتوي على النقاط A(3,0) و B(-1,0) كنقاط بزوايا PA:PB=3:1.'

'عندما يكون النقطة ب على خط x+y=5، ابحث عن إحداثيات النقطة ب التي تقلل من طول الخط المكسور AP + PB الذي يربط النقطتين A(2,5) و B(9,0).'

"إحداثيات نقطة التقاطع بين خطين يعطيهما معادلتان ( 1) ax + by + c = 0 و ( 2) a'x + b'y + c' = 0 تُحصل كحلول للمعادلات المتزامنة ( 1) و ( 2)"

'عندما يتوافق نقطة P مع الشرط AP:BP = 2:3 ويتصل الشريط AB بـ A(0,0) و B(5,0) ، اعثر على محل نقطة P.'

'بالنسبة للشكل A_{n+1} ، ركز على العمود الأيمن الأقصى. يؤدي وضع بلاطة أفقيًا في الزاوية السفلية اليمنى إلى ثلاث تكوينات ممكنة كما هو مبين في الشكل 3 ، حيث الجزء المتبقي يتطابق مع A_{n} ، وتكوينين ممكنين كما هو مبين في الشكل 4 ، حيث الجزء المتبقي يتطابق مع B_{n}.'

'العثور على الزاوية التي تكونت من قبل خطين (1) العثور على الزاوية θ (0<θ<π/2) التي تكونت من الخطوط y=3x+1 و y=1/2x+2. (2) العثور على ميل الخط الذي يشكل زاوية مع y=2x-1 بقيمة π/4.'

'في (2) 0 <α <π/2 ، تكون نصف قطر تمثل زاوية α متساويًا مع نصف قطر تمثل 6α. اعثر على مقدار الزاوية α.'

'به النظر ثلاث نقاط A(6,1), B(2,3), و C(a,b), اعثر على قيم a و b عندما يكون المثلث ABC مثلث متساوي الأضلاع.'

'برهن أن مركز الثقل للمثلث DEF يتزامن مع مركز الثقل للمثلث ABC عندما يتم أخذ النقاط D و E و F على الأضلاع BC و CA و AB للمثلث ABC على التوالي، بحيث تكون BD: DC = CE:EA = AF:FB = 37. [جامعة كينكي]'

''

'النقاط المتناظرة على خط'

'أثبت أنه في مثلث ABC ، تقسم النقاط P و Q الجانب BC إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، بحيث BP=PQ=QC. أثبت أن العلاقة التالية صحيحة: $$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'في مثلث ABC، حيث AB=15، BC=18، AC=12، ابحث عن نقطة التقاط D لمقسم الزاوية A والجانب BC. حدد أطوال الشرائح BD وAD.'

'شرح قاعدة الجيب وقاعدة الظل وحل مثال عملي.'

'استخدام جدول التريغونومتريا ، الرد على الأسئلة التالية: (1) في الشكل (أ) ، اعثر على قيم x و y. اتركه للقرب المئوية. (2) في الشكل (ب) ، اعثر على الحجم التقريبي للزاوية الحادة θ.'

'بواسطة قاعدة الجيب وقاعدة الجيب التمامي'

'يرجى شرح علاقة الزوايا المتناظرة عندما تكون خطوطان متوازيتان.'

'عندما c = √6 ، اعثر على زوايا المثلث. النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام قاعدة الجيب هي A = 75 درجة ، C = 60 درجة.'

'من خلال إسقاط العمودي OI من الرأس O على مثلث DEG ، نجد أن I هو مركز الدائرة المحيطة بمثلث DEG. نظرًا لأن GI هو نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث DEG ، بموجب قانون الأجيال ، لدينا GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. لذلك، OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. يرجى إجراء الحسابات التالية.'

''

'ممارسة في النقطة A، التي تكون في نفس الارتفاع مثل برج معين، تم قياس زاوية الارتفاع إلى قمة البرج بواقع 30 درجة. علاوة على ذلك، في النقطة A، عند مسافة 114 متر، يوجد النقطة B حيث زاوية KAB 75 درجة وزاوية KBA 60 درجة. في هذا الوقت، المسافة بين A و K هي x أمتار، وارتفاع البرج y مترًا.'

'في الرباعي ABCD المدمج في دائرة ، AD // BC، AB = 3 ، BC = 5 ، ∠ ABC = 60 درجة ، العثور على ما يلي:\n(1) طول AC\n(2) طول CD\n(3) طول AD\n(4) مساحة الرباعي ABCD'

'بموجب قاعدة الجيب ، \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \ ، لذلك \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \ ، لذا \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'في △ABC، دع M يكون منتصف الضلع BC.'

'مبرهنة الجيب\nفي \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ ، إذا كان شعاع الدائرة المحيطة \\) R \\) ، فإن\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'على الخط الفاصل AB بطول 6، يُؤخذ نقطتان C و D بحيث AC=BD. وهو معطى أن 0<AC<3. اعثر على القيمة الدنيا لمجموع S لمساحتي ثلاثة دوائر بقطريات AC و CD و DB وطول القسم AC في ذلك الحين.'

'من موقع على سطح البحر إلى منارة تقف على قمة صخرة بارتفاع 30 مترًا، زاوية الزنيت هي 60 درجة، ومن نفس الموقع إلى زاوية الزنيت في الجزء السفلي من المنارة هي 30 درجة، ابحث عن ارتفاع الصخرة.'

'مساحة مثلث ABC هي 12√6 ، ونسبة أطوال أضلاعه هي AB:BC:CA = 5:6:7. في هذه الحالة ، ما هو قيمة sin∠ABC ، المعبر عنه بـ ، وما هو نصف قطر الدائرة المحاطة بمثلث ABC ، المعبر عنه بـ .'

'كما هو مبين في الشكل، ومشاهدة نقاط P و Q على الضفة الأخرى للنهر من النقاط A و B المتباعدة بمقدار 100 متر، تم الحصول على القيم التالية: ∠PAB=75°، ∠QAB=45°، ∠PBA=60°، ∠QBA=90°. الرد على الأسئلة التالية في هذه الحالة.'

'نقاط B و E و G جميعها على سطح الكرة S، و BG هو القطر للكرة S، لذلك المثلث EBG هو مثلث قائم الزاوية مع ∠BEG = 90°. ابدأ من EG = 1 وقم بإجراء الحسابات التالية.'

'في مثلث ABC ، إذا كان ∠A = 60 درجة ، AB = 7 ، AC = 5 ، فلنفترض أن D هو النقطة التي تتقاطع فيها محاصر ∠A مع الضلع BC. ابحث عن طول AD.'

'من مكان على سطح البحر إلى قمة منارة بارتفاع 30 مترًا ، الزاوية المستقرة إلى الطرف هي 60 درجة ، والزاوية المستقرة إلى الجزء السفلي من المنارة 30 درجة. اعثر على ارتفاع الجرف.'

'يرجى سرد ثلاثة شروط لتكافؤ المثلثات.'

'تحديد شروط وجود المثلث.'

''

''

'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} أو c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'شخص يبلغ طوله 1.5 متر يقف على الأرض المستوية يريد معرفة ارتفاع شجرة. زاوية الارتفاع من النقطة أ إلى أعلى الشجرة كانت 30 درجة، وزاوية الارتفاع من النقطة ب، التي كانت على بُعد 10 أمتار أقرب إلى الشجرة، كانت 45 درجة. احسب ارتفاع الشجرة.'

''

'نسبة المسافة بين الشمس والقمر'

'في المثلث ABC ، عندما a=1+√3 ، b=2 ، C=60° ، ابحث عن:\n(1) طول الضلع AB\n(2) قياس ∠B\n(3) مساحة △ABC\n(4) نصف قطر الدائرة المحيطة\n(5) نصف قطر الدائرة الداخلية'

'في اليونان القديمة ، تقدمت دراسة المثلثات إلى جانب علم الفلك. استخدم عالم الفلك اليوناني القديم أرسطارخوس العلاقة التالية للبحث عن نسبة البعد التقريبية بين الشمس والقمر.'

''

'قم بالنظر في مثلث ABC المتباين الجانبين ، حيث يكون الضلع الأطول BC والضلع الأقصر AB ، حيث AB = c ، BC = a ، CA = b (a ≥ b ≥ c). دعنا نتغلب على مساحة مثلث ABC على أنها S.'

'قم بترجمة السؤال المعطى إلى عدة لغات.'

'قاعدة الجيب وقاعدة الجيب التمامي'

'عندما تكون قيمة m>0 و n>0 ، يقع النقطة P على الشِّقّ AB ، ويكون AP: PB = m: n ، يُقال إن النُّقطة P تقسم الشِّق AB داخليًا بمعدّل m: n [لمزيد من التفاصيل ، انظر الرياضيات A]. لنفترض AB=k ، ممثلاً بطول الجانب الآخر بأنّه k. استفد من تشابه المثلّثات الّتي تُشكِلها قطوع القطر في رباعي موجه.'

'في مثلث ABC ، دع S تمثل المنطقة. ابحث عن التالي. يُفترض أن المثلث (2) ليس مثلثًا كبير الزاوية.'

'دع مناطق المثلثات AID و BEF و CGH تكون T1 و T2 و T3 على التوالي. في هذه الحالة، أي من الخيارات التالية تتناسب مع موقع S؟'

'في مثلث ABC ، اجعل R هو نصف قطر الدائرة المحيطة. عندما تكون A=30° و B=105° و a=5 ، اعثر على قيم R و c.'

'ثبت المعادلات التالية في مثلث ABC'

'في الرباعي ABCD المدور في دائرة بـ DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD= جذر 3 مرات AB, AE= AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:جذر3:2, (4) إذا كان نصف قطر الدائرة 1 ، فإن AB= جذر 3 ومساحة الرباعي ABCD هي S=3.'

'كما هو مبين في الشكل على اليمين، قم برسم المربعات ADEB و BFGC و CHIA باعتبار أضلاع AB و BC و CA كجانب واحد لكل مربع، ثم اربط النقاط E و F، G و H، I و D.'

'حساب وتحديد الميل لهذا السكة حديد. ميل خط السكك الحديدية هو 18%، وعند التحرك 1000 متر أفقيًا، يزيد الارتفاع بمقدار 18 متر. حساب زاوية الميل θ باستخدام الدوال المثلثية.'

'زاوية بين خطين'

'السؤال الأساسي 124 أقصى زاوية للمثلث'

'يرجى شرح الفرق بين قاعدة الجيب وقاعدة الظل.'

'نعطي \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\، يمكننا أن نجد أن \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\، على محيط نصف قطره 1، النقاط التي تكون الإحداثيات \y\ تساوي \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ هي \\\mathrm{P}\ و \\\mathrm{Q}\. لذلك، الزاوية \\\theta\ المطلوبة تتوافق مع \\\angle \\mathrm{AOP}\ و \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'

'الأشكال الهندسية والقياس\n157\nتمرين 394\n(1) باستخدام الشكل على اليمين، اعثر على قيمة \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) باستخدام الشكل على اليمين، اعثر على قيم \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \, و \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nتلميح: للعثور على معدلات المثلثاتية للزوايا الخاصة، يمكنك إنشاء مثلث قائم يتضمن تلك الزاوية.'

'المشكلة 218 المثال الأساسي 136 نصف قطر المثلث والدائرة الخارجية والدائرة الداخلية\nفي △ ABC، حيث AB = 6، BC = 7، CA = 5، ابحث عن نصف قطر R للدائرة الخارجية ونصف قطر r للدائرة الداخلية.'

'أساسيات المثلثات'

''

'الرياضيات I'

'أثبت أن المساواة cos (A+B)/2 = sin (C/2) صحيحة عند تمثيل أحجام الزوايا A و B و C لمثلث ABC على التوالي بأحرف A و B و C.'

'في الرقم R-40 ، أي التساويات تستخدم، قاعدة الجيب أم قاعدة السین؟'

'في المثلث ABC ، دع R يكون نصف قطر الدائرة المحيطة. إذا كان A=30 درجة ، B=105 درجة ، و a=5 ، فجد قيم R و c.'

'في مثلث ABC حيث AB=6, BC=4, CA=5، دع D يكون النقطة التي تتقاطع فيها محور زاوية B مع الضلع AC. ابحث عن طول القطعة BD.'

'في مثلث ABC ، حيث AB = 3، AC = 2، و ∠BAC = 60 درجة، دع D يكون نقطة التقاطع بين مقسم زاوية ∠A و BC. ابحث عن طول القطعة AD.'

'مشكلة قياس 126 (مستوى) (1) (1) (0) من نقطتين A و B على بعد 100 متر، تم إجراء قياسات لتحديد نقطتين P و Q على الضفة المقابلة لنهر، بقيم محددة كما هو موضح في الشكل. (1) اعثر على المسافة بين A و P. (2) اعثر على المسافة بين P و Q. الأساسيات 107، 120، 121 الأبعاد والاتجاه (قطع وزوايا) يمكن اعتبارها كأضلاع وزوايا للمثلثات. فكر في أي مثلث في الرسم تركز عليه، وفكر في متى يجب تطبيق قاعدة الجيب أو قاعدة الظل.'

'في مثلث ABC ، إذا كان sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7 ، اعثر على نسبة cos A: cos B: cos C.'

'مثال أساسي 133 طول محدد زاوية في مثلث (2)'

''

'المثال الأساسي 106 مثلث قائم الزاوية ونسب المثلث\nفي المثلث ABC كما هو موضح في الشكل، ابحث عن الآتي:\n(1) قيم sinθ، cosθ، tanθ\n(2) أطوال الشقيقتين AD وCD'

'(2) في مثلث ABC، بواسطة قاعدة الجيب'

'تم اتخاذ قياسات من نقاط A و B، التي تبعد 50 مترًا، إلى نقاط P و Q على الضفة المقابلة للنهر، مما أسفر عن القيم كما هو موضح في الرسم البياني. احسب المسافة بين نقاط P و Q.'

'في مثلث ABC، إذا كان ينطبق 7/sin A = 5/sin B = 3/sin C ، ابحث عن قياس أكبر زاوية في مثلث ABC.'

'طول محاور الزاوية في مثلث'

'في مثلث متساوي الأضلاع ABC حيث يكون زاوية A تساوي 36 درجة و BC = 1 ، فإن تقاطع مقسم زاوية C والضلع AB يُسمى D.\n(1) اعثر على أطوال القطع DB و AC.\n(2) ابحث مرة أخرى عن أطوال القطع DB و AC. باستخدام النتيجة من (1) ، حدد قيمة جيب 36 درجة.\n[المصدر: جامعة كوب غاكوين]\nأساسي 106'

'مثال 140 مساحة مثلث الحد الأدنى\nثلاثية متساوية الأضلاع ABC مع طول الضلع 2 معروفة. نقطتان D على الضلع AB و E على الضلع CA بحيث AD = CE. دع مساحة المضلع DBCE تكون S.\n(1) اعثر على الحد الأدنى لطول الشريط DE وطول الشريط AD في ذلك النقطة.\n(2) اعثر على القيمة الدنيا لـ S وطول الشريط AD في ذلك النقطة.\nالأسس المعطاة 66، 121، 131'

'خذ نقطة E على الضلع BC بحيث AB // DE، ثم المتوازي المستطيل ABED.'

''

'استخدم قاعدة الجيب للعثور على أكبر زاوية في مثلث ABC. الظروف المعطاة هي كالتالي: sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19.'

"الكلمة المستخدمة لوصف ميل الطرق والسكك الحديدية هي الميل. باستخدام 'جدول نسب المثلثات'، قم بالرد على السؤال التالي. (1) يُعبر ميل الطريق غالبًا بالنسبة المئوية (%). النسبة المئوية تمثل كم يزيد الإرتفاع عندما يُسافر 100 متر بشكل أفقي. على طريق معين، هناك لافتة تشير إلى 23%. تقريبًا كم درجة تكون ميل هذا الطريق؟"

'(١) في المثلث ABC، إذا تقاطعت محاور زاوية A مع الضلع BC في نقطة D، فقدّم برهانًا على أن BD:DC = AB:AC.'

''

'ابحث عن أطوال الأضلاع المتبقية وأحجام زوايا \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ في كل من الحالتين التاليتين: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'

''

'لنكن D هو النقطة التي تقسم الضلع AB من △ABC بنسبة 1:2 داخليًا، ولتكن E هي النقطة التي تقسم الضلع AC بنسبة 2:1 داخليًا، وليكن F النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة t:(1-t). هنا، t هو عدد حقيقي يرضي الشرط 0<t<1.'

'في الهرم المثلثي ABCD ، دع نقاط P و Q و R و S تكون النقاط التي تقسم الحواف AB و CB و CD و AD داخليًا بنسبة t:(1-t) [0<t<1].'

'على مستوى الإحداثيات TR، عندما تتحرك نقاط A و B من القطعة AB بطول 6 على التوالي على المحورين y و x، يجب تحديد مسار النقطة P التي تقسم القطعة AB بنسبة 3:1.'

'اشرح الانحناءات التالية:\n(1) نصف قطع $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ المحول متوازياً مع محور الأفق بمقدار 2 وحدة ومع محور العمود بمقدار -3 وحدات؛ الوسط عند النقطة (2، -3)؛ البؤرة عند النقطتين (2+√5، -3)، (2-√5، -3)\n(2) الهيبربولا $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{25}=1$ المحول متوازياً مع محور الأفق بمقدار -2 وحدة ومع محور العمود بمقدار -3 وحدات؛ الرؤوس عند النقطتين (0، -3)، (-4، -3)؛ البؤرة عند النقطتين (√29-2، -3)، (-√29-2، -3)؛ خطوط الأسيمبتوت هي خطين $5x+2y+16=0$، $5x-2y+4=0\n(3) المقطع الزائد$y^{2}=4x$المحول متوازياً مع محور الأفق بمقدار -2 وحدة ومع محور العمود بمقدار 1 وحدة؛ القمة عند النقطة (-2، 1)، البؤرة عند النقطة (-1، 1)؛ مستقيم الارتكاز هو الخط$x=-3$'

'إحداثيات قطبية ومعادلات قطبية'

'(4) في السطح الإحداثي، دعنا النموذج المُمثل بالمعادلة القطبية $r=2 \\cos \\theta$ يُعرف كـ $C$ ودعونا النقاط على $C$ بإحداثيات قطبية $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right)$ و $(2,0)$ تُسمى بـ $\\mathrm{A}$ و $\\mathrm{B}$ على التوالي. أيضًا، دع $\\ell$ تكون الخط الذي يمر عبر $\\mathrm{A}$ و $\\mathrm{B}$، ودع $D$ يكون الدائرة مُركزها $A$ ونصف قطرها يساوي طول القطعة $\\mathrm{AB}$.\n(1) اعثر على المعادلة القطبية للخط $\\ell$.\n(2) اعثر على المعادلة القطبية للدائرة $D$.'

'ثبّت أن نقطتي وسط القطرين AG وBH للمتوازي المستطيل ABCD-EFGH تتطابقان.'

'مسار النقاط مع نسبة ثابتة للمسافات من نقطة وخط مستقيم'

'في مثلث OAB ، دع نقطة D تقسم الضلع AB داخليًا بنسبة 2:1 ، النقطة E تكون صورة النقطة D تحت التماثل حول الخط OA ، والنقطة F تكون تقاطع العمود المنزلق من النقطة B إلى الخط OA. لنكن الاتجاه OA كـ a والاتجاه OB كـ b بحيث |a|=4 و a⋅b=6.'

'دائرة بوسط الجانب BC كمركز وتمر من خلال نقطة A.'

'(2) أثبت أن \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ موازية للمستوى QTV.'

'ممارسة الرياضيات C 108 النقطة Q تقع على محيط دائرة لها القطر OP، لذلك ∠OQP=π/2 و PQ=1. لذلك، △OPQ=1/2 OQ·PQ=1/2 OQ، مما يعني أننا بحاجة فقط إلى النظر في الطول الأقصى للقطعة OQ. ومع ذلك، تقع النقطة Q على إليبس مع المحور الرئيسي على محور y، وطول القطعة OQ يقل تنازليًا بالنسبة إلى s، حيث 0 ≤ a ≤ s. لذلك، عندما تكون a=0، أي عندما تكون النقطة P على محور y، فإن طول القطعة OQ هو الأقصى.'

'حاول إثبات الخصائص التالية للشكل باستخدام مستوى الأعداد المعقدة.\nبالنسبة لمتوازي الأضلاع ABCD\n(AB·CD+AD·BC≥AC·BD) تنطبق.\nالمساواة تنطبق في (1) عندما يكون متوازي الأضلاع ABCD مرسوم داخل دائرة.'

'(1) اعثر على الزاوية θ التي تشكلها السطحان α و β. ملاحظة أن 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'من خلال استخدام السطح المركب، قم بإثبات المبرهنات التالية: (1) في مثلث ABC، عندما تكون النقطتان الوسطيتان للجوانب AB و AC هما D و E على التوالي، ثم BC // DE و BC=2DE (مبرهنة النصف). (2) في مثلث ABC، عندما تكون نقطة M نقطة الوسط للضلع BC، ثم المعادلة AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) تتحقق (مبرهنة الخط الوسطي).'

'في الفضاء، هناك أربع نقاط O، A، B، C ليست على نفس المستوى. دع s و t تكون عددين حقيقيين يرضيان 0<s<1,0<t<1. دع A0 تكون النقطة التي تقسم القطعة OA بنسبة 1:1، و B0 تكون النقطة التي تقسم القطعة OB بنسبة 1:2، و P تكون النقطة التي تقسم القطعة AC بنسبة s:(1-s)، و Q تكون النقطة التي تقسم القطعة BC بنسبة t:(1-t). علاوةً على ذلك، نفترض أن النقاط الأربع A0، B0، P، Q على نفس المستوى. (1) عبارة عن t بالنسبة لـ s. (2) بالنظر إلى |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60° و ∠POQ=90°، اعثر على قيمة s.'

'مثال 36 الحد الأدنى لطول الخط المكسور (المسافة)\nفي الفضاء الإحداثي، ننظر لنقاط A (1,0،2)، B (0,1،1).\n(1) عندما يتحرك النقطة P على مستوى الإنعكاس XY، اعثر على القيمة الدنيا لـ AP+PB.\n(2) عندما تتحرك النقطة Q على المحور X، اعثر على القيمة الدنيا لـ AQ+QB.'

'في موازي الرباعي A B C D، يقسم النقطة E الضلع AB بنسبة 3:2، والنقطة F تقسم الضلع BC بنسبة 1:2، ونقطة وسط الضلع CD هي M. لنكن P التقاطع بين الشظوي CE و FM، ولنكن Q التقاطع بين الخط AP والقطر BD. إذا تمثل الناقص AB ب a والناقص AD ب b، فعبر عن النواقص (1) AP و (2) AQ بالنسبة ل a و b.'

'المثال 23 العلاقة المكانية بين مركز الثقل ومركز المحيط ومركز القائم لمثلث\nلنكن مركز ثقل المثلث ABC G ومركز المحيط E، أثبت ما يلي:\n[جامعة ياماناشي]\n1. المتجه GA + المتجه GB + المتجه GC = المتجه 0\n2. المتجه EA + المتجه EB + المتجه EC = المتجه EH، لنكن H مركز القائم للمثلث ABC.\n3. النقطتان E وG وH متصلتان في خط مستقيم وEG:GH = 1:2'

'مثال 106 توسيع البيضوي والدائرة'

'ابحث عن إحداثيات نقطة R، التي تكون متعادلة المسافة من النقاط O(0,0,0)، F(0,2,0)، G(-1,1,2)، و H(0,1,3).'

'ابحث عن المعادلة القطبية لخط زاويته α مع الخط الابتدائي.'

'المثال 132: باستخدام التمثيل المعلمي للعثور على المنطقة الدنيا للمثلث الذي تشكله المستقيم للبيضوي ومحاور الإحداثيات'

'ثبت الشروط عندما يكون مثلث ABC مثلث متساوي الأضلاع بالتساوي بين AB و BC.'

''

'(3) الشكل الناتج عن شريط الاشعة AP المار من خلال هو الجزء الأسود في الشكل الأيمن ، بما في ذلك الحدود. هنا ، G و H هما نقطتا تقاطع للخطين المماسين المرسومين من النقطة A إلى الدائرة K. cos ∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2 ، 0 < ∠AEH < π ، لذلك ∠AEH = π / 3. أيضًا ، ∠AEH = ∠AEG ، لذلك ∠GEH = 2/3π. بالتالي ، مساحة S للشكل الناتج عن شريط الاشعة AP المار من خلال هي S = 2 * △AEH + (مساحة الدائرة K) - (مساحة القطاع EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'

'هذين المماسين يمرّان عبر النقطة P(x_{0}, y_{0})'

'معادلة المماس في نقطة P(x1، y1) هي (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a)، وحيث x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. عندما تكون x=a، مع y1 ≠ 0، نحصل على y = b^2(x1 - a)/(a y1). عندما تكون x=-a، مع y1 ≠ 0، نحصل على y = -b^2(x1 + a)/(a y1). لذلك، Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1))، R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). وبالتالي، مركز الدائرة C1 ذات القطر QR هو (0، -b^2/y1)، وإذا كان النصف القطري هو r، فيكون r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). لذلك، معادلة الدائرة C1 هي x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'

'نظرًا لأن $\\mathrm{FP}: \\mathrm{PH}=e: 1$ ، فإن $\\mathrm{FP}^{2}=e^{2} \\mathrm{PH}^{2}$ ، وبالتالي'

'العثور على الإحداثيات القطبية للنقطة Q.'

'إذا كان رباعي الأضلاع ABDC هو موازي المضلعات ، فجد قيم a و b و c من الاتجاه AB = CD.'

'ابحث عن الزاوية الحادة التي تشكلها الخطان التاليان.'

'(1) في مثلث ABC حيث AB=8، BC=7، وCA=5، دع I يكون المركز الداخلي. قم بتعبير الاتجاه AI بالنسبة للأتجاهات AB و AC.'

'النقطة Q تتحرك على محيط نصف قطره 5 مركزها النقطة O، والنقطة P تتحرك على محيط نصف قطره 1 مركزها النقطة Q. في الزمن t، الزوايا التي تكونها OQ و QP مع الاتجاه الإيجابي للمحور x هي t و 15t على التوالي. إذا كانت الزاوية التي يكونها OP مع الاتجاه الإيجابي للمحور x هي ω، ابحث عن dω/dt.'

'في تتراهيدرون منتظم ABCD بطول حافة 2 ، اعثر على حاصل ضرب النقطة للمتجه AB والمتجه AC.'

'العثور على معادلة الخط الذي يقسم مساحة المثلث ABC ذو الرؤوس A(20،24)، B(-4،-3)، و C(10،4) ويمر من خلال نقطة P التي تقسم الضلع BC بنسبة 2:5.'

'النقطة الداخلية والنقطة الخارجية للتقسيم\nإحداثيات النقطة التي تقسم القطعة AB بنسبة m:n هي\nالتقسيم الداخلي ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nالتقسيم الخارجي ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'

'على السطح الإحداثي، المنحنى C₁: y=-p(x-1)²+q والمنحنى C₂: y=2x² يلامسان نفس الخط في النقطة (t, 2t²). هنا، p و q هما أعداد حقيقية إيجابية، و t تقع في النطاق 0 < t < 1.'

'العثور على إحداثيات نقطة P التي تكون على بُعد متساوٍ من النقاط A(3,3)، B(-4,4)، و C(-1,5).'

'ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'العثور على إحداثيات النقطة P على المحور y على بُعد متماثل من النقاط A(3،-4) و B(8،6).'

'ما معنى المشكلة المعطاة؟'

'(2) في المثلث ABC ، لنكن D النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 1:3. أثبت أن المعادلة 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} تنطبق.'

'بالنسبة إلى نقطة P(x، y) على المستوى ال xy خارج الأصل O، دعونا نجعل نقطة Q تفي بالشروط التالية: (أ) تقع Q على الشعاع النصفي OP مع O كنقطة بداية. (ب) حاصل ضرب أطوال الشقوق OP و OQ هو 1. (1) عبّر عن إحداثيات Q بالنسبة إلى x و y. (2) حدد موضع Q بينما يتحرك النقطة P حول الدائرة مع المعادلة (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2، باستثناء الأصل. (3) حدد موضع Q بينما يتحرك النقطة P حول الدائرة بالمعادلة(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'

'ابحث عن إحداثيات نقطة P التي تكون متساوية المسافة من النقاط A(3,3) و B(-4,4) و C(-1,5).'

'بنقط O كمركز ونصف قطر 1 على محيط دائرة على السطح، توجد ثلاث نقاط متميزة A, B, C. أثبت أن نصف قطر الدائرة التي تلمس مثلث ABC هو أقل من أو يساوي 1/2.'

'في السطح الرياضي xy ، هناك نقطتان P و Q على نصف الخط مع الأصل O كنقطة بداية ، تفي بشرط OP · OQ = 4. عندما تتحرك النقطة P على طول المنحنى (x-2)² + (y-3)² = 13 ، (x، y)≠(0،0) باستثناء الأصل ، ابحث عن مسار النقطة Q.'

'العثور على إحداثيات النقاط التي تكونت في نسبة بعد 2:1 من النقطتين A(-4,0) وB(2,0).'

'قم برسم أشعة الزوايا التالية. كما، تحديد الربع الذي يقع فيه كل زاوية.'

'الزاوية α هي أن 0 < α < π / 2 وشعاع يمثل α يتزامن مع شعاع يمثل 6α. العثور على قيمة زاوية α.'

'(5) ابحث عن موقع النقاط حيث الزاوية المحصورة في النقاط الثابتة A و B ثابتة α.'

'في مثلث ABC، لنكن طول الأضلاع BC، CA، و AB هي a، b، c على التوالي. إذا كان مثلث ABC مرسوماً داخل دائرة نصف قطرها ١ و ∠A = π/٣، فجد قيمة a + b + c القصوى.'

'المنحنى السيني الظاهر في الشكل الناتج عن قطع اسطوانة'

''

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'أثبت أنه في المثلث ABC، حيث أن مقاسات الزوايا A و B هي α و β على التوالي، وأطوال الأضلاع المقابلة لهما تعبر عنها بأ و ب، فإن عدم المساواة b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 تنطبق عند 0 < α < β < π.'

''

'افتر على الرياضيات III\nكما، فكر في المنحنى المخروطي عندما يكون قيمة 𝑡 الحل. أثبت أنه إما قطع مكافئ أو قطع مكافئ، وجد إحداثيات البؤر.'

'استنادًا إلى سياسة تحرير الرسم البياني، يرجى حل المشكلة التالية:\n2. العثور على طول الضلع الوتدي لمثلث قائم الزاوية. (باستخدام نظرية بيثاغورس)\nالمشكلة: العثور على طول الضلع الوتدي لمثلث قائم الزاوية بأطوال جانبية تبلغ 3 سم و 4 سم.'

'ترجم السؤال المعطى إلى عدة لغات.'

'قم بتعبير X، Y بالنسبة ل x، y، و θ عندما يتم دوران النقطة P(X, Y) حول مركز الأصل O بزاوية θ للحصول على النقطة Q(x, y).'

'بالنسبة لإحداثيات قطبية، ابحث عن المعادلات القطبية للدائرة والخط التالي. افترض أن a>0.'

'لنكن إحداثيات القطع A، B، C، وD القطبية بالترتيب (r₁، θ+π/6)، (r₂، θ)، (r₃، θ)، و(r₄، θ+π/3). المثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع بشرط أن AB=AC، والمثلث DBC هو مثلث متساوي الأضلاع بشرط أن DB=DC.'

'بالنسبة لمثلث $\\triangle ABC$ مع طول الضلع 2 و $\\cos A=\\frac{7}{9}$، فلنكن طول الضلع $AB$ يساوي $x(0<x<1)$ ومساحة $\\triangle ABC$ تكون $S$. [مماثل لجامعة آيتشي للتربية] (1) عبر $S$ في صورة $x$. (2) اعثر على القيمة القصوى لـ $S$. كما، حدد أطوال الأضلاع الثلاثة لـ $\\triangle ABC$.'

'يرجى تحديد الشرط لكي تكون نقاط A(α)، B(β)، C(γ)، D(δ) بحيث AB و CD متعامدة.'

'في المنشور المتساوي كبير ABCD حيث AD // BC، حيث AB=2 سم، BC=4 سم، و ∠B=60°. إذا زاد ∠B بمقدار 1°، فبمقدار ما ستزيد مساحة S للمنشور ABCD؟ افترض أن π=3.14.'

'في الإحداثيات القطبية، ابحث عن المعادلة القطبية لمحور النقاط P حيث نسبة المسافة من القطب O والخط g ثابتة، والتي تمر عبر النقطة A(3, π) ومنتصبة على الخط الأولي.'

'من خلال نقطة O ، ابحث عن المعادلة القطبية لخط يشكل زاوية مع الخط الأولي و α.'

'شروط لدوام رباعي الأضلاع في دائرة'

'في السقف المعقد، دع ثلاث نقاط O(0)، A(α)، B(β) تُكوِّن مثلث OAB، حيث ∠AOB = π/6، و OA/OB = 1/√3. إذن، تنطبق α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'

'باعتبار أن مثلث ABC بالنقاط A(-1)، B(1), C(√3i) يشكل مثلث متساوي الأضلاع وأن مثلث PQR بالنقاط P(α), Q(β), R(γ) يشكل مثلث متساوي الأضلاع. قم بإثبات أن المعادلة α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 صحيحة.'

'حدد قيمة a بحيث تكون الخطوط AB و AC متعامدة.'

'كما هو موضح على اليمين ، عندما يكون OP1=1 ، و P1P2= ½OP1 ، و P2P3= ½P1P2 ، ... تستمر إلى ما لا نهاية ، إلى أي نقطة تقترب نقاط P1 ، P2 ، P3 ، ... بشكل لانهائي؟'

'في مثلث OAB ، دع النقطة D تقسم الضلع AB بنسبة 2:1 ، ودع النقطة E تكون النقطة المتماثلة للنقطة D بالنسبة للخط OA ، ودع النقطة F تكون تقاطع العمود من النقطة B إلى الخط OA والخط OA. دع الناقل OA=a ، الناقل OB=b ، مع |a|=4 و a∙b=6. (1) عبّر عن الناقل OF باستخدام الناقل a. (2) عبّر عن الناقل OE باستخدام الناقلين a و b.'

'على مستوى، هناك مثلث OAB بمعادل OA=8، OB=7، AB=9 ونقطة P حيث يُعبّر عن OP=sOA+tOB (s، t أعداد حقيقية).'

'أثبت أن النقاط A و B و C تفي بالشرط AB ⊥ AC.'

'بالنسبة لنطاق وجود النقاط على السطح داخل المثلث OAB، إذا \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \، فإن النطاق للنقطة P هو'

'عندما يكون طول بين نقطتي A و B هو 8 ، حيث تكون النقطة A على محور الـ x وتتحرك النقطة B على طول محور الـ y ، ابحث عن مسار نقطة P التي تقسم خط الـ AB بنسبة 3:5'

'(2) في السداسي النظامي ABCDEF ، عبِّر عن الفيكتور FB بالنسبة للفيكتور AB والفيكتور AC.'

'هناك خماسي منتظم بطول جانبي 1 على السطح، ورؤوسه تتتالى A، B، C، D، E. أجب عن الأسئلة التالية:\n(1) أثبت أن حافة BC موازية لقطعة الخط AD.\n(2) دع تقاطع قطع الخط AC وBD يكون F. وصف شكل رباعي AFDE واذكر اسمه والسبب.\n(3) احسب نسبة طول شريط AF إلى طول شريط CF.\n(4) إذا كان الاتجاه AB=a والاتجاه BC=b، فعبر عن الاتجاه CD بالنسبة للاتجاه AB و BC.'

'ابحث عن المسافة بين نقطتي A و B عندما تكون إحداثيات نقطة A (3، π/4) وإحداثيات نقطة B (4، 3π/4) في الإحداثيات القطبية.'

''

'في مثلث متساوي الأضلاع ABC ذي طول أ الضلع ، دع P1 يكون قدم الرأس العمودي من الرأس A إلى الضلع BC ، و Q1 قدم الرأس العمودي من P1 إلى الضلع AB ، و R1 قدم الرأس العمودي من Q1 إلى الضلع CA ، و P2 قدم الرأس العمودي من R1 إلى الضلع BC. من خلال تكرار هذا الإجراء ، يتم تحديد النقاط P1 و P2 و ... و Pn على الضلع BC. ابحث عن النقطة التي تتجه نحوها Pn.'

''

'في مثلث ABC، يوجد نقطة P في الداخل. دع Q يكون تقاطع AP والضلع BC، بحيث BQ:QC=1:2، و 24AP:PQ=3:4. أثبت أن المعادلة 4PA+2PB+PC=0 صحيحة.'

'لنفترض أن محيط مثلث ABC هو 36 ونصف قطر الدائرة المدرجة في مثلث ABC هو 3. اعثر على مساحة المثلث QBC عندما يفي النقطة Q بالشرط 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'

'في مثلث OAB، دع النقطة التي تقسم الضلع AB بنسبة 2:1 تكون D، ولتكن النقطة المتماثلة للنقطة D حول الخط OA تكون E، ولتكن F انقطاع العمود من النقطة B إلى الخط OA مع الخط OA. دع →OA=a، →OB=b، |a|=4، a⋅b=6. (1) عبّر عن →OF بالنسبة إلى الاقتران a. (2) عبّر عن →OE بالنسبة إلى الاقتران a و b.'

'في المتوازي الرباعي ABCD حيث AD // BC و BC=2AD، أثبت (1) أن النقطتين P و Q على الخط AB. (2) أظهر أن النقاط P، Q، و D متعامدة.'

'نقطة Q تقسم الضلع AC من المثلث ABC داخليًا بنسبة 1:2 ، والنقطة P تقسم الضلع BC بنسبة m:n (m>0، n>0). دع R تكون نقطة تقاطع الشرائح AP وBQ. خط يمر عبر النقطة R يتقاطع مع الأضلاع AB وAC في النقطتين D وE على التوالي. كما، دع vec{b}=→AB ، و vec{c}=→AC.\n(1) عبّر عن الناتج AR بالنسبة لm وn و vec{b} و vec{c}.\n(2) لنكن k=AB/AD+AC/AE. أظهر العلاقة بين m و n بحيث يكون k ثابتًا بغض النظر عن موقع النقطة D على الشريحة AB ، وجد قيمة k في ذلك الوقت.'

'أثبت أن مركز الدائرة P(z) للمثلث OAB مع الرؤوس O(0)، A(α)، و B(β) يرضي المعادلة z=|β|α+|α|β/|α|+|β|+||β-α|.'

'تمر عبر القطب O واعثر على معادلة القطبية للخط الذي يشكل زاوية α مع الخط الأولي.'

'عندما يتحرك النقطة z على الشكل التالي، ما نوع الشكل الذي يرسم النقطة w الممثلة ب w=(-√3+i) z+1+i؟ (1) دائرة بنصف قطر 1/2 مركزها -1+√3i (2) الخط العمودي الذي يقسم ضعفي القطعة التي تربط النقطتين 2,1+√3i'

''

'في رباعي ABCD، حيث AD // BC و BC = 2AD. أجب على الأسئلة التالية عندما تتوافق نقاط P و Q مع الشروط.'

'أثبت أن مركز الداخل للمثلث OAB مع نقاط مختلفة O(0)، A(α)، B(β) كنقاط هو P(z)، حيث يرضي z المعادلة z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α).'

'في مثلث OAB، دع النقطة C تكون النقطة التي تقسم الضلع OA في نسبة 2:1، ودع النقطة D تكون النقطة التي تقسم الشق BC في نسبة 1:2. ولتكن E نقطة تقاطع خط OD والضلع AB. عبّر عن الأبعاد التالية بالنسبة للمتجه OA والمتجه OB.'

'في المتوازي الرباعي ABCD ، دع E يكون النقطة التي تقسم الضلع AB بنسبة 3:2 ، و F تكون النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 1:2 ، و M تكون منتصف الضلع CD. لنكن P انقطاع خط CE وخط FM ، و Q انقطاع خط AP والقطر BD. إذا كان الرابط AB=a ، والرابط AD=b ، فأعبر عن الرابط (1) AP و (2) AQ في صورة a و b.'

'(4) عندما تكون النقطة E والنقطة F متساويتين، نظرًا لأن النقطة E هي مركز الثقل للمثلث ABC، فإن الخط AE يمر عبر نقطة وسط الجانب BC. أيضًا، من (2)، تكون AE عمودية على BC. لذلك، الخط AE هو محور الإنصهار العمودي للجانب BC. بالتالي، المثلث ABC هو مثلث متساوي الساقين بطول AB = AC. وبالتالي، AB: AC = 1:1'

'(٣) نظرًا لأن $\\ sqrt {3} \\ cos \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {3} {2} ، \\ sqrt {3} \\ sin \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}$ ، إذاً إحداثيات النقطة A هي $\\ left (\\ frac {3} {2} ، \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} \\ right)$، لذلك ، ميل الخط OA هو $\\ frac {1} {\\ sqrt {3}}$ ، لذلك ميل الخط المطلوب هو $- \\ sqrt {3}$. لذلك ، المعادلة هي\n$[y- \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} = - \\ sqrt {3} \\ left (x- \\ frac {3} {2} \\ right)]$\nهذا هو $\\ sqrt {3} x +y = 2 \\ sqrt {3}$\nباستبدال $x = r \\ cos \\ theta ، y = r \\ sin \\ theta$\n\n$[\\ sqrt {3} r \\ cos \\ theta + r \\ sin \\ theta = 2 \\ sqrt {3}]$'

'في المثلث OAB ، دعنا نفترض أن النقطة C تقسم الضلع OA بنسبة 2:3 ، والنقطة D تقسم الضلع OB بنسبة 4:5. تقاطع شرائح AD وBC هو النقطة P ، وتقاطع الخط OP مع الضلع AB هو النقطة Q. إذا كان \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\ و \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\ ، فعبر عن \\\overrightarrow{OP}\ و \\\overrightarrow{OQ}\ في مصطلحات \\\vec{a}\ و \\\vec{b}\. [Sim. Kinki Univ.]'

'لنكن \ a>0 \. اعتبِر المنحنى \ K \ الذي يُمثل بالمعادلة القطبية \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (قلب الدّاء). أجب على الأسئلة التالية.'

'عندما تقطع خط يمر عبر مركز ثقل مثلث ABC الحواف AB وAC في نقاط 25D وE على التوالي، حيث يختلف D عن نقطتي A وB، ويختلف E عن نقطتي A وC، قم بإثبات أن DB/AD + EC/AE = 1.'

'(4) بالنسبة للمستوى PQR والحافة OD ، ينطبق ما يلي. عندما q=1/4 ، ما هو المستوى PQR؟ عندما q=1/5 ، ما هو المستوى PQR؟ عندما q=1/6 ، ما هو المستوى PQR؟'

'أثبت: في تتراهيدرون OABC ، ل t الذي يرضي 0<t<1، دع نقاط K و L و M و N تكون النقاط حيث تتم القسمة الداخلية لحواف OB و OC و AB و AC بنسبة 43t:(1-t). أثبت أن المستطيل الرباعي KLNM هو متوازي الأضلاع.'

'تمثيل المكونات للمنتج النقطي'

'بعد حل المعادلة لـ y في (1)، نحصل على y = ±(b/a)√(x² - a²)، لذلك y = ±(b/a)x√(1 - a²/x²). كما يقترب x من اللانهاية، تقترب y من ±(b/a)x. الأمر نفسه عندما يكون x سالباً وقيمته المطلقة تقترب من اللامنتهية. لذلك، الخطوط y = (b/a)x و y = -(b/a)x هما الأقطار البعيدة للهايبربولا (1) (الخطوط التي تقترب منحنى ما منها وتقترب منه). هذه الأقطار البعيدة هي أيضًا الخطوط الممثلة بواسطة (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0 حيث يتم استبدال 1 على الجانب الأيمن لـ (1) بالرقم 0.'

'ابحث عن الشرط لإظهار أن AB متوازي مع CD.'

'التشابه والاختلافات بين السطح والمكان 2'

'العثور على الشروط لجعل الشكل الرباعي PQSR متوازي الأضلاع.'

''

'نفكر في مثلث متساوى الأضلاع ABC ذو طول جانب 1. لنقطة P ، يتم إعطاء الاتجاه v(P) بواسطة v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'

'النقاط 4-7 التالية هي حقائق أساسية حول الإهليلج.'

'(2) دعونا نعرف ∆ABC بأنه S. ثم'

'في السطح المركب، دع A(0)، B(β)، C(γ)، العثور على الأعداد المركبة التي تمثل النقاط E و G.'

'بالنسبة لنقاط A(1,2), B(2,3), C(-1,2)، ابحث عن معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة A ومتعامد على BC. ابحث عن الزاوية الحادة α التي تشكلها الخطوط x-2y+3=0 و6x-2y-5=0.'

"مع تغير k من 1 إلى 2 ، تتحرك القطعة الخطية A'B' بشكل مواز للقطعة الخطية AB حتى CD كما هو موضح في الرسم."

'في المنشور أ ب ج د الموضح لليمين، حيث ا د = أ وب ج = ب. دع يكون نقطة تقسيم أ ب بالنسبة المئوية م، ودع يكون تقاطع د مع الخط من خلال يتوازى مع أ د ، ثم ف يكون التقاطع = (ن أ + م ب) / (م+ن) م.'

'ما هي الانحناءة التي ستنتج عن تصغير أو توسيع الدائرة x^2 + y^2 = 4 بالطرق التالية: \n(1) تصغير بمعامل 1/2 على طول محور y \n(2) توسيع بمعامل 3 على طول محور x'

'لنكن O هو مركز الثقل للمثلث ABC. الخط l الذي يمر عبر النقطة O ولكن لا يمر عبر الرأس A يتقاطع مع الأضلاع AB و AC عند النقاط P و Q على التوالي. لنكن S مساحة مثلث ABC و T مساحة مثلث APQ. حدد معادلة الخط l التي تقلل من T/S، وجد قيمة الحد الأدنى لـ T/S.'

'(1) دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة تقسم الشق AB بنسبة 2:3\n(2) دائرة قطرها AD حيث تقسم نقطة D الجانب BC بنسبة 3:2'

''

'داخل مثلث قائم ABC0 زاويته الداخلية 90 درجة، يتم بناء سلسلة لا نهاية لها من المربعات B0B1C1D1، B1C2D2، وهكذا. دع طول جانب واحد من المربع الثنائي Bn‑1BnCnDn يكون an، ودع مساحته تكون Sn. بالنسبة لكل عدد طبيعي k أكبر من 1، تنطبق ak=ralpha(k-1)، حيث a0=1.'

'أثبت أن الشريط المتوازي الأضلاع ABCD ، AD // BC و AD: BC = 1:2.'

'نقاط P و Q على الأضلاع OA و OB من مثلث متساوي الأضلاع OAB بطول الضلع 1. عندما يكون مساحة المثلث OPQ بالضبط نصف مساحة المثلث OAB ، ابحث عن نطاق القيم الممكنة لطول PQ.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q ، التي تقسم القطع الخطية AB بنسبة m:n.'

'في السداسي النظامي $\\mathrm{ABCDEF}$ ، قم بتعبير $\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}$ في صورة $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ و $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$.'

'السؤال 62\n(1) حدد النقاط D التي تقسم الشق BC داخليًا بنسبة 5:4 ، والنقاط E التي تقسم الشق AD داخليًا بنسبة 2:1.\n(2) اعثر على نسبة V_{1} : V_{2}.'

'(1) مثلث قائم الزوايا متساوي الساقين حيث BA=BC\n(2) مثلث متساوي الأضلاع\n(3) مثلث قائم الزاوية حيث ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'

'في السطح المركب، دعونا نمثل النقاط التي تمثل z1 ، z2 ، z3 ، z4 ، z5 بمثابة A ، B ، C ، D ، E على التوالي. من (0) إلى (5) التالي، الصحيح هم (E) و (G). (0) △ABC هو مثلث متساوي الأضلاع. (1) △BCD هو مثلث متساوي الأضلاع. (2) △OCE هو مثلث قائم الزاوية. (3) △BCE هو مثلث قائم الزاوية. (4) المربع ABDC هو متوازي الأضلاع. (5) المربع AOEC هو متوازي الأضلاع.'

'قم بإثبات المبرهنات التالية باستخدام المستوى المركب: (1) في مثلث ABC، حيث نقاط AB و AC منتصفينهما D و E على التوالي، ينطبق أن BC // DE و BC = 2DE (مبرهنة النقاط الوسطى). (2) في مثلث ABC، عندما يكون نقطة وسط BC هي M، فإن المعادلة AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) صحيحة (مبرهنة الوسيط).'

'أثبت أنه في مثلث ABC المتساوي الساقين، عندما نأخذ نقطة D على القاعدة BC ونرسم الحبل ADE للدائرة المحيطة بالمثلث ABC. في هذه النقطة، تكون مربعات AB تساوي AD مضروبًا في AE.'

'238'

'رسم التشابه بأساليب 64 المماثلة'

'(2) في مثلث $ABC$ ، يقع النقطة $D$ على تمديد الضلع $BC$ ، وتقع النقطتان $E$ و $F$ على الضلوع $AC$ و $AB$ على التوالي ، وتحقق الظروف التالية: $\\frac{BD}{DC}=\\frac{AB}{AC} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{CE}{EA}=\\frac{BC}{BA} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{AF}{FB}=\\frac{AC}{BC} \\cdots \\cdots$'

'السؤال 51 | حجم الأضلاع والزوايا في مثلث\nفي مثلث ABC ، دع M يكون نقطة وسط الضلع BC ودع D نقطة تقاطع مقسم زاوية A والضلع BC.\nثبت ما يلي (1) ، (2):\n(1) AB> BD\n(2) إذا كان AB> AC ، فمن ثم ∠BAM < ∠CAM'

"التمرين 44: افترض أن تقاطع AB و PQ يكون R، والتقاطع بين PQ و CD يكون R'. نظرًا لأن AD//BC، لدينا PR:RQ=AP:BQ، PR':R'Q=PD:QC، AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC، PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. لذلك، AP:BQ=PD:QC."

''

'مبرهنة فيثاغورث وعكسها: في مثلث ABC، إذا كان BC=a، CA=b، AB=c، فإن ∠C=90° إذا وفقط إذا كان a²+b²=c².'

'مثال مهم 102 شكل مثلث'

'في مثلث ABC، وفقًا لقاعدة الجيب، يساوي cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. من (1)، تكون AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90، وبما أن AD > 0، فإن AD = 3 \\sqrt{10}. دع ∠ADB = θ. في مثلث ABD، وفقًا لقاعدة الجيب، AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cos θ. أيضًا، BD:CD = 2:3، لذلك CD = \\frac{3}{2}BD. في مثلث ADC، وفقًا لقاعدة الجيب، تكون AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. وبالتالي، 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'

'شرح واُثبت شروط تشابه المثلث.'

'في \ \\triangle ABC \ ، إذا كانت النقاط \ P \ و \ Q \ تقع على أو تمتد من الجانبين \ AB \ و \ AC \ على التوالي ، فإن الخصائص التالية سارية: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'

'في △ABC، نظرًا لأن OA=OC، فإن زاوية OCA=زاوية OAC=40°، وبالتالي α=180°-2×40°=100°. كما أنه، نظرًا لأن OA=OB، OB=OC، فإن زاوية OAB=زاوية OBA=β، وزاوية OBC=زاوية OCB=25°. لذلك، في △ABC، 2×40°+2×25°+2β=180°، وعليه 2β=50°، لذلك β=25°. حلا آخر: العثور أولاً على β، ثم وفقًا لنظرية الزاوية الدائرية، نجد أن α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'

'لنفترض أن نصف قطر الدائرة المحيطة R ، ووفقًا لقانون الجيوب ، 6 / sin C = 2R ، لذلك R = 8 / √7 = 8√7/7. لنفترض أن نصف قطر الدائرة الداخلية r ، ثم △ABC = r/2(6+4+5) ، △ABC = 15√7/4 ، لذلك r = √7/2.'

'مشكلة تدريبية: النقطة M تقسم الضلع AB من مثلث ABC بنسبة 1:2، والنقطة N تقسم الضلع BC بنسبة 3:2. تكون تقاطع خط AN وCM نقطة O، وتكون تقاطع خط BO والضلع AC نقطة P. إذا كانت مساحة مثلث AOP تساوي 1، فجد مساحة مثلث ABC.'

'مشكلة إيجاد الطول $a، b$ أو الزوايا $x، y$ في الشكل: \\n$i. في (1)$ ، $DE // BC$، \\n$ii. في (2)$ ، $AD // BC ، AD = BC$ ، و $AE$ يقسم $\\angle A$ ، \\n$iii. في (3)$ ، $\\triangle ABC$ مثلث متساوي الأضلاع ، مع $AD = EC$.'

'باستخدام قاعدة الجيب'

'الزوايا المحاذية لقوسي PS و PT في هذه الدائرة متساوية'

''

'في كتاب الرياضيات A، مثال 29 على الصفحة 337، AD هو الزاوية المحدبة لـ ∠A، لذلك BD:DC = AB:AC = 12:9 = 4:3. لذلك، DC = 3 / (4+3) * BC = 3 / 7 * 6 = 18 / 7. وعلاوة على ذلك، AE هو الزاوية الخارجية لـ ∠A، لذلك BE:EC = AB:AC = 12:9 = 4:3. BC:CE = (4-3):3 = 1:3. لذلك CE = 3 * BC = 3 * 6 = 18. وبالتالي، DE = DC + CE = 18 / 7 + 18 = 144 / 7.'

'مثال 53 تطبيق المثلثات (1) من حافة سطح سطح مبنى بارتفاع 20 مترًا ، عند النظر إلى نقطة معينة ، الزاوية 30 درجة. ابحث عن المسافة بين تلك النقطة والمبنى. كما ، ابحث عن المسافة بين تلك النقطة وحافة سطح سطح المبنى.'

'مثال 52 | مقارنة أضلع وزوايا مثلثين\nفي المثلثين ABC وDEF ، AB = DE و AC = DF. أثبت أنه إذا كان ∠A > ∠D ، فإن BC > EF.'

'وفقًا لنظرية قوة النقطة ، ينطبق أن لنقطة التقاط AB و CD لدائرة ، تكون PA * PB = PC * PD صحيحة. أيضًا عند رسم خط مماس من النقطة الخارجية P إلى الدائرة مع نقطة الاتصال T ، وعند تقاطع خط يمر عبر P مع الدائرة في النقطتين A و B ، ثم PA * PB = PT^2 صحيحة.'

'مثال 62 تطبيق قاعدة الجيب'

'في مثلث، ابحث عن الحل عندما تكون قيم AR و BP و CQ متساوية.'

'\\n يتم تحديد المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط A, B, C بـ α ، والمستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط A, C, D بـ β ، والمستوى الذي يمر عبر أربع نقاط P, Q, R, S بـ γ.\\n (1) بفرض أن PQ متوازي لـ AC ، فإن PQ تتقاطع مع AC عند النقطة X على المستوى α.\\n النقطة X على خط AC ، لأن الخط AC على المستوى β ، لذلك النقطة X أيضًا على المستوى β. بالإضافة إلى ذلك ، X على الخط PQ ، لأن الخط PQ على المستوى γ ، لذلك X أيضًا على المستوى γ. لذلك ، يقع X على خط التقاطع بين المستوى β والمستوى γ ، وهو خط RS. ومع ذلك ، هذا يتناقض مع PQ // RS. لذلك ، PQ // AC. بالمثل ، RS // AC.\\n من PQ // AC ، لدينا AP:PB=CQ:QB ، لذلك AP/PB=CQ/BQ ، مما يعني AP/PB\\cdot BQ/QC=1. بالإضافة إلى ذلك ، من RS // AC ، لدينا CR:RD=AS:SD ، لذلك CR/RD=SA/DS ، مما يعني CR/RD\\cdot DS/SA=1. لذلك ، (1)×(2) يؤدي إلى AP/PB\\cdot BQ/QC\\cdot CR/RD\\cdot DS/SA=1.'

'رسم قطعة خط بطول محدد عندما تُعطى قطع خط بأطوال 1 و a و b ، فقدم الإجراء لرسم قطعة خط بطول √(b/a).'

'خصائص أطوال جوانب مثلث'

'ممارسة 109\nلنكن H منتصف الضلع AB و M منتصف الضلع OC.\nنظرًا لأن مثلثي OAC و OBC متساويَين الضلعين، لدينا AM عمودية على OC و BM عمودية على OC.\nلذلك، المستوى ABM عمودي على OC.\nلنكن V الحجم المراد تحديده، والهرم الثلاثي OABM.\n∠AOP=60°\n∠POM=60°\nالمثلث OAB متساوي الضلعين.\nاستخدم نتيجة (1).\nاستبدل cosθ من (2).\nقم بالتحقيق في الحالة التي تكون فيها الجذر التربيعي لـ١١t²-6t+3 الأدنى. في هذه النقطة، ستكون S أيضًا الأدنى.\nبالنسبة لعمودية الخط والمستوى، انظر إلى المعلومات الأساسية 3 على الصفحة D.207.'