هندسة الأشكال الهندسية - خصائص الأشكال الأساسية (النقاط، الخطوط، الزوايا، المثلثات، المضلعات، الدوائر)

'ابحث عن قيمة k التي تمثل دائرة تمر عبر الأصل (0,0).'

'فهم شرح المسافة بين نقطة واحدة. ابحث عن الصُيغ للمسافة بين الأصل O والنقطة P(a)، وبين النقاط A(a) وB(b).'

'(1) أي نوع من الأشكال يمثل المعادلة $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$؟\n(2) من أجل أن تمثل المعادلة $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ دائرة، قم بتحديد نطاق قيم الثابت $p$.'

'(1) ابحث عن إحداثيات منتصف الحبل الناتج عن تقاطع الخط x+y=1 مع الدائرة x^{2}+y^{2}=4، وحدد طول الحبل.'

'(1) مرور عبر المحور x والمحور y، ومرور من خلال النقطة A(-4,2). (2) مرور من خلال النقطة (3,4)، الملامسة للمحور x، ووجود مركزها على مستقيم y=x-1.'

'قم برسم المنطقة التي تحقق المتباينات $x^{2}+y^{2}>1$ و $|x| + |y| > 1$، وأوضح علاقتها.'

'المثال 29 | شكل مثلث لأربع نقاط A(4,0), B(0,2), C(3,3), D، أجب على الأسئلة التالية.'

'العثور على إحداثيات نقاط التقسيم الداخلية ونقاط التقسيم الخارجية ومركز الثقل في المثال 30'

'ممارسة (63=> هذا الكتاب ص.137) (2) دع إحداثيات النقطة P تكون (x، y)، عندها تذکر من AP^2+BP^2=18 نحصل على {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18، بتبسيط نحصل على x^2+y^2-4y=0، مما يعني x^2+(y-2)^2=2^2. لذا، تقع النقط التي ترضي الشرط على الدائرة (1). وعلى نقيض ذلك، أي نقطة على الدائرة (1) ترضي الشرط. لذلك، المسار المطلوب هو دائرة بمركز في (0,2) ونصف قطر 2.'

'للشعاع الذي يربط A (-3) و B (6) ، اعثر على إحداثيات النقاط التالية: (1) نقطة تقسم داخليًا بنسبة 2:1 (2) نقطة تقسيم خارجي بنسبة 2:1 (3) نقطة تقسيم خارجي بنسبة 1:2 (4) النقطة الوسطى'

'أخذ الخط BC كمحور x والنقطة P كالأصل، يمكن تعبير إحداثيات رؤوس مثلث ABC على النحو التالي: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\nحيث b ≠ 0، c > 0. تحقق من المعادلة 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²).'

'ما هو القطر؟'

'اعثر على معادلة دائرة تلامس كلاً من المحور x والمحور y.'

'ابحث عن مسارات النقاط Q و R التالية بالنسبة للنقطة P التي تتحرك على المنحنى القطعي y=x^2 والنقطتين A(3،-1)، B(0،2).'

'نظرًا لأن النقطة (3،4) تقع على الخط 3x-2y-1=0، تمر الخط المطلوب من خلال النقط (-7،-11) و (-1،6).'

'ممارسة (٢) القوس y=x^2 والخط y=m(x+2) يتقاطعان في نقطتين مختلفتين A و B. ابحث عن مسار نقطة منتصف شريط AB مع تغير قيمة m.'

'العثور على المعادلة القياسية لدائرة.'

''

'عندما يأخذ الفصل 3 (28 t) جميع القيم الحقيقية، للنقاط الثلاث A(t, t^{2})، B(t, t-2)، C(t+√3, t^{2}-t-1)، أجب على الأسئلة التالية:\n(1) أثبت أنه بالنسبة لكل عدد حقيقي t، A و B نقاط مختلفة.\n(2) اعثر على جميع قيم t التي تجعل مثلث ABC مثلثًا قائم الزاوية.\n(3) حدد نطاق قيم t التي تجعل مثلث ABC مثلثًا حاد الزاوية.'

'معادلة مستقيم النصف الرأسي لقطعة خط BC هي y-0=-2(x-5)، وهي تبسيط لـ y=-2x+10. من خلال حل المعادلات (4) و (5) معًا، نحصل على x=4، y=2. لذلك، مركز الدائرة المحيطة هو النقطة (4,2) ونصف القطر هو sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5. وبالتالي، المعادلة التي نبحث عنها هي (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25.'

'دائرة بمركز (-2, 3) ونصف قطر 3'

'عندما تكون نقاط تقاطع 22 دائرة، دائرة تمر من خلال نقاط التقاطع بين دائرة وخط، ومعادلات الخطوط بالنسبة ل x، y مكتوبة على شكل f(x، y)، يُعتبر الانحناء الذي يُمثله معادلة f(x، y)=0 (حيث يتضمن حالات يمثل فيها خطًا) بانه انحناء f(x، y)=0 والمعادلة تُعتبر معادلة للانحناء.'

'ابحث عن معادلة المستقيم المماس في النقطة P(4،6) على الدائرة.'

'العثور على قيم الثابت k التي لا تشكل المستقيمات مثلثًا.'

'تشير النتائج من (1) إلى (3) إلى أن إحداثيات مركز ثقل △PQR تتغير من \\[ \\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right) \\text { to } \\left(-1, \\frac{5}{3}\\right) \\].'

''

'بالنظر إلى أن طول القائمة المنسدلة من النقطة (2,1) إلى الخط kx + y + 1 = 0 هو √3، ابحث عن قيمة الثابت k.'

'ابحث عن معادلات الخطوط المتوازية والعمودية على الخط 4x+3y-6=0 التي تمر عبر نقطة انقطاع الخطوط 2x-y-1=0 و x+5y-17=0.'

'تتقاطع عند النقاط (-1، 3) و (3، -1)'

'ابحث عن المسافة بين النقطتين التاليتين.'

'(2) (1) من (1) في مثلث △AOB حيث ∠AOB = 90°، الدائرة التي تمر عبر النقاط A، B، O تحتوي على AB كقطر لها.'

'مثال تمريني 17 مساحة القطاع'

'ابحث عن طول القوس ومساحة القطاع ذي نصف قطر 4 وزاوية مركزية 150 درجة.'

'المشكلة(1) في السطح الإحداثي، عندما تكون نقاط A(a, 2) و B(5, 1) و C(-4, 2a) متعامدة، ابحث عن قيمة الثابت a.'

'(1) يلامس كل من محور الاكس ومحور الواي، مروراً بالنقطة أ (-4،2). (2) مروراً بالنقطة (3،4)، يلمس محور الاكس، بالمركز على الخط y=x-1.'

'مشكلة في العثور على إحداثيات النقطة بي. العثور على إحداثيات النقطة بي (ص، ص) التي تقع على الخط الذي يربط نقطتين A (6، -3) و B (1، 7).'

'خارج الدائرة (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5. بما في ذلك الحدود.'

'إحداثيات مركز الثقل G لمثلث ABC ذو الرؤوس A(x1، y1)، B(x2، y2)، و C(x3، y3) هي (\\frac{x1+x2+x3}{3}، \\frac{y1+y2+y3}{3})'

'الرياضيات II نهر 36 كتاب ص.119\n(1) نصف القطر r هو المسافة بين المركز (-5,4) والأصل، لذلك r^2=(-5)^2+4^2=41\nلذلك، معادلة الدائرة التي نبحث عنها هي (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) المركز هو نقطة وسط القطر، لذلك إحداثياته (-3+3)/2, (6+(-2))/2 وهي (0,2)\nنصف القطر r هو المسافة بين المركز (0,2) والنقطة A(-3,6)، لذلك r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nلذلك، معادلة الدائرة التي نبحث عنها هي x^2+(y-2)^2=25\nحلاً آخر (2) عند الدائرة، دع P(x, y) تكون نقطة مختلفة عن A, B، ثم AP ⊥ BP لذلك، عندما x ≠ -3, x ≠ 3، (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nلذلك (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 وهي x^2+(y-2)^2=25\nتستمر هذه المعادلة عند x=-3, x=3، أي أن النقاط (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) ترضيها، لذلك هذه هي معادلة الدائرة التي نبحث عنها.'

'بالنسبة لزاوية قياسية، حدد ما إذا كانت الاقتراحات التالية صحيحة وشرح السبب.\n"لا توجد زوايا أكبر من 360 درجة"'

'أخذ OP كالنصف.'

'(5) الخط الموازي لمحور الصِّ، يكون عموديًا على محور العرض. إذا مرَّت الخط في نقطة ذات إحداثي x يُساوي 5، فإن x=5'

''

'مثال هام 58: نقاط تقاطع القوس والدائرة\nلنفترض أن r ثابت إيجابي. نظرًا للقوس y=x^{2} والدائرة x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} ، وأجب على الأسئلة التالية:\n(1) عندما r=2 ، اعثر على جميع إحداثيات نقاط التقاطع بين القوس والدائرة.\n(2) استقصِ كيف يتغير عدد نقاط التقاطع بين القوس والدائرة مع تغير r عبر جميع القيم الحقيقية الإيجابية.'

'العثور على قيم a عندما تكون الخطوط (a-2)x+ay+2=0 و x+(a-2)y+1=0 متوازية، متطابقة، أو عمودية.'

'فهم الصيغة للمسافة بين نقطتين في المستوى. ابحث عن الصيغة للمسافة بين النقاط O(0; 0)، A(x_{1}, y_{1})، B(x_{2}, y_{2}).'

'للدائرتين \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \:\n(1) ابحث عن معادلة الخط الذي يمر من خلال نقطتي تقاطع الدائرتين.\n(2) ابحث عن مركز الدائرة ونصف القطر الذي يمر من خلال نقطتي تقاطع الدائرتين والنقطة (1,3).'

''

'(1) العثور على معادلة دائرة بمركز (-5،4) تمر عبر الأصل.\n(2) العثور على معادلة دائرة بقطر AB حيث A(-3,6) و B(3,-2).'

'بالدوائر المعطاة ، المسماة على التوالي C_1 و C_2. (1) دع إحداثيات نقطة اللمس على الدائرة C_1 تكون (x_1 ، y_1) بحيث x_1^2 + y_1^2 = 9'

'المثال الهام 49 المسافة بين نقطة على القوس وخط\n نقطتان A(0,1) و B(2,5) والقوس y=x^{2}+4x+7 . يكون هناك نقطة P متحركة على القوس .\n\n إيجاد القيمة الدنيا لمساحة المثلث PAB S.'

'ارسم نطاق وجود النقطة (a، b) على مستوى ab عندما تتقاطع القطعة المستقيمة التي تربط النقطتين A(1،-2) و B(-2،1) مع القوس y=x^{2}+ax+b في نقطة واحدة فقط بخلاف A و B.'

'احسب المسافة بين نقطتين على المستوى.'

'معادلة الخط AB هي x/a + y/b = 1. دعنا نأخذ نقطة P(a, b) والمسافة بين النقطة P والخط AB تكون d. ابحث عن القيمة القصوى ل d.'

'عدد نقاط الشبكة'

'لنكن معادلة الدائرة المطلوبة (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0). الشرط لدائرة (2) أن تكون م tangente إلى الدائرة C هو 0<r<5 و √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r، لذلك r=5-√4=3. بالتالي، المعادلة المطلوبة هي (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'العثور على إحداثيات نقطة Q:\n\nلتكن الإحداثيات للنقطة Q (x، y).\n(1) لنفترض OP=r ، ولنكن الزاوية بين OP واتجاه الس بان الموجب لمحور x هي α، ثم r cosα=-2، r sinα=3.\nلذلك، x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π.'

'إحداثيات النقاط\nلنكن نقاط A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂)، C(x₃, y₃) معطاةً.\nابحث عن المسافة بين نقطتين.\nAB=√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)\nوبشكل خاص، المسافة بين الأصل O و A هي OA=√(x₁² + y₁²)'

'مثال 55 شروط المستقيمات ومعادلات الدوائر والخطوط'

'أخذ النقطة B كنقطة البداية والحافة BC كمحور x ، يمكن تمثيل إحداثيات كل رأس كـ A(0, a) ، B(0, 0) ، C(b, 0) ، D(b, a) . أثبت أن PA² + PC² = PB² + PD².'

'على مستوى ما، هناك n دوائر بحيث أي دائرتين تتقاطعان مع بعضهما البعض ولا تتقاطع ثلاثة أو أكثر من الدوائر في نقطة واحدة. كم عدد الأجزاء التي يتم تقسيم المستوى إليها بواسطة هذه الدوائر؟'

'نطاق مرور النقاط والمنحنيات'

'سؤال مماثل عند اخذ نقطة P(1/2, 1/4) على المستوى الإحداثي. عندما تنتقل نقطتان Q(α, α^2) و R(β, β^2) على القطعة الناقصة y=x^2 بحيث تكون النقاط الثلاث P، Q، R مثلث متساوي الساقين مع QR كالقاعدة، اعثر على مسار مركز الثقل G(X, Y) للمثلث PQR. [جامعة طوكيو]'

'عندما يكون للقطع المخروطي والدائرة أربع نقاط مشتركة يكون الرأس العلوي للقطع المخروطي على الشريط الذي يربط النقطة (0، -37/4) والنقطة (0، -3) (باستثناء النقاط النهائية) كما هو مبين في الشكل. لذلك، -37/4 < a < -3.'

'اثنان من الدوائر الملتصقة بمحاور الإحداثيات وخط'

'أخذ الخط BC كمحور x ومحور تقسيم الوتر المتعامد للضلع BC كمحور y، يصبح منتصف الضلع BC نقطة L المركز O، ويمكن تمثيل إحداثيات كل رأس على أنها A(a, b)، B(-c, 0)، C(c, 0)، في هذه الحالة، L(0,0)، M((a+c)/2, b/2)، N((a-c)/2, b/2)، لذلك، إحداثيات نقاط التقاطع التي تقسم الثلاث متوسطات AL, BM, CN بنسبة 2:1 هي ((a/3), (b/3))، ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1))، ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1))، وهي كلها ((a/3), (b/3))، لذلك تتقاطع الثلاث متوسطات AL, BM, CN في هذه النقطة.'

'التمرين 1: العثور على نصف قطر والمساحة الكلية لدوائر التماس المثلثات المتساوية الأضلاع'

'قم برسم شعاع الزوايا التالية. كما يجب تحديد الربع الذي تقع فيه.'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nلذلك، BC=CA، BC^2 + CA^2 = AB^2، لذلك ΔABC هو مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية حيث ∠C=90∘.'

'العثور على معادلة الخط'

'تدريب دع العدد الحقيقي t يرضي 0<t<1 ، ننظر إلى النقاط O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) على السطح الإحداثي. أيضًا ، حدد نقطة D على القطعة AB بحيث ∠ACO=∠BCD. ابحث عن المساحة القصوى لمثلث ACD. [جامعة طوكيو]'

'عندما يتحرك النقطة (x، y) داخل دائرة نصف قطرها 1 مركزها الأصل، قم بتصوير نطاق حركة النقطة (x+y، x y).'

'بالنسبة للدائرة $C: x^{2}+y^{2}=25$ ، أجب على الأسئلة التالية:\n1. اعثر على معادلة دائرة بمركز $(12,5)$ تلامس الدائرة $C$ خارجيًا.\n2. اعثر على معادلة دائرة بمركز $(1,-\\sqrt{3})$ تلامس الدائرة $C$ داخليًا.'

'ابحث عن طول القوس ومساحة القطاع ذو النصف قطر 4 وزاوية مركزية 150 درجة.'

'لنكن a و b عددين حقيقيين إيجابيين. تمس خطاف القطع C1: y = x^2 - a و C2: y = -b(x - 2)^2 الخط ℓ عند نقطة P(x0, y0). نحدد S1 كالمنطقة المحاطة بالخط x = 0، القطعة C1، والخط المماس ℓ، و S2 كالمنطقة المحاطة بالخط x = 2، القطعة C2، والخط المماس ℓ. أجب على الأسئلة التالية:\n(1) عبر عن a، x0، y0.\n(2) عبر عن نسبة المساحتين S1:S2 بالنسبة ل b.'

'المسافة بين نقطة وخط'

'قم بتمثيل مجموعة النقاط (x، y) التي تحقق y=x+1 في رسم يوضح خطا مستقيما كالحدود. كما، قم بتمثيل مناطق النقاط التي تحقق y>x+1 و y<x+1 في الرسم.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة P على محور السين نفس المسافة من النقاط A(-1,2) و B(3,4).'

'العثور على معادلة دائرة تمر عبر النقطة (2،1) وتكون مماسة للمحور السيني والمحور الصادي.'

'مثال أساسي 70: بالنظر إلى A(-2,1)، B(6,-3)، C(1,7)، اعثر على إحداثيات النقاط التالية.'

'فكر في المشكلة التالية.'

'قم بدراسة كيفية تغيير عدد نقاط التقاطع بين الدائرة (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 والخط y=2x-3 اعتمادًا على شعاع r.'

'المثال القياسي 103'

'مع النقاط الثلاث A(5،-2)، B(1،5)، C(-1،2)، ابحث عن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ABC وحدد نوع المثلث.'

'رسم المنطقة الممثلة بواسطة المتساويات التالية.'

'ابحث عن معادلة الخط المماس المرسوم من النقطة A(3,1) إلى الدائرة x^2+y^2=2 وإحداثيات نقطة الاتصال.'

'لنكن نقاط التقاطع للقطع الناقصة القطعية y=9-x^{2} والمحور x A و B. عند تضمين معلومات بين المنطقة المحصورة بين هذه القطعة الناقصة القطعية والمحور x، مع قطعة AB كقاعدة، حدد المنطقة القصوى لهذه البيدق.'

'ابحث عن عدد نقاط الشبكة داخل المنطقة المحاطة بين y = -x^2 + 8x و y = x (بما في ذلك الحدود).'

'الدائرة التي لها مركز C(a، b) ومسافة ثابتة r(>0) من C هي مجموعة نقاط ب C كمركز ونصف قطر r. تسمى الدائرة بمركز C ببساطة دائرة C، والمعادلة التي يرضيها أي نقطة (x، y) على الدائرة تُسمى معادلتها. لنحاول العثور على معادلة هذه الدائرة. الشرط لكون نقطة P(x، y) على دائرة C هو أن CP = r، المعبر عنه في الإحداثيات بتعبير √((x-a)^2 + (y-b)^2) = r، رفع كلا الجانبين إلى التربيع يعطي (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. نظرًا لأن كلا الجانبين من (2) إيجابيان، (1)⇔(2)⇔(3)، وبالتالي (3) تعتبر معادلة الدائرة المطلوبة. يُطلق على الشكل من المعادلة (3) مع المعرفة بالمركز (a، b) ونصف القطر r الشكل الأساسي لمعادلة الدائرة. معادلة الدائرة بنصف قطر r ومركز (a، b) هي (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. معادلة الدائرة بنصف قطر r ومركز في الأصل هي x^2 + y^2 = r^2. الملاحظة أن وضع a=b=0 في 1 ينتج عن الحصول على 2. عند r=1، يُسمى بالدائرة الوحدية. بالإضافة إلى ذلك، يمكن اعتبار 1 على أنه ترجمة لـ 2 موازية لـ a على طول المحور x و b على طول المحور y.'

'لنكن دائرة (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 كـ C.\n(1) عندما يكون الدائرة (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 هو C₁، قم بتحديد العلاقة بين موضع C و C₁.'

'النقطة D في الربع الرابع، الدائرة D مماسة لمحور الاكس ومحور الواي، لذلك يمكن افتراض إحداثيات النقطة D على أنها (d، -d) والنصف القطري هو d. نظرًا لأن النقطة D أسفل الخط l، لدينا 3d - 4d - 12 < 0. المسافة بين النقطة D والخط l تكون |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5. نظرًا لأن الدائرة D مماسة للخط l، المسافة بين النقطة D والخط l هي (d + 12) / 5 = d. لذلك، d = 3.'

'ابحث عن معادلة الخط المماس في النقطة A على الدائرة التي تحتوي A(0,3) و B(8,9) كقطر.'

'هناك نقطتان A(-1,3) وB(5,11).'

'عندما تلامس الدوائر بعضها البعض ، اعثر على قيمة a.'

'ابحث عن معادلة مستقيمة تلامس الدائرة x^2 + y^2 = 9 وموازية للخط 4x + 3y - 5 = 0.'

'بالنسبة إلى النقطتين A(0,1) و B(4,-1): (1) ابحث عن معادلة دائرة C1 ذات مركز على الخط y=x-1 تمر عبر النقطتين A و B. (2) ابحث عن معادلة دائرة C2 التي تتناظر مع الدائرة C1 التي تم العثور عليها في (1) بالنسبة للخط AB. (3) دع P و Q تكون نقاط على الدوائر C1 و C2 ، على التوالي. ابحث عن الطول الأقصى لقطعة الخط PQ. [جامعة غونما]'

'هناك متوازي الأضلاع ABCD مع رؤوس A(-2,3)، B(5,4)، وC(3,-1). ابحث عن إحداثيات النقطة D ونقطة التقاط P للقطرين.'

'العثور على معادلة الدائرة التالية:\n(1) دائرة بمركز في (1,1) تمس الخط 2x-y-11=0'

'نقاط معينة A(6,0) و B(3,3) ، عندما يتحرك النقطة P على دائرة x^2 + y^2 = 9 ، العثور على مسار مركز الثقل G للمثلث ABP.'

"لنكن C و C 'نقطتي التقاط A، B ، ونص التقاط الخط AB يكون M. لذلك، فإن طول القطعة OM يساوي المسافة بين الأصل O والخط ℓ."

'استخدام إحداثيات نقطة B (p، q)، لتحديد الشرط اللازم لجعل الخط AB عموديًا على الخط ℓ عندما تكون الميلة لـ ℓ تساوي 2.'

'عندما يمكن رسم بالضبط خطين مماسين من النقطة P(1, ) إلى المنحنى C، أجب على الأسئلة التالية. (i) اعثر على معادلتي الخطين المماسيين. (ii) دع Q و R تكون نقاط التماس بين الخطوط التي تم العثور عليها في (i) والمنحنى C. افترض أن إحداثي x لـ Q أقل من إحداثي x لـ R. اعثر على مساحة S للشكل المحصور بالقطاع المستقيم PQ والقطاع المستقيم PR والمنحنى C.'

'قم بفحص العلاقة الوظيفية بين الدوائر والخطوط التالية، وجد إحداثيات نقاط التقاطع إذا وجدت.'

''

'افترض وجود أربعة دوائر على مستوى الإحداثيات تلامس المحور السيني والمحور الصادي والمستقيم 3س + 4ص - 12 = 0. قم بترتيب أقطار هذه الدوائر بترتيب تصاعدي وشرح العلاقة بين مركز كل دائرة والمستقيم.'

'اعثر على ميل الخط الذي يجعل زاوية \\frac{\\pi}{4} مع الخط x - \\sqrt{3} y = 0.'

'بالنسبة للنقطة A(-2، -3) ، اعثر على إحداثيات النقطة Q التي تتماثل مع النقطة P(3، 7).'

'اعثر على معادلة الخط المماس في نقطة P على الدائرة التالية.'

'لنكن A تقاطع الخطين \ 3 x+2 y-4=0 \ (1) و \ x+y+2=0 \ (2). حدد معادلة الخط الذي يمر من خلال النقطة A و B(3,-2) لـ (1). حدد معادلة الخط الذي يمر من خلال النقطة A ومتوازٍ مع الخط \ x-2 y+3=0 \ لـ (2).'

'بناءً على أ(-2،-3)، ب(3،7)، ج(5،2)، العثور على إحداثيات النقاط التالية.'

'دعونا نجد معادلة الخط المماس في نقطة (أ ، ب) على الدائرة x^2 + y^2 = r^2.'

'لنكن المستقيم 3x+2y-4=0 هو (1) و x+y+2=0 هو (2)، مع A كنقطة تقاطع الخطين. ابحث عن معادلة الخط التي تمر عبر نقطة A ونقطة B(3،-2).'

''

'ما هو شكل مثلث ABC الذي تم تشكيله بواسطة النقاط الثلاث التالية؟'

'العثور على معادلات الدوائر التالية:\n1. دائرة بمركز في (2، -3) ونصف قطر 1\n2. دائرة بمركز في (3، 4) تمر عبر الأصل\n3. دائرة بقطر محدد بواسطة النقطتين (3، 1) و (-5، 7)\n4. دائرة بمركز في (5، 2) ملامسة لمحور y'

'ابحث عن مركز الدائرة ونصف القطر الذي يمر عبر نقطتي انقطاع الدائرتين \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) ويمس خط \ y=x \.'

'النقطة A موجودة في الربع الأول ، الدائرة A ملامسة لمحور السينات ومحور الصادات ، لذلك يمكن افتراض إحداثيات النقطة A على أنها (a ، a) ، مع النصف القطري يكون a. نظرًا لأن النقطة A أسفل الخط l ، لدينا 3a + 4a - 12 < 0. المسافة بين النقطة A والخط l هي | 3a + 4a - 12 | / √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = (-7a + 12) / 5. نظرًا لأن الدائرة A ملامسة للخط l ، المسافة بين النقطة A والخط l هي a ، لذلك (-7a + 12) / 5 = a ، مما يؤدي إلى a = 1.'

'تعلم صيغ نقاط التقسيم الداخلية والخارجية وتغلب على المثال 74!'

'دائرة وخط'

'بالنسبة لأي قيم من الثابت k تمر الدائرة C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 من خلال النقطتين A(x, y) و B(x, y)؟ هنا، . سيكون شريط الخط AB قطرًا للدائرة C فقط عندما k=.'

'شرح ما هي الربع الثالث.'

'أظهر حدود المنطقة الممثلة بواسطة عدم المساواة.'

'مشكلة لمعرفة العلاقة بين خط ودائرة، بالإضافة إلى إحداثيات نقاط تقاطعهما.'

'العثور على معادلات الدوائر التالية.'

"معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتي التقاطع C و C' هي \\square x+\\square y=15. كما أن مساحة S للمثلث مع نقطتي التقاطع والنقطة الأصلية O كنقاط هو S=\\square."

'ما نوع الأشكال التي تمثلها هذه المعادلات؟'

'هل الخطين التاليين متوازيان أم عموديان؟'

'احترف الصيغة للمسافة بين نقطة وخط، اغزو المثال 83!'

'رسم نصف قطر الزاوية θ وتحديد الربع الذي يكمن فيه الزاوية'

'عندما يكون مثلث ABC مثلثا قائم الزاوية بالرؤوس A(1,1) ، B(2,4) ، و C(a,0) ، ابحث عن قيمة الثابت a.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة P على محيط الدائرة بالمعادلة x^2-2x+y^2-4y+4=0 التي هي الأقرب إلى النقطة A(-1,1). كما، اعثر على المسافة بين النقطتين A و P.'

'نقطة على مستوى'

'(2) مثلث قائم الزاوية متساوي الضلعين حيث \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \'

'بالنسبة للنقط A(0,1) و B(4،-1)'

'الفصل 4: الأشكال والمعادلات'

'مشكلة إيجاد المسافة بين نقطتين على مستوى.'

'ابحث عن إحداثيات ال نقاط التالية.'

'نظرًا للدائرة TR: x^{2}+y^{2}=1، حيث تُعرف ب C_{0}، ولنفترض أن C_{1} تكون الدائرة التي تم الحصول عليها بنقل C_{0} بمقدار 2a وحدة في الاتجاه الإيجابي للمحور x، وحيث تكون a بين 0 و a<1. أيضًا، لنكن A و B نقطتي التقاط C_{0} و C_{1} في الربع الأول، ولنكن P(s, t) نقطة على C_{0} مختلفة عن النقطتين A و B. ابحث عن المسار الذي يسلكه مركز الثقل G للمثلث PAB بينما تتحرك P في جزء من C_{0} باستثناء النقطتين A و B.'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ مثلث متساوي السقوف'

'في هذه الحالة، المسافة بين مركز (0,0) الدائرة (1) والخط (2) تساوي نصف قطر الدائرة √k، لذلك'

'اعثر على عدد المماسات التي يمكن رسمها من النقطة P(1, ) إلى المنحنى C: y=x^3-x.'

''

'بناءً على مركز الدائرة ونصف قطرها، ابحث عن معادلة الدائرة.'

'ابحث عن معادلة دائرة بمركز (أ ، ب) ونصف قطر r.'

'العثور على الدائرة التي تمر عبر تقاطع دائرتين'

'ثبت أنه للمثلث الحاد الحاد ABC تنطق A + تنطق B + تنطق C = تنطق A تنطق B تنطق C.'

'ابحث عن المحور الهندسي لنقطة الوسيط P لقطع الخط المربطة والتي تربط النقطة A(2,0) والنقطة Q بينما تتحرك النقطة Q على الدائرة x^2 + y^2 = 1.'

'قم بفحص العلاقات الموضعية بين الدوائر والخطوط التالية ، وإذا كانت هناك نقاط مشتركة ، فجد إحداثياتها.'

'نظرًا لأن مركز الدائرة C3 هو الأصل O، يكون المسافة بين الدائرة C والدائرة C3 هي PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\nلنفترض أن r3 هو نصف قطر الدائرة C3، حيث إن الدائرة C3 متماسة داخل الدائرة C، فإن r3 < 3 و √5 = 3 - r3\nلذلك r3 = 3 - √5\nوبالتالي، معادلة الدائرة C3 هي x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'رسم المناطق الممثلة بواسطة العقود الآتية.'

'هناك متوازي أضلاع ABCD مع النقاط A(-2,3), B(5,4), و C(3,-1). اعثر على إحداثيات النقطة D ونقطة التقاط P للقطر الوتري.'

'ابحث عن إحداثيات نقطة الوسط وطول القطاع الناتج من الدائرة ذات المركز (2، 1) ونصف القطر 2 من مستقيم y=-2x+3.'

'ابحث عن معادلة الخط المماس المرسوم من النقطة A(7,1) إلى الدائرة x^2+y^2=25.'

'ابحث عن معادلة دائرة تمر عبر النقط (0,2) و (-1,1) بمركزها على المستقيم y=2x-8.'

'عندما تمتلك القطعة المخروطية (1) والدائرة (2) 4 نقاط مشتركة، اعثر على نطاق r.'

'ابحث عن مركز الدائرة ونصف قطرها التي تمر من خلال نقطتي تقاطع الدائرتين x^2+y^2=2 و (x-1)^2+(y+1)^2=1، والتي تلامس خط y=x.'

'في الشكل رقم 6 ، ما هو الطول الذي يمكن قراءته بمسافات كم ملم؟'

''

'ما هي قيم المحور العمودي للنقطتين (2) و (3)؟'

'2021 أكاديمية شيبويا للمدرسة الثانوية ماكوهاري (لأول مرة) (4)\nكما هو مبين في الشكل 5-1 ، يوجد مكعب مستطيلي $ABCD-EFGH$ بقاعدة رومبوسية وجميع الوجوه الجانبية المستطيلة. النقاط $K, L, M, N$ موجودة على حواف $AB, BC, CD, DA$ على التوالي ، بنسبة $AK: KB = AN: ND = 1: 1$ ، $BL:LC = DM: MC = 2: 1$.\nبالإضافة إلى ذلك ، النقطة O موجودة على القطر $EG$ من الرومبوس $EFGH$ ، بنسبة $EO: OG = 1: 5$.\nبتوصيل كل رأس من رباعي الضلع $KLMN$ بالنقطة O يتم إنشاء هرم O-KLMN. أجب على الأسئلة التالية. يمكن حساب حجم الهرم على أنه (مساحة القاعدة) × (الارتفاع ÷ 3).'

'اشرح الفرق بين نجم أحمر مضيء ونجم أحمر داكن.'

'هناك مثلث قائم ABC كما هو مبين في الشكل 2 ، ومربعات بأضلاع AD و BD و CD على التوالي. في هذه الحالة ، ما هي مساحة المربع مع CD كجانب واحد في سنتيمتر مربع؟'

'ما هو حجم الخلية أ في الشكل 12 (الطول بين PQ) بالميكرومتر؟ استخدم القيمة المحصل عليها في (5) والجواب بالأعداد الصحيحة.'

'شبه الجزيرة'

'(3) كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، يبلغ ارتفاع جرف B 48 مترًا فوق مستوى سطح البحر وعلى بعد 70 مترًا شمالًا من نقطة A، يبلغ ارتفاع جرف C 53 مترًً فوق مستوى سطح البحر وعلى بعد 70 مترًا جنوبًا من نقطة A، ما عليك سوى تسجيل مواقعهما المختلفة.'

'(2) يصبح الخط الذي يرسمه النقطة O مثل خط عريض. أولاً، فإن الزاوية المركزية لشذرة ذات نصف قطر 6 سم بين (2) و (3). عند إضافة الجزء بين 8 و 9 (الذي يساوي طول قوس 60 درجة) يعطي مجموعًا يبلغ 180×3+90+60×2 = 750 درجة. علاوة على ذلك، يكون القوس بين 3 و 4 له نصف قطر بطول 12+6=18 سم وزاوية مركزية بقيمة 30 درجة. وبالتالي، يتم حساب طول الخط الذي يرسمه النقطة O على أنه 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 سم.'

'في الشكل 5-1، هناك مثلث قائم الزاوية مع الزاوية A، حيث AB=3 سم و AC=6 سم، ومثلث قائم متساوي الأضلاع مع الزاوية D، حيث DE و DF هما 6 سم. أجب على الأسئلة التالية حول الشكل الهندسي الناتج عن دمج هذه المثلثات القائمة الزاوية. خذ قيمة الباي كـ 3.14.كما يمكن حساب حجم المخروط عن طريق ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع وقسمتها على 3.'

'يبلغ ارتفاع طبقة الرماد البركاني X فوق مستوى سطح البحر 53 مترًا عند صخرة A و 44 مترًا عند صخرة B. عند وضع علامات تعريفية بدوائر على الرسم البياني ، يبدو كما هو موضح في الرسم البياني الأيمن.'

'(٤) تشكل مجموعة من النقاط حيث تكون الفرق في المسافة من A إلى مصدر الصوت و B إلى مصدر الصوت ثابتة عند 350 متر خطًا، مما يشير إلى وجود مصدر الصوت. يتم تمثيل هذا بـ (I). المنحنى حيث يكون الفرق في المسافة من نقطتين إلى مصدر الصوت ثابتًا يسمى هيبربولا.'

'لا يناسب ورق A3'

'المذنبات هي أجسام سماوية في النظام الشمسي تدور حول الشمس مثل الكواكب. تتميز المذنبات بميزة مميزة حيث تتلألأ فجأة عند اقترابها من الشمس من بعيد في النظام الشمسي وتظلم بسرعة وتختفي أثناء ابتعادها. بالإضافة إلى ذلك، كما هو موضح في الشكل 6، تعرض المذنبات مظهرًا مختلفًا بذيل طويل يتمايل على عكس الأجسام السماوية الأخرى. يمتد ذيل المذنب في اتجاه معاكس للشمس. (5) لنفترض اكتشاف مذنب جديد، ويكون مرئيًا فور غروب الشمس في ذلك اليوم. اصف طريقة ظهور ذيل المذنب على شكل خط مستقيم.'

'(3) يقع مصدر الصوت A في الموقع الذي تصل إليه في 1 ثانية ، و B في الموقع الذي تصل إليه في 2 ثانية. لذلك ، برسم دائرة بنصف قطر 350 × 1 = 350 مترًا مركزها A ، ودائرة بنصف قطر 350 × 2 = 700 متر مركزها B ، ستُشير نقطتا التقاطع هاتان الدائرتان إلى موقع مصدر الصوت.'

'اختر عبارة صحيحة يمكن استنتاجها من الرسم البياني في الشكل 4.'

'ابحث عن طول كل جانب من المثلث التالي.'

'معادلة السطح العمودي على محورين تكامليين'

'مثلث قائم الزاوية حيث الزاوية C تساوي 90 درجة'

'لنكن إحداثيات القطب للنقطة أ (r₁, θ₁) وتلك للنقطة ب (r₂, θ₂). ابحث عن مساحة مثلث OAB، الممثلة بـ S.'

'في المتوازي الرباعي ABCD، دع M يكون نقطة منتصف الضلع AB، و E تكون النقطة التي تقسم الضلع BC إلى 1:2، و F تكون النقطة التي تقسم الضلع CD إلى 3:1. إذا →AB=b و →AD=d'

'يتم توفير مضلع سداسي منتظم ABCDEF بطول ضلع 1. عندما يتحرك النقطة P على الضلع AB والنقطة Q يتحرك على الضلع CD بشكل مستقل ، ابحث عن المنطقة التي يمكن أن يمر بها النقطة R ، التي تقسم القطاع PQ بنسبة 2:1.'

'على الرغم من أنه من الممكن استبدال z=x+yi مباشرة في المعادلة (3)(2) وحسابها، إلا أن الحساب يصبح معقدًا للغاية (انظر النظرة الأولى بعد الإجابة). لذلك، ننظر أولاً إلى معادلة قبعة تشبه القصدير للشكل C ولها التركيز على المحور x، ثم نقوم بتدويرها للعثور على معادلة C. (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 إحداثيات البؤر هي، \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}، لذلك هي (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0). طول المحور الأساسي هو 2\\cdot2 وطول المحور الثانوي هو 2\\cdot1، لذلك، المساحة المطلوبة هي \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi.'

'المماس في أي نقطة على المنحنى C في الربع الأول يتقاطع دائمًا مع الأجزاء الإيجابية لمحور الـ x ومحور الـ y ، ويتم تسمية نقاط التقاطع على التوالي بـ Q و R. يقسم النقطة P القطاع QR داخليًا بنسبة 2:1.'

'بالنسبة للإحداثيات القطبية ، ابحث عن معادلات الدائرة والخط التاليين: (1) دائرة بمركز في النقطة A(3، π/3) ونصف قطرها 2. (2) خط يمر عبر النقطة A(2، π/4) ومتعامد على OA (O هو القطب).'

'(2) 128\nفي المنظور المتساوي الساقين \ \\mathrm{ABCD} \ حيث \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~سم}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~سم}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \, عندما يزيد \ \\angle \\mathrm{B} \ بمقدار \ 1^{\\circ} \, بمقدار كم تزيد مساحة \ S \ من المنظور \ \\mathrm{ABCD} \؟ افترض أن \ \\pi=3.14 \.'

'ابحث عن المسافة بين نقطتين.'

'ابحث عن القطاع الزاوي لمتواز على الامتدادات الأطول للمثلث.'

'في الفضاء الإحداثي، لنفترض نقطة A(1,0,2) و B(0,1,1). عندما تتحرك النقطة P على طول المحور x، ابحث عن القيمة الدنيا لAP+PB.'

'على مستوى الإحداثيات، يمر الدائرة C من خلال النقطة (0,0)، ومركزها على الخط x+y=0، وهي مماسة للهايبربولا xy=1. ابحث عن معادلة الدائرة C. هنا، يقال أن الدوائر والهايبربولا يلامسان في نقطة ما إذا تطابقت المماسات للدائرة والهايبربولا في تلك النقطة.'

'بالنسبة للقطع المستوية $x^{2}+4 y^{2}=4$، ما هي مسار نقطة $P(a, b)$ خارج القطع المستوية منها تم رسم خطان مماسان للقطع بزاوية قائمة؟\n[نوع جامعة طوكيو]\nأساسي 155'

'المنحنى الذي يمثله المتغيرات المعلمية'

'ابحث عن الشكل الهندسي الذي تمثله جميع نقط P(z) التي تُرضي المعادلة $|z-\\alpha|=r(r>0)$.'

'على الانحناء \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1 ، دع \\mathrm{P} يكون النقطة في الربع الأول حيث يتقاطع المماس مع محور السينات ومحور الصادات في النقاط \\mathrm{A}، \\mathrm{B} على التوالي. إذا كان المنشأ \\mathrm{O}، ابحث عن القيمة الدنيا لـ \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB}.'

'العثور على الإحداثيات والطول للحبل الناتج من تقاطع الخط والمنحنى التاليين.'

'المفاهيم الأساسية 1 المعادلات القطبية والمستقيمة (1) المعادلة القطبية لدائرة بمركز في القطب O ونصف قطرها a r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) دائرة بمركز في (a, 0) ونصف قطرها a r=2a cos θ (3) دائرة بمركز في (r₀, θ₀) ونصف قطرها a r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) خط يمر عبر القطب O ويكون زاوية α مع الخط الابتدائي θ=α (5) خط يمر عبر النقطة A(a, α) ويكون متعامدًا على OA'

'(٤) بالنسبة للمستوى PQR والحافة OD ، فإن الوضعيات هي كما يلي. عندما q = 1/4 ، يكون المستوى PQR . عندما q = 1/5 ، يكون المستوى PQR 又. عندما q = 1/6 ، يكون المستوى PQR ネ. اختر الذي يتناسب مع اثنين 〜 ネ ، واحد من 0 إلى 5 ، يمكنك اختيار نفس الخيار مرارًا وتكرارًا.'

'ابحث عن محور مركز الدائرة P التي تمس كل من الدائرة $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ والخط $x=-3$.'

'بالنسبة للقطع الزائدة \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\)، إحداثيات البُؤْر هي \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\) . البُؤْر تقع على محور السيِّن، حيث يكون طول المحور الرئيسي 2a، وطول المحور الفرعي 2b.'

'أثبت أن الفرق في المسافة من أي نقطة على الهايبربولا إلى بؤريها مستقر.'

'ذكر شرط تواجد ثلاث نقاط مختلفة A(α)، B(β)، C(γ) على خط مستقيم.'

'لنفترض أن نقطتين A و B لقطعة خط طولها 2 تتحركان على التوالي على محور السينات والصادات. عندما $\\mathrm{BP}=1$، ابحث عن مسار النقطة P.'

'مرورًا بنقطة A (3، -4) ، ابحث عن الخط موازي للخط l: 2x-3y+6 = 0 وسمِّه g. حدد معادلة الخط g.'

'في المضلع السداسي النظامي ABCDEF، مع وسط O، يقسم النقطة P الجانب CD داخليا بنسبة 2:1، والنقطة Q هي نقطة منتصف الجانب EF. إذا كان الناقل AB هو a والناقل AF هو b، فعبر عن الناقلات BC، EF، CE، AC، BD، QP بالنسبة للناقلين a و b.'

'عندما تكون نقطة F على إحدى رؤوس قطعة منحنى منحى، ونقاط P وQ تمثل النقاط الطرفية للقوس الذي يمر عبر نقطة F، فإن ثابت الجمع للتعبير 1/FP + 1/FQ يبقى ثابتًا بغض النظر عن اتجاه القوس. يُثبت ذلك.'

'عندما يتحرك النقطة P(z) على طول محيط دائرة مركزها -i بنصف قطر 1 (باستثناء الأصل) ، فما نوع الشكل الذي يرسمه النقطة Q(w) الممثلة بالعبارة (3) 114 w=1/z؟'

"موضوع: البحث في المتعددات التي تمثلها معادلات الأعداد المركبة وحركة الدوران الرياضيات في الفصل 3 من الرياضيات C ، تعلمنا حول الأشكال الهندسية في السطح المركب ، وفي الفصل 4 درسنا خصائص المتعددات. هنا ، سنبحث في الحالات التي يكون فيها الشكل الذي يمثله معادلة العدد المركب z متعددًا. لنؤكد أولاً المفاهيم الأساسية للمتعددات من خلال المشكلة التالية. CHECK 3-A يجب العثور على معادلة مسار النقطة P مع مسافة إجمالية تبلغ 6 من النقاط F(√5, 0) و F'(√5, 0)."

'ابحث عن معادلة الدائرة الناقصة.'

''

'نفترض أن △ABC هو مثلث متساوي الأضلاع بالرؤوس A(-1), B(1), وC(√3 i). أثبت أنه عندما يكون △PQR بالرؤوس P(α), Q(β), R(γ) أيضاً مثلث متساوي الأضلاع، يتحقق المعادلة α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0.'

'أثبت معادلة المستقيم المماس في النقطة (x0، y0) على الدائرة باستخدام الفيكتورات.'

'(2) مجموع المسافات من النقطة z إلى النقطتين (√3+3i)/2 و -(√3+3i)/2 هو ثابت عند 4، لذلك، الشكل C هو قطع ناقص مع نقطتي التركيز في (√3+3i)/2 و -(√3+3i)/2. دع c تكون المسافة من المنشأ، الذي هو المركز لهذا القطعة الناقصة، إلى نقطتي التركيز. إحداثيات نقطتي التركيز على السقف-السي XY هي (c، 0) و (-c، 0). هذه القطعة الناقصة متطابقة مع قطعة ناقصة حيث إن مجموع المسافات من النقاط على القطعة الناقصة إلى نقطتي التركيز أيضاً 4.'

'نظرًا لقيام دائرة C بشعاع a في الربع الأول من المستوى xy ، والتي تمس كل من الخط l: y = mx(m>0) ومحور السين. أيضًا ، نظرًا لدوائر تمس خط l ، محور السين ، والدائرة C في نقطة واحدة كل منها بشعاع b ، حيث b>a. (1) عبّر عن t بالنسبة ل m. (2) عبّر عن b/a بالنسبة ل t. (3) اعثر على الحد lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1).'

'(1) دع أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ABC تكون AB=8، BC=7، CA=9. دع الفيكتور AB=b والفيكتور AC=c، ولتكن P هي مركز الداخل للمثلث ABC. عبّر عن الفيكتور AP في سياق b و c.'

'نظرية النقطة الوسطى: في مثلث ABC ، دع نقاط أوسط الجوانب AB و AC تكون M و N على التوالي. ثم MN // BC و MN = 1/2 BC'

'هناك شباع ABCD المدبب داخل دائرة. عندما AB=4, BC=5, CD=7, DA=10، اعثر على مساحة S للشباع ABCD.'

'مركز المثلث الخارجي'

'تحديد نطاق قيم x بحيث يصبح مثلث بأطوال الأضلاع 3، 5، وx مثلثا حاد الزاوية.'

'تم توفير تتراهيدرون منتظم OABC بطول حافة 6. دع L يكون نقطة منتصف الحافة OA ، ودع M تكون النقطة التي تقسم حافة OB إلى 2:1 ، ودع N تكون النقطة التي تقسم حافة OC إلى 1:2. احسب مساحة مثلث LMN.'

'في مثلث ABC، إذا كان B=30°، b=√2، و c=2، فجد قيم A، C، و a.'

''

'مركز الدائرة التي تمر عبر نقاط A و P و Q هو نقطة تقاطع الأوتار العمودية لاثنين.'

'(2) زاوية حادة'

'باستخدام قوة نقطة النظرية، أظهر خصائص خطوط المماس المارة من النقطة P إلى دائرة.'

'بالنسبة لمضلع مربع الثماني، ابحث عن الأرقام التالية.\n(1) عدد المتوازي المستطيل الذي يمكن تشكيله عن طريق ربط 4 رؤوس\n(2) عدد المثلثات التي يمكن تشكيلها عن طريق ربط 3 رؤوس والتي تشترك في حافة مع مضلع مربع الثماني'

'على الخط x=1، يكمن النقطة T حيث يكون إحداثي y هو √3. النقطة P هي تقاطع خط OT ونصف دائرة ذات نصف قطر 1. الزاوية التي نبحث عنها هي ∠AOP.'

'على الأرضية المستطيلة بأبعاد 240 سم في 396 سم ، نريد تغطيتها ببلاط مربع طول الضلع a سم دون فجوات. ابحث عن القيمة القصوى لـ a في هذه الحالة. كما ، حدد عدد البلاط التي يمكن تنصيبها.'

'شرح واثبت خصائص مركز المثلث، مركز الدائرة التضمنية، و مركز الثقل في المثلث.'

'تحدي ما إذا كانت النقاط الأربع A، B، C، D في الشكل البياني على اليمين تقع على نفس الدائرة.'

'نصف قطر الدائرة المحيطة \ \\frac{85}{8} \, ونصف قطر الدائرة الداخلية 2'

'في متسع ناصب في دائرة، حيث AB = 8، BC = 10، CD = DA = 3. ابحث عن مساحة S للمتسع ABCD.'

'79. في مثلث ABC ، AB=2، BC=4، CA=2√3. دع AD تكون الارتفاع من الرأس A إلى الضلع BC، ولتكن E و F نقاط تقاطع الدائرة بالقطر AD والأضلاع AB و CA على التوالي. E و F هما مختلفان عن A. [جامعة طوكيو جيكايكاي الطبية]\n(1) إثبات أن النقاط E ، B ، C ، و F تقع على نفس الدائرة.\n(2) العثور على مساحة مثلث EBF.'

'كما هو مبين في الرسم البياني ، قم بتسمية جميع رؤوس المثلث المتساوي الأضلاع ذو الطول 2 وكل نقطة وسطى للحواف من 1 إلى 6. قم بمطابقة نتيجة الرمي الأول بهذا الرقم. قم بربط النقاط المتطابقة مع الأرقام التي تم رميها على النرد ثلاث مرات لإنشاء شكل. اعثر على القيمة المتوقعة لمساحة الشكل الناتج.'

'المبرهنة 25 قوة نقطة القوة II'

'في \ \\triangle ABC \, حيث \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ وملاحظة أن \ AD \ هو القطر لدائرة، ارسم الخطوط المساعدة \ AD, ED, EF, DF \.'

'لتكون طول القطرين AC و BD للشكل الرباعي ABCD هما p و q على التوالي، ولتكن Ϋ أحد الزوايا التي تشكلها القطرين. عبّر عن مساحة S للشكل الرباعي ABCD بالنسبة ل p و q و Ϋ.'

'يرجى شرح نقاط داخل وخارج الدائرة وأحجام الزوايا.'

'في مثلث ABC ، O هو مركز المحيط. ابحث عن زوايا α و β في الشكل على اليمين.'

'شروط الموازي للشكل: يكون رباعي الأضلاع موازيًا إذا تم تحقيق أي من الشروط التالية. [1] زوجان من الأضلاع المتقابلة متوازيان. [2] زوجان من الأضلاع المتقابلة متساويان. [3] زوجان من الزوايا المتقابلة متساويان. [4] زوج من الأضلاع المتقابلة متوازي ومتساوي في الطول. [5] القطران يتقاطعان في نقاطهما الوسطية الساقطة.'

'في الرباعي ABCD المتدرج في دائرة، حيث AB = BC = 1، BD = √7، و DA = 2، ابحث عن:\n1. موقع النقطة A\n2. طول الجانب CD\n3. مساحة الرباعي ABCD S'

'ابحث عن O مركز الدائرة المحيطة للمثلث ABC.'

'بالنظر إلى الرباعي ABCD المتضمن في دائرة PR مع AB = 4 ، BC = 5 ، CD = 7 ، DA = 10 ، العثور على مساحة S للرباعي ABCD.'

'حدد الطول الأدنى للقطر في مستطيل بطول 40 سم. كما، صف الشكل لهذا الحد الأدنى. لنفترض ارتفاع المستطيل بـ x سم، إذن العرض هو (20-x) سم. نظرًا لأن x>0 و 20-x>0، لدينا 0<x<20. علامة طول القطر كـ l سم، l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1) حيث يصل l^2 إلى القيمة الدنيا 200 عند x=10. نظرًا لأن l>0، عندما يتم تقليل l^2، يتم تقليل l أيضًا. لذا، قيمة الحد الأدنى لطول القطر l هي sqrt(200)=10 sqrt(2)(سم). في هذه النقطة، العرض أيضًا 10 سم، مما يجعل المستطيل مربعًا.'

''

'خذ نقطة O على المستوى وحدد خطين متعامدين عند نقطة O، كما هو موضح في الرسم البياني إلى اليمين. يُطلق عليهما محور x ومحور y على التوالي. يُطلق على نقطة O الأصل. في هذه الحالة ، إذا كانت النقطة A موجودة في الإحداثيات (3، 2) ، يرجى تقديم إحداثيات x وإحداثيات y لها.'

'هناك 10 خطوط غير متقاطعة على مستوى، دون أن تمر ثلاثة خطوط عبر نقطة واحدة. إذا كانت خطتان من العشرة متوازيتان، فتحديد عدد نقاط التقاطع والمثلثات التي تشكلها هذه الخطوط العشر.'

'مثال 4: هوائي نصف قطري\nتسمى القوس بالإنجليزية بالقوس. سطح هوائي نصف قطري يستخدم لاستقبال البث عبر الأقمار الصناعية هو في شكل السطح الذي يتم تشكيله بدوران قوس حول محوره.'

"الدوائر O و O' بنصف قطر 5 و 8 على التوالي، تلامس بالتماس الخارجي في النقطة A. لتكن B و C النقطتين التي تلامس فيهما الخط الخارجي المشترك لهاتين الدائرتين الدوائر O و O'. مد BA لتتقاطع مع الدائرة O' في النقطة D.\n(2) أثبت أن النقاط C، O'، و D متسامية\n(3) اعثر على نسب AB:AC:BC."

'احسب عدد المتوازي المستطيلات الناتجة عن 3 خطوط متوازية و5 خطوط تتقاطع معها.'

'المسافة بين نقطتين\n(1) المسافة بين نقطتين A(x1, y1) و B(x2, y2) على مستوى الإحداثيات هي\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nعلى وجه الخصوص، المسافة بين الأصل O والنقطة A(x1, y1) هي OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) المسافة بين نقطتين A(x1, y1, z1) و B(x2, y2, z2) في الفضاء الإحداثيات هي\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nعلى وجه الخصوص، المسافة بين الأصل O والنقطة A(x1, y1, z1) هي OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

''

''

'ابحث عن المسافة بين A و P.'

'أثبت أن أوساط مثلث ABC و DEF تتزامن.'

'القيمة الدنيا هي 10√2 سم، مربع'

'بالنسبة لقطع الخط AB المعطاة ، قم برسم النقاط التالية.'

'الرياضيات I\nلذلك، مساحة المثلث (ABC) هي\n\nمثال 1 ورقة في شكل مثلث متساوي الأضلاع بطول (10 سم). لنفترض أن أطراف هذا المثلث المتساوي الأضلاع هي (أ، ب، ج)، وأن النقطة (P) على الضلع (BC) على بعد (2 سم) من النقطة (ب). عند طي ورقة هذا المثلث المتساوي الأضلاع بحيث تتطابق النقطة (أ) مع النقطة (P)، فإن نقاط التقاء الطيات مع الأضلاع (AB, AC) هي (D، E) على التوالي. في هذا الوقت، إذا كان (AD=) A(سم)، (AE=) هو B(سم)، ومساحة △ADE هي C(سم^{2}).\n[من جامعة كيوتو ماكيه]'

'في المثلث ABC، حيث: BC=17، CA=10، AB=9. احسب قيمة sinA، مساحة المثلث ABC، نصف قطر الدائرة المحيطة، ونصف قطر الدائرة الداخلية.'

'المثال الأساسي 85 طول القطع الذي يتم قطعه بواسطة القطعة الناحية الموازية للمحور x\n(1) ابحث عن طول القطعة التي تم قطعها بواسطة رسم الدالة التربيعية y=-x^{2}+3x+3 من المحور x.\n(2) أثبت أن طول القطعة التي تتم قطعها بواسطة رسم الدالة التربيعية y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 من المحور x ثابت بغض النظر عن قيمة الثابت a.'

'به المعروف أن AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6، إيجاد أطوال أضلاع المثلث.'

'(2) في مثلث ABC ، إذا كان BC = 5، CA = 3، AB = 7. دع D و E تكون النقاط حيث زاوية A ومقسمها الخارجي يقاطعان خط BC على التوالي. ابحث عن طول الشق DE.'

'في المستوى، هناك 10 خطوط بحيث لا تتقاطع ثلاث منها في نقطة واحدة. عندما تكون بالضبط 2 من الخطوط 10 متوازية، حدد عدد نقاط التقاطع التي تتكون من هذه الخطوط 10 وعدد المثلثات المتكونة.'

'رسم النقاط التالية:\n(١) النقطة ب تبعد عن الأضلاع AB، BC، CA بنفس المسافة\n(٢) النقطة ق تبعد عن النقاط A، B، C بنفس المسافة'

'ا رسم الدوائر التالية استنادا إلى الدائرة أو ووربة أ ب الموضحة على اليمين. يرجى ملاحظة أن النقاط بي وكيو مختلفة عن أ وب، ولا تكون على المحور العمودي المشترك لوِتر أ ب.'

'بالنسبة للمثلث القائم الذي تكون أطوال أضلاعه a و b و c، حيث يكون نصف قطر الدائرة الخارجية 3/2 ونصف قطر الدائرة الداخلية 1/2، أجب على الأسئلة التالية. افترض a ≥ b ≥ c:'

''

'اكتب المصطلحات الرياضية التالية وتعريفاتها المقابلة باللغة اليابانية.'

'طول الجانب الأقصر لا يقل عن 1 متر ولا يتجاوز 3 أمتار'

'ابحث عن معادلة القوس التي تم الحصول عليها بنقل سيمتري للقوس y=-2x^2+3x-5 بالنسبة للخطوط أو النقاط التالية.'

'ابحث عن الزاوية θ التي تشكلها الخطوط الاثنان التاليان. افترض 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) AB و FG (2) AE و BG (3) AF و CD'

'في مثلث متساوي الأضلاع ABC بطول ضلع يساوي 1، لنقسم BC بنسبة 1:2 في D، ونقسم CA بنفس النسبة في E، ونقسم AB بنفس النسبة في F. لنكون P نقطة تقاطع BE وCF، Q نقطة تقاطع CF وAD، وR نقطة تقاطع AD وBE. ابحث عن مساحة المثلث PQR.'

'في مثلث ABC، إذا كان AB = 6، BC = 7، CA = 5 ، اعثر على أشعة الدائرة المحيطة R وأشعة الدائرة الداخلية r.'

''

'على الدائرة نصفية بنصف قطر 1 ، النقطة التي إحداثياتها x 1/2 هي النقطة P. الزاوية التي نبحث عنها هي ∠AOP.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q، التي هي متناظرة مع نقطة P(3، 4) بالنسبة للخط y = 2x + 1.'

'لنعتبر أطوال أضلاع مثلث ABC تكون a، b، c. إذا كانت نسبة (a+b) : (b+c) : (c+a) = 4 : 5 : 6 والمساحة 15√3، فإنه يتعين إيجاد شعاع الدائرة الخارجية R وشعاع الدائرة الداخلية r لمثلث ABC.'

'مركز الداخل لمثلث'

''

'عند التحرك بتناظر حول النقطة الصفرية، يكون الرأس في النقطة \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\)، مما يشكل قوسًا ناقصًا،\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { صالح أيضًا }\\right) \\]'

''

'ابحث عن المسافة بين النقطتين التاليتين.'

'هناك ورقة مثلثة متساوية الأضلاع بطول ضلع قدره 10 سم. لنكن A و B و C أطراف هذه المثلث المتساوي الأضلاع، ولنكن P نقطة على الضلع BC بحيث BP=2 سم. عند طي هذه الورقة المثلثية المتساوية الأضلاع بحيث يتطابق الرأس A مع النقطة P، دعونا نعتبر تقاطعات الأضلاع AB و AC والطية تسمى D و E على التوالي. في هذه النقطة، AD= سم، AE= سم، ومساحة مثلث ADE هي سم².'

'للمثلث ABC الذي لا يكون مثلثًا متساوي الأضلاع ، مع مركز الدائرة O ، ومركز الثقل G ، ومركز القائمة H ، قم بإثبات ما يلي: (1) اجعل L نقطة منتصف الضلع BC ، و M ، N تكون نقطتي وسط الأضلاع للشعاع GH و AG على التوالي. قم بإثبات أن رباعي الشكل OLMN هو متوازي الاضلاع. يمكنك استخدام حقيقة أن AH=2OL. (2) قم بإثبات أن النقطة G تقع على الشعاع OH. (3) قم بإثبات أن OG:GH=1:2.'

''

'العلاقة الموضعية بين القطعة الناقصة ومحور السينات'

'ملخص تحديد شكل مثلث'

"هناك دائرتان P و Q تتقاطعان مع دائرتين O و O'. كما هو موضح في الشكل على اليمين ، ارسم خطًا من النقطة A ، التي تكون مرتفعةً عن P للقطعة QP ، مماسًا للدائرة O ومتقاطعًا مع الدائرة O' ، مع نقاط المماس تكون C ، ونقاط التقاطع تكون B و D. إذا كان AB = a ، BC = b ، CD = c ، فعبر c في مصطلحات a و b."

'ثبت ما يلي باستخدام عكس نظرية سيفا:\n1. تتقاطع الوسطى الثلاثة لمثلث في نقطة واحدة.\n2. يتقاطع ثلاثة مقسمات زوايا لمثلث في نقطة واحدة.'

''

'الرباعي ABCD متضمن داخل دائرة O ، حيث AB = 3 ، BC = CD = √3 ، cos ∠ ABC = √3/6. اعثر على: (1) طول القطعة AC (2) طول الضلع AD (3) نصف قطر الدائرة R'

'ابحث عن مساحة الأشكال التالية.\n1. متوازي أضلاع ABCD مع AB=2 ، BC=3 ، و ∠ABC=60 درجة\n2. مضلع متعدد الأضلاع منتظم محاط بدائرة نصف قطرها 10'

'(3) في △ABC، حيث b = 2، c = √6، B = 45°، ابحث عن طول الضلع المتبقي وحجم الزاوية الأخرى. من المسموح استخدام sin 15° = (√6-√2)/4، sin 75° = (√6+√2)/4.'

'في مثلث ABC ، عندما تكون a=13، b=7، و c=15 ، ابحث عن A.'

'ما هو الشكل الذي يزيد من مساحة المثلث القائم الذي مجموع طول ضلعيه 16؟ كما، احسب القيمة القصوى.'

'هناك ثلاث حالات لعلاقة الموقع بين دائرة وخط. هنا، r هو نصف قطر الدائرة، و d هو المسافة بين مركز الدائرة والخط. [1] تقاطع في نقطتين (نقطتان مشتركتان) 0 ≤ d < r [2] مماس (نقطة مشتركة واحدة) 0 ≤ d < r [3] منفصلين (بدون نقاط مشتركة) 0 ≤ d < r عندما تكون هناك نقطة مشتركة واحدة فقط، الدائرة والخط يكونان مماسيين، ويُطلق على هذا الخط مستقيم المماس، مع النقطة المشتركة تُسمى نقطة الملامسة. دعونا نقوم أولاً بدراسة خصائص المماسات لدائرة.'

'تحديد شروط وجود المثلثات'

'في مثلث ABC، حيث AB=6، و BC=a، و CA=4، دع M و N يكونان نقطتي الوسط لBC وCA على التوالي. (1) اعثر على قيمة a عندما تكون AM=√10. (2) عندما تكون قيمة a هي القيمة من (1)، اعثر على طول قطعة BN.'

'(2) الطول الأطول هو CA ، لذلك AB + BC = 18 ، CA < AB + BC ، لذلك المثلث ABC موجود.'

''

'تدريب 112 (1)\nلنفترض أن نقطة O على الميدان المستوية هي الأصل، لننظر إلى المستوى الإحداثي مع الاتجاه الشرقي كاتجاه إيجابي للمحور x والاتجاه الشمالي كاتجاه إيجابي للمحور y.\nالنقطة A موجودة 28 وحدة شرقًا من النقطة O. بالإضافة إلى ذلك، يقع النقطة P جنوب الخط الرابط بين النقاط O و A.\nالنقطة P على بعد 25 وحدة من O و 17 من A.\n(1) العثور على إحداثيات النقطة A.\n(2) العثور على إحداثيات النقطة P.'

'التمرين 3: المركز الداخلي، مركز المحيط، ومركز الثقل لمثلث'

''

'احسب قيم الدوال المثلثية في مثلث قائم الزاوية'

'بين دليل على وجود أربع نقاط على دائرة'

'أحد نقاط التقاطع بين نقطتيين هو النقطة (1,-1)'

'أثبت أن النقاط B و C و F و E تقع على دائرة واحدة عند رسم خط رأسي AD من رأس الزاوية A في مثلث حاد الزاوية ABC إلى الضلع BC ، ورسم خطوط مستقيمة مربعة DE و DF من D إلى الضلعين AB و AC على التوالي.'

'في مثلث قائم الزاوية ABC ، حيث AB>AC و ∠A = 90° ، قم برسم العمودي AD من الرأس A إلى الحافة BC.'

'في الخماسي ABCDE المحيط بدائرة، حيث AB = 7، BC = 3، CD = 5، DE = 6، ∠BCD = 120° و ∠A = 82°، أجد:\n(1) طول القطعة BD\n(2) طول القطعة AD\n(3) طول الضلع AE\n(4) مساحة الرباعي ABDE'

''

'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

''

'الفصل 7 تطبيقات على المثلثات'

'في △ABC ، نفترض أن AB = 7√3 و ∠ACB = 60°. ما هو نصف قطر الدائرة المحيطة O لـ △ABC ؟ دع نقطة P تتحرك على القوس AB الذي يحتوي على النقطة C من الدائرة المحيطة O.'

'(1) اعثر على قياسات الزوايا الثلاثة للمثلث ABC حيث ∠A=90°، AB=2، و BC=3.\n(2) اعثر على أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ABC حيث ∠A=70° و ∠B=∠C.'

'(1) ∠C<∠B<∠A\n(2) CA=AB<BC'

'في الشكل على اليمين، النقطة I هي مركز الدائرة الداخلية لمثلث ABC. ابحث عن ما يلي: (1) 𝛼 (2) AI:ID'

'نظرًا لخط إحداثيات على شكل مستوى، حيث يكون نقطة O كالأصل، الاتجاه الشرقي كاتجاه إيجابي للمحور x، والاتجاه الشمالي كاتجاه إيجابي للمحور y.'

'تتقاطع رسمة الدالة التربيعية y = ax^2 + 2ax + a + 6 (a≠0) مع المحور x في نقطتين P و Q ، وطول القطعة PQ هو 2√6. حدد قيمة الثابت a.'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

None

'من خلال استخدام نتيجة السؤال السابق، ابحث عن طول من الجانب التالي للمضلع النظامي الذي يكتنز في دائرة نصف قطرها 10. بالإضافة إلى ذلك، ابحث عن طول العمود المندفع من مركز O للدائرة إلى جانب من مضلع النظامي. يمكنك استخدام جداول المثلثات. قم بتقريب النتيجة إلى رقمين عشريين.'

'في الشكل المعطى، اعثر على قيمة x. هنا، PT هو المستقيم الملامس للدائرة، و T هو نقطة الاتصال.'

'التدريب العملي 4 (3) في △ABC، BC=a، CA=b، AB=c، نصف قطر الدائرة المحيطة هو 3، والمساحة هي S. في هذه الحالة، S=ABc. خيارات الإجابة هي (0) 1/2 (1) 1/3 (2) 1/6 (3) 1/8 (4) 1/12'

''

'(1) في مثلث ABC، إذا كان a=1، b=√3، و A=30°، ابحث عن أطوال الضلع المتبقي وحجم الزاوية.'

'ابحث عن مساحة الرباعي ABCD ، حيث 77^{3} AB = 5 ، BC = 6 ، CD = 5 ، DA = 3 ، و ∠ ADC = 120^{\\circ}.'

'داخل الزاوية XOY ، يوجد نقطة A بحيث ∠XOA=30° و OA=3. عند اختيار نقاط P و Q على OX و OY على التوالي ، ابحث عن القيمة الدنيا لAP+PQ+QA.'

'على أرضية مستطيلة بطول 2 متر و 40 سم وعرض 3 متر و 72 سم، تريد وضع بلاط مربع بطول a سم دون فجوات. اعثر على القيمة القصوى ل a. كما، حدد عدد البلاط الذي يمكن وضعه.'

'شرح المشكلات المتعلقة بالأضلاع والزوايا لثلاثي الأضلاع، وقم بإثبات المبرهنات التالية:\n1. مجموع أطوال أي زوجين من الأضلاع لثلاثي الأضلاع أكبر من طول الضلع الثالث.\n2. الفارق بين أطوال أي زوجين من الأضلاع لثلاثي الأضلاع أقل من طول الضلع الثالث.'

'زاوية بين خطين'

"أثبت أنه عندما يمر دائرة O من خلال الحبل المشترك AB لدائرتين متقاطعتين O و O'، وحبل CD للدائرة O وحبل EF للدائرة O'، فإن النقاط الأربعة C و D و E و F تكون دائرية. يُعطى أن النقاط الأربعة C و D و E و F ليست متعامدة."

'في △ABC ، حيث نصف قطر الدائرة المحيطة R. ابحث عن الآتي: (1) عندما a=10، A=30°، B=45° ، ابحث عن C، b، R (2) عندما b=3، B=60°، C=75° ، ابحث عن A، a، R (3) عندما c=2، R=√2 ، ابحث عن C'

'مثلث متساوي الأضلاع بزاوية 74 درجة، القيمة القصوى هي 32'

'(1) أي من مضلعات الرباعية التالية مرسومة داخل دائرة؟\n(2) في المثلث الحاد A B C، توضع النقطة D على الضلع B C (مختلفة عن B وC)، ويتم رسم المنخرفات DE وDF من النقطة D إلى الأضلاع A B وA C على التوالي. أثبت أن المضلع AEDF مرسوم داخل دائرة.'

'في بلدة حيث تكون الطرق مثل شبكة، ابحث عن أقصر مسار من النقطة أ إلى النقطة ب.\n(1) كم مسار ممكن هناك؟\n(2) كم من المسارات تمر عبر النقطة ج من (1)؟\n(3) كم من المسارات من (1) لا تمر عبر النقطة ج؟'

'شرح باستخدام شرط المضلع المحاط في دائرة\n(1) أي من المضلعات الرباعية المختلفة ABCD يمكن أن يُحاط بدائرة؟\n(2) هناك مضلع ABCD محاط في دائرة، وخط موازي للضلع AD يتقاطع مع الأضلاع AB، DC عند نقاط E، F على التوالي. أثبت أن المثلث BCFE أيضًا محاط بالدائرة.'

'عندما تكون مجموع طول حافة القضاءين المتطابقة للثلاثي المستقيم المثلثي يساوي 10، احسب القيمة الدنيا لطول الوتر l.'

'العثور على معادلات القوس عند نقل القوس المعطى في المثال (1) بشكل تناظري حول المحور (1) (2) بالنسبة للأصل.'

'■المركز الخارجي… نقطة تقاطع الباعثين العموديين لأضلاع مثلث\nالمدرسة الثانوية\nالباعث العمودي لقطعة خط\nالنقطة P تقع على الباعث العمودي لقطعة الخط AB ⇔ PA=PB\nعلى نفس الخط\nبعبارة أخرى\n“الباعث العمودي لقطعة الخط AB هو مجموعة من النقاط على بعد متساو من النقط A و B”'

'كم عدد المثلثات التي يمكن تشكيلها عن طريق ربط 3 رؤوس من الخماسي الأضلاع؟ كم من تلك المثلثات تشترك في 2 جوانب مع الخماسي الأضلاع؟ (2) كم عدد الشرائط النقطية التي يمكن تشكيلها عن طريق ربط 2 رؤوس من الخماسي الأضلاع؟'

'النقطة P على نصف الدائرة بنصف قطر √5، لذلك OP = √5\nفي المثلث القائم OPQ، OQ² + 2² = (√5)²، لذلك OQ² = 1 و OQ = 1\nلذلك، إحداثيات النقطة P هي (-1,2)\n\nلذلك، sin θ = 2/√5، cos θ = -1/√5، tan θ = 2/-1 = -2'

'عندما يكون مجموع طولي الضلعين اللذين يشكلان زاوية قائمة مساويين إلى 16، ما هو الشكل الذي يزيد من مساحة المثلث؟ كم قيمته القصوى.'

'ملخص تحديد شكل مثلث'

'في الهرم الأربعي الجانب ABCD بطول 4، دع M يكون نقطة منتصف الضلع CD ودع زاوية AMB تكون θ'

'زاوية ∠XOY=30° مع نقطة A حيث OA=3 داخل الزاوية. نقاط P و Q تُؤخذ على OX و OY على التوالي. اعثر على القيمة الدنيا لـ AP+PQ+QA.'

"في الشكل على اليمين، الدوائر O و O' تلامس بشكل خارجي. A و B هما النقطتان التي يتقاطعان فيهما المستقيم المشترك بين الدوائر O و O'. إذا كانت أطوال الدوائر O و O' هي 6 و 4 على التوالي، احسب طول القطعة AB."

'في المثلث 128 (3) ، عندما تكون á=√6+√2 ، b=2 ، و C=45° ، اعثر على طول الضلع المتبقي وحجم الزاوية.'

'هناك شبه مضلع ABCD مضمن في دائرة نصف قطرها TR، حيث أطوال الأضلاع هي AB=√7، BC=2√7، CD=√3، و 141DA=2√3. ابحث عن: (1) قيمة cos B (2) طول القطر AC (3) مساحة S للشبيه المضلع ABCD'

'هناك 4 طرق تجري من الشرق إلى الغرب و 4 طرق تجري من الشمال إلى الجنوب. كم من مسارات أقصر هناك للوصول إلى الوجهات التالية: (1) من النقطة أ إلى النقطة ب. (2) من النقطة أ ، مرورا بالنقاط ج و د ، إلى النقطة ب. (3) من مسارات من النقطة أ إلى النقطة ب ، تلك التي تمر عبر نقطة على الأقل ج أو د.'

'القطعة y = x² ودائرة x² + (y - 5/4)² = 1 تلمس عند نقطتين مختلفتين. ابحث عن مساحة S للمنطقة المحصورة بواسطة القوس الأقصر للدائرة مع نقطتي الملامس كنقطتي نهاية والقطعة.'

'(1) المسافة بين النقطة A والخط BC\n(2) مساحة مثلث ABC'

'نظرًا لأن المنحنى y=9-x^2 يتقاطع مع محور الأفق عند نقاط A و B ، والمنطقة المحصورة بين المنحنى والقطع المستقيم AB ، ويتم ترسيم متوازي المستطيلات ABCD في هذه المنطقة. ابحث عن المساحة القصوى لهذا المتوازي المستطيل. كما ، حدد إحداثيات نقطة C في ذلك الوقت.'

'ابحث عن طول القوس ومنطقة القطاع التالي:'

'مثال أساسي 69 إحداثيات مركز الكتلة لمثلث'

''

'ابحث عن مساحة المثلث ذو الرؤوس O(0,0), A(x1, y1), و B(x2, y2).'

'ابحث عن معادلة دائرة تمر عبر النقطة (4،2) ومماسة للمحاور x و y.'

'العثور على المسافة بين نقطتين A(a) و B(b) على خط أعداد.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q بعد تدوير النقطة P(4، 2√3) حول الأصل بواسطة π/6.'

'العثور على إحداثيات النقاط التالية: (5، 1)، (9، 5)، (3، 9)'

''

''

'لنكن a ثابتًا يرضي a > 1. هناك نقطة M(2، -1) على السطح الإحداثي. بالنسبة إلى نقطة P(s، t) مختلفة عن M ، يتم أخذ النقطة Q بحيث تكون النقطتين M ، P ، Q متعامدتين في ترتيب معين ، وطول الشعاع MQ يكون مضاعفًا لطول الشعاع MP.'

'افترض دائرة نصف قطرها r ومركزها C، وخط ℓ مع مسافة d من C. حدد العلاقة بين موضع الدائرة والخط استنادًا إلى العلاقة بين d و r.'

'ما هو شكل نقاط التقاطع P (x، y) للخطين l: tx-y=t و m: x+ty=2t+1 مع تغير قيمة t على الأعداد الحقيقية؟ العثور على معادلاتهم ورسمها.'

'عندما تشترك الخط (3) مع منطقة D في نقطة معينة، يتم تحقيق أقصى قيمة للميل m عندما يلامس الخط الدائرة C. احسب أقصى قيمة للميل m في هذه النقطة.'

'ابحث عن معادلة الدائرة التالية.'

'المسافة بين نقطة وخط'

'العثور على إحداثيات نقطة تبعد مسافة متساوية من النقاط الثلاث A(1,5)، B(0,2)، وC(-1,3).'

'ما هو المعادلة التفاضلية التي يمثلها الجزء المظلل في الشكل؟ استبعاد الحد الأعلى.'

'نظر في نقطتين A(-1,2) وB(4,2) على مستوى الإحداثيات. لنكن t عددًا حقيقيًّا بحيث 0 < t < 1. النقطة P تقسم القطعة المستقيمة OA بنسبة t:(1-t) والنقطة Q تقسم القطعة المستقيمة OB بنسبة (1-t):t. اعثر على الطول الأدنى لشق PQ والقيمة المقابلة لـ t.'

'ابحث عن معادلة خط تماس للدائرة x^2+y^2=8 ومستقيم عمودي على الخط 7x+y=0.'

'عندما تتقاطع الخط بميل -1 مع المنطقة D، ويكون للدائرة التي تمتلك مركزًا (3،2) مسافة إلى الخط أقل من أو تساوي نصف قطر 1. اعثر على القيمة القصوى لـ n في هذه الحالة.'

'مرورًا بنقطة A(3,1) ، دع P و Q تكون نقاط الاتصال للخطين المماسين التي تلامس دائرة x^{2}+y^{2}=5. اعثر على معادلة الخط PQ.'

'بالنسبة للدوائر \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) و \ x^{2}+y^{2}=4 \ ، (١) كم عدد المستقيمات المشتركة بين الدائرتين؟ (٢) حدد معادلات جميع المستقيمات المشتركة بين الدائرتين.'

'العثور على نطاق الثابت k بحيث الدائرة x ^ 2 + y ^ 2 - 4x - 6y + 9 = 0 (1) والخط y = kx + 2 لديهم نقطة مشتركة.'

'هل هناك نقطة مشتركة بين الدائرة والخط المعطيين؟ إذا كان الأمر كذلك، فالعثور على إحداثيات تلك النقطة.'

'بمرور نصف القطر الذي يعبر الزاوية ونصف قطر الدائرة يمثله، لنكن P نقطة التقاطع مع دائرة ذات نصف قطر r.'

'قلل الزاوية المعطاة 42140 درجة إلى زاوية على دائرة الوحدة في الوضع القياسي.'

'يقع مركز الثقل للمثلث الذي يكونه نقطة متحركة بمسافة 2 عن مركز التحول مع النقاط الثابتة (5,0) و (0,3) على المنحنى x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0.'

'ابحث عن الإحداثيات التالية: (\x0crac{3}{14}, 0) و (0,-\x0crac{3}{4}).'

'لكي يكون مثلث ABC مع رؤوس A(1,1)، B(2,4)، و C(a, 0) مثلثًا قائمًا، اعثر على قيمة a.'

'الأشكال والمعادلات\nبالنسبة للنقاط الثلاث A(0,0)، B(2,5)، C(6,0)، العثور على إحداثيات النقطة P عندما يتم تقليل PA² + PB² + PC² إلى أدنى حد.'

'ابحث عن معادلة الخط المماس إلى الدائرة في النقطة A (4،6) على الدائرة x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.'

'في السطح الإحداثي، ابحث عن معادلتين للخطوط التي تمر عبر النقطة (-2، -2) وهي مماسة للقوس y=1/4 x^{2}'

'عندما تتقاطع 3 خطوط 2x-y-1=0، 3x+2y-2=0، y=1/2x+k في نقطة A، ما هي قيمة k، وما هي إحداثيات النقطة A؟'

'العثور على وضع النقاط الثلاث A(-2, -2), B(2, 6), C(5, -3) على السطح الإحداثي\n(1) العثور على معادلة القطر العمودي للقطعة AB.\n(2) العثور على إحداثيات مركز الدائرة الخارجي للمثلث ABC.'

'العثور على معادلة الخط الذي يمر من خلال النقطة (7،1) ويماس للدائرة x^2+y^2=25 ، والعثور على إحداثيات نقطة الاتصال.'

''

'احسب معادلة دائرة مركزها على الخط y = -4x + 5 ومماسة لكلاً من محور السينات والصادات.'

'ابحث عن معادلة الدائرة التي تمر من خلال النقاط (4، -1) ، (6، 3) ، و (-3، 0).'

'قم بدراسة شكل مثلث ABC مع نقاط A(2a، a+√3a)، B(3a، a)، C(4a، a+√3a). هنا ، a>0.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة التي تقسم قطعة الخط AB بين النقطتين A(x1، y1) و B(x2، y2) داخليًا بالنسبة m:n.'

'العثور على معادلة الخط المماس في النقطة المعطاة على الدائرة المعطاة.'

'ابحث عن إحداثيات الرأس المتبقي D لمتوازي الاضلاع مع الرؤوس A(4,5)، B(6,7)، C(7,3).'

''

'على محور الأعداد، هناك 3 نقاط A(3)، B(-3)، C(5). النقطة D تقسم قطع الخط AB داخليا بنسبة 2:1، النقطة E تقسم قطع الخط AC خارجيا بنسبة 3:1، ابحث عن إحداثيات النقطة التي تقسم قطع الخط DE داخليا بنسبة 3:4.'

'دع n ≥ 2. هناك n دوائر على مستوى، حيث لا تتقاطع أي دائرتين معًا ولا تتقاطع ثلاثة أو أكثر من الدوائر في نفس النقطة. كم نقطة تشترك تشكل هذه الدوائر؟'

'ابحث عن طول الشق AB حيث أ و ب نقطة التقاطع للقوس y=x^{2} (1) والخط y=x+3(2).'

'بالعكس ، يفي النقطة P(x, y) على الخط x+y=2 بشرط AP^2-BP^2=4. لذلك ، المسار المطلوب هو الخط x+y=2.'

'العثور على الطول قوس والمساحة.\n(1) نصف القطر هو 10 مع زاوية π/5\n(2) نصف القطر هو 3 مع زاوية 15°'

'العثور على إحداثيات الرأس المتبقي D لموازي الاضلاع الذي له الرؤوس A(5،-1)، B(3،3)، و C(-1،-3).'

''

'العثور على موضع نقاط P التي تستوفي الشروط التالية:\n(1) النقاط P متساوية المسافة من النقاط O(0,0) و A(3,2)\n(2) النقاط P مثل زاوية OPA = 90 درجة ، حيث O(0,0) و A(6,0)\n(3) النقاط P مثل AP^2 - BP^2 = 4 ، حيث A(3,2) و B(1,0)'

'هناك n دوائر على مستوى، حيث يتقاطع أي اثنين من الدوائر مع بعضهما البعض، ولا تتقاطع ثلاثة أو أكثر من الدوائر في نفس النقطة. كم عدد الأقسام التي يقسم فيها هذه الدوائر المستوى؟'

'ابحث عن المسافة بين النقطتين التاليتين: (1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'لذلك، إحداثيات النقطة C هي $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$، وبالتالي $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$. كما أن المسافة بين النقطة A والخط (3) هي $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$. لذلك، مساحة المثلث الذي نبحث عنه هي $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$.'

'في السطح الكري XY، مع النظر في الخطوط l: x+t(y-3)=0 و m: tx-(y+3)=0 أثناء تغير t عبر جميع الأعداد الحقيقية، ما هو نوع الشكل الذي تشكله نقاط تقاطع الخطوط l و m؟ [غيفو]'

'بالنسبة للمثلث ABC ذو الرؤوس A(1,1)، B(2,4)، وC(a,0)'

'رسم المعادلات التالية الممثلة للخطوط على مستوى الإحداثيات.'

'ابحث عن معادلة المماس التي تلبي الشروط التالية.'

'الفصل 3: الأشكال والمعادلات'

'باعتبار ثلاث نقاط A(4,5), B(6,7), C(7,3) من متوازي الأضلاع, ابحث عن إحداثيات النقطة D المتبقية.'

'حدد شكل مثلث ABC مع الرؤوس A(2a, a+√3a)، B(3a, a)، وC(4a, a+√3a). افترض أن a>0.'

'ما نوع المثلث هو مثلث ABC مع الرؤوس A(1، -1)، B(4، 1)، و C(-1، 2)؟'

'ابحث عن إحداثيات النقطة $Q$ التي تكون متماثلة للنقطة $P(3,2)$ بالنسبة إلى الخط $\\ell: x+y+1=0$.'

'السؤال 84'

'ابحث عن معادلة دائرة PR. (1) تمر عبر النقاط (0,2) و (-1,1) وتكون المركز على الخط y=2x-8.'

'ابحث عن الشروط التي تجعل المعادلة العامة لدائرة x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 تمثل دائرة. كما ابحث عن المركز والنصف قطر.'

'ابحث عن معادلات الأقواس التالية'

'ابحث عن إحداثيات النقاط التالية. (1) نقطة تقسم القطع المستقيمة 3:1 داخليًا (2) نقطة تقسم القطع المستقيمة 3:1 خارجيًا (3) نقطة تقسم القطع المستقيمة 1:3 خارجيًا (4) النقطة الوسيطة'

'عندما تكون نقاط A(a,-2)، B(3,2)، C(-1,4) تعانقين ، اعثر على قيمة الثابت a.'

'ابحث عن المماس في نقطة على محيط دائرة.'

'بالنسبة لنقاط A(7,6)، B(-3,1)، وC(8,1) في PR 3، دع P يكون نقطة منتصف الجانب BC، Q النقطة التي تقسم AC خارجيًا بنسبة 3:2، و R النقطة التي تقسم AB داخليًا بنسبة 3:2. اعثر على إحداثيات الجاذبية للمثلث PQR.'

''

'ابحث عن أقصى قيمة لـ k ، بحيث شرط x^{2}+y^{2} ≤ 1 يعني 3 x+y ≥ k.'

'مركزها (1،1) ومعادلة الدائرة التي تلامس الخط 4x + 3y - 12 = 0.'

'ابحث عن معادلات 4 خطوط.'

'العثور على مسار نقاط ب تلبي الشروط التالية'

'ابحث عن مقياس نقطة الوسيط لشريط الخط الذي يربط النقطة 4 على المقياس والنقطة 9 على المقياس.'

'(1) في السطح الإحداثياتي، اعثر على جميع معادلات الخطوط التي هي موازية للخط y=-2x وعلى مسافة √5 من الأصل. [جامعة طوكيو دينكي] (2) ابحث عن المسافة بين الخطوط الموازية 2x-3y=1 و2x-3y=-6.'

'حدد المناطق الممثلة بواسطة المعادلات غير المتماثلة التالية.'

'ابحث عن شروط a و b بحيث يكون للخط y = ax + b نقطة مشتركة مع القطعة الخطية التي تربط نقطتين A(-1,5) و B(2,-1) ، وقم برسمها على المستوى ab.'

'العثور على جميع قيم a التي تقسم السطح إلى 6 أجزاء.'

'العثور على إحداثيات نقطتي التقاطع من الدائرتين x ^ 2 + y ^ 2 = 10 و x ^ 2 + y ^ 2 - 2x + 6y + 2 = 0.'

'1. ابحث عن معادلة دائرة بمركز (0,0) ونصف قطر √2.'

'ابحث عن معادلة الدائرة التي لها مركز عند (1,1) وتلامس المستقيم 4x+3y-12=0.'

'على مستوى الإحداثيات، لنكن A نقطة (-3،2) وB نقطة (4،0). اعثر على إحداثيات النقاط التي تبعد بمسافة متساوية عن محور السينات ومحور الصادات، على التوالي.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة التي تقسم النقطة A (x1، y1) والنقطة B (x2، y2) خارجيًا. نسبة التقسيم الخارجية هي m: n.'

'العثور على معادلة دائرة تمر من خلال النقطة (2،3) ، وتكون مماسة لمحور الصودا ، وتكون مركزها على الخط y=x+2.'

''

''

'حدد عدد نقاط التقاطع بين خط ودائرة في الهندسة والمعادلات.'

'العثور على معادلات الأوتار التالية:'

'مشكلة وصفية حول خطوط القطب لدائرة بالنسبة إلى النقطة A. بالنظر إلى نقطة A(p, q) خارج الدائرة x^2+y^2=r^2، ابحث عن معادلة الخط β الذي يمر عبر نقطتي اللمس P، Q للمستقيمتين الممتدتين من النقطة A إلى الدائرة. باستخدام المعادلة p x+q y=r^2، قم بإثبات أن الخط القطبي للنقطة A والذي يمر من خلال نقطة أخرى B يعني أن الخط القطبي للنقطة B يمر عبر النقطة A.'

'لنكن S هو مساحة مضلع خماسي منتظم داخل دائرة نصف قطرها 1'

'في التتراهيدر المنتظم OABC بطول الضلع a ، يتم أخذ النقاط P و Q و R على الحواف AB و BC و OC على التوالي. بدءًا من الرأس O ، مرورًا بالنقاط P و Q و R بالتسلسل ، ما هو طول المسار الأقصر إلى الرأس A؟'

'في رباعي ABCD ، AB = 4، BC = 5، CD = t، DA = 3-t (0<t<3). كما يُفترض أن رباعي ABCD لديه دائرة محيطة.'

''

'بالنسبة إلى الهرم الرباعي النظامي ABCD مع طول حافة 6، لنكن E النقطة على الحافة BC بحيث 2BE=EC، ولنكن M نصف نقطة الحافة CD.'

'النظر في مثلث له أضلاع بطول a، a+2، a+4.'

'في مثلث ABC، AB = 8، AC = 5، و ∠A = 120°. افترض أن D نقطة تقاطع محاور ∠A والضلع BC. ابحث عن طول القطعة AD.'

'مخروط له نصف قطر يبلغ 2 وارتفاع مائل بطول 6 متر ملتصق بكرة O على سطحه الجانبي وفي مركز قاعدته. حدد نصف القطر والحجم والمساحة السطحية لهذه الكرة.'

'(2) BD=3, AD=3 \\sqrt{7}'

'اختر التعبير الأنسب من (أ) إلى (ه) لملء الفراغ.'

'دع المنطقة المحصورة بالسداسي ABCDEF تكون S'

'تمرين 1: على جوانب AB وBC وCA لمثلث متساوي الأضلاع ABC بطول 1 ، يتم اتخاذ النقاط D وE وF بحيث AD=x وBE=2x وCF=3x. (1) عبر مساحة مثلث DEF، S، بالنسبة ل x. (2) العثور على قيمة x التي تقلل S في (1) والقيمة الدنيا.'

'في △ABC، حيث a=2، b=√2، c=1. ابحث عن:\n(1) cos B، sin B\n(2) مساحة △ABC، S\n(3) نصف قطر الدائرة الداخلية لـ △ABC، r\n(4) نصف قطر الدائرة الخارجية لـ △ABC، R\nارجع إلى الصفحة 265 ، المفهوم الأساسي 3 ، الأساسي 162.'

''

'188\nالرياضيات I\n(1) كما هو موضح في الشكل، خذ رؤوس الزاوية A و B و C من المثلث T لتكون AB=5, BC=6, CA=7.'

'بناءً على b=4 ، c=4√3 ، و B=30° ، ابحث عن a و A و C و R.'

'في مثلث قائم الزاوية حيث مجموع طول الضلعين هو 20، ابحث عن المثلث القائم الذي يحتوي على أقصر طول للوتد، وحدد طول الوتد.'

'في مثلث ABC، دع نصف قطر الدائرة المحيطة تكون R. ابحث عن القيم التالية: (1) عندما تكون A=60°، C=45°، a=3، ابحث عن c و R'

'ممارسة(1) في الشكل على اليمين ، ابحث عن أطوال شقي DE وAE.\n(2) باستخدام الشكل على اليمين ، ابحث عن القيم التالية: sin 15° ، cos 15° ، tan 15°'

'يرجى شرح نظرية الدائرة.'

'نظرًا إلى مثلث متساوي الأضلاع ABC بطول ضلع قيمته 1. يتم اتخاذ نقاط D و E و F على الجوانب AB و BC و CA على التوالي بحيث يكون AD=x و BE=2x و CF=3x. (1) عبّر عن مساحة مثلث DEF، المعبر عنها ب S، بالنسبة لـ x. (2) اعثر على قيمة x التي تقلل من قيمة S إلى الحد الأدنى والحد الأدنى للقيمة.'

'يرجى شرح ما هو الرسم البياني استنادًا إلى النص التالي: في القاموس الأكسفورد المختصر (C.O.D.)، يُصوّر الرسم البياني كخريطة بحرية لـ CHARTNavigator، تتضمن خطوط الساحل، الصخور، الجزر الصغيرة، الخطرات، إلخ.'

'في مثلث ABC، دع D يكون نقطة تقاطع مقسم زاوية A وحافة BC. ابحث عن أطوال الشرائح BD و AD في الحالات التالية:'

'ابحث عن المساحة S لمثمن منتظم محاط في دائرة نصف قطرها a.'

''

'في △ABC ، دع نصف قطر الدائرة المحيطة يكون R. ابحث عن الآتي: (2) عندما تكون a=√2 ، B=50° ، و R=1 ، اعثر على قيم A و C'

'كيفية تمثيل إحداثيات النقطة P(a, b) على المستوى الإحداثي؟'

'للتحقق مما إذا كان من الممكن رسم أكثر من أربعة مجموعات باستخدام الدوائر، دعنا نحاول تمثيل أربعة مجموعات A ، B ، C ، D بدوائر. أولاً، دعونا نقوم برسم رسومات فين لمجموعات A ، B ، C ، ثم نحاول إضافة رسم فين لمجموعة D لمراقبة النتيجة.\n\nبعد ذلك، للتحقق مما إذا كان بإمكاننا رسم أربعة مجموعات باستخدام الدوائر، دعنا نرسم أربع دوائر مختلفة على مستوى ونعد النقاط التقاطعية. في هذه الحالة، يجب أن تتبع الدوائر الأربعة القواعد التالية:\n- أي دائرتين تتقاطع في نقطتين\n- أي ثلاث دوائر لا تتقاطع في نفس النقطة\n\nقم بحساب عدد المناطق التي أنشأتها تقاطعات الدوائر الأربعة وتحقق مما إذا كان هذا العدد يتطابق مع عدد الأجزاء المشتركة التي تشكلها المجموعات الأربعة وتكملاتها.'

'يرجى شرح نظرية بيثاغورس.'

'على مستوى الإحداثيات، هناك خط واحد واثنان من المكافئات، الخط L: y=ax+b، المنحنى C_{1}: y=-2x^{2}، المنحنى C_{2}: y=x^{2}-12x+33. عندما يتقاطع الخط L مع المنحنى C_{1} والمنحنى C_{2} في نقطتين لكل منهما، ينطبق عدم المساواة a^{2}-a<b<a^{2}، حيث a>0.'

'في مثلث ABC ، اعثر على ما يلي.'

'ابحث عن مساحة الشكل التالي. (2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \\sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ متوازي الأضلاع \ \\mathrm{ABCD} \'

'حل المثلث (1)'

'احسب قيم الدوال المثلثية من الإحداثيات المعطاة. (1) P(-1,1) (2) P(-√3, 1)'

'في مثلث ABC، عندما b=2، c=√5+1، و A=60 درجة، تحديد ما إذا كان C زاوية حادة، زاوية قائمة، أم زاوية طردية.'

'حدد الشروط p، q، r فيما يتعلق بالمثلثات على النحو التالي: ؛p جميع الزوايا الداخلية مختلفة ؛q ليس مثلث قائم الزاوية ؛r ليس هناك زاوية داخلية بزاوية 45 درجة اختر الخيارات الصحيحة من كل اختيار: .(1) مقلوب العبارة "r يعني (p أو q)" هو "a _______ يعني لا r" [الخيارات] 0 (قوة و q) ؛ (1) (ليس p وليس q) (2) (أن يكون كما q) .(2) ما المثلث الذي يكون كضد مثلًا للاقتراح "(p أو q) يعني r"؟ [الخيارات] المثلث الثنائي القائم (1) مثلث يحتوي على زوايا داخلية بزوايا 30 درجة، 45 درجة، 105 درجة (2) مثلث متساوي الأضلاع (3) مثلث ذو أطوال أضلاع 3، 4، 5 (4) مثلث متساوي الساقين بزاوية قمة 45 درجة .(3) r هو العلاقة السببية لـ (p أو q) كـ _______. [الخيارات] (0) شرط ضروري وكافي (1) شرط ضروري فقط ولكن ليس شرط كافٍ (2) شرط كافٍ فقط ولكن ليس ضروريًا (3) ليس شرطًا ضروريًا وليس شرطًا كافيًا'

''

'هوائي قطع ناقص'

'في مثلث حاد الزوايا ABC ، دع BD و CE تكونان العموديتان المسقطتان من النقطتين B و C إلى الجانبين المقابلين لهما على التوالي. إذا كان BC=a وكان قياس زاوية A ممثلًا بـ A ، فعبر عن طول القطعة DE بالنسبة ل a و A. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك استخدام الخاصية التي إذا كانت زاوية PRQ = 90 درجة للقطعة PQ ، فإن النقطة R تقع على محيط الدائرة مع القطعة PQ كقطر لها.'

'هناك رباعي ABCD مرسوم داخل دائرة. إذا كان AB=4، BC=5، CD=7، DA=10، اعثر على مساحة S للرباعي ABCD.'

'في رباعي الأضلاع ABCD المدمج في دائرة ، حيث AB = BC = 1، BD = ٧، DA = 2 ، ابحث عن: (1) A (2) طول الضلع CD (3) مساحة رباعي ABCD'

'الحد الأدنى لمساحة مثلث'

'أقصى زاوية لمثلث'

'من نقطة تفي بشرط 2BE=EC على الجانب BC'

'منطقة مستطيل تم تحصينه في دائرة (1)'

'حدد نطاق قيم x بحيث يشكل المثلث ذو أضلاع بطول 3 و 5 و x مثلث حاد الزوايا.'

'طيت قطعة من الورق المقوى على شكل مثلث متساوى الأضلاع بطول طرف 10 سم، معروفة باسم ABC.'

''

'في مثلث ABC، إذا كان B=30°، b=√2، و c=2، ابحث عن قيم A و C و a.'

'في مثلث ABC حيث AB = 6 و BC = 4 و CA = 5 ، ابحث عن طول القطعة BD حيث يتقاطع محدد الزاوية B مع الجانب AC في النقطة D.'

''

'على الخط x = 1 ، لنفترض أن النقطة التي تحتوي على إحداثيات y كجذر 3 هي T. النقطة P التي تتقاطع فيها الخط OT مع الدائرة نصف القطر 1 هي النقطة في الشكل. الزاوية θ التي نبحث عنها هي ∠AOP.'

''

'في مثلث ABC، حيث b=3، c=√2، و A=45°، اعثر على طول الضلع a.'

'في الشكل على اليمين، ابحث عن أطوال الخطوط AB وBC وCA.'

'يرجى شرح النظريات والصيغ المتعلقة بالمثلث التالي.'

''

'(1)\\[ \egin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\\\ & =180^{\\circ}-(30^{\\circ}+105^{\\circ}) \\\\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\] ولذلك، مساحة مثلث ABC هي \\[ \egin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]'

'في مستوى الدائرة، رباعي الشكل ABCD، حيث AB=2، BC=1، CD=3، كوس ∠BCD=-1/6. في هذه الحالة، AD= ، ومساحة رباعي الشكل ABCD هي.'

'في مستطيل طوله 40 سم، ما هو الحد الأدنى لطول القطر؟ كما، كيف يكون المستطيل في تلك اللحظة؟ إذا كان الطول الرأسي للمستطيل يساوي سم، فإن الطول الأفقي يساوي سم. بالإضافة إلى ذلك، و، لذا . دع يمثل طول القطر في المستطيل. = + . القيمة الدنيا لهي عند = بقيمة 200. نظرًا لأن، عندما تكون القيمة الدنيا؛ ستكون القطر الأدنى. لذلك، الطول الأدنى للقطر هو سم. في هذه النقطة، الطول الأفقي هو سم. مما يجعل القطر يكون أدنى عندما يكون المستطيل مربعًا.'

'شرح حول الربع في مستوى الإحداثيات واذكر مثالا على الربع الثاني.'

'نصف قطر الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية للمثلث'

'203 الظروف الثلاثية الزاوية الثلاثية الحادة الزاوية'

'في رباعي الشكل ABCD ، إذا كان AB = 8 و BC = 5 و CD = DA = 3 و A = 60 درجة ، فما طول القطر BD؟'

'الشكل البياني على اليمين هو رسم بياني مربعات درجات 30 طالبًا في اختبار العلوم. عند تمثيل الدرجات التي شكلت هذا الرسم البياني المربعي في تصوير توضيحي، أي من الأرقام التالية من 0 إلى 2 يتوافق معه؟'

'في مستطيل له محيط يبلغ 40 سم ، ابحث عن الطول الأدنى للقطر. كما يتعين تحديد خصائص المستطيل في تلك اللحظة.'

'مكعب مظلم بطول طرف معين 6 معروض. دع L يكون نقطة منتصف جانب OA ، M تكون النقطة التي تقسم الجانب OB إلى 2:1 ، و N تكون النقطة التي تقسم الجانب OC إلى 1:2. ابحث عن مساحة مثلث LMN.'

'هناك مضلع رباعي ABCD متداخل في دائرة. إذا كان AB = 4 ، BC = 5 ، CD = 7 ، DA = 10 ، فجد مساحة S للمضلع ABCD.'

'عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ∆ABC كما يلي، قم بتحديد ما إذا كان زاوية A حادة أم قائمة أم منفرجة.'

'على نصف الدائرة ذات النصف قطر 1 ، النقطة التي تكون إحداثي x في 1/2 هي النقطة P. الزاوية التي نبحث عنها هي ∠AOP.'

'في المثلث ABC، حيث AB=3، AC=2، و ∠BAC=60°، إذا مشقق زاوية A يتقاطع مع BC في نقطة D، ابحث عن طول القطعة AD.'

'بالنظر إلى أطوال القطرين AC و BD للمضلع ABCD ك p و q، وأحد الزوايا التي يشكلونها ك θ، عبّر عن مساحة S للمضلع ABCD بالنسبة ل p، q، وθ.'

'في الشكل المتعرج ABCD، الذي ليس متوازي الأضلاع، AD=BC. لنكن P و Q نقطتي وسط AB و CD على التوالي، و M و N نقطتي وسط AC و BD على التوالي. (1) عبّر عن →PQ، →MN بالنسبة إلى →AD، →BC. (2) أثبت أن PQ عمودي على MN.'

'المعادلة القطبية لخط مستقيم (1)'

'دائرة تمر عبر النقطة A(-3,0) ومماسة للخط x=3 لها مركز في P(x, y). ابحث عن مسار نقطة P.'

'المعادلة القطبية لدائرة (2)'

'ابحث عن إحداثيات نقطة R'

'(1) قطع مكافئ $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$ (2) دائرة $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$ (3) قطع زائد $\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\\frac{(y+1)^{2}}{9}=1$'

'نظرًا إلى القطع الناقص $x^{2}+4 y^{2}=4$ والخط $y=t(x+2)$ وتقاطعها $P(x, y)$ ، فأعبر عن القطع الناقص باستثناء النقطة $(-2, 0)$ باستخدام المعامل $t$.'

"القطع المكافئ\nفي هذا القسم ، سنتعلم عن موضع نقاط حيث يظل مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين ثابتًا.\nمعادلة البيضوي\nفي مستوى ، موضع النقاط حيث يظل مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين F و F' ثابتًا. تُعرف نقطتان ثابتتان F(c ، 0) و F'(-c ، 0) [c>0] باسم بؤر البيضوي. لنجد معادلة بيضوي C بمجموع المسافات 2a من هاتين النقطتين باستخدام مفهوم موضع النقطة."

'المعادلة القطبية للمسار'

'لنكن k ثابتًا. حدد عدد نقاط التقاطع بين البيضوي x^{2}+4y^{2}=20 والخط y=(1/2)x+k.'

'ما هي اللولبة الحلزونية لأرخميدس؟'

'ابحث عن مسار النقطة P ، بحيث يتم تحديد نسبة المسافات من نقطة TR (F(0,1)) والخط l: y=-1. 107 (1) 1: 1 (2) 1: 2 (3) 2: 1 دع P(x، y)، ودع PH يكون العمود من P إلى الخط l، ثم PH=|y-(-1)|=|y+1|'

'في مركز مثلث\n(1) في مثلث ABC، حيث AB = 6، BC = 3، CA = 4، والمركز I. عبّر عن AI في حيثيات AB وAC.'

'إذا قدر نصف القطر لدائرة 2، x^2+y^2=25، بتقدير 3/5 في اتجاه المحور x بالنسبة إلى المحور y، ما نوع المنحنى الذي ستصبح عليه؟'

'دائرة بمركز (-2i) ونصف قطر 2 (1) دائرة بمركز (-1/2i) ونصف قطر 3/2'

''

'العثور على المسافة الدنيا بين نقطة P على البيضوي x^2+4y^2=4 ونقطة Q على الخط x+2y=3.'

'ابحث عن الجزء الناتج عن إزالة النقطة 2 من دائرة بمركز في النقطة 1 ونصف قطر 1.'

'الفصل 4 الشكل والمنحنى - تبسيطًا لـ y^{2} = -12x، لذلك، يكمن النقطة P على القطع الناقص y^{2} = -12x. على الجانب الآخر، جميع النقاط P(x, y) على هذا القطع الناقص تفي بالشرط. وبالتالي، المسار المطلوب هو القطع الناقص y^{2} = -12x.'

'ما هو دائرة أبولونيوس؟'

'(1) الخط الوسيط العمودي للشق الذي يربط النقطتين 0 و 1 (2) دائرة بنصف قطر 2 مركزها النقطة 3'

'العثور على الحد الأدنى للمسافة بين نقطة P على القطعة $x^{2} + 4y^{2} = 4$ ونقطة Q على الخط $x + 2y = 3$.'

'نقطة TR 3 ب (𝐴(-1+i), 𝐵(2√3-1), 𝐶(6+(√3+1)𝑖)) ، احتسابا بزاوية 𝐴𝐵𝐶 ذات الثلاثيات مع الزوايا 𝐵𝐴𝐶 ، { }^{2} 85 ، وقم بحساب المثلث. \ \\angle \\mathrm{BAC} \.'

'دع TR تكون ثابتة. ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين البيضاوي x ^ {2} + 4y ^ {2} = 20 والخط y = \\ frac {1} {2} x + k.'

'أثبت أنه عندما تمر خط يمر عبر التركيز \ \\mathrm{F} \ للقوس \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) يتقاطع مع القوس في النقاط \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ ، فإن حاصل ضرب تحديدات \ y \ من النقاط \ \\mathrm{A} \ و \ \\mathrm{B} \ يبقى ثابتاً.'

'الرجاء تقديم سؤال معين للترجمة إلى اللغات الأخرى.'

'ابحث عن مسار نقطة P بحيث يكون نسبة المسافات من نقطة F(1,0) والخط ℓ: x=-2 إلى نقطة P هي 1:2.'

'ابحث عن التركيز والمستقيم البادئ للقطعة $y^{2}=3 x$. كما رسم شكله العام.'

''

'العثور على محور مركز دائرة P(x, y) التي تمر عبر النقطة A(4,0) وملامسة الخط x = -4.'

'بين ثلاث نقاط مختلفة A(α)، B(β)، C(γ) والعلاقة التالية بينهما، ابحث عن مقاييس الزوايا 86 في مثلث ABC مع هذه النقاط الثلاث كنقاط رئيسية.'

'التدريب 41\nمن النقطة P(1,3)، ارسم خطًا عموديًا على الخط ℓ: 2x-3y+4=0، مع نقطة التقاط H.\n(1) اعثر على إحداثيات النقطة H باستخدام الفيكتور.\n(2) اعثر على المسافة بين النقطة P والخط ℓ.'

''

'العثور على مثلث OAB.'

'في المنحنى الخماسي النظامي ABCDE بطول ضلع يساوي 1، دع AB = b و AE = e.'

'يتم تمثيل النقط A وB في الإحداثيات الكارتيزية على النحو التالي A(2 cos π / 6, 2 sin π / 6)، B(4 cos π / 3, 4 sin π / 3)\nأي A(√3, 1)، B(2, 2√3)\nوبالتالي، معادلة الخط AB في الإحداثيات الكارتيزية هي (2√3 - 1)(x - √3) - (2 - √3)(y - 1) = 0'

'التمرين 109 (1) المستقيمان هما الخطين y=1/2x, y=-1/2x يتقاطعان في الأصل، لذلك معادلة الهايبربولا المطلوبة هي، حيث a>0, b>0،'

'ابحث عن الشكل القياسي للقطعة ذات التركيز في F(p, 0) (p ≠ 0) والمستقيم المبعثر ℓ: x = -p.'

'ابحث عن المعادلات القطبية للدائرة والخط التاليين بالنسبة لإحداثيات القطبية.135\n1) دائرة بمركز (1، 3/4π) ونصف قطر 1\n2) خط يمر عبر النقطة A(2، π/4) ومنتصب على الخط OA (O هو القطب)\n3) خط يمر عبر النقطتين A(2، π/6) و B(4، π/3)'

'في السطح الإحداثي، بنقطة البداية O كمحور قطبي، والجزء الإيجابي من محور السي إكس كخط البداية. في هذا الوقت، قم بشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية (r، θ) والإحداثيات الكارتيزية (x، y) لنفس النقطة P.'

'ابحث عن المعادلة القطبية لدائرة ذات إحداثيات قطبية (a، 0) ونصف قطر a.'

'لذلك ، معادلة مسار النقطة P هي x^{2}+y^{2}=a^{2}-1 ، تمثل دائرة بنصف قطر \\sqrt{a^{2}-1} مركزها المنشأ. ومع ذلك ، من الضروري استبعاد 4 نقاط تقاطع مع المستقيمات الرمزية y=\\pm a x ، وهي (\\pm \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}, \\pm a \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}) (مع علامات ترتيبية).'

'المثال المهم 139 استخدام الإحداثيات القطبية\nقم بإثبات أنه عندما تكون نهايتا الحبل اللذان يمران من خلال نقطة التركيز \ \\mathrm{F} \ لنصف القطعة \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ ، فإن \ \\frac{1}{\\mathrm{FP}} + \\frac{1}{\\mathrm{FQ}} \ ثابت بغض النظر عن اتجاه الحبل.'

'المعادلة القطبية مع نقطة التركيز F للكسرة المحددة ممثلة على النحو التالي، مع a كثابة إيجابية و e كانحراف كبير.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'مثال 90 | الحركة الدائرية المتساوية'

'لنكن P(z) مركز المضلع داخل المثلث OAB مع الرؤوس في ثلاث نقاط متماثلة O(0) و A(α) و B(β)، ثم أثبت أن z يرضي المعادلة التالية.'

'(1) \ y^2 = 12x \, تم حذف الشكل'

'قم بترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'يرجى التعبير عن الشرط اللازم لكون نقاط A و B و C متعامدة رياضيًا.'

"موقع نقطة P، حيث يكون الفرق في المسافات من نقطتين ثابتتين مختلفتين F و F' ثابتًا غير مُنحصرًا، يُسمى أحد القطع، حيث تكون النقطتان F و F' حيث يكون المركزان للقطع. يجب أن يكون الفرق في المسافات أقل من طول قطعة FF'. دعنا نجد معادلة لقطعة مع شعاعين في النقاط F (c, 0) و F' (-c, 0) وفارق مسافة a من هذه النقطتين. هنا، c > a > 0."

'العثور على إحداثيات نقطة الوسط وطول الحبل الناتج عن تقاطع الخط y=x+2 مع القلب x^{2}+3y^{2}=15.'

''

'مثال 137 الإحداثيات القطبية والمسار دع الإحداثيات القطبية للنقطة A تكون (2،0). دع Q تكون أي نقطة على محيط الدائرة C التي قطرها القطعة OA التي تربط القطب O والنقطة A. في النقطة Q ، ارسم خط المماس للدائرة C واسقط عمودي OP من القطب O إلى النقطة P. دع الإحداثيات القطبية للنقطة P تكون (r، θ). ابحث عن المعادلة القطبية للمسار الخاص بالنقطة P ، حيث 0 ≤ θ < π.'

'(1) ابحث عن معادلات الخطوط التي تمر عبر النقطة A(-2,3) وتكون متوازية وعمودية على الخط ℓ: 5x+4y-20=0.'

'(أ) التركيز: النقطة (-1/2, 0) ، المستقيم: الخط x = 1/2 ، تم حذف الرسم التوضيحي'

"لنكن F النقطة (3,0) ومركز الدائرة يكون P. الدائرة ذات النصف قطر 2 والمركز (-3,0) نرمز لها ب F'. نظرًا لأن نصف قطر الدائرة C هو القطع PF ، عندما تكون الدوائران متماسيان ، PF' = PF + 2. لذلك ، PF' - PF = 2 ، مما يعني أن النقطة P على الهيبربولا مع نقطتي التماس F'(-3,0) و F(3,0) حيث الفارق بين النقطتين هو 2. معادلة هذه الهيبربولا معطاة بواسطة \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \\). من إحداثيات النقطتين التماسيتين ، لدينا \ a^{2}+b^{2}=3^{2} \ ومن الفرق في المسافات من النقطتين ، نحصل على \ 2a=2 \ ، مما يمنحنا \ a=1 \. بالتالي ، \ b^{2}=9-a^{2}=8 \. لذلك ، تتحرك النقطة P على طول الهيبربولا x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1. ومع ذلك ، نظرًا لأن PF' > PF ، لدينا x > 0 ، وبالتالي المسار الذي نبحث عنه هو الجزء من الهيبربولا x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1 حيث x > 0."

'المثال 1 | القطاعات الأساسية\nحدد القطاعات التالية باستخدام رؤوس المضلع السداسي النظامي ABCDEF الذي لديه طول جانب واحد كما هو موضح في الشكل ونقطة التقاطع O للقطرين AD، BE:\n(1) القطاع المتساوي لـ AB\n(2) القطاع بنفس الاتجاه مثل OA\n(3) القطاع العكسي لـ AC\n(4) القطاع مواز لـ AF وذو مقدار 2'

'ممارسة بالنسبة لمثلث ABC وأي نقطة P في السطح، تمثل المعادلة الناقلية التالية دائرة. أي نوع من الدوائر هو؟\n(1) |→BP+→CP|=|→AB+→AC|\n(2) 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC'

'فكر في شريط مستقيم طوله 2 AB، حيث يكون النقطة A على محور الس اكس والنقطة B تتحرك على طول محور ال واي. اعثر على موضع النقطة P بحيث عند تمديد شريط مستقيم AB، يكون BP = 1.'

'ابحث عن المعادلة القطبية لدائرة بمركز عند القطب ونصف قطر a.'

'أثبت أنه عندما تقع المستقيمة المماسة للنقطة P(x1، y1) على المنحنى القطعي y^2=4px(p>0) وتتقاطع مع محور السينات في T ويكون التركيز للقطعة في F ، ثم ∠PTF=∠TPF. بشرط x1>0 ، y1>0.'

'مثال 104 المسار والقوس'

'في الرياضيات، بالنظر إلى أن OP = r، OA = 2، وزاوية AOP = |θ - π / 4|، من (1)،\nr cos |θ - π / 4| = 2\nمما يعني أن r cos (θ - π / 4) = 2'

'(2) متوازي الاضلاع ABCD هو موازي أربعي الأضلاع'

'ابحث عن معادلة الخط المماس في النقطة P(x, y) وحدد الشرط لمركز القطعة من الخط المرسوم عموديًا على X=0 من تلك النقطة لتمرير من خلال الأصل.'

'من النقطة Q خارج القطع الزائدة للقطع النموذجية المستقيمة (2) تمتدي خطان مماسان إلى القطع النموذجية تمر عبر النقطة P.'