هندسة الأشكال الهندسية - البراهين الهندسية

'نظرًا لأن كلا الجانبين إيجابيان ، فإن تربيع كلا الجانبين يعطي (mb+1)² = m²+1. لذلك ، m{(b²-1)m+2b}=0. نظرًا لأن m≠0 ، فإن m=2b/(1-b²). بالتالي ، معادلة الخط QR هي y=2b/(1-b²)(x-b).'

'[1] عندما b ≠ 1 ، فإن معادلة الخط QR هي ، بميل m ، y=m(x-b) ، والتي تعادل mx-y-mb=0'

'إجراءات البحث عن المسار [1] قم بتمثيل إحداثيات أي نقطة على المسار على شكل (x، y)، وعبّر عن الظروف المعطاة فيما يتعلق بـ x، y. [2] استقراء معادلة المسار وتحديد الشكل الهندسي الممثل بهذه المعادلة. [3] تحقق من أن أي نقطة على الشكل تفي بالشروط. استبعد أي نقطة على الشكل لا تفي بالشروط.'

'[1] عندما تكون ∠A=90°، الشرط الذي يجب أن يتحقق هو أن إحداثيات نقطة A وC في المحور y متماثلة، لذلك t²=t²-t-1، وبالتالي t=-1 [2] عندما تكون ∠B=90°، الشرط الذي يجب أن يتحقق هو أن إحداثيات نقطتي B وC في المحور y متماثلة، لذلك t-2=t²-t-1، وهذا يعني (t-1)²=0، وبالتالي t=1 [3] عندما تكون ∠C=90°، الشرط الذي يجب أن يتحقق هو AB²=BC²+CA²، حيث AB²={(t²-(t-2))}²={(t²-t+2)}²، وBC²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-(t-2)}²={(t²-2t+1)}²+3، وCA²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-t²}²=(t+1)²+3، وبالتالي (t²-t+2)²=(t²-2t+1)²+3+(t+1)²+3. عند التوسيع والتبسيط، نحصل على t³-t²-t-2=0، وهذا يعني (t-2)(t²+t+1)=0، وبما أن t عدد حقيقي، فإن t=2. لذلك، من [1] إلى [3]، قيم t التي نبحث عنها هي t=-1,1,2.'

'(2) لنكن نقطة P(x, y)، حيث AP=BP يعني AP^2=BP^2،\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\nكذلك، حيث AP=CP يعني AP^2=CP^2،\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\nبالحل نجد أن P(3, 2)'

'اعتبر حلا بديلا، أي عند تحديد النقطة بي، يتم تحديد المثلث ABD، لذا نحتاج فقط إلى مراعاة الحالة التي تكون فيها مساحة المثلث BCD أقصى.'

'المماس المطلوب يمر عبر النقطة A ولا يكون مستقيمًا رأسيًا على محور الأسي، لذلك يمكن التعبير عنه على النحو التالي: y=m(x-6)+8، وهي تعادل mx-y-6m+8=0.'

'مثال مهم 179 المساحة المتساوية وتحديد الدوال\nابحث عن قيمة الثابت m التي يتساوى فيها مساحتان تحد أحدهما بواسطة المنحنى y=x^{3}-6 x^{2}+9 x والخط y=m x. هنا، 0<m<9.'

'عموما، تقسم منحنى $f(x, y)=0$ السطح الإحداثي إلى عدة مناطق (كتل). عندما يكون $f(x, y)$ متعدد الحدود في $x, y$، يبقى علامة $f(x, y)$ ثابتة داخل الكتل المقسمة.'

'لنكن m عددًا حقيقيًا. دع A ، B تكون نقاط تقاطع القطعة المكافئة y=x^{2} والخط y=mx+1 على مستوى الإحداثيات ، ويكون O المنبع.'

'ابحث عن مسار نقطة P حيث مجموع مربعات المسافات من النقطتين الثابتتين A و B هو قيمة ثابتة k. يُفترض أن k أكبر من 0.'

'دع الخط الذي يمر عبر النقطة P يشير إليه ℓ ، الذي يتقاطع مع المنحنى C في ثلاث نقاط متميزة ، بإحداثيات x لنقاط التقاطع تكون α ، β ، γ (α<β<γ). أثبت أنه عندما تكون مساحات المناطق الاثنتين المحاذيتين للخط ℓ والمنحنى C متساوية ، يمر الخط ℓ عبر الأصل.'

'ابحث عن مسار النقاط P التي تفي بالشرط حيث يكون الفرق بين مربعات المسافات من النقطتين الثابتتين A و B قيمة ثابتة k. افترض k > 0.'

'الممارسة 182 لمشكلة الرياضيات 266 => هذا الكتاب ص. 333\n(1) معادلة الخط AP هي\n\ny = -3px + 3p\n\nإحداثي x لتقاطع الخط والقطعة هو -3px + 3p = -3x^2 + 3.\nمن خلال حله ، نحصل على x^2 - px + p - 1 = 0\nوبالتالي ، (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\nلذلك ، x = 1, p - 1\nالشرط لنقطة Q التي تشترك في القطاع والخط AP مع نقطة C مختلفة عن A هو أن إحداثي x لـ Q يكون p - 1.\n\n*وبالتالي*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'العثور على طول الحبل المقطوع بالخط y = -x + 6 على الدائرة x^2 + y^2 = 25 للحبل المعطى 53 ين.'

'لنكن t عددًا حقيقيًا إيجابيًا. على مستوى xy ، هناك نقطتان P(t، t^{2}) و Q(-t، t^{2}+1) ، وقوس C: y=x^{2}. دع f(t) تكون مساحة المنطقة المحاطة بخط PQ والمنحنى C. ابحث عن القيمة الدنيا لـ f(t) والقيمة المقابلة لـ t.'

'مسار النقاط التي تستوفي الشروط المعطاه عند التحرك تشكل شكلاً، ويُسمى مسار النقاط التي تستوفي الشروط المعطاه. لتدعيم حقيقة أن مسار النقاط P التي تستوفي الشروط المعطاه هو الشكل F، يجب إثبات شيئين: 1. أي نقطة P تستوفي الشروط المعطاه تكون على الشكل F. 2. أي نقطة P على الشكل F تستوفي الشروط المعطاه.'

"أيضًا، عندما يتم ترجمة النقطة B(-2,2) موازية لنقطة O(0,0)، يتحرك المثلث ABC حيث تذهب النقطة A(2,3) إلى A'(4,1) والنقطة C(1,-1) تذهب إلى C'(3,-3). وبالتالي، المثلث ABC = مثلث A'OC' = 1/2 |4*(-3)-1*3| = 15/2. بعد ذلك، مركز المحيط للمثلث ABC هو تقاطع المثلثين العموديين للحافات BC وCA."

"هناك دائرة O بمركز O ونصف قطر r. بالنسبة لنقطة P مختلفة عن O ، يتم تحديد نقطة P' على الشعاع OP مع O كنقطة نهاية بواسطة OP*OP'=r^2 ، ثم ربط النقطة P بالنقطة P' على الدائرة O يُسمى الانعكاس فيما يتعلق بالدائرة O ، مع O كوسط الانعكاس. علاوة على ذلك ، كما يتحرك النقطة P على طول الشكل F ، يُطلق على الشكل F' الذي يتبعه النقطة P' انعكاس F. بالنسبة إلى الدوائر والخطوط المعاكسة ، تنطبق الخصائص التالية: (1) العكس لدائرة تمر عبر مركز الانعكاس O هو خط لا يمر عبر O. (2) العكس لخط لا يمر عبر مركز الانعكاس O هو دائرة تمر عبر O. (3) العكس لدائرة لا تمر عبر مركز الانعكاس O هي دائرة لا تمر عبر O. (4) العكس لخط يمر عبر مركز الانعكاس O هو الخط نفسه. المثال 71 على الصفحة السابقة هو مثال على التبديل بالنسبة إلى الدائرة x^2+y^2=8 ، حيث تتحرك النقطة P ، الدائرة المررة من خلال مركز الانعكاس O ، الشكل الذي يرسمه P هو الخط 2x+y-4=0 الذي لا يمر عبر O. يمكن إثبات صحة (1)-(4) على النحو التالي."

'على المنحنى القطعي y=x^2 المتحرك على السطح xy ، يتم ربط نقطتي A و B والأصل O بقطعة خط لتشكيل مثلث AOB ، حيث ∠AOB=90°. اعثر على مسار مركز ثقل G للمثلث AOB.'

''

'المثال 51 | أقصى وأدنى مساحة لمثلث عندما تكون 0 < a < جذر 3. هناك ثلاث خطوط: l: y = 1-x ، m: y = جذر 3x + 1 ، n: y = ax. دع A تكون تقاطع l و m ، و B تكون تقاطع m و n ، و C تكون تقاطع n و l. ابحث عن قيمة a التي تقلل من مساحة S لمثلث ABC. كما ، ابحث عن قيمة S في ذلك الوقت.'

'الخط AC مربع إلى l ، لذلك (q-1) / (p-7) * 1/2 = -1'

'تمرين (64 => الكتاب ص.138) (1) لتكن a > 0 ، وتعرف محور الإحداثيات بحيث A(-a, 0) ، B(a, 0). دع إحداثيات النقطة P تكون (x ، y) ، الشرط المعطى هو AP^2 + BP^2 = k ، لذلك {(x+a)^2+y^2} + {(x-a)^2+y^2} = k ، 4x = 1 هو التماس الداخلي المشترك ، الفصل 3 ممارسة المعادلات الهندسية'

'(2) عند تشكيل مثلث PAB ، فإن النقطة P ليست على الخط AB. معادلة الخط AB هي y=-x+2. من خلال القضاء على y من هذه المعادلة و y=x^2 ، نحل x=1،-2. لذلك ، لتشكيل مثلث PAB ، يتعين ألا يكون s=1, s=-2. دع إحداثيات R تكون (x, y). نظرًا لأن R هو مركز ثقل مثلث PAB ، لدينا x=\\frac{s+3+0}{3} و y=\\frac{t-1+2}{3} ، الأمر الذي يؤدي إلى s=3x-3 ، t=3y-1. الاستبدال في (1) نحصل على 3y-1=(3x-3)^2 ، أي y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}. من (3) و (4) لدينا x≠\\frac{4}{3} ، x≠\\frac{1}{3}. لذلك ، المسار المرغوب هو القطع الناقص y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3)، باستثناء النقط (\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}) و(\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}).'

'عندما يمكن رسم مماسين من النقطة P إلى القوس y = \x0crac{1}{2} x^2$, دعونا نسمي نقطتي الاتصال A و B، ولنسمي المنطقة المحاطة بالقصاصات PA، PB، والقوس بـ S. ابحث عن القيمة الدنيا لـ S عندما تكون PA و PB متعامدتين على بعضهما البعض.'

'مشاكل التطبيق في الهندسة'

'مثال مهم 182 أقصى وأدنى مساحة (3)\nعندما تكون المنحنى y = | x ^ 2-x | والخط y = mx لهما ثلاث نقاط تقاطع مختلفة، ابحث عن قيمة m التي تقلل من مجموع مساحتي القسمين المحصورتين بين هذا المنحنى والخط، S.\n[سؤال مماثل جامعة ياماجاتا] <مثال 169'

'نطاق مرور النقاط والمنحنيات \ a, b \ كأعداد حقيقية. القطعة على مستوى الإحداثيات هي القطعة \ C: y=x^{2}+a x+b \ ولها القطعة \ y=-x^{2} \ ونقطتان مشتركتان، إحداهما نقطة مشتركة مع إحداثية \ x \ ترضي \ -1<x<0 \، والنقطة المشتركة الأخرى مع إحداثية \ x \ ترضي \ 0<x<1 \. (1) رسم نطاق النقطة \\( (a, b) \\) الممكنة على مستوى الإحداثيات. (2) رسم النطاق الممكن للقطعة \ C \ على مستوى الإحداثيات. [جامعة طوكيو]'

''

'لنكن أ نسبة ثابتة إيجاد القيمة المتغيرة في أي نقطة P على المنحنى التربيعي y=x^{2}+a والمنحنى التربيعي y=x^{2} هو ثابت بغض النظر عن وضع نقطة P ، وجد قيمة تلك الثابت.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q التي تتماثل مع النقطة P(3,7) بالنسبة للنقطة A(-2,-3).'

'ابحث عن مسار نقطة P بحيث يكون نسبة المسافات من النقطتين A(-4,0) و B(2,0) إلى النقطة P هي 2:1.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن معادلة الخط التي تقسم الخط الذي يوصل النقطتين A(0,6) و B(4,4) عموديًا.'

'النقطة P تقع على الخط \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \، لذا فلنعتبر إحداثياتها كـ \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\)، حيث t>0\nوفقًا للعلاقة \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\),\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ يعني \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \، وبالتالي\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\nعند تبسيط العبارة، نحصل على\n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\nحل هذا يعطي t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0، لذا t=2 \\sqrt{2}\nلذلك، إحداثيات النقطة P هي \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'استخدام المسافة بين نقطة وخط'

'في مثلث ABC ، دع D يكون النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 1:2. أثبت أن: 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD².'

'المنطقة D الممثلة بالمعادلات غير المتساوية المتزامنة (1) إلى (4) هي الجزء المشطب في الرسم البياني. تشمل منطقة D خطوط الحدود. لنكن k هو إجمالي كمية الإنتاج، ثم x+y=k. المعادلة غير المتساوية (5) تمثل خطًا بميل يبلغ -1 ونقطة تقاطع على محور y تساوي k. للعثور على القيمة القصوى ل k عندما تتقاطع هذه الخطوط (5) مع المنطقة D، يمكننا تحديد أنه عندما يمر الخط (5) من خلال النقطة (10، 4)، يتم تحقيق تحقيق قيمة k القصوى. في هذه الحالة، k=10+4=14، لذلك، الكمية الإجمالية القصوى للإنتاج هي 14 وحدة.'

'أثبت أن ثلاث الأقدام المنسدلة من زوايا الثلاثي ABC إلى الجوانب المعاكسة أو تمديدها تتقاطع في نقطة واحدة.'

'العثور على مكان نقطة P التي تكون متساوية المسافة من النقاط A(-1,-2) و B(-3,2).'

'ثبت الظواهر العددية التالية. كما، حدد متى يحدث المساواة.'

'معادلة الخط المار بتقاطع خطين'

'في الشكل E، يكون الزاويتين a و b مجموعهما 90 درجة لأن المثلثين ذو الخطوط المائلة هما متطابقين. وبالتالي، زاوية RPQ تكون أيضًا 90 درجة، لذلك المثلث PQR هو مثلث قائم الزاوية ومتساوي الأضلاع. لذلك، مجموع زوايا x و y في الشكل W هو 45 ✕ 2 = 90 درجة.'

'من الرسمان 2 و 3 و 4، حدد جميع الجمل الصحيحة لوصف الطقس في منطقة كانتو وأجب بالرموز.'

'الشكل 7 هو رسم بياني مشاهد من الأعلى يظهر تيتسو يمتد يده اليمنى نحو مرآة. أثناء وقوفه لتحقيق توازي الخط الذي يربط العين اليمنى والعين اليسرى ونهاية اليد اليمنى H بالمرآة، يجب أن ينظر إلى الطرف المنعكس لليد H على المرآة. علامة R على سطح المرآة بحيث يتطابق H مع الصورة المنعكسة عند النظر إلى المرآة باستخدام العين اليمنى فقط، وعلامة L بنفس الطريقة عند النظر إلى المرآة باستخدام العين اليسرى فقط. (1) ارسم نقاط R و L على الرسم التوضيحي على ورقة الإجابة دون مسح الخطوط المستخدمة للرسم. (2) بعد وضع علامات R و L على سطح المرآة، انتقل خطوة واحدة أقرب إلى المرآة عموديًا على المرآة (اتجاه السهم) مع الحفاظ على نفس وضع الجسم لمشاهدة الطرف المنعكس لليد H. عند النظر إلى المرآة باستخدام العين اليمنى فقط، كيف يبدو H المنعكس بالنسبة إلى النقطة R؟ اختر الإجابة الأكثر ملائمة. بالمثل، عند النظر إلى المرآة باستخدام العين اليسرى فقط، كيف يبدو H المنعكس بالنسبة إلى النقطة L؟ اختر الخيار الأنسب وأجب.'

"(6) مقياس النوغيس في الشكل 6، مثل (1)، يحتوي على تباعد دقيق قدره 1.95 ملم. في الشكل 6، الخط المقابل لـ P في الشكل 3 متأخر قليلاً عن 20 ملم من المقياس الرئيسي (الموافق للموقع P' في الشكل 3). كما أنه، حيث Q يتوافق مع الشكل 3، المقياس النوغيس يقرأ 3.5 والمقياس الرئيسي يقرأ 34 ملم. بتفكير مماثل ل (4)، تُحسب طول PP' بمقدار 34 - 20 - 1.95 × 3.5 × 2 = 0.35 ملم. لذلك، يُحدد قطر الزر بقيمة 20 + 0.35 = 20.35 ملم."

'اختر الإجابة الصحيحة لاتجاه الخط المرسوم على كتلة B والزاوية التي تم فيها دوران الكتلة B ، وقدم الرمز. في الرسم التخطيطي ، يمثل الخط المتقطع اتجاه الخط الأصلي للكتلة ويمثل القوس ذو الخطوط المزدوجة زاوية دوران كتلة B.'

'بالنسبة للبيانات التالية بخصوص البند 11k، X و Y، اختر التركيب الصحيح من الصح والخطأ من الخيارات أدناه وقم بالإجابة بالرقم المقابل.'

'مشكلة عن تمدد قضيب معدني وقياسه.'

'لحل المداخلة A ، أين يجب أن أتحرك بالمجهر؟ اختر رمزين من الرسم وقم بالإجابة.'

'أجرينا تجربة حول تكوين وخصائص الأمونيا. أجب على كل من الأسئلة التالية.'

'اعتمادًا على الطريقة التي تنطوي بها الرسم البياني في النص، عند رسم الرسم البياني لـ C في الشكل 3، يمكن الرؤية أنه يشكل خط متقطع سميك. من الشكل 3، يمكن أن يفهم أن التركيبة (الأطول، الأقصر) فيما يتعلق بالطول قبل التشغيل هي (B، A). علاوة على ذلك، استنادًا إلى إمالة الرسم البياني، يُعرف أن تركيبة (الأطول، الأقصر) للطول الذي يحترق في دقيقة واحدة هي (C، A). لذلك، ① هو (وو)، و ② هو (أو).'

'في الشكل الحق، عندما يتم وضع لون أزرق في الموضع أ، لا يمكن وضع لون أزرق في الموضع 1 <wide> (3). لذلك، عندما يتم وضع اللون الأزرق في الموضع ب، لا يمكن وضعه في المواضع (4) إلى (6). وبالمثل، من خلال التفكير بعمق، يمكن وضع لون أزرق في المواضع c→d→e→f، ويمكن رؤية أنه يمكن وضع حد أقصى من 6 أزرق. من هذه الحالة، يمكن نقل الأزرق في الموضع ب إلى الموضع (5)، وفي نفس الوقت، يمكن أيضًا نقل الأزرق في الموضع أ إلى الموضع (2). بمعنى آخر، من بين الأزرق الأربعة في العمود I، هناك 3 طرق لتحويل 2 منها إلى أزرق، أي (أ وب)، (أ و (5)، (2) و (5)). نفس الشيء ينطبق على العمود I والعمود الإيجابي، لذلك يوجد مجموع 3 × 3 × 3 = 27 طريقة لوضع 6 أزرق. علاوة على ذلك، في جميع الحالات، هناك إمكانيتان للنمط المتبقي، لذلك يتم حساب الإجمالي مثل 27 × 2 = 54 طريقة.'

'مشكلة في انتشار الضوء'

'لرسم الشكل العمودي 1 ، على الخط الممتد من OD بطول (1) في الشكل (1) ، خذ النقطة L بحيث تكون OD تساوي DL ، وارسم محور الرأس العمودي لـ OL. لهذا الغرض ، خذ النقطة M على الجانب الأيسر من OL بحيث OM يساوي LM ، والنقطة N على الجانب الأيمن من OL بحيث ON يساوي LN ، وقم بتوصيل M و N. بعد ذلك ، قم بتوصيل النقاط P و D ، وارسم محور الرأس العمودي لـ PD. لهذا الغرض ، خذ النقطة Q على الجانب الأيسر من PD بحيث تكون PQ تساوي DQ ، والنقطة R على الجانب الأيمن من PD بحيث تكون PR تساوي DR ، وقم بتوصيل Q و R. وعلاوة على ذلك ، دع تقاطع خطوط MN وQR يكون S. في النهاية ، ارسم جزءًا من دائرة بمركز في S تمر عبر D و P ، حيث يكون نقطة التقاطع مع الدائرة التي تحتوي على مركز في O ، باستثناء D ، هو E.'

'في (1)، يتم اعتبار حالات الشكل أ (الأزرق في الوسط)، بي (الأزرق في الزوايا)، وسي (الأزرق في وسط الحواف). في كل حالة، يمكن فقط للأجزاء المتبقية أن تُلصق بطريقة فريدة لضمان عدم تطابقها عند الدوران. في هذا الوضع، إذا كانت نصفه صفراء والنصف الآخر أحمر، أو إذا كانت النصف الأحمر والنصف الآخر أصفر، يمكن أن يكون هناك نمطان في جميع الحالات. بعد ذلك، عند النظر في موقع المناطق الزرقاء، هناك احتمال واحد في حالة الشكل أ، وفي حالتي الأشكال ب وج، عند تدويرها 90 درجة، يوجد 4 احتمالات في كل منها. وبالتالي، هناك مجموع يبلغ (1+4+4)×2=18 احتمالاً.'

'بناءً على الجزء d المسطّر، اشرح في 20-30 كلمة مزايا الألواح الخشبية مقارنة بالورق.'

'ابحث عن الزاوية بين المستقيم $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ والمستوى $\\alpha: x-4 y+z=0$.'

'أثبت أن مركز الجذب P(z) للمثلث OAB بزوايا O(0), A(α), B(β) يفي بالمعادلة المعطاة.'

'عندما يتحرك نقطة P(z) على طول الخط المستقيم الذي يمر من خلال -1/2 ومنتصف الفاصلة الحقيقية، ما نوع الشكل الذي يقوم به النقطة Q(w) الممثلة بواسطة w=1/z؟'

''

'ابحث عن معادلة السطح الذي يمر عبر النقطة A(1,1,0) ومتعامد على الخط $\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$.'

'في المتوازي الرباعي ABCD، لنكن نقطة P التقسيم الداخلي للقطر AC بنسبة 3:1، ونقطة Q التقسيم الداخلي للضلع BC بنسبة 2:1. أثبت أن النقاط D و P و Q هي مستقيمة.'

''

'صف الظروف المطلوب توفيرها لتلبية ظروف التوازي، التلاقي والتزامن.'

'السؤال: قم بإثبات نظرية نقطة الوسط، التي تقول إنه في مثلث ABC، إذا كان D و E نقطتي وسط الضلعين AB و AC على التوالي، فإن BC // DE و BC = 2DE.'

'في الإحداثيات القطبية ، دع نقطة A(3، π) تكون على خط g الذي يكون عموديًا على الخط البدء. ابحث عن المعادلة القطبية للمسار حيث يكون نسبة المسافات من القطب O والخط g إلى نقطة P ثابتة. (أ) 1: 2 (ب) 1: 1'

'ابحث عن الزاوية الحادة التي تشكلها الخطان.'

'تمرن على إثبات أنه في مثلث OAB مع ثلاث نقاط مختلفة O(0)، A(α)، B(β) كنقاط، مركز الدائرة المحيطة حول الرأس O كـ P(z)، ثم z يرضي المعادلة التالية.'

'أثبت شرط الترابط.'

'ابحث عن الشكل الهندسي الذي يُمثله جميع النقاط $P(z)$ التي ترضي المعادلة $|z-\\alpha|=|z-\eta|.'

"برهان بواسطة الهندسة البسيطة للمثال 123\n1. يمكن استخدام استراتيجية تمديد الوسيط لإنشاء متوازي الأضلاع لإثبات البيان، ولكنه يتطلب نقاط وخطوط مساعدة إضافية، مما يجعلها أقل توجيهًا. من خلال تمديد النقطة M على القطعة AM بحيث AM = MH ، ونظرًا لأن EM = GM ، يمكن تستنتج أن المتوازي الأضلاع AGHE هو متوازي الأضلاع. لذلك، AE = GH ، ومن AB = AE ، نحصل على AB = GH. بالإضافة إلى ذلك، AC = AG و AE // GH ، مما يؤدي إلى ∠EAG + ∠AGH = π ، وبالتالي ∠AGH = π - ∠EAG = ∠BAC. وبناءً على ذلك، ∠AGH = ∠BAC ( 1 ) - ( 3 ) ، و من ∠AGH = ∠BAC ، يتبع أن مثلث ABC ≡ مثلث GHA ، لذلك BC = AH = 2AM. قدم نقطة B' بحيث BC // B'A ، مما يعني أن ∠MAE = ∠GHA = ∠ABC = ∠BAB' ، وبالتالي، ∠MAB' = ∠MAE + ∠EAB' = ∠BAB' + ∠EAB' = π / 2 ، مما يظهر أن AE // GH والزوايا بين الجانبين متساوية. وبالتالي، AM ⊥ B'A و BC // B'A يؤديان إلى AM ⊥ BC و BC // B'A."

'مثال أساسي 121 تطبيق قاعدة الجيب'

'يرجى شرح نظرية فيثاغورس المعاكسة.'

'ثابت أن المعادلة (1 + tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2) = 1 صحيحة عندما يتم تمثيل أحجام الزوايا A و B و C للمثلث ABC بواسطة A و B و C على التوالي.'

'من النتيجة رقم (2)، يمكن ملاحظة أن نقطة X تقسم الضلع AC خارجياً بنسبة محددة، ونقطة Y تقسم الضلع AC أيضاً خارجياً بنسبة متساوية، مما يؤدي إلى تطابق نقطتي X و Y. لذلك، يمكننا الاستنتاج بأن الخطوط الثلاث AC، PQ، و RS تتقاطع في نقطة واحدة.\n\nدعنا نتأكد من ذلك باستخدام برنامج رسم هندسي. بغض النظر عن التغييرات المُجراة على شكل مضلع ABCD، ستتقاطع الخطوط الثلاث AC، PQ، و RS في نقطة واحدة. يرجى تحريك مواقع النقاط P، Q، R، و S في البرنامج.'

'ما هو معادلة القطع الناقص الحاصلة عن طريق تحريك القطع الناقص y=2x^{2} موازية مع المحور x بمقدار -2 وموازياً للمحور y بمقدار 3؟'

'في المخروط الرباعي ABCD حيث BC=BD، دع AO تكون العمود من النقطة A إلى السطح BCD. إذا كانت النقطة O تقع على محاقنة زاوية ∠CBD في نقطة E، فأثبت أن AE متعامدة على CD.'

'برهان: بالنسبة لأي نقطة P ليست على مثلث ABC وجوانبه ووسطيه، التالي ينطبق: \AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"بالنسبة للنصف الأفقي OX بزاوية 80 درجة ، المتناظر مع النقطة A هو A' ، وبالنسبة للنصف الأفقي OY ، المتناظر مع النقطة B هو B' ، دع التقاطع بين الخط A'B' والنصف الأفقي OX يكون P ، والتقاطع بين الخط A'B' والنصف الأفقي OY يكون Q."

'ثبت أنه في مثلث ABC ، إذا كان O هو مركز الدائرة الخارجي وكانت P و Q و R هي النقاط المتناظرة للأضلاع BC و CA و AB على التوالي ، فإن O هو مركز العظم للمثلث PQR.'

'نظرًا لمكعب كما هو موضح في الشكل، ارسم خطوط متساوية المسافات على الوجوه الثلاثة المجاورة ABCD، BEFC، و CFGD، وافترض أنه من الممكن التحرك على طول هذه الخطوط. في كل حالة من الحالات التالية، حدد عدد طرق المسار الأقصر الممكنة: (1) الذهاب من A إلى C على الوجه ABCD (2) الذهاب من A إلى F على الوجوه ABCD و BEFC (3) الذهاب من A إلى F على الوجوه ABCD، BEFC، و CFGD'

'في الرسم البياني على اليمين، عند استخدام الدهانات الحمراء والزرقاء والصفراء والبيضاء لتحديد A و B و C و D بوضوح'

'هناك دائرتان مماسة في النقطة أ. عندما تتقاطع المماس في النقطة ب على إحدى الدوائر مع الدائرة الأخرى عند نقطتين ج ود، أثبت أن أ ب تقسم زاوية ساد المحيطة.'

''

'يرجى شرح نظرية الزاوية المرسومة.'

'أثبت أن زاوية التقاء القطر AB مع المستقيم المماس AT في نقطة A تساوي زاوية القوس ACB الموجودة داخل الزاوية.'

'الفصل 3 خصائص الأشكال'

'بتوجيه ثلاث نقاط A، Q، B على محيط دائرة ، ونقطة P على الخط AB بحيث تكون P على جانب Q الذي نعرفه، إثبات الافتراض التالي باستخدام طريقة الدليل بالتناقض: ∠APB > ∠AQB ⇒ النقطة P داخل الدائرة .'

'بن مربع PQRS على أساس رؤوس مثلث ABC.'

'ثبت أن خط وسط الزاوية في نقطة A، وخط وسط زاوية 60 درجة في النقطة B، وخط وسط الزاوية في النقطة C في مثلث ABC يتقاطعون في نقطة واحدة.'

'الخط AG هو مقسم زوايا الزاوية الخارجية BAC. دع H يكون النقطة على ممتد الشعاع BA ، أثبت المعادلة التالية:'

'نعطى الشق AB والنقطة P عليه. قم ببناء مثلث ABC القائم بشق AB كالوتينوس، خذ نقطة Q على شق AC، والنقطة R على شق BC بحيث يصبح رباعي الضلع PQCR مربعًا. ارسم المربع PQCR.'

'في الشكل، دع E يكون النقطة التي تقاطع محاور زاوية CAD الخارجية للمثلث ABC، الذي يكتنفه دائرة، مع الدائرة مرة أخرى، ودع F يكون النقطة حيث يتقاطع مع تمديد الضلع BC. إذا كان AE = AC، فقم بإثبات أن BE = CF.'

''

'في المُنَحرَف ABCD، حيث PR / / BC، حيث PR ≠ BC، دع نقاط P و Q تقسم الأضلاع PR و BC بنسبة m: n. ثبت أن الخطوط AB, CD, و PQ تتقاطع في نقطة واحدة.'

''

'عكس النصب المنشور'

'نقاط مفتاحية في المشاكل التي تتضمن الأطوال'

'ثبت أن ، كما هو موضح في الشكل على اليمين ، لثلاثي ABC القائم الزاوية حيث ∠B=90 درجة ، يتم أخذ نقطة D على الضلع BC (مع D مختلفة عن B و C). ثم ، يتم أخذ نقطة E بحيث ∠ADE=90 درجة و ∠DAE=∠BAC. ثبت أن النقاط A و D و C و E الأربعة على نفس الدائرة.'

'ثبت أن الزاوية الزاوية في المثلث ABC تتقاطع مع الضلع BC في نقطة D، مقسمًا الضلع BC داخليًا بنسبة AB:AC. قم بإثبات ذلك بالطريقتين التاليتين:\n1) التركيز على المثلثين ABD وECD عندما تتقاطع الخط الموازي ل AB والمار بنقطة C مع الخط AD.\n2) التركيز على مساحتي المثلث ABD وACD من خلال رسم العموديات من النقطة D إلى الخطوط AB وAC.'

'فيما يتعلق بالخيارات المذكورة باستثناء 1 و 3 في الإشارة (5). أولاً ، حيث أن النقاط D و A و P على نفس الخط ، فهي لا يمكن أن تكون على نفس الدائرة. لذلك ، الخيارات التي تحتوي على النقاط A و P غير قابلة للتطبيق. بعد ذلك ، وفقًا للإجابات ، فإن النقاط الأربع D و A و C و E على نفس الدائرة (الرسم البياني الأعلى الأيمن). بالتالي ، يجب أن تمر الدائرة المحيطة للمثلث DAE من خلال النقطة C ، لذلك لن تمر من خلال النقطة F. لذلك ، الخيار 3 ليس قابلاً للتطبيق. بالمثل ، يجب أن تمر الدائرة المحيطة للمثلث DCE من خلال النقطة A ، لذلك لن تمر من خلال النقطة F. لذلك ، الخيار 4 ليس قابلاً للتطبيق. بنفس الطريقة ، من خلال النظر إلى الدائرة التي تمر من خلال النقاط D و C و P و Q (الرسم البياني الأسفل الأيمن) ، من الواضح أن الخيار 5 أيضًا غير قابل للتطبيق.'

''

'ثابت أن المعادلة التالية تنطبق على أي نقطة P ليست على الجوانب أو الأوسط أو التمديدات للمثلث ABC ، مع باريسينتره المعبر عنه بـ G:'

'ثبت أنه في المثلث ABC، وعندما يكون نقطة الوسط O والنقاط المتناظرة بالنسبة إلى الأضلاع BC، CA، AB هي P، Q، R على التوالي، فإن O هو مركز القائمة للمثلث PQR.'

'أثبت أنه في مثلث ABC مع ∠B=90°، عندما تكون نقطة P على الضلع BC، لدينا AB < AP < AC.'

'مثال أساسي 67 مركز الخارجي ومركز القائمة لمثلث'

'تريد تلوين المناطق A و B و C و D و E في الشكل على اليمين. يجب استخدام ألوان مختلفة للمناطق المجاورة، ويجب استخدام عدد محدد من الألوان جميعًا. كم يوجد من طرق للتلوين؟ (1) باستخدام 5 ألوان (2) باستخدام 4 ألوان (3) باستخدام 3 ألوان'

'باستخدام مبرهنة ثالس، اثبت أنه إذا تقاطع الدائرة المحيطة للمثلث ABC محاور زوايا ∠BAC عند النقطة M، فإن MA = MB + MC يعني أن AB + AC = 2BC.'

'كما هو مبين في الشكل على اليمين ، يتم أخذ ثلاث نقاط D ، E ، F خارج مثلث ABC بحيث تشكل كل من الثلاثيات ABD ، BCE ، و CAF مثلث متساوي الأضلاع.'

'في المُنَعَّش الشَّكل ABCD حيث AD // BC ، دع نقاط P و Q تكونان حيث يتم تقسيم الأضلاع BC و DA داخليًا بنسبة m:n. أثبت أن الخطوط AC و BD و PQ تتقاطع في نقطة واحدة.'

'بناءً على مثلث قائم ABC بزاوية ∠A=90° ، قم ببناء مثلثات متساوية الأضلاع BAD و ACE في الخارج. لتكون تقاطع الشرائط CD و BE ب م. أثبت أن النقاط الأربع C، E، A، P على نفس الدائرة.'

'العثور على العدد الإجمالي للمسارات التي تستوفي الشروط التالية لأقصر مسار من نقطة P إلى نقطة Q على الجانب الأيمن من مخطط PR:'

'استخدام الرسوم البيانية للأشجار'

''

{'title': 'Arabic', 'type': 'string'}

'باستخدام مبرهنة منيلوس، أثبت ما يلي عندما تتقاطع الأضلاع BC وCA وAB للمثلث ABC أو تمديدها مع خط l الذي لا يمر عبر نقاط رؤوس المثلث في النقاط P وQ وR على التوالي.'

'لنفكر في مشكلة متعلقة بخصائص الأشكال الهندسية. باستخدام خصائص الأشكال التالية، سنقدم دليلاً للمشكلة المحددة.'

'المثال الأساسي 82 العكس من مبرهنة الدائرة\nفي الشكل على اليمين، L و M و N هم نقاط منتصف أضلاع \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ للشكل الرباعي \ \\mathrm{ABCD} \ الموجود داخل دائرة. بالإضافة إلى ذلك، تقاطع الخط ML والخط DA هو نقطة P، وتقاطع الخط NL والخط CB هو نقطة Q. أثبت أن هذه النقاط الأربعة M و N و P و Q على نفس المحيط.'

'في مثلث ABC ، إذا كان النقطة الداخلية I متناظرة بالنسبة إلى الأضلاع BC و CA و AB ومعبرة عنها ب P و Q و R على التوالي، فأي نوع من النقطة هي نقطة I بالنسبة إلى مثلث PQR؟'

'المحاور العمودية: النقطة P تقع على المحور العمودي لشق AB. \ \\Leftrightarrow \ النقطة P على بُعدٍ متساوٍ من النقطتين A و B.'

'أثبت أن أطوال الظلال الاثنين المرسومة إلى دائرة من نقطة خارج الدائرة متساوية.'

'أثبت أن مثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع إذا تطابقت مركز الثقل ومركز الثقل الوهمي.'

'يتم إعطاء مثلث ABC كما هو مبين على الجانب الأيمن. قم ببناء مربع PQRS بحيث يكون الضلع QR على الشق BC ويكون الرأس P على الشق AB والرأس S على الشق AC.'

'ثبت أن الخط AB هو المستقيم المماس للدائرة المحيطة بمثلث BDF.'

'أثبت أن الخطوط الثلاث AB و CD و PQ تتقاطع في نقطة واحدة. تلميح: أظهر أن تقاطع AB و PQ هو نفسه تقاطع CD و PQ.'

'الرسم البياني على اليمين يظهر رسم صندوقي للعلامات التي حصل عليها 30 طالبًا في اختبار العلوم. عندما تكون العلامات التي استند إليها هذا الرسم البياني عبارة عن هيستوغرام ، فأياً من الخيارات التالية يتوافق معه؟'

'كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، ارسم العمود PD، PE، PF من النقطة P على المحيط الخارجي لمثلث ABC إلى الخطوط AB، BC، CA، على التوالي. قم بإثبات ما يلي.'

'استخدم نظرية الزوايا المحاطة لاثبات شرط تواجد نقاط A، B، P، Q على دائرة واحدة.'

'محاور الزاوية: يقع النقطة P على محور زاوية ABC.'

'دليل على مربع مرسوم داخل دائرة - مثال أساسي 83'

'التمرين 68\nلنكن مركز الثلاثي ABC الحاد H، ومركزه الخارجي O، ونصف الضلع BC M، ونصف القطعة AH N. قم بإثبات أن طول القطعة MN يساوي نصف قطر دائرة الثلاثي ABC مستخدماً الحقيقة AH=2OM.'

'باستخدام نظرية تالس، قم بإثبات أنه إذا تقاطعت دائرة خارجية لمثلث ABC مع مقسم زاوية ∠BAC في M ، فعندما تكون MA = MB + MC ، فإن لدينا 84AB + AC = 2BC.'

'ثبت أن المعادلة التالية صحيحة في مثلث ABC مع مركز الثقل G: AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'في مثلث متساوي الساقين ABC حيث AB=AC، خذ نقطتين F وG على القاعدة BC، ارسم الأوتار AFD وAGE للدائرة المحيطة بالمثلث ABC. أثبت ما يلي: (1) AB² = AF * AD (2) النقاط D وE وF وG هي على دائرة واحدة.'

'ثبت أن في مثلث ABC ، عندما يكون نقطة وسط الضلع BC هي M، فإن معادلة AB²+AC²=2(AM²+BM²) صحيحة (قاعدة الوتر).'

'أثبت أنه في المُنَطَقة المُحدبة ABCD، حيث AD//BC، و AD≠BC، يتم تقسيم الضلعين AD و BC إلى نقاط P و Q بنفس النسبة بين m:n. ثم أثبت أن الخطوط AB و CD و PQ ستتقاطع في نقطة واحدة.'

'مبرهنة مينيلاوس'

'مشكلة البرهان باستخدام نظرية المماس'

'ارسم قطاع OAB مع O كمركز كما هو موضح على اليمين. على شريط OA ، ارسم مربع PQRS حيث يتزامن الجانب QR مع OA ، وتكون النقطة P على شريط OB ، بينما تكون النقطة S على القوس AB.'

''

'كيفية التعامل مع حساب مساحة الأشكال الهندسية'

'النقاط الرئيسية لحل مشاكل الزوايا'

'على الدائرة O ، ارسم المماسات PA و PB من نقطة خارجية P ، وارسم الحبل CD الذي يمر عبر نقطة M حيث يتقاطع قطع الخط AB مع قطع الخط PO. أثبت أن النقاط P ، C ، O ، و D موجودة على نفس الدائرة. هنا ، C و D ليستا على الخط PO.'

'نظرًا لأن النقاط A و M داخل وعلى محيط الدائرة O. الآن ، ارسم حبلًا PQ يمر عبر M بحيث يقسم AM ∠ PAQ إلى جزئين. ارسم هذه الحبال PQ.'

"أثبت أنه إذا كان الدائرتان O و O' تمران بنقطة P ولهما المماسات الخارجية المشتركة C و D وإذا كانت الخط الذي يمر عبر نقطة P يتقاطع مع الدائرتين في النقطتين A و B، فإن AC متعامدة على BD."

'من المعطى دائرة O مع النقاط الثابتة A و M بداخلها. قم برسم كورد PQ تمر عبر M بحيث تقسم AM ∠PAQ إلى نصفين. ابنِ هذه الكورد PQ.'

'احترف استخدام الرسوم البيانية الفنية للقضاء على المثال 49!'

'بمجرد الخط AB بطول 1 والخطوط بأطوال a و b ، ارسم قطعة خط بطول b/3a.'

''

'تدريب 25'

'ارسم مستطيل PQRS داخل مثلث ABC ذو الزاوية الحادة كما هو موضح على اليمين ، بحيث 2PQ=QR ، الضلع QR على الضلع BC ، رأس P على الضلع AB ، ورأس S على الضلع CA. (اصف فقط طريقة الرسم)'

''

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'في الشكل الذي على اليمين، △ABC و△CDE عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع، ونقاط B و C و D متعامدة. دع F تكون تقاطع AD و BE، ثم اثبت أن النقاط A و B و C و F متحدة في دائرة واحدة.'

''

'ترغب في تلوين المناطق A و B و C و D و E في الشكل الحق. عند تلوين المناطق المجاورة بألوان مختلفة، كم هي الطرق الممكنة للتلوين بثلاثة ألوان؟'

'المشكلة: الطول بالنسبة، الممثل بضرب القطع\nبعدة قطعة AB طولها 1 وقطع بطول a، b معطاة:\n(1) رسم قطعة بطول a/b.\n(2) رسم قطعة بطول 2ab.'

'لنستعرض طول المماس ونظرية المماس!'

'أثبت أنه في مثلث حاد الزاوية ABC، حيث العمود من الرؤوس B و C إلى الأضلاع المعاكسة هي BE و CF على التوالي، مع نقطة تقاطعهما H. دع نقطة تقاطع خط AH والضلع BC تكون D، أثبت أن AD منتصب على BC.'

'إثبات أنه في المثلث ABC ، تتقاطع مقسمات زاوية B وزاوية C في نقطة I. دعونا رسم خطوط مستقيمة من النقطة I إلى الأضلاع BC و CA و AB ، مما يعنها ب IP و IQ و IR على التوالي. لدينا IR=IP و IP=IQ ، لذلك IR=IQ ، مما يعني أن IP=IQ=IR. لذلك ، النقطة I تقع على مقسم زاوية A. وبالتالي ، تتقاطع مقسمات الزوايا الثلاثة الداخلية للمثلث ABC في نقطة واحدة I. يُطلق على هذه النقطة حيث تتقاطع مقسمات الزوايا مركز المثلث ، والدائرة مع المركز كمركز لها وملامسة للأضلاع الثلاثة تسمى بدائرة الدائرة.'

'ارسم مربع PQRS داخل القطاع OAB بمركز O، بحيث يكون الجانب QR على الشعاع OA، يكون الرأس P على الشعاع OB، ويكون الرأس S على القوس AB، وفقًا للشكل على اليمين. (يمكنك توفير طريقة الرسم فقط).'

'تلوين (مستوى).'

'ارسم النقطة التي تقسم الخط المعطى AB داخليًا بنسبة 3:2.'

'ارسم المحاور العمودية للخط AB (1) قم برسم دائرتين باستخدام نقطتي A و B كمركز لكل واحدة بنفس النصف قطر ، وعلم نقاط التقاطع للدائرتين كـ C و D. (2) رسم الخط CD.'

'بالنسبة للأجزاء (١) و (٢)، اعثر على طول القطعة AD وفقًا للتعليمات.'

'كما هو موضح في الشكل على اليمين ، فإن دائرتين ذات شعاعين مختلفين يلمسان النقطة A. ارسم خطًا مماسًا للدائرة الداخلية عند النقطة D ، واسمح لـ B و C بأن تكون نقط التقاط مع الدائرة الخارجية. أثبت أن AD يقسم ∠BAC إلى نصفين.'

'المثال الذي يتيح فصل 25 مناطق (مستوى):'

'بالنسبة للمجموعات الفرعية A، B من المجموعة العالمية TR، تحقق من صحة المعادلة التالية باستخدام الرسوم البيانية.'

'في مثلث ABC مع دائرته الخارجية، يُؤْخَذُ نقطة D على الضلع BC بحيث ∠BAD=∠CAD. علاوة على ذلك، دع P يكون تقاطع المماس إلى الدائرة عند النقطة A والخط BC. أثبت أن PA=PD.'

'ارسم مربع PQRS داخل القطاع OAB مع O كمركز، بحيث يكون الضلع QR على الخط OA، وجه P على الخط OB، وجه S على القوس AB (قدم فقط طريقة الرسم).'

'أريد أن ألوّن المناطق A و B و C و D و E على الرسم التوضيحي الأيمن. عند تلوين المناطق المتجاورة بألوان مختلفة باستخدام لا أكثر من 4 ألوان، كم هي الطرق الممكنة لتلوين المناطق؟'

"أثبت أن عندما تحتوي دائرتان O و O' على حبل مشترك AB يمر عبر النقطة P، فإن الحبل الخاص بالدائرة O الذي يمر ب P هو CD والحبل الخاص بالدائرة O' الذي يمر ب P هو EF، ثم النقطتين C، D، E، F على نفس الدائرة. ومع ذلك، يرجى ملاحظة أن النقطتين C، D، E، F ليستا مستقيمتين."

'أثبت ما يلي في مكعب ABCD: (أ) دع M يكون منتصف حافة AD ، ثم يكون AD عموديًا على مستوى MBC ؛ (ب) تكون AD عمودية على BC.'

'هناك خط ℓ على السطح المستوي α. النقطة A ليست على α، النقطة B على ℓ، والنقطة O على α لكن ليست على ℓ. أثبت ما يلي: OB عمودي على ℓ، AB عمودي على ℓ، OA عمودي على OB يعني OA عمودي على α.'

"هناك دائرتان O و O' تتقاطعان في نقطتي P و Q. الخط السالك عبر النقطة P يتقاطع مع الدائرتين O و O' في النقطتين A و B ، والخط السالك عبر النقطتين A و Q يتقاطع مع الدائرة O' في النقطة C. دع AD تكون المماس إلى الدائرة O في النقطة A ، ثم أثبت أن AD // BC."

''

'في الشكل على اليمين، ابحث عن x، y، z. هنا، ℓ هو المستقيم الذي يلامس الدائرة O، والنقطة A هي نقطة الاتصال. كما أن في (2)، ∠ABD=∠CBD.'

"في الشكل على اليمين ، هناك دائرتان O و O' تتقاطعان عند نقاط P و Q. لنكن A تقاطع الخط المماس إلى الدائرة O في النقطة P والدائرة O' ، و B تقاطع الخط AQ والدائرة O ، و C تقاطع الخط BP والدائرة O'. أثبت أن AC=AP."

"مع دائرتين O و O' التي تتقاطع عند نقطتين P و Q كما هو موضح في الرسم البياني. لنعتبر المستقيمة الملامسة من النقطة P إلى الدائرة O التي تتقاطع مع الدائرة O' في النقطة A ، تقاطع الخط AQ والدائرة O في النقطة B ، وتقاطع الخط BP والدائرة O' في النقطة C. اثبت أن AC = AP."

'عكس نظرية سيفا'

'بالنظر إلى ثلاث نقاط A ، B ، Q على محيط دائرة ، ونقطة P بحيث تكون في نفس جانب الخط AB كنقطة Q ، قم بإثبات البيانات التالية: \n1. إذا كانت النقطة P على الدائرة ⇒ ∠APB = ∠AQB \n2. إذا كانت النقطة P داخل الدائرة ⇒ ∠APB > ∠AQB \n3. إذا كانت النقطة P خارج الدائرة ⇒ ∠APB < ∠AQB'

'بناء نصف زاوية AOB (1) ارسم دائرة بمركز O ونصف قطر مناسب وعلامات التقاطع مع الشعاعين OA و OB بمناسب C و D على التوالي. (2) ارسم دوائر بمراكز في النقاط C و D وأقطار متساوية ، وعلامة احدى نقاط التقاطع للدائرتين كـ E. (3) ارسم شعاع OE.'

'في الشكل المعطى، اعثر على قيم α و β. حيث أن ℓ هو المستقيم المماس للدائرة O، ونقطة A هي نقطة اللمس. كما، في (3) يُعطى أن PQ // CB.\n(1)\n(2)\n(3)\nتركيز على المستقيم المماس والمثلث باستخدام مبرهنة المستقيم المماس.\n(2) يمكن إيجاد قياس ∠CAB باستخدام مبرهنة الزاوية المركزية.\n(3) من PQ // CB، ∠ABC=∠BAQ\nفي (1)، دع نقطة D تكون على الخط ℓ كما هو موضح في الشكل\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nلذا، القيمة α=∠BAD=70°'

'من خلال رسم خط مستقيم عمودي على PQ بعد رسم خطوط موازية (*)، يمكن إنشاء خط مواز لـ l.'

'اثبت خاصية مقسمات الزوايا'

'بناء الخط العمودي على القطعة PQ: (1) قم برسم دائرة بمركز في النقطة P وأي نصف قطر، على أن تتقاطع مع الخط l في النقاط A و B. (2) رسم الدوائر بمراكز في النقاط A و B، كل منها بنفس نصف القطر، وتعريف أحد نقاط التقاطع لهاتين الدائرتين على أنه Q. (3) رسم الخط PQ.'

'ثبت ما يلي باستخدام عكس نظرية سيفا: (1) تتقاطع الوسطيات الثلاثة للمثلث في نقطة واحدة. (2) تتقاطع مقسمات زوايا المثلث الثلاثة في نقطة واحدة.'

'كما هو موضح في الشكل على اليمين، هناك دائرتان ذات أقطار مختلفة تلامسان النقطة A. ارسم خطاً يمر عبر النقطة D على الدائرة الداخلية، بحيث تكون نقطتا B وC نقط التقاء مع الدائرة الخارجية. أثبت أن AD يقسم زاوية BAC إلى نصفين.'

'لنكن P(2,3,1) نقطة. لتكون D و E و F نقاطا متناظرة لـ P بالنسبة للمستوى xy والمستوى yz والمستوى zx على التوالي. حدد إحداثيات النقاط D و E و F.'

'ثبت أن طول القوس متساوٍ لزوايا مركزية متساوية في دائرة.'

'ارسم شريط الخط المعطى AB وحدد النقطة التي تقسمه إلى خارجي بنسبة 5:1.'

'هناك دائرتان تماسان بالنقطة P. كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، إذا تقاطعت خطتان تمران عبر النقطة P مع الدائرة الخارجية في النقاط A و B ومع الدائرة الداخلية في النقاط C و D. أثبت أن AB و CD متوازيان.'

'(1) أيٌّ من المستطيلات على اليمين، ABCD، محاطة بدائرة؟\n(2) في مثلث حاد الزاوية ABC، على الضلع BC، يُأخذ النقطة D (مختلفة عن النقطتين B و C)، ويُرسم العموديات DE، DF من النقطة D إلى الأضلاع AB و AC، على التوالي. قم بإثبات أن الرباعي AEDF مرسوم داخل دائرة.'

'أثبت النظرية رقم 17: إذا تقاطعت خطين AB و CD، أو تمديدات AB و CD في نقطة P، وكان PA * PB = PC * PD، فإن النقاط A و B و C و D تقع على نفس المحيط.'

'ثبت أن $\\angle BAT = \\angle ACB$.'

'في الشكل على اليمين، نظرًا لأن ∠CAD=∠EBC، فإن رباعي ABDE محاط بالدائرة. لذلك، بواسطة نظرية الزوايا المُحدبة، ∠ADE=∠ABE. أيضًا، نظرًا لأن ∠BEC=90 درجة، ∠ADC=90 درجة، فإن رباعي CEHD محاط بالدائرة. ∠HEC + ∠HDC = 180 درجة. نظرًا لأن مجموع الزوايا المتضادة هو 180 درجة، فإن رباعي CEHD محاط بالدائرة.'

'ثبت أنه لأي ثلاث خطوط متميزة l و m و n ، إذا كان l // m و m // n ، فإن l // n.'

'في مثلث ABC ، إذا كانت نقطة منتصف الضلع AB هي D ونقطة منتصف الضلع AC هي E ، فإن DE // BC و DE = 1/2 BC. يُطلق على الشرائط الخطية التي تربط رؤوس المثلث بنقاط منتصف الأضلاع المعاكسة اسم الوسيطات للمثلث. بالنظر إلى الوسيطات الثلاثة لمثلث ، هناك الخاصية التالية. المبرهنة 5: تتقاطع الوسيطات الثلاثة لمثلث في نقطة واحدة ، التي تقسم كل وسيط إلى نسبة 2:1.'

'ارسم النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة المعطاة AB داخليًا بنسبة 1:4.'

'أثبت أنه في مثلث غير متساوي الأضلاع ABC، بمركز I وخطوط BI، CI تتقاطع على الجانبين AC، AB في النقاط E، D على التوالي، إذا كان DE // BC، ثم اثبت أن AB=AC.'

'426'

'نظرية تشيفا'

'الفصل 3 الأشكال والمعادلات 97 (2) الخط BC يُرسم على المحور أس اكس، ويتم رسم خط متعامد على الخط BC الذي يمر عبر النقطة D على المحور واي، حيث تصبح النقطة D المبدأ O، الذي يمكن أن يُمثل على أنه A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0). في هذه الحالة، 2AB²+3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²}+3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a²+5b²+30c² = 5(a²+b²+6c²) أيضًا 3AD²+2BD² = 3{(-a)²+(-b)²}+2(3c)² = 3(a²+b²+6c²) ...(2) من (1) و (2)، نحصل على أن 3(2AB²+3AC²)=5(3AD²+2BD²)'

'لخص بعض النظريات والصيغ والخصائص المهمة.'

'كيف يمكن تمثيل الجزء المظلل في الشكل بواسطة المعادلات غير المتساوية؟ أظهر الخطوات تباعًا.'

'في السطح السطحي XY، هناك ثلاث نقاط A(2، -2)، B(5، 7)، C(6، 0). أثبت أن المثلث ABC يتقاطع في نقطة واحدة (هذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، المعروفة أيضًا باسم المركز الخارجي).'

'على مستوى، هناك ثلاث نقاط A(2،-2)، B(5،7)، C(6،0). أثبت أن المستقيمات الرأسية لكل جانب من مثلث ABC تتقاطع في نقطة واحدة (هذه النقطة التقاطعية هي مركز المثلث ABC، المعروف أيضًا باسم مركزي المثلث)، تلميح: أثبت أن نقطة التقاطع لمستقيمات القطعة AC والقطعة AB تقع على المستقيم الرأسي للقطعة BC.'

''

'ارسم المنطقة الممثلة بواسطة المتباينات التالية.'

'اعثر على معادلة الخط المار بالأصل عندما تكون المسافات العمودية من النقطتين (5,0) و (3,6) إلى الخط l متساوية.'

'من خلال قضاء دائرة وخط معادلة تقوم بإزالة y، والتي تتكون من معادلة الدائرة ومعادلة الخط a x^{2}+b x+c=0، ابحث عن علاقة الموقع بين الدائرة والخط باستخدام معرفة القرار D=b^{2}-4 a c.'

'ثبت: في مثلث ABC ، نصف الضلع BC هو M، ثم AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (مبرهنة وسيط الثلاثي).'

'ثبت أن تراكز مثلث DEF وتراكز مثلث ABC يتطابقان عندما يتم أخذ النقاط D ، E ، F على الأضلاع BC ، CA ، AB للمثلث ABC بحيث BD:DC=CE:EA=AF:FB.'

'كيفية العثور على معادلة المماس إلى دائرة'

'الفصل 3 الأشكال والمعادلات\nالشرط لكون خطين (1)، (2) متعامدين هو\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1، حل للحصول على a، نحصل على a=\\uparrow-3\nبطريقة أخرى، الشرط لكون خطين (1)، (2) متوازيين هو\n\3⋅a-1⋅1=0، لذلك a=\\frac{1}{3}\\nالشرط لكون خطين (1)، (2) متعامدين هو\n\3⋅1+1⋅a=0، لذلك a=\\uparrow-3\\nمتعامد ⇔ حاصل ضرب الميلين يساوي -1 ⇽ 2 خطوط\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 و\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\nمتوازي ⇔ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\nمتعامد ⇔ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'ثبت أنه في مثلث ABC، عندما يكون G هو مركز الثقل، فإن المعادلة AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2) صحيحة.'

'الفصل 3: الأشكال الهندسية والمعادلات\n121\nنظرًا للخط 2x - y + 3 = 0 ، دع Q يكون نقطة ودع P تكون نقطته المتناظرة. اعثر على مسار نقطة P بينما تتحرك النقطة Q على طول الخط 3x + y - 1 = 0.'

'حدد قيمة الثابت الإيجابي a بحيث تكون المناطق المحاطة بالمنحنيات y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x و y=x^{2}-a x متساوية.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة Q بعد دوران النقطة P(4,2) حول النقطة A(2,5) بـ π/3.'

'الخط الذي يمر عبر نقطة تقاطع خطين'

'ابحث عن مساحة المثلث الذي تكونه الخطوط x - y + 1 = 0، 2x + y - 2 = 0، x + 2y = 0.'

'ثبت المعادلة التالية في مثلث ABC'

'العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث والدوال المثلثية كما يلي.'

'ثبت المساواة التي تظهر أحجام الزوايا الداخلية A و B و C للمثلث ABC.'

'يرجى تحديد الصفحات ذات الصلة للمصطلحات التالية: ① الشرط ② القانون الانتقالي (العدمية) ③ المستقيم'

'قم بإثبات أن المعادلة (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 تنطبق عندما تمثل زوايا الداخلية ∠A، ∠B، ∠C للمثلث ABC على التوالي بحروف A، B، C.'

'السؤال 3 الهندسة الفضائية والمساحة'

'كما هو موضح في الشكل على اليمين، يتم تقسيم الدوديكاغون النظامي إلى 12 مثلث متطابق بواسطة القطرات. باختيار النقاط O، A، B، نجد أن ∠AOB=360°÷12=30°، و OA=OB=a. باستخدام قانون الجيب في مثلث OAB ، نجد 1=(2-√3)a²، وبالتالي a²=1/(2-√3)= (2+√3) /((2-√3)(2+√3))=2+√3. لذلك، S=12 مثلث OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3)'

'72 (2) تم تحريكه موازياً لمحور س عن طريق 1، المحور هو الخط x=1، الرأس في النقطة (1،0)'

''

'تعبير كمية الشكل بطريقتين'

'عند تلخيص حل المثلثات، يجب أن يحتوي على ست عناصر لمثلث (3 أضلاع a ، b ، c و 3 زوايا A ، B ، C) ، لتحديد مثلث بشكل فريد ، من الضروري أن يحتوي على واحد على الأقل من العناصر الثلاثة التالية تحتوي على جانب واحد على الأقل كشرط: [1] جانب وزواياه المجاورة [2] زوج من الأضلاع والزاوية بينهما [3] ثلاثة أضلاع. استنادًا إلى هذه الشروط، عند تحديد العناصر الثلاثة الأخرى ، نشرح استخدام النظرية وفقًا للظروف الموجودة.'

'في مثلث ABC ، قم بإثبات صحة المعادلة التالية:\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'طول محاور زاوية مثلث (2)'

''

'هناك قطعة ورق بشكل مثلث متساوي الأضلاع بطول 10 سم. دع أطراف هذا المثلث المتساوي الأضلاع تُسمى ب A، B، C، ولتكن النقطة P على الضلع BC بحيث BP = 2 سم. عند طي ورقة هذا المثلث المتساوي الأضلاع بحيث يتطابق النقطة A مع النقطة P، وتكون تقاطع الطية مع الأضلاع AB، AC على التوالي هي D، E. في هذا الوقت، تكون AD = 2 سم مربع، AE = 1 سم مربع، ومنطقة المثلث ADE هي 3 سم مربع.'

'حل المثلث (2)'

'يمكن رسم خطين يمران عبر الأصل ويشكلان زاوية 15 درجة مع الخط y=x. ابحث عن معادلتي هذين الخطين.'

'في المثلث ABC ، وعندما تكون نقطة وسط الجانب BC M ، أثبت المعادلة AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (مبرهنة قانون المديان).'

'عند التحريك تناظريا حول الأصل، يصبح النقطة العلوية هي \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) وتكون قوس نصف دائري صغير نازل\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { يمكن أيضا أن يكون مقبولا }\\right)\\]\nتتبدل إحداثيات \ x \ و \ y \ بالعلامة، من مقوسة صعودا إلى مقوسة هبوطا.'

'ابحث عن معادلة القوس بعد تحريك القوس y = -2x^2 + 3 موازيًا للمحور x بمقدار -2 وموازيًا للمحور y بمقدار 1.'

'في المثلث القائم الزاوية ABC، مع BC=18 و CA=6، تؤخذ النقطة D على الوتر AB. تُرسم القائمتان DE و DF من D إلى BC و CA، على التوالي. ابحث عن طول القطعة DE والمنطقة عندما يتم تقليل مجموع مساحتي المثلثين ADF وDBE.'

'لنكن إحداثيات نقطة A القطبية (3،0). ابحث عن المعادلة القطبية لمسار نقاط P حيث يكون المسافة إلى القطب O مساوية للمسافة إلى الخط lالمار بنقطة A ومتعامد على الخط الأولي.'

'في المنشور الأساسي ABCD بطول الضلع 1 ، دعونا نأخذ منتصف الحواف AB و CD على التوالي كـ E و F ، ودعونا نرمز إلى مركز ثلاثية الزاوية BCD ب G.'

'أثبت أنه لنصف قطع تمر بالبؤر وتحمل الحبل AB موازٍ للمحور الأصغر، مربع طول المحور الأصغر يساوي حاصل ضرب طول المحور الكبير وطول الحبل AB، الذي يبلغ 120. تلميح: اعتبر معادلة النصف قطع كما x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).'

'على السطح الهندسي ، عندما يكون طول شريحة الخط AB 9 ونقاطها النهائية A و B تتحركان على التوالي على محور السينات والصادات ، العثور على مسار نقطة P التي تقسم شريحة الخط AB بالنسبة 1:2.'

'قم بإثبات أن نقاط وسط حواف AB، BC، CD، DA لرباعي ABCD هي P، Q، R، S على التوالي، وأن نقاط وسط القطرين AC وBD هي T وU. أثبت أن نقاط وسط القطع PR، QS، وTU جميعها متطابقة.'

'تحديد معادلة المستوى'

'أثبت أن في الهرم OABC، إذا كان مركز الثقل للمثلث ∆OAB هو G1 ومركز الثقل للمثلث ∆OBC هو G2، فإن G1G2 متوازي لـ AC.'

'التمرين 67 -> الكتيب ص 134 (1) دع معادلتين لسطحين ألفا وبيتا تكون (1) و (2) على التوالي. الطرح بين (1) و (2) يعطي'

'نطاق وجود النقاط على مستوى\nبالنسبة للمثلث OAB ، عندما تكون \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \ ، فإن نطاق وجود النقطة P هو\n(1) الخط AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\nبشكل خاص ، شريط الخط AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) محيط والداخلي للمثلث OAB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\n(3) محيط والداخلي للشكل المتوازي OACB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) النقطة F متناظرة بالنقطة C بالنسبة لشطر الخط OA، لذلك المثلث ADF ≡ المثلث ADC. لذلك، المثلث ADF = 1/6 المثلث OAB يعني أن المثلث ADC = 1/6 المثلث OAB. أيضًا، نظرًا لأن المثلث ADC = 1/3(1-α) المثلث OAB، وحل المعادلة لنجد أن α = 1/2، مما يتوافق مع 0 < α < 1.'

'اعثر على معادلة السطح الذي يمر من خلال النقاط الثلاثة التالية.'

'حل المشكلة الناجمة عن الفيكتور التالية: دع المساحات الخاصة بـ \ \\triangle \\mathrm{BPC}, \\triangle \\mathrm{CPA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \ تُمثل بـ S ، حيث تُمثل \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ المنطقة.'

'العثور على معادلة للهايبربولا مع خطوط اللامرنح كما y=√3x, y=-√3x ومسافة 4 بين البؤرتين.'

'مثال مهم 57 | معادلة المستوى\nالعثور على معادلة المستوى التي تمر عبر النقاط A(0,1,-1)، B(4,-1,-1)، C(3,2,1).'

'أثبت أن المبرهنة التالية تنطبق :\nالمبرهنة 1: التحويل الخطي الكسري يحول دائرة في السطح المركب إلى دائرة.'

'ننظر في العدد الصحيح الإيجابي 42k واثنين من المنحنيات المحددة على الفترة 2kπ≤x≤(2k+1)π: C₁: y=cos x و C₂: y=(1-x²)/(1+x²).'

'اعثر على معادلة المستقيم المماس في النقطة P، وحدد معادلات التقاطع وإحداثية تقاطعها، وقم بإثبات أن مساحة مثلث OQR لا تتأثر بخيار النقطة P.'

'ابحث عن المعادلة القطبية للخط ذو الإحداثيات القطبية (p، α) لقدم H للمتعامد المنخفض من القطب O إلى الخط.'

'من الشروط'

'مثال مهم 67 معادلات تقاطع الأسطح، بما في ذلك معادلة السطح. دع تقاطع الأسطح يكون ℓ بمعادلات (1) α: 3x-2y+6z-6=0 ⋯ ⋯ (1) β: 3x+4y-3z+12=0 ⋯ ⋯ (2). عبر عن معادلة التقاطع ℓ بالشكل x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n. (2) تحديد معادلة السطح γ التي تتضمن الخط ℓ وتمر عبر النقطة P(1,-9,2).'

'قم بإثبات النظرية التالية باستخدام السطح المركب. بالنسبة لمتسعة ABCD التي ترسم داخل دائرة ذات نصف قطر 100، المعادلة AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD تنطبق (مبرهنة بطلميوس).'

'التمرين (2) أثبت أنه عندما تمر خطان PQ و RS عبر واحدة من بؤر نصف المستوى F لمنحنى يتقاطعان بزوايا قائمة، ثم 1/PF*QF + 1/RF*SF ثابت.'

'هناك مرآة مقعرة بشكل نصف كرة. دع O يكون مركز الكرة ، و r هو نصف القطر ، و AB هو القطر. إذا كانت شعاع الضوء يشكل زاوية θ مع القطر AB بدءًا من النقطة A ويعكس عند نقطة P على المرآة ، متقاطعًا بالقطر AB في النقطة Q ، ثم ∠APO=∠OPQ. أثناء اقتراب النقطة P من النقطة B بشكل لانهائي ، إلى أين تقترب النقطة Q؟'

'أثبت أن بين الرباعيات المحاطة بدائرة ، الذي له أكبر مساحة هو مربع.'

'قم بدراسة كيفية التعبير عن النواتج الموجبة لخمس مراكز (مركز الثقل، مركز الدائرة الداخلية، مركز العموديات، مركز الدائرة المحيطية، ومركز الدائرة الخارجية) لمثلث بنقاط A(𝐚)، B(𝐛)، C(𝐜) باستخدام 𝐚، 𝐛، و𝐜.'

'موضوع مهم 40 | مقارنة مقادير الفيكتور'

'عند تحويل المعادلة،'

'حدد الشرط لكي تكون الشعاع AB عموديًا على الشعاع CD.'

'درس تمثيل المعلمات للنصف القطع الناقصة، عبّر عنها بـ x و y فقط من خلال إزالة t.'

'لنفترض أن المستطيل ABPC المنحصر بداخل دائرة يحقق الشروط التالية (أ)، (ب):\n(أ) المثلث ABC مثلث متساوي الأضلاع.\n(ب) تقسم تقاطع AP و BC قطع الخط BC إلى p:(1-p) [0<p<1].\nعبّر عن الرأس AP بالنسبة للمتجهات AB، AC، و p.'

'اشرح عن الرياضيين الذين استخدموا الأساليب اليونانية القديمة لحساب المساحات والأحجام.'

'المثال 57 المهم | معادلة السطح\nالعثور على معادلة السطح التي تمر عبر النقاط أ(0,1,-1)، ب(4,-1,-1)، وج(3,2,1).'

'ثبت أن السداسي مواجه بمنحنى مخروطي'

'عندما يتحرك النقطة z على طول الدائرة بنصف قطر 1 مركزها الأصل O، أي نوع من الرسوم يرسم النقطة w التي تمثلها w=(1-i) z-2 i؟'

'ابحث عن معادلة السطح التي تمر عبر النقاط الثلاث التالية:\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'بالنسبة إلى | x-π/2 | ، عندما تكون الجزء المحيط به هو المنطقة الرمادية في الرسم البياني الأيمن ومتماثلة بالنسبة إلى الخط x = π/2 ، ابحث عن الحجم V.'

'لتكن ABCD متوازي الأضلاع في السطح. إذا كانت القطرين AC وBD متعامدتين ، فأثبت ما يلي:\n(1) افترض $\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$ ، $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$ ، $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$ ، ثم $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$.\n(2) $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$.'

'لنكن ABCD متوازي الاضلاع مع قطرين خطيين AC و BD ، ودائرة بمركز O تحيط بالمتوازي الأضلاع ABCD. دعنا نعرف الفيكتورات OA ، OB ، OC ، OD بواسطة a ، b ، c ، d.'

'ثابت أنه إذا كانت شريط $PO$ و $QO$ الذي يمر عبر أطراف الحبل $PQ$ على القطعة المكافئية $y^{2}=4 p x(p>0)$ والأصل $O$ منتصبة، فإن الحبل $PQ$ يمر عبر نقطة ثابتة.'

'إذا كانت المنحنى $f(x, y)=0$ تُحقق $f(x,-y)=f(x, y)$ ، فإنها متماثلة حول محور السين ، وإذا $f(-x, y)=f(x, y)$ ، فهي متماثلة حول محور الصاد. \nلتكن إحداثيات نقطة Q على المنحنى $(x, y)$ ، واشتق العلاقة بين x و y.'

'الفصل 3 تأمل في الهندسة والمعادلات طريقة العثور على المماس لدائرة'

'نظرًا لوجود قطعة خط AB طولها 4. اعثر على موضع نقطة P أثناء تحركها والتي تفي بالمعادلة 2AP² - BP² = 17 مع النقاط A و B وتحركها بـ71.'

'بما أن طول القائمة المنزلقة من النقطة (1,1) إلى الخط ax - 2y - 1 = 0 هو √2 ، اعثر على قيمة الثابت a.'

'ابحث عن الزاوية الحادة θ التي تشكلها خطين x+3y-6=0 و x-2y+2=0.'

'تناظر الانعكاس، المسافة بين نقطة وخط'

'الممارسة (4) 127 بالنسبة للمستقيم y = a x+1-a^2/4. (1) ، عندما يتغير a عبر جميع القيم الحقيقية ، قم برسم المنطقة التي يمكن للمستقيم (1) المرور من خلالها.'

''

'على السطح xy، دع ثلاث نقاط متميزة P1(a1, b1) ، P2(a2, b2) ، P3(a3, b3) تُؤخَذ باستثناء الأصل. علاوة على ذلك ، لنعتبر ثلاثة خطوط l1: a1x+b1y=1 ، l2: a2x+b2y=1 ، l3: a3x+b3y=1. '

'لنفكر في كيفية إثبات نظرية الجمع وصيغ الزاوية المزدوجة باستخدام الأشكال الهندسية. على الرغم من أن نطاق α و β وθ محدود، إلا أنه من المثير للاهتمام رؤية المعنى الهندسي لنظرية الجمع.'

'رسم مجال حركة النقطة (x+y، x-y) عندما تتغير الأعداد الحقيقية x و y وتستوفي الشروط التالية: (1) -1 ≤ x ≤ 0، -1 ≤ y ≤ 1'

'بالنسبة للمثلث ABC ذو الرؤوس A(6،13)، B(1،2)، C(9،10): (1) ابحث عن معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة A ويقسم مساحة المثلث ABC إلى جزأين متساويين. (2) ابحث عن معادلة الخط التي تمر عبر نقطة P التي تقسم الضلع BC داخليًا بنسبة 1:3 وتقسم مساحة المثلث ABC إلى جزأين متساويين.'

'نحلل المعادلة 3x-4y+11=0 للحصول على y=5 عند استبدال x=3، ونحلل المعادلة 3x-4y+11=0 للحصول على x=-1 عند استبدال y=2. لذلك، إحداثيات فروض الزاوية في المثلث هي (-1,2),(3,2),(3,5). لنكن r نصف قطر الدائرة المطلوبة، ويكون إحداثيات المركز مُمثلة بصورة (3-r,r+2)، مع امتثال -1<3-r<3 و2<r+2<5، الذي يُحل ليكون 0<r<3. المسافة بين المستقيم 3x-4y+11=0 ومركز الدائرة تكون تساوي نصف قطر الدائرة، مما يعطي المعادلة |3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r. بحل ذلك، نحصل على |12-7r|=5r، ثم 12-7r=±5r، مما يؤدي إلى r=1. عندما يكون r=1، تكون إحداثيات المركز (2,3)، ومعادلة الدائرة هي (x-2)^2+(y-3)^2=1'

'العلاقة بين خطين'

'النظر في الحل لإيجاد معادلة دائرة المشكلة.'

'خذ النقطة A(-3,0) ونظرًا لنقطتين B و C التي تستوفي الشروط التالية لـ 0°<θ<120°.'

''

'العثور على معادلة الخط التالي.'

'أثبت أن المستقيمات الوسطى الثلاثة للمثلث ABC تتقاطع في نقطة واحدة. أظهر أنه في المثلث ABC، 2AB^2 < (2 + AC^2)(2 + BC^2) يتحقق.'

''

'(1) العثور على زاوية حادة \ \\theta \ تشكلها الخطين \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \. \n(2) الخط \ y=-x+1 \ يشكل زاوية \ \\frac{\\pi}{3} \ ويمر عبر النقطة \\( (1, \\sqrt{3}) \\). العثور على معادلة هذا الخط.'

''

'ابحث عن مسار النقاط التي يكون زاوية APB التي تمر من خلال النقاط A و B قيمة ثابتة α.'

'أثبت أن الأنظروية المنخفضة من كل من النقاط الثلاثة لمثلث ABC إلى الضلع المقابل أو تمديداته تتقاطع في نقطة واحدة (هذه النقطة المتقاطعة للأنظرويات الثلاثة تسمى مركز العظم للمثلث).'

None

''

'(1) أثبت أن المثلث ABC يتقاطع ثلاثة أضعاف في نقطة واحدة. (2) في المثلث ABC ، أثبت أن 2AB²<(2+AC²)(2+BC²) صحيح.'

'أثبت العدم المساواة التالية فيما يتعلق بقيمة الثابت الرياضي π. لا تستخدم π=3.14…… . [جامعة أويتا]'

'أثبت أن المنحنى C هو قطعاً زائداً عن طريق إيجاد معادلة المنحنى الناتجة عن تدوير C: x ^ 2 + 6xy + y ^ 2 = 4 حول الأصل بمقدار π/4.'

'من خلال العثور على معادلة المنحنى الناتج عن دوران المنشأ كمركز بواسطة π/4 ، أثبت أن المنحنى C هو الهيبربولا.'

'أثبت أنه في متوازي الأضلاع OABC، إذا كان مربع OA بالإضافة إلى مربع BC يساوي مربع OC بالإضافة إلى مربع BA، فإن OB عمودي على AC.'

'ثبت أنه في مثلث ABC، عندما تكون نقاط منتصف الضلع AB و AC هي D و E على التوالي، فإن BC متوازي ل DE و BC=2DE (نظرية منتصف الضلع).'

'ابحث عن معادلة المنحنى الذي يمر من خلال النقطة (1,1) حيث المماس في النقطة P على المنحنى المار من خلال (1,1) يتقاطع مع محور السينات ومحور الصادات في النقاط Q، R على التوالي، مع O كالأصل. بما أن المنحنى في الربع الأول ويستوفي دائمًا △ORP = 2△OPQ.'

'حول تناظر المنحنيات.'

'أثبت أن مجموع المسافات OA + OB من الأصل O إلى النقاط A ، B حيث تم رسم المماسات إلى النقطة P (ليست على محاور الإحداثيات) على المنحنى \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a} (a > 0) تقاطع محور السينات ومحور y على التوالي ، ثابتة.'

'أثبت أنه في الرباعي OABC ، إذا كان OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2 ، فإن OB عمودي على AC.'

'ابحث عن المسار الذي يتوافق مع الشرط التالي: المسافة من النقطة F تساوي المسافة من الخط l. هنا، F عند (c، 0)، وl هو محور الصفر (x=0).'

'ارسم حبلاً AB موازيًا للمحور الصغير يمر عبر بؤر القطع الناقص. أثبت أن مربع طول المحور الصغير يساوي حاصل ضرب طول المحور الأكبر والحبل AB.'

'أثبت أنه عندما تكون ثلاث نقاط متميزة A(α) ، B(β) ، C(γ) على دائرة وحدية ونقطة H(z) غير موجودة على الدائرة تحقق المعادلة z=α+β+γ، فإن H هو قائم الزاوية لل△ABC.'

'(1) أدع الانحناء C أن يمثله المعادلات المعلمية x=2(t+1/t+1) و y=t-1/t. اعثر على معادلة الانحناء C و رسم شكله العام. [جامعة تسوكوبا]'

'أثبت أن مجموع 1/FP و 1/FQ اللذان يمران عبر واحدة من التركيزات F للمنحنى الرباعي هو ثابت بغض النظر عن اتجاه الحبل.'

''

''

''

'ارسم حبلًا AB موازيًا للمحور الثانوي يمر عبر مراكز القطع الناقصة للقطعة. أثبت أن مربع طول المحور الثانوي يساوي حاصل ضرب طول المحور الرئيسي وطول الحبل AB والذي يبلغ 49.'

'＜نظرية بطليموس＞ لرباعي الأضلاع ABCD المتضمن داخل دائرة، تنطبق المعادلة التالية:\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'هل توجد ترجمة للنص إلى اللغات الأخرى؟'

'خذ نقطة Pn(xn, yn) (n=0،1،2، ...) على السطح الإحداثي ثنائي الأبعاد تحقق الشروط التالية (A)، (B). 90(A) (x0، y0) = (0،0)، (x1، y1) = (1،0) (B) بالنسبة لـ n ≥ 1، يكون طول الناقل PnPn+1 نصف طول الناقل Pn-1Pn ويشير في الاتجاه الناتج عن دوران Pn-1Pn عقارب الساعة بمقدار 90 درجة. في هذه الحالة، يكون الحد من xn وyn عند اقتراب n من اللامتناهي هو lim{n→∞}xn= A، lim{n→∞}yn= B. [جامعة ميجي]'

'لنكن نقطتين مُميزتين A(α) و B(β). عندما تكون قيم m > 0، و n > 0، و m ≠ n، فإن مجموعة جميع النقاط P(z) التي تحقق المعادلة n|z-α|=m|z-β| تتكون من النقاط التي تقسم القطعة المستقيمة AB داخليًا أو خارجيًا بنسبة m:n، حيث تكون هذه النقاط نهايتي القطر لدائرة (دائرة أبولونيوس). قم بإثبات هذا التصريح.'

'ابحث عن مسار النقطة $Q$ عندما تقاطع خطان ممسوسان مرسومان من نقطة خارجية $C_1$ عموديًا.'

'أثبت أن المثلث OAB برؤوس O(0)، A(1)، وB(i)، حيث الزاوية O هي زاوية قائمة، والمثلث PQR برؤوس P(α)، Q(β)، R(γ)، حيث الزاوية P هي زاوية قائمة، يرضي المعادلة 2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0.'

'لنكن a ثابتًا أكبر من 1. اعثر على مساحة S للمنطقة المحيطة بالمنحنى x^2-y^2=2 والخط x=\\sqrt{2} a من خلال النظر في دوران \\frac{\\pi}{4} مركزه الأصل.'

'في مثلث ABC ، دع M يكون منتصف الضلع BC. العلاقة التالية صحيحة.'

'ننظر إلى الخط $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ والمنحنى $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$، حيث $a$ و $b$ ثوابت إيجابية.'

'علاوة على ذلك ، يقع النقطة R على الدائرة بقطر PQ ، لذلك ∠PRQ = π/2'

''

''

"في قطع مستوي تكون قوته الرئيسية 2a ، مركزه O ، وقطره الثانوي BB' ، اسمح بأن P نقطة على القطعة بعيدًا عن B و B'. اجعل BP و B'P يتقاطعان مع القوة الرئيسية أو تمديدها في النقاط Q و R بالتتابع ، بحيث OQ・OR=a². أثبت هذا باستخدام الدوائر."

'ابحث عن معادلة السطح الذي يمر من خلال النقاط A(0,1,-1)، B(4,-1,-1)، و C(3,2,1).'

'ابحث عن معادلة السطح الذي يمر عبر الأصل O ومنتصف إلى محور z.'

'في السطح الذي يحمل المحاور x و y ، يُعتبر منحنى \ C \ الذي يعطى بالمعادلة القطبية \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \.'

'أثبت أن المماس في نقطة $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ على الهايبربولا $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ يقسم الزاوية $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$ التي تكونت من النقطة $\\mathrm{P}$ ونقطتي التركيز $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$. هنا، $x_{1}>0, y_{1}>0$.'

'(1) النقطة z هي المحور العمودي للشق الذي يربط بين النقاط 1 و i. (2) النقطة z هي دائرة بمركز في النقطة 1-i ونصف قطر 2.'

'استخدام السطح المعقد، قم بإثبات المبرهنة التالية. بالنسبة لرباعي ABCD يتم تضمينه في دائرة بنصف قطر 100 وحدة، العبارة AB·CD+AD·BC=AC·BD تنطبق (مبرهنة بتولمي).'

'ابحث عن معادلة السطح العاملي الذي يمر عبر النقطة C(0,3,-2) ومتعامد على محور ال z.'

'مثال 46 | شرط مشترك محدد قيمة x بحيث تكون النقاط الأربعة التالية مشتركة في نفس السطح: A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [مشابه لجامعة كيو] الشرط لنقطة P أن تكون على سطح ABC لثلاث نقاط غير مستقيمة A, B, C هو أن تكون إحدى الشروط التالية صحيحة: في حالة الأصل O، [1] يوجد أعداد حقيقية s, t بحيث \\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] يوجد أعداد حقيقية s, t, u بحيث \\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ يتمثل [1] أو [2] بالمكونات، وتقليصه إلى مشكلة معادلة.'

'لنكن \ \\mathrm{O} \ هو الأصل. يوجد نقطة ثابتة على محور الـ \ x \ تسمى \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\). الآن، لنأخذ نقطة متحركة \ \\mathrm{P} \ على السطح بحيث تكون \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) . ابحث عن (1) المعادلة التي تمثل مسار نقطة \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) باستخدام \ x, y \. (2) حدد القيمة القصوى لـ \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ والقيمة المقابلة لزاوية \ \\angle \\mathrm{POA} \. [معهد تكنولوجيا سايتاما]'

''

''

'اثبت أن المستطيل الذي يتوافق مع الدائرة مع أكبر مساحة هو المربع.'

'ثبت أنه عندما تكون ثلاث نقاط متمايزة A(α)، B(β) و C(γ) على الدائرة الوحدية ونقطة H(z) التي ليست على الدائرة تفي بالمعادلة z=α+β+γ، إذن H هو مركز قائم △ABC.'

'أثبت مركز الثلاثي\nبالنظر إلى ثلاث نقاط مختلفة A(α), B(β), C(γ) على الدائرة الوحدية ونقطة H(z) التي ليست على الدائرة، عندما تكون المعادلة z = α + β + γ صحيحة، فأثبت أن H هو مركز ثلاثي ABC.'

'العثور على معادلة المنحنى الناتج عن نقل الهايبربولا $x^{2}-2 y^{2}=-4$ تناظريا حول النقطة (-3,1).'

'خذ نقطة O على الشق AB (مع استثناء الطرفين) ، وقم ببناء المربعات AOCD و OBEF بأضلاع AO، OB على نفس الجانب من الشق AB. أثبت أن AF⊥BC باستخدام السطح العددي المركب.'

'ثبت أن مساحة المثلث $\\triangle \\mathrm{OQR}$ الذي تم تشكيله بواسطة نقط تقاطع $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ للمستقيم الملامس للنقطة $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ على الهايبربولا $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ والمستقيم المستقيم، بالأصل كـ $\\mathrm{O},$ غير معتمدة على اختيار نقطة $\\mathrm{P}.$'

'معادلة السطح\n(1) معادلة سطح تمر من خلال نقطة \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) وعمودية على الاتجاه غير الصفر \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\) هي \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) الشكل العام هو \ a x+b y+c z+d=0 \ حيث \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)'

'(2) ابحث عن معادلة الزوايا للهايبربولا بمعادلات التقاطع من الخطين $y = \\frac {\\sqrt {7}} {3} x، y = -\\frac {\\sqrt {7}} {3} x$ وبالتركيز على النقطتين $(0،4)، (0،-4)$.'

'بالنسبة للعدد الموجب a ، يُعتبر الخط المماس للقوس y=x^{2} في النقطة A(a، a^{2}) ، والذي يتم الحصول عليه من خلال دوران النقطة A بـ -30 درجة. لنعتبر الخط المسمى l هو هذا الخط المدور. لتكون B نقطة تقاطع الخط l والقوس y=x^{2} التي ليست A. علاوة على ذلك ، لنعتبر C(a، 0) و O هو الأصل. ابحث عن معادلة الخط l. كما ، لتكون S(a) المنطقة المحاطة بواسطة قطع الخط OC و CA والقوس y=x^{2} ، ولتكون T(a) المنطقة المحاطة بواسطة قطعة الخط AB والقوس y=x^{2}. ابحث عن c=lim_{a→∞} (T(a)/S(a)).'

''

'مثال مهم 139 استخدام الإحداثيات القطبية'

'كيفية العثور على النقطة الموضعية للنقطة S'

'تعلم كيفية إثبات تطابق النقاط.'

'بناءً على متوازي الأضلاع ABCD مع القطرين AC و BD ، ودائرة مع وسط O تحيط بالمتوازي الرباعي ABCD. دع الأسهم OA و OB و OC و OD تُمثلهم a و b و c و d على التوالي.\n(1) إذا كانت قيم كل من الأسهم a+b+c و a+b+d متساوية ، فقم بإثبات أن الأضلاع AB و CD متوازية أو أن النقطة O تقع على الضلع AB.\n(2) إذا كانت أوساط المثلثات ABC و BCD و CDA و DAB على بُعد متساوٍ من النقطة O ، فقم بإثبات أن المتوازي الرباعي ABCD هو مستطيل.'

'فكر في دائرة بمركز O. على محيط هذه الدائرة، هناك 3 نقاط A، B، C بحيث OA+OB+OC=0. المهمة هي إثبات أن المثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع. دع نصف قطر الدائرة يكون r (r>0)، إذًا |OA|=|OB|=|OC|=r. من OA+OB+OC=0، لدينا OA+OB=-OC. لذلك، |OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}، والتي تبسط إلى |OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2}. وبالتالي، r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2}، مما يؤدي إلى OA·OB=-r^{2}/2. في هذه الحالة، |AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}. نظرًا لأن |AB|>0، فإن |AB|=sqrt{3}r. بالمثل، |BC|=|CA|=sqrt{3}r. لذلك، AB=BC=CA. وبالتالي، المثلث ABC هو مثلث متساوي الأضلاع.'

'عبّر عن المعادلات التالية في شكل قطبي: (1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4y=0 (3) x²-y²=-4'

'تطبيق مبرهنة سيفا'

'في سداسي الأضلاع النظامي ABCDEF، دع M يكون نقطة منتصف الضلع DE. افترض أن O هو نقطة تقاطع القطرين AD، BE، وCF. تنطبق العلاقات الناشئة عن الفيكتور التالية:'

'المسافة بين نقطة A(x₁, y₁) والخط ax + by + c = 0 هي |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²). الناقص المتعامد على الخط ax + by + c = 0 هو 𝑛 = (a, b). الصفحة 343 المفاهيم الأساسية 1.'

'تحديد الشروط لإثبات AB ⊥ CD.'

'معادلات السطح، معادلات الخط'

'إحداثيات قطبية ومسارات'

'ابحث عن معادلة المنحنى المستخلصة من توسيع الدائرة الأصلية بمعامل 5/2 في اتجاه x بالنسبة لمحور y.'

'أثبت أن منتصف النقاط للجزء AB, BC, CD, DA من متوازي الأضلاع ABCD والتي ترمز إليها P, Q, R, S على التوالي، ومنتصف القطرين AC, BD والذي ترمز إليه T, U تتقاطع للخطوط PR, QS, TU.'

'أثبت أن 1/PF*QF + 1/RF*SF ثابت عندما تمر سلسلتان PQ و RS عبر أحد نقاط التركيز F لمنحنى عند زوايا قائمة.'

'ابحث عن معادلة المنحنى الناتج عن توسيع الدائرة x^2+y^2=4 بمعامل 5/2 على طول المحور x مع محور y كمرجع.'

'بواسطة نظرية الحبل'

'ثبت الخصائص الهندسية التالية:\n1) ثبت أن الزوايا الرأسية متطابقة.\n2) عندما تتقاطع الخطوط $\\ell$ و $m$ مع الخط $n$ ، إذا كان $\\ell \\parallel m$ ، فإن الزوايا المتناظرة والزوايا البديلة الداخلية متطابقة.\n3) بالنسبة إلى الخطوط $\\ell$ و $m$ ، إذا كان زوج من الزوايا المتناظرة أو الزوايا البديلة الداخلية متطابقان ، فثبت أن $\\ell \\parallel m$.'

'مثال 47 | الوسط الهندسي لمثلث'

'عندما تُؤْخَذ على الحافة x، يمكن تمثيل إحداثيات كل رأس كـ A(a, b)، B(-c, 0)، C(c, 0) .\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nلذلك \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

''

'في الرسم التخطيطي على اليمين، تتم تقسيم مربع إلى 5 مناطق عن طريق ربط نقاط منتصف كل جانب، مما يؤدي إلى وجود 14 منطقة أصغر. عندما يتم تلوين المناطق المجاورة بألوان مختلفة، كم عدد الطرق المختلفة للتلوين في السيناريوهات التالية؟ يُفترض أن تُعتبر خطط التلوين التي تكون متطابقة بعد الدوران هي نفس الخطط. (1) اختيار 2 ألوان من بين 4 ألوان مختلفة للتلوين. (2) اختيار 3 ألوان من بين 4 ألوان مختلفة واستخدام كل من الألوان الثلاثة للتلوين.'

''

'التمرين 43: من الصفحة 339 من هذا الكتاب، بخصوص المنطقة، حيث أن △ABP=¼△ABC، يلي من ذلك BP:BC=1:3. لذلك، BP:PC=1:2. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن AB:AC=1:2 من الشروط. بالتالي، فإن AP هو محاول الزاوية ∠BAC. وبالتالي، ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°.'

'أثبت أنه إذا كان تقاطع خطي الإسناد لزاويتي رأسي الشكل الرباعي ABCD على القطر BD، فإن تقاطع خطي الإسناد لزاويتي رأسي الشكل ∠B و ∠D على القطر AC.'

'مثال 48 علاقة الأربعة مراكز في مثلث حاد الزوايا ABC، يكون مركز الخارجية O، ومركز العمود H، ومركز التثقيف G. (1) لتكون OM وON هما الإناث المنصوبات من O إلى الجانبين AB وBC، على التوالي. لنكن L منتصف الجزء الوسيط من الجزء BH. أثبت ما يلي: (أ) المربع MLNO هو متوازي أضلاع. (ب) AH = 2ON (2) إذا كانت △ABC ليس مثلثا متساوي الأضلاع، فأثبت أن النقاط G و O و H هي مستقيمة، وبأن G يقسم القطعة OH داخليًا بنسبة 1:2.'

'ما هي العلاقات الممكنة بين خط ℓ ومستوى α؟'

"أثبت أنه في الشكل على اليمين ، باعتبار النقطة P نقطة تماس ، نقاط تقاطع الدائرتين O و O' مع المماس الخارجي المشترك هي C و D. دع A و B تكون نقاط تقاطع الخط الذي يمر عبر النقطة P مع الدائرتين O و O' بخلاف P ، بحيث AC ⊥ BD."

'تمرين 19 ⇒ هذا الكتاب ص 282 دع جانب واحد من مكعب يُعرف كمربع ، انتقل مربعًا إلى اليمين والوراء وأعلى يُمثل كل منها بالترتيب بواسطة →، ↗، ↑. (1) كما هو موضح في الشكل الأيمن ، نفترض أن هناك مسارًا في الزاوية العلوية اليسرى ، فإن المسار من ألفا إلى بيتا هو ترتيب لـ → 3 و ↗ 2 ، لذلك هو 5!/(3!2!)=10. من بين هذه ، المسار الذي يمر عبر الإشارة × في الشكل هو 1 ، لذلك عدد المسارات المطلوبة هو 10-1=9 (طرق). (2) كن حذرًا من عدم حساب حالات مرور نقطة C ونقطة D مرتين. (الإجمالي)-(تمرير نقطة C أو نقطة D) يمكن حلها بنفس الطريقة (1) و (2). اعتبر المسارات إلى بيتا عبر الجزء القطري للشكل 2. يمكن خلق مسار افتراضي أو استخدام أساليب أخرى مثل حلا بديل.'

'استخدام مضلع متساوي الأضلاع مكتوب داخل دائرة نصف قطرها 36'

'يحدث الحد الأدنى لـ AC+BC عندما تكون النقاط A و B و C متزامنة في الرسم البياني المطوي لمكعب ثماني الأوجه العادي الموضح في الرسم الأيمن [3]. في هذه الحالة، ∠ACB يساوي ∠PRQ في الشكل [2]. لذلك، في مثلث PQR، وفقًا لنظرية الجيب'

'تمرين: أثبت البيان التالي.'

''

'قوة نقطة العمود'

'في مثلث ABC ، دع تقاطع خط القسم المنصف للزاوية ∠B مع الضلع AC يكون باسم D ، ودع تقاطع خط القسم المنصف للزاوية ∠C مع الضلع AB يكون باسم E.'

'منطقة متسعة مربعة داخل دائرة\nعند البحث عن منطقة متسعة لشكل متسع مربع في دائرة، يوجد صيغة مشابهة لصيغة هيرون. لننظر في هذه الصيغة بناءً على السؤال الأخير في الامتحان.\nليكن الشكل الرباعي ABCD متسعاً في دائرة. نعتبر أطوال الأضلاع DA، AB، BC، وCD على التوالي با، ب، ج، د، ولنفترض أن ∠DAB=θ. كما لنكن T المساحة للشكل الرباعي ABCD.\n(1) أثبت أن a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ.\n(2) أثبت أن T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]. حيث s=(a+b+c+d)/2.\n[جامعة ياماغوتشي]'

'[2] عندما تكون $AP = PQ$، إذا اعتبرنا تحريك النقطة $P$ باتجاه عقارب الساعة من النقطة $A$، هناك 5 طرق لاختيار النقطة $P$ بحيث $AP = PQ$.'

'النظرية المتوسطة 98'

'في △ABC، إذا كان نقطة وسط الضلع BC هي M، فإن المعادلة التالية تنطبق: \n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (مبرهنة الوسيط)'

'من مبرهنة تقاطع الوتيرة و BC=BD، لدينا ∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°. أيضًا، ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°، ∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°. لذلك، θ=180°-(44°+47°)=89°.'

'بعد أن تعطي خطين متوازيين ℓ و m، وخط n الذي يتقاطع معهما، ونقطتين A و B. دع نقطة C تكون على الخط ℓ ونقطة D تكون على الخط m، بحيث يكون CD موازيًا ل n ويكون AC عموديًا على BD. قم برسم النقطتين C و D.'

'لفهم العلاقة بين مجموعات الأشقاء بشكل بديهي ، من الأفضل رسم رسم بياني. دع المجموعة الشاملة تكون U ، وتكون مجموعات الأخوة والأخوات والأشقاء الأصغر سناً والأخوات الصغيرات هي P و Q و R و S على التوالي.'

'مثال 49 منبثق من نظرية منيلاوس ومساحة المثلث'

'بالنسبة لمثلث ABC ، ينطبق ما يلي:'

'نظرية مينيلوس'

'(3) أثبت مطابقة مثلث DAE ومثلث CAB.'

'(3) دعوا تقاطع خط AH مع الضلع BC يكون D، وتقاطع خط CH مع الضلع AB يكون E، ثم'

'في مثلث ABC ، دع D يكون نقطة تقاطع مقسم زاوية A مع الضلع BC ، ولتكون E و F نقاط تقاطع المقسمين الزاويتين ADB و ADC مع الأضلاع AB و AC على التوالي. قم بإثبات ما يلي: (1) مثلث BEF: مثلث AEF = BD: AD (2) مثلث BEF: مثلث CEF = AB: AC'

'مثال مهم 57 | مبرهنة سمبسون'

'برهان باستخدام مبرهنة القطع'

'وفقًا لمبرهنة الوتر، فإن الزاوية التي يُشكلها الوتر AB للدائرة O والمماس AT في نقطة A هي زاوية BAT، وتكون متساوية لزاوية ACB على قوس AB في دائرة الزاوية الدائرية.'

'برهان المثال المهم 101 مساواة الأضلاع والزوايا\nفي مثلث ABC ، قم بإثبات أن المعادلة التالية صحيحة:\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\nأمثلة 62 و 63\nكما هو مذكور في التوجيه D.172 والمثال 55 ، يمكن استخدام الأساليب التالية لإثبات المعادلة P=Q:\n[1] تحويل P أو Q لاستنتاج الآخر.\n[2] تحويل كلاً من P و Q لاستنتاج نفس التعبير.\n[3] تحويل P-Q لإظهار أنه يساوي 0.\nالاختيار بين الأساليب يعتمد على المشكلة المعطاة ، ولكن هنا نقترح الطريقة [3]. لذا ، من أجل تبسيط P-Q ، نفكر في تقليل الشخصيات ، مما يتضمن\nالقضاء على الزوايا وتحويل المشكلة إلى تلك التي تتضمن فقط الأضلاع\nلهذا ، يمكننا استخدام الصيغ مثل \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \.'

'ما يلي (1)، (2)، (3) معروفة باسم الألغاز الهندسية الثلاث الكبيرة في اليونان. (1) مشكلة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية: تقسيم زاوية معطاة إلى ثلاثة أجزاء متساوية (2) مشكلة تضاعف المكعب: بناء مكعب بحجم ضعف مكعب المعطى (3) مشكلة تربيع الدائرة: بناء مربع بنفس المساحة التي للدائرة المعطاة.'

'الفصل 3 الخصائص الهندسية الأسئلة التحقق'

''

''

'ثبت أن الخط الذي يصل نقطة التقاطع O للخطين BE و CD يمر عبر نصف الضلع BC في المثلث ABC، حيث يكون الخط BC موازياً للخط AB و AC تتقاطع في النقاط D و E.'

'مبرهنة الوتر العمودي'

'ثبت أنه عندما يكون متوازي الاضلاع ABCD متحجرا في دائرة، يوجد نقطة E على القطر BD بحيث ∠BAE=∠CAD.'

'ممارسة (1) قم بإثبات أنه عند اتخاذ نقطة عشوائية O داخل ΔABC، وأن خطوط تقسيم الزوايا لـ ∠BOC، ∠COA، ∠AOB تتقاطع مع الأضلاع BC، CA، AB في النقاط P، Q، R على التوالي، فإن AP، BQ، CR تقترب من نقطة واحدة.\n(2) دع D يكون نقطة التقاط عندما يُمدي مقسم الزاوية الخارجية لـ ∠A في ΔABC الجانب BC. دع E، F يكونا التقاطتي مقسمات الزوايا لـ ∠B، ∠C مع الأضلاع AC، AB على التوالي. أظهر أن النقاط الثلاث D، E، F متجاورة.'

'أثبت أن الخط l مستقيم عمودي على السطح OAB عندما يكون الخط OA عموديًا على المستوى ألفا ويكون الخط l على المستوى ألفا.'

'ولذلك، بموجب نظرية قوة نقطة، AB²=AD×AE'

'ابحث عن إحداثيات النقطة المتناظرة لـ (2، 3) بالنسبة للخط x = 1 والمعادلة الجديدة.'

'يرجى شرح كيفية رسم 6 شرائط خط بين خطوط متوازية.'

'يرجى شرح رسوم الفان لـ 4 مجموعات من التمارين في الفصل 2 حول المجموعات والاقوال.'

'برهان: إذا كانت الخط l مُعمدة على الخطين m و n المتقاطعين على السطح α ، فإن الخط l مُعمد على السطح α.'

'برهان نسبة مثنى الزاوية 42 والقطعة'

'في الرباعي ABCD ، دع P يكون نقطة تقاطع AC و BD. بمرور الزمن : ∠APB=∠CPD=90° و AB//DC. أثبت أن دوائر △PAB و △PCD المحيطة تلامس بعضها البعض.'

'مثال 53 | أقصر مسار للخط المكسور\nنقطة P داخل الزاوية الحادة ∠XOY. يتم أخذ النقاط Q و R على الشعاعين OX و OY (مع استثناء O) على التوالي. كيفية تحديد موضع Q و R لتقليل PQ+QR+RP؟'

'يرجى حل المشكلات التالية:\n(1) باستخدام قاعدة الجيب، اعثر على طول BD.\n القيم المعطاة: BC = 4، CD = 3√2، ∠BCD = 45°\n\n(2) اعثر على مساحة الرباعي ABCD. بشرط أن الرباعي ABCD مرسوم داخل دائرة و ∠BAD = 135°.'

'مراكز المثلث الخمسة وعكس مبرهنة سيفا'

'بواسطة الترجمة، سيتم نقل هذه النقطة إلى النقطة (2+2، -4-1) والتي هي النقطة (4، -5)، لذلك المعادلة المطلوبة للقوس تكون y=(x-4)^2-5 أو y=x^2-8x+11.'

'في مثلث ABC، دع D يكون نقطة تقاطع محور زاوية B وجانب AC، ودع E تكون نقطة تقاطع محور زاوية C وجانب AB. أثبت أنه إذا كان زاوية B أقل من زاوية C ، فإن BD > CE.'

'لذلك، يتقاطع قطران AF، DE للشكل الرباعي ADFE بشكلٍ عمودي ويقطع كل منهما الآخر إلى جزئين. وبالتالي، يعتبر الشكل الرباعي ADFE هو معين.'

'أثبت ما يلي.'

'زاوية المحيط، مربع نصفه في دائرة'

'في الشكل 1 ، كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن الذهاب بها من النقطة أ إلى النقطة ب عبر المسار الأقصر دون المرور عبر النقطة ج أو النقطة د؟'

'ثبت أن خطًا مربعًا على إحدى خطين موازيين يكون مربعًا أيضًا على الآخر.'

'مثال 41 الترجمة والحركة المتناظرة\nنقل القطع الناقص بالتماثل حول الأصل، ثم حركة متوازية -2 في اتجاه المحور x، و 3 في اتجاه المحور y، سينتقل القطع الناقص إلى y=3x^2-6x+5. ابحث عن معادلة القطعة الناقصة الأصلية.'

قوانين دي مورغان بالنسبة للمجموعات الجزئية A و B للمجموعة الشاملة U \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \quad (قوانين دي مورغان)تنطبق. تحقق من ذلك باستخدام الرسم.

أوجد المعادلات القطبية للخطوط التالية: (1) الخط الذي يمر بالنقطة A(3/2, 0) على الخط الأولي OX والعمودي على الخط الأولي. (2) الخط الذي يمر بالقطب O ويشكل زاوية -π/4 مع الخط الأولي.

المسار والقطع الناقص

لدى ثلاث نقاط مختلفة على دائرة الوحدة \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta), \mathrm{C}(\gamma) \) ونقطة \( \mathrm{H}(z) \) خارج هذه الدائرة، أثبت أن $\mathrm{H}$ هو مركز الارتفاع لمثلث $riangle \mathrm{ABC}$ عندما تكون المعادلة z=lpha+eta+\gamma صحيحة.

تعلمنا عن معادلات المتجهات في المستوى في الصفحات 55 و 56. هنا، دعونا نناقش معادلات المستويات ومعادلات المتجهات في الفضاء. 1 معادلة المستوي كما ذكر في المرجع في الصفحة 78، فإن المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط غير واقعة على نفس الخط المستقيم يتحدد بشكل فريد. يمكن تحديد ذلك أيضًا باستخدام نقطة A ومتجه غير صفري n. هناك العديد من الخطوط التي تمر عبر النقطة A وتكون متعامدة على المتجه n. هذه الخطوط تشكل المستوى. لنشتق معادلة المستوي. دعونا نأخذ النقطة P(x, y, z) على المستوى الذي يمر عبر النقطة A(x1, y1, z1) وتكون متعامدة على المتجه غير الصفري n(a, b, c). (1) عندما لا تتطابق A و P، من n⊥AP نحصل على n·AP=0. حيث أن AP=(x-x1, y-y1, z-z1)، نحصل على n·AP=0 a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 (* عندما تتطابق A و P، من AP=0 نحصل على n·AP=0، لذلك (*) صحيح. (*) هي معادلة المستوي التي تمر عبر النقطة A وتكون متعامدة على المتجه n. المتجه n يسمى المتجه العمودي على المستوي. (2) إعادة ترتيب (*) من (1) a*x+b*y+c*z - a*x1 - b*y1 - c*z1 = 0 دع -a*x1 - b*y1 - c*z1 = d a*x+b*y+c*z+d=0 \longleftarrow -a*x1 - b*y1 - c*z1 هو ثابت. هذا أحيانًا يسمى الشكل العام لمعادلة المستوي.

[إثبات المتجه الوضعي لنقطة التقسيم الخارجي] فلنفترض الحالة التي تكون فيها $m > n$. الحالة التي يكون فيها $m < n$ مماثلة. لنجعل النقطة \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) تقسم القطعة $\mathrm{AB}$ خارجيًا بنسبة $m$. حيث أن \( \mathrm{AP}: \mathrm{AB} = m:(m-n) \) لدينا $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$. ومن ثم \( \vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m-n} (\vec{b} - \vec{a}) \). يتم الحصول على صيغة نقطة التقسيم الخارجي عن طريق استبدال $n$ بـ $-n$ في صيغة نقطة التقسيم الداخلي.

في المستوى xy، عند نقل القطع الناقص x²/4 + y² = 1 بمقدار 1 وحدة في الاتجاه x وبمقدار a وحدات في الاتجاه y، وعندما يمر القطع الناقص الناتج عبر الأصل، يكون a=.

أوجد الزاوية الحادة المتكونة بين الخطين x-√3y+3=0 و √3x+3y+1=0.

من أي نقطة P على القطع الزائد، ارسم خطوطًا عمودية PQ و PR على خطي التقارب. أثبت أن حاصل ضرب أطوال هذه القطاعات PQ · PR ثابت.

ضع نقطة P على قطعة الخط BF ، مع إعطاء إحداثياتها y بالمقدار a. ليكن H هو تقاطع العمودي المسقط من P إلى الخط CE، والعمودي المسقط من النقطة C إلى الخط EP. عبر عن المتجه EP باستخدام a ، وأيضًا عبر عن إحداثيات النقطة H باستخدام a.

التمثيل البارامتري لمنحنى الدرجة الثانية (1)

الفصل الرابع الأشكال والمنحنيات- 99 (2) الخط المماس المار بالنقطة \( (2,1) \) ليس عموديًا على محور $x$، لذا فإن معادلته هي \( \quad y=m(x-2)+1 \)، أي $y=m x-2 m+1$. لذلك، في معادلة الخط في (1)، عندما يكون $n=-2 m+1$ \[m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0\] أي $3 m^{2}-4 m-3=0$. إذا كانت هاتين الحلولتين للمسألة التربيعية هما lpha, eta ، فإن lpha, eta يمثلان ميول الخطين المماسيين. وفقًا للعلاقة بين الجذور والمعاملات \quad lpha eta=rac{-3}{3}=-1 . لذا، فإن الخطين المماسيين متعامدين. يمكن استخدام نتيجة (1). الخطان متعامدان $\Longleftrightarrow$ حاصل ضرب ميولهما -1.

الفصل 1 المتجهات في المستوى (3) النقاط C، E، F متناظرة مع النقطة B بالنسبة لمحور y والأصل ومحور x على التوالي، لذا فإن إحداثيات النقاط C، E، F هي \[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \] بالإضافة إلى ذلك، إحداثيات النقطة \mathrm{P} هي \( (1, a) \) لذلك $\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ \[ egin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \] بعد ذلك، بما أن النقطة \mathrm{H} تقع على العمود المنزّل من النقطة \mathrm{P} إلى الخط \mathrm{CE}، فإننا نقول \mathrm{H}(x, a). في هذه الحالة، \( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \) \[ (x+1, a-\sqrt{3}) \] بما أن $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EP}}$ فإن $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$ وهكذا، فإن \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \) $2 x+a^{2}-1$ لذلك $2 x+a^{2}-1=0$ وبالتالي x=rac{1-a^{2}}{2} لذلك، فإن إحداثيات النقطة \mathrm{H} هي \( \left(rac{1-a^{2}}{2}, a ight) \)

أوجد معادلة القطع الزائد التي تلبي الشروط التالية: (1) البؤرتان في النقطتين (3√2, 0) و(-3√2, 0) والفارق في المسافات من البؤرتين هو 6، (2) البؤرتان في النقطتين (0, √26) و(0, -√26) والفارق في المسافات من البؤرتين هو 6√2

وبالتالي، إذا كانت النقطة D هي النقطة التي تقسم الضلع BC بنسبة 5:3، فإن النقطة P تقع على القطعة AD في الموضع الذي يقسمها بنسبة 4:1. (2) ΔPBC = (1/5)ΔABC = (2/10)ΔABC \[ egin{array}{l} ΔPCA = (4/5)ΔADC = (4/5) × (3/8)ΔABC = (3/10)ΔABC \\ ΔPAB = (4/5)ΔABD = (4/5) × (5/8)ΔABC = (5/10)ΔABC وبالتالي، ΔPBC:ΔPCA:ΔPAB = 2:3:5 \end{array} \]

بشكل عام، إثبات المسافة $d$ من النقطة \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) إلى الخط $\ell: a x + b y + c = 0$ باستخدام المتجهات.

في المستوى الديكارتي، عندما يتحرك طرفا القطعة المستقيمة AB التي طولها 6 على المحور y ومحور x على التوالي، أوجد المسار الذي يتخذه النقطة P التي تقسم القطعة المستقيمة AB نسبة 3:1 خارجيًا.

ما هي معادلة الخط المماس عند النقطة \( \left(3, rac{16}{5} ight) \) على القطع الناقص $C^{\prime}$؟

دع الوتر AB يمر من بؤرة القطع الناقص ويكون متوازيًا مع المحور الأصغر. أثبت أن مربع طول المحور الأصغر يساوي حاصل ضرب طول المحور الأكبر وطول الوتر AB.

في رباعي السطوح OABC، دع L و M يكونان نقطتا منتصف الحواف OA و OC على التوالي. دع P و Q يكونان النقطتين اللتين تقسمان القطعة المستقيمة ML والحافة AB بنسبة داخلية 2:1 على التوالي. دع N يكون النقطة التي تقسم الحافة OB بنسبة خارجية 2:1، ودع R يكون نقطة التقاطع بين الخط BC والخط MN. (1) عبّر عن OR بدلالة المتجهات \vec{a}, \vec{b}, و \vec{c} عندما \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}. (2) أثبت أن الرباعي PQRM هو متوازي الأضلاع.

دع $\mathrm{M}$ نقطة منتصف القطعة المستقيمة $\mathrm{BD}$ ودع $\mathrm{N}$ نقطة تقاطع المستقيم $\mathrm{AM}$ والمستقيم $\mathrm{CD}$. استعمل التعبيرين لـ $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ باستخدام الأعداد الحقيقية $r$ و $s$، وهما $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r \overrightarrow{\mathrm{AM}}$ و $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DC}}$، لإيجاد $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$.

TRAINING 29 (3) مثلث غير قائم الزاوية $\mathrm{ABC}$ مع مركز دائرة $\mathrm{O}$. دع النقطة $\mathrm{H}$ تكون النقطة التي تفي بالعلاقة $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$. بيّن أن $\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}$.

في الإحداثيات القطبية بوجود O كقطب، أوجد المعادلات القطبية للخطوط التالية. (1) الخط الذي يمر عبر النقطة A(2,0) في الخط الرئيسي OX وهو عمودي على الخط الرئيسي. (2) الخط الذي يمر عبر القطب O ويشكل زاوية قدرها π/3 مع الخط الرئيسي. دليل: عندما يتم التعبير عن منحنى في المستوى بواسطة الإحداثيات القطبية (r, θ) بالمعادلة r=f(θ) أو F(r, θ)=0، فإن هذه المعادلة هي المعادلة القطبية للمنحنى. 1. ليكن الإحداثيات القطبية للنقطة P على الشكل هي (r, θ). 2. عبر عن الشروط التي تلبيها النقطة P للشكل في صورة معادلة. (1) ركز على المثلث القائم OAP.

عندما يتحرك النقطة $z$ على دائرة مركزها $i$ ونصف قطرها 2، ما نوع الشكل الذي سيمثله النقطة w=rac{z-i}{z+i} ؟ علمًا بأن $z eq-i$.

116 (1) (أ) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (ب) r=2 sin θ (2) (أ) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4