الوظائف الأساسية - الدوال الكسرية والمعادلات

'قم بممارسة رسم المنطقة الممثلة بالتباين التالي.'

'ابحث عن القيمة الدنيا لـ x+\\frac{9}{x} عندما x>0.'

'من خلال تغيير مواقع مصادر الصوت، قمنا بقياس الفرق في الوقت الذي تم فيه سماع الصوت في A و B، واكتشفنا أن هناك حد أقصى في تلك اللحظة.'

'قم برسم الرسوم البيانية للدوال (1) $y=\\frac{1}{2x}$، (2) $y=\\frac{3}{x}-1$، و (3) $y=\\frac{-2}{x-1}$.'

'تحديد معاملات الدالة من القيم القصوى والدنيا (2)'

'الأساسي 1: رسم دالة كسرية ، خطوط التقارب والنطاق'

'لنكن C1 الانحناء المتماثل مع الخط y=x للانحناء y=2/(x+1)، ولتكن C2 الانحناء المتماثل مع الخط y=-1 للانحناء y=2/(x+1). اعثر على جميع إحداثيات نقاط التقاطع بين الجذع المائل للانحناء C2 والانحناء C1.'

'من خلال دراسة وجود الحلول الحقيقية للمعادلة $f(x)=g(x)$،\nوفحص تغييرات قيمة الدالة $F(x)=f(x)-g(x)$، يُستخدم نظرية القيمة المتوسطة.\n(1) إذا كانت $F(x)$ مستمرة على الفترة المغلقة $[a, b]$، و$F(a)F(b)<0$ [إشارتا $F(a)$ و $F(b)$ معاكسة]، فإنه يوجد على الأقل حلاً حقيقيًا واحدًا للمعادلة $F(x)=0$ في الفترة المفتوحة $(a, b)$.\n(2) في (1)، وبشكل خاص، إذا كانت $F(x)$ متزايدة بشكل واضح [$F^{\\prime}(x)>0$] أو ناقصة بشكل واضح [$F^{\\prime}(x)<0$]، فإن الحل الحقيقي يكون فريدًا.'

'يرجى رسم رسم بياني لوظيفة y=(1-log x)/x^2. من الضروري ملاحظة أن الحد الحالم (x→∞) من log x/x^2 هو مساوٍ لصفر.'

''

'الأساسي 3: تقاطع مخططات دالة كسرية وخط، معادلات كسرية'

'كيف يتم نقل رسم دالة y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5} بشكل موازي إلى رسم دالة y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1}؟'

'تمرر رسم بياني للدالة y = (ax + b) / (x + 2) (b ≠ 2a) من خلال النقطة (1،1) ، ودالة العكس لهذه الدالة هي نفسها مثل الدالة الأصلية. ابحث عن قيم ثوابت a، b.'

'لنكن z عددًا مركبًا غير صفر. عند تحقق المعادلة 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 ، قم برسم المنطقة التي يوجد فيها النقطة z في الرصيف المركب.'

'(3) r شرط ضروري لـ (p أو q)'

'تفهم نطاق الدالة وتغلب على المثال 64!'

'شرح حساب التعبيرات التي تحتوي على الجذور التربيعية.'

'عندما تكون x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5}، القيمة الدنيا هي \\frac{9}{5}.'

'شرح العكس، المثل العكسي، والعكسي لعبارة ما.'

'ابحث عن القيمة الدنيا لـ x+\\frac{16}{x} عندما تكون x>0.'

'ثبت أنه لأعداد موجبة a،b،x،y حيث a+b=1، √(ax+by) ≥ a√(x)+b√(y). كما، حدد متى يتحقق المساواة.'

'شرح العلاقة بين المجموعات والشروط الضرورية والكافية.'

'أثبت أن الاقتراح صحيح.'

'يرجى شرح المجموعات والمصطلحات ذات الصلة (الجزء الفرعي، المساواة، التقاطع، الاتحاد، الفائض).'

'(4) اختر واحدًا من الأرقام من 0 إلى 7 التالية ، مفترضًا أن المنحنيات y=|3x-6| و y=2x+1 تم تمثيلها على نفس السطح الإحداثي ، فما هو الخيار الأنسب لنقاط التقاطع بينهما.'

'يمكن تحويل تعبير الدالة إلى الصيغة y=k/(x-2)+1، ونظرًا لأن الرسم البياني يمر عبر النقطة (1،2)، فإنه من 2=-k+1 نحصل على k=-1'

'ابحث عن قيمة التكامل التحديدية التالية.\ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'إذا كانت الدوال f(x) و g(x) مستمرة في القيمة α في نطاقها، فأثبت أن الدوال التالية مستمرة أيضًا عند x=α: 1. k f(x) + l g(x) (حيث k، l ثوابت) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (حيث g(α) ≠ 0)'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'رسوم بيانية ونطاقات ونطاقات لثلاث وظائف غير منطقية'

'نظر في g(1/2) = α ، g(1/3) = β ، وقم بإثبات أن α + β = π/4.'

'عندما تستوفي الدالة $f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$ الشروط التالية (أ), (ب) ، ابحث عن قيم الثوابت $a, b, c$.\n(أ) المنحنى $y=f(x)$ يتقاطع مع الخط $y=x+1$ في نقطتين، وقيم مطاليب الإحداثيات $x$ لهاتين النقطتين متساوية.\n(ب) المنحنى $y=f(x)$ والتقاطعات مع محور $x$ ومحور $y$ تكون كلها على الخط $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$.\n[جامعة كيو]'

'رسم دالة y = \\frac{9x - 10}{6x - 4} والعثور على المستقيمات التقاطعية.'

'الدالة المركبة f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2}. لذلك، الرسم البياني الذي نبحث عنه يتم الحصول عليه عن طريق تحريك رسم y = \\frac{-2/3}{x} 2/3 وحدات على طول محور السين و 3/2 وحدة على طول محور الصاد نحو اليمين، الرسم البياني مبين في الرسم على اليمين. الخطوط الرقيقة هي خطين x=2/3, y=3/2.'

'التمرين 12: أثبت المعادلات الأسفل.'

'المثال 36: صيغ التقريب والقيم التقريبية\n(1) قم بإنشاء صيغة التقريب من الدرجة الأولى والثانية لـ f(x)=\\frac{1}{1+x) عندما يكون |x| صغيرًا بما فيه الكفاية.\n(2) باستخدام صيغة التقريب من الدرجة الأولى لـ \\cos(a+h) ، اعثر على القيمة التقريبية لـ \\cos 61 درجة. إعتماداً على أن \\sqrt{3}=1.732 ، \\pi=3.142 ، وقم بحساب القيمة إلى الرقم العشري الثالث.'

'يُعطى الدالة الكسرية f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}، حيث b \\neq 2 a. لجميع القيم التي ترضي 0 \\leqq x \\leqq 1، يُطلب أن تكون 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 وأن تكون f(f(x))=x. ابحث عن قيم الثوابت a, b.'

'التكامل المحدد والمعادلة'

'الرياضيات II'

'رسم بياني، خط أفقي، ونطاق الدالة الكسرية.'

'قُرِّب الدوال التالية.\n(1) احتسب 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2 بالترتيب\n(2) 0.485'

'بسط العبارات التالية.'

'عندما يمكن رسم خط مماس من النقطة (a، 0) إلى رسم دالة y=(x+3)/(√(x+1)) ، ابحث عن نطاق الثابت a.'

'(1) كيف ترتبط رسم بياني للدالة y = \\frac{3 x+17}{x+4} برسم بياني للدالة y = \\frac{x+8}{x+3} بعد انتقال موازٍ؟ (2) حدد قيم الثوابت a و b و c عندما يكون رسم بياني للدالة y = \\frac{a x+b}{x+c} لها خطوط تقارب x = 3 و y = 1 ، وتمر عبر النقطة (2، 2).'

'بالنسبة لعدد حقيقي x ، تمثل [x] العدد الصحيح n الذي يرضي n ≤ x < n+1 ، حدد قيم الثوابت a و b بحيث تكون الدالة f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) مستمرة عند x=1 و x=2.'

''

'ابحث عن معادلة الأصواف التي تقترب من y = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4}.'

'اقتران الرسوم البيانية للدوال التالية وحدد خطوط التقارب لها.'

'رسم الدوال التالية والعثور على خطوطها الرقيقة. (أ) y=(3x+5)/(x+1) (ب) y=(-2x+5)/(x-3) (ج) y=(x-2)/(2x+1) (2) العثور على نطاق القيم للدوال (أ) و (ب) عندما يكون المجال هو 2 ≤ x ≤ 4.'

'قم بدراسة استمرارية الدوال التالية وتحديد مجال تعريفها.'

'فيما بعد، نحقق عدد الحلول الحقيقية للمعادلة بناءً على تقاطعات رسم بياني y=f(x) والخط y=k.'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 من المعادلتين (1) و (2) نحصل على \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 بضرب الطرفين في x-2 نحصل على 4x-3=(5x-6)(x-2) بتبسيط العبارة نحصل على x^2-4x+3=0 لذلك (x-1)(x-3)=0 وبالتالي x=1,3 استبدال في (2) نحصل على y=-1 عندما x=1 و y=9 عندما x=3 ولذلك، إحداثيات نقاط التقاطع هي (1, -1)، (3, 9)'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'ابحث عن إحداثيات النقاط التي يتقاطع فيها رسم دالة f(x) = 1/6x³ + 1/2x + 1/3 مع رسم دالتها العكسية f^{-1}(x).'

'ابحث عن معادلات التنحنح للمعادلتين (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9}'

'عندما تكون الدالة هي y=(2x+c)/(ax+b)، تمر عبر النقطة (-2، 9/5)، ولها الأسيمبتوت x=-1/3، y=2/3، اعثر على قيم الثوابت a، b، c.'

'لنكن C: y = 1/x (x > 0) هو الانحناء. اعتبِر الخط المماس إلى النقطة P(t, 1/t) على الانحناء C كـ lt. علاوةً على ذلك، لنكن α و β ثوابت ترضي 0 < α < β، ولنكن D المنطقة المحاطة بالخطين المماسين lα، lβ، والانحناء C. (1) احسب مساحة D. (2) بالنسبة إلى α < t < β، اعثر على القيمة التي تقلل من مساحة S(t) فوق الخط المماس lt في D.'

'قم بالتحقيق ما إذا كانت الدوال التالية مستمرة وقابلة للتفاضل في النقاط المحددة ضمن [ ].'

'في النطاق \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ ، يُعرف الدالة \\( f(x) \\) على أنها \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\). هنا، \ a \ ثابت يرضي \ 0<a<2 \.'

''

'\ a < b \ ، إذا \\( f(x) \\neq g(x) \\) و \\( f(x) \\geqq g(x) \\) لجميع \ x \ ، ثم \\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'ارسم رسم بياني للدالة الكسرية والمستقيم التقريبي، بالإضافة إلى حل المثال الأساسي 73 (1) وظيفة y = 3x / (x-2). كما، ابحث عن المستقيم التقريبي. (2) في (1)، عندما يكون النطاق 4 ≤ x ≤ 8، ابحث عن النطاق.'

'ابحث عن المنطقة S المحاطة بالرسوم البيانية y=1/x، y=ax، y=bx على السطح الخشبي. هنا، x>0، a>b>0.'

'تحديد دالة كسرية'

'قم بدراسة زيادة وانخفاض الدالة y=(x²-x+2)/(x+1)، انحدار الرسم البياني، الاسهم، وقم برسم مخطط تخطيطي تقريبي للرسم البياني.'

'عندما ترتقي الأعداد الحقيقية a, b, c, d بالشرط ad-bc≠0، قم بالإجابة على الأسئلة التالية بخصوص الدالة f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}:'

'قم بدراسة الزيادة والنقصان والانحدار والانقعاد والخطوط الاسيمبتوتية للدالة y=(x+1)^{3}/x^{2}، واستعرض مخطط الرسم البياني.'

'من الظروف المتعلقة بالتقاطعات، يمكن تعبير الدالة المطلوبة عنها على النحو التالي $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$. نظرًا لأن المخطط يمر عبر نقاط $(-2,3)$ و$(1,6)$، لدينا المعادلات $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$. حل هذه المعادلات يعطي $k=-4, q=7$. باستبدال هذه القيم، نحصل على $y=\\frac{-4}{x+3}+7$، والتي تبسط إلى $y=\\frac{7x+17}{x+3}$. التقاطعات للرسم البياني للدالة $y=\\frac{k}{x-p}+q$ هي خطين $x=p, y=q$.'

'القطع الزائد x^2-y^2/4=1، باستثناء النقطة (-1,0)'

'خطوط لا تتقاطع بشكل متواز مع المحاور (y = ax + b)'

'أثبت أن الدالة f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} عندما A 46^{\\ominus} x \\neq 0 و f(x)=0 عندما x=0 مستمرة في x=0 ولكنها غير قابلة للتفاضل.'

'ترجم النص المعطى إلى لغات متعددة.'

''

'مجال الدالة (1) هو x ≠ -p/2، والنطاق هو y ≠ 1/2. لذا، مجال الدالة العكسية للدالة (1) هو x ≠ 1/2. من أجل أن تتطابق الدالة (1) ودالتها العكسية، يجب أن يكون -p/2 مساويًا ل 1/2، لذلك p = -1. في هذه الحالة، الدالة العكسية للدالة (1) هي y = (x + 4) / (2x - 1)، التي تتطابق مع الدالة (1). لذا، قيمة الثابت p المطلوبة هي p = -1.'

'رسم الرسوم البيانية للوظائف التالية.'

'رسم الدوال التالية والعثور على نطاقها ومدى تعريفها.'

'التحقق من زيادة وانخفاض الدوال، انحدار الرسم البياني، المستقيمات التقاربية، ورسم الشكل العام للرسم البياني.'

'المساحة بين الخط والمنحنى'

'العثور على قيمة الثابت a بحيث يكون الدالة العكسية للدالة y=(a x-a+3)/(x+2) متطابقة مع الدالة الأصلية (a لا تساوي 1)'

'حدد قيم الثوابت p, q بحيث يحقق الدالة f(x) = (px + q)/(x^2 + 3x) قيمة قصوى محلية تساوي -9 في x = -1/3.'

'ما الخط الذي تمثله الدالة المعطاة بالمعادلات المعلمية؟'

'حدد ما إذا كانت الوظائف التالية f(x) مستمرة أم غير مستمرة. حيث يعني [x] أكبر عدد صحيح لا يتجاوز العدد الحقيقي x.'

'شرح العلاقة بين الدالة العكسية g(y) والدالة الأصلية f(x).'

'ابحث عن معادلة المستقيم المماس عندما يكون نقطة (x₁، y₁) على منحنى القطع الزائد $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$.'

'رسم بياني لدالة كسرية، وخطوط الاقتران، ونطاقها'

'مجال الدالة (1) هو x ≠ -2 ، والنطاق هو y ≠ a ، لذلك مجال الدالة العكسية ل (1) هو x ≠ a ، من أجل أن تتطابق الدالة (1) والدالة العكسية لها\na=-2\nفي هذا الوقت، الدالة العكسية ل (1) هي y = \\frac{-2x+5}{x+2}، وهو مطابق للدالة (1). لذلك، قيمة الثابت a المطلوبة هي a=-2'

''

'العثور على نطاق الدوال التالية.'

'اعرض رسما بيانيًا للدالة y=(9x-10)/(6x-4) وابحث عن المستقيمات الرأسية.'

'أثبت أن الدالة $f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ عند $x \\neq 0$ و$f(x)=0$ عند $x=0$ مستمرة عند $x=0$ لكنها غير قابلة للتفاضل.'

'العثور على نطاق الدوال التالية.'

'حدد قيم ثوابت a، b بحيث تحقق الدالة f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1} قيمة قصوى تساوي \\frac{1}{2} عند x=\\sqrt{3}.'

'مثال تطبيقي 4 معادلة الدالة'

أساسي 64 | مجال الدوال، القيم القصوى والدنيا للدوال (أساسي)

يرجى شرح خصائص القطع الزائد التالي: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)