الوظائف الأساسية - الدوال التربيعية ورسوماتها

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\nعند \ y^{\\prime}=0 \, \ x=1,3 \\nالجدول لزيادة وانخفاض \ y \ كما هو موضح على اليمين. لذلك، الرسم البياني كما في الشكل (1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\)عند \ y^{\\prime}=0 \, \ x=-1 \الجدول لزيادة وانخفاض \ y \ كما هو موضح على اليمين. لذلك، فإنه يزداد بشكل متزايد دائمًا. لذلك، الرسم البياني كما في الشكل (2)\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{حد أدنى -2} & \\nearrow & \\text{حد أقصى 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'رسم المنطقة الممثلة بالتفاوت y > x^{2}-3 x.'

''

"ما هو الشرط اللازم لـ f(x)=6x^2-6x+3a، حيث f'(x)=6x^2-6x+3a، أن تحتوي على حلين حقيقيين متمايزين؟"

'بالنسبة للدالة التربيعية لـ x ، ابحث عن جميع الدوال التربيعية التي تتقاطع مع رسم بياني y=x^2 في نقطتين بشكل عمودي. يتم القول بأن رسمين متعامدين في نقطة ما إذا كانوا يشتركون في تلك النقطة وكانت مماساتهم عمودية على بعضها البعض.'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\nلذلك، عندما x=-1 أو x=3، y=3 أو y=-1\nلذلك، الدائرة (أ) والمستقيم (1) تتقاطعان في نقطتين (-1,3),(3,-1)。'

'٥٤ (١) f(x) = t^2 + at + b - 1'

'عندما يتحرك النقطة P(x, y) على دائرة الوحدة ، ابحث عن القيمة القصوى لـ 15x^2+10xy-9y^2 وإحداثيات النقطة P التي تعطي القيمة القصوى.'

'القيمة القصوى عند x=1،4 هي \\frac{4}{3} ؛ القيمة الدنيا عند x=0 هي -\\frac{16}{3}'

'دعونا نستعرض القيم القصوى والدنيا لدالة من الدرجة الثانية ، بالإضافة إلى المعادلات التي تشمل دوال مثلثية! دعنا نستعرض السؤال رقم 72 في الرياضيات! تذكر كيف وجدنا القيم القصوى والدنيا لدالة من الدرجة الثانية. أكمل التربيع أولًا ورسم الرسم البياني. لرسم الدالة من الدرجة الثانية y=4t^{2}+4t+6، أكمل التربيع على الجانب الأيمن لتضعه في الشكل القياسي.'

'بالنسبة للقطبين y=x^{2} (1) و y=-x^{2}+x-a (2)، أجب على الأسئلة التالية.'

'لنراجع معادلات تتضمن الدوال التربيعية والحد الأقصى والحد الأدنى والدوال المثلثية!'

"(2) إذا كان y'=12x-3x^2=-3x(x-4) و y'=0 ، فجدول زيادة وانخفاض y في x=0,4 كما يلي. لذلك ، عند x=4 يأخذ قيمة قصوى تبلغ 32 وعند x=0 يأخذ قيمة دنياً تبلغ 0."

'ابحث عن معدل التغير المتوسط عند تغيير قيمة x كما يلي في الدالة f(x)=x^{2}+2x-1.'

'المنطقة الممثلة بالمعادلة y>x^{2} هي فوق القوس الناتج عن y=x^{2}. باستخدام هذا كمرجع، قم بتوضيح المناطق الممثلة بالمعادلات التالية:'

'قم برسم المنطقة الممثلة بالمعادلات الحسابية التالية. (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'العثور على معادلة المماس إلى رسم الدالة y=x^{2}-x الممتدة من النقطة C(1،-1).'

'العثور على المنطقة المحاطة بواسطة البالونات التالية ومحور السينات.\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'رسم بياني لدالة مكعبة ونقاط تقاطعها مع محور السينات'

'ابحث عن معادلتي المستقيمين في النقطتين (-1,1) و (2,4) على القطع الزائدة y=x^{2}، واحسب المساحة المحصورة من هذه القطعة الزائدة.'

''

'ابحث عن معادلة الخط المماس في النقطة (-1،0) على الدائرة.'

'العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة مكعبة'

'ابحث عن معادلة خط مماس في النقطة P(1، -2) على الدائرة x ^ 2 + y ^ 2 = 5.'

'لتكن r>0. ابحث عن نطاق قيم r عندما تحتوي القطعة الناقصة y=x^{2}-1 والدائرة x^{2}+y^{2}=r^{2} على 4 نقاط مشتركة.'

'ما هي معادلة الخط المماس في النقطة (t، t^{2}+1) على القوس C: y=x^{2}+1؟ هناك خطان مماسان لـ C، ما هي معادلاتهما؟'

'عندما تكون x = 3 ، القيمة القصوى هي 648 ، وعندما تكون x = 1 ، القيمة الدنيا 72.'

'عند x = -1، يوجد أقصى محلي يبلغ 5، عند x = 3، يوجد أدنى محلي -27. عند x = 4، يوجد أقصى محلي 32، عند x = 0، يوجد أدنى محلي 0. لا يوجد مطلق، لا يوجد مطلق.'

'ما هي الاستراتيجيات للنجاح في الامتحان؟ يرجى تقديم اقتراحات محددة.'

'عندما يتحرك النقطة \\((x, y)\\) على المجموعة المحددة بواسطة \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) على المستوى الإحداثيات، ابحث عن القيمة القصوى لـ \x^{2}+y^{2}\ وقيم \x, y\ التي تعطي هذه القيمة القصوى. [جامعة تشيبا]'

'لنكن القطعة المخروطية y² = 4x C. \n(1) اعثر على معادلة العمود للقطعة المخروطية C بميل m. \n (2) كم من المستويات يمكن رسمها من النقطة (a, 0) على محور الس إلى القطعة المخروطية C؟ بشرط أن a ≠ 0.'

'الجواب على أي نوع من المقاطع المخروطية ممثل بالمعادلات التربيعية التالية:'

''

'رسم دالة مربعة و x'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدالة. (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'ارسم الرسوم البيانية للدوال التالية:'

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط الثلاث المعطاة.'

'حدد عدد نقاط التقاطع بين القوس y=x^{2}-2x+2k-4 والمحور x عن طريق النظر إلى الحالات المختلفة بناءً على قيمة k.'

'كيف تم نقل القطعة y=-x^{2}+3x-1 بشكل موازي للحصول على القطعة y=-x^{2}-5x+2.'

'ابحث عن معادلة للقطع الناقص تتراكب مع القطعة الناقصة y=-2x^2+3 عند تحريك 2 وحدة على طول محور السينات و-1 وحدة على طول محور الصادات.'

'أثبت أن الرسم البياني للدالة $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ لديه دائمًا نقطة تقاطع مع محور الاحداث بغض النظر عن قيمة الثابت $m$.'

'عندما يكون a ثابتًا ، اعثر على القيم القصوى والدنيا للدالة f(x) = -x^2 + 2ax (0 ≤ x ≤ 4).'

'العثور على القيم القصوى والدنيا للدالة. (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'بالنظر إلى شرائط الخط طولها a و b، قم برسم شريط الخط مع الجذر الإيجابي كطول يوفق المعادلة التربيعية x^2 - ax - b^2 = 0.'

'نقاط تقاطع القطعة الناقصة والمستقيمة'

'بالنسبة للدالة f(x)=x^{2}-2 a x-a+6، اعثر على نطاق القيم للثابت a بحيث f(x) ≥ 0 دائمًا لـ -1 ≤ x ≤ 1.'

'حدد قيم الثوابت a وb بحيث تمر الرسم البياني للدالة التربيعية y = ax^{2} + bx - 1 عبر النقطتين (1، 0) و(-2، -15).'

'عندما تكون قيمة الدالة f(x)=ax^{2}-2ax+a+b القصوى هي 3 والقيمة الدنيا هي -5 ، اعثر على قيم ثوابت a و b.'

''

'مثال أساسي 86 نقاط تقاطع القوس والخط\nهناك قوس y=x^{2}-3 x+3 وخط y=2 x-a.\n(1) اعثر على إحداثيات نقاط التقاطع للرسمين عند a=1.\n(2) حدد قيمة الثابت a بحيث يكون هناك نقطة تقاطع واحدة فقط بين الرسمين.\n(3) حدد نطاق قيم الثابت a بحيث لا تكون هناك نقاط تقاطع بين الرسمين.'

'العثور على معادلات القوس المكافئة للظروف التالية.'

''

'ابحث عن الدالة التربيعية التي يكون قمتها عند (2،-3) وطول القطعة المقطوعة من المحور المتعامد 6.'

''

'تبيع الشركة أ الشوكولاتة. عدد الشوكولاتة المباعة، المعرفة ب y (حيث y هو عدد صحيح أكبر من أو يساوي 1)، مرتبط بسعر البيع p ين للشوكولاتة على النحو التالي:\ny = 10 - p\n(1) ابحث عن قيم سعر البيع p وعدد الشوكولاتة المباعة y التي تعظم إيرادات الشركة أ. يعرف الإيرادات على أنها حاصل ضرب سعر البيع في الكمية المباعة.\n(2) تكلفة الشوكولاتة الإجمالية c(y) هي c(y) = y^2. حدد قيم سعر البيع p وعدد الشوكولاتة المباعة y التي تعظم ربح الشركة أ (الإيرادات ناقص التكلفة الإجمالية).\n(3) في (2)، إذا تغيرت تكلفة إجمالية c(y) إلى c(y) = y^2 + 20y - 20 ، ابحث عن قيم سعر البيع p وعدد الشوكولاتة المباعة y التي تعظم ربح الشركة أ.'

'اختر وظيفتين من الوظائف التالية (1)~(4) التي تحقق قيمة قصوى عند x = 2، وجد القيمة القصوى والدنيا لتلك الوظائف.'

'تحديد الدوال التربيعية (2)'

'للرسم البياني C للدالة التربيعية y = x^2 - 4x + 3 والنقطة A(0, -1)، ابحث عن: (1) انقل الرسم البياني C موازياً لمحور x بحيث يمر عبر النقطة A'

'حدد قيمة الثابت a بحيث تكون القوسية y=x^{2}-a x+a+1 مماسة إلى المحور x. كما، العثور على إحداثيات نقطة التماس.'

'قم برسم منحنى الدالة التربيعية y=ax^{2}+bx+c باستخدام برنامج رسم البيانات على الكمبيوتر. في هذا البرنامج، عند إدخال قيم للمعاملات a و b و c في الحقول A و B و C على الشاشة، سيتم عرض المنحنى المتوافق مع تلك القيم.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تلبي الشروط التالية للرسم البياني الخاص بها:'

'قم بتحريك القطعة المخروطية y=x^{2}-3x-1 لتمر عبر النقطتين (1,-1), (2,0), وجد رأس القطعة المخروطية.'

'رسم بياني لدالة تربيعية تحتوي قيمة مطلقة'

'حدد قيمة الثابت c بحيث تكون قيمة الدالة القصوى 7. كما، اعثر على القيمة الدنيا في ذلك النقطة.'

''

'هذه مشكلة للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة رباعية. يرجى العثور على النقطة العظمى للدالة الرباعية المعطاة أدناه وتحديد الحد الأقصى أو الحد الأدنى بناءً على تلك القيمة.'

'الدوال التربیعیة والرسوم\n\nرسم الدوال التربیعية\nرسم $\\ Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$: الرأس $(p, q)$، المحور هو المستقیم $x=p$\nإذا كان $a>0$، فإن القوس ناقص؛ إذا كان $a<0$، فإن القوس محدب\n\nرسم $D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$: استكمال المربع\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\nالرأس $\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$، المحور هو المستقیم $x=-\\frac{b}{2 a}$\nإذا كان $a>0$، فإن القوس ناقص؛ إذا كان $a<0$، فإن القوس محدب'

'ابحث عن طول الشريط الذي يقطعه رسم دوال الرباعية التالية من محور الإكس.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$ بحيث يكون المعادلة من الدرجة الثانية $x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$ لديها حلاين حقيقيين متميزين $\\alpha, \eta$ يرضي $0<\\alpha<1<\eta<2$.'

'ابحث عن الدوال التربيعية التي تفي بالشروط التالية: (1) قمة الرسم البياني تكون عند (1،3) وتمر عبر النقطة (-1،4). (2) محور الرسم البياني هو خط x=4 ويمر عبر النقاط (2،1) و (5،-2). (3) لديها قيمة قصوى تبلغ 10 عند x=3 و y=-6 عند x=-1.'

'شرح كيفية تحريك القطعة المخروطية y=-2x^2+3 موازية للمحور x بمقدار -2 وموازية للمحور y بمقدار 1، والعثور على معادلة القطعة المخروطية الناتجة.'

'تمت ترجمة القطعة القطعية y=2 x^{2}+a x+b 2 وحدة على طول المحور x و-3 وحدات على طول المحور y، متطابقة مع القطعة القطعية y=2 x^{2}. اعثر على قيم الثوابت a و b.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'60 (1) \ x= \\pm 2 \ له قيمة قصوى تبلغ 8 ، قيمة دنيا تبلغ -4 في \ x=0 \\n(2) \ x=2 \ لديه قيمة دنيا تبلغ 3 ، دون قيمة قصوى\n(3) \ x=2 \ لديه قيمة دنيا تبلغ -2 ، دون قيمة قصوى\n(4) \ x=0 \ لديه قيمة قصوى تبلغ 1 ، دون قيمة دنيا'

'عند 64 (1) \ a<2 \ ، عند \ x=4 \ القيمة القصوى هي \ -24 a+53 \ ؛ عند \ a=2 \ ، عند \ x=0,4 \ القيمة القصوى هي 5 ؛ عند \ a>2 \ ، عند \ x=0 \ القيمة القصوى هي 5 ؛ (2) عند \ a<0 \ ، عند \ x=0 \ القيمة الدنيا هي 5 ؛ لـ \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \ ، عند \ x=a \ القيمة الدنيا هي \ -3 a^{2}+5 \ ؛ عند \ a>4 \ ، عند \ x=4 \ القيمة الدنيا هي \ -24 a+53 \'

'العثور على معادلة القوس التي تم الحصول عليها بترجيح القوس y=x^2-4x موازٍ للمحور x بوحدتين وموازٍ للمحور y بوحدة واحدة.'

'هناك ثلاثة أشكال لدالة التربيعية: الشكل القياسي، الشكل العام، والشكل المفكك. يرجى شرح الخصائص والحالات التي يجب استخدام كل شكل فيها.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$ بحيث تكون الجذور الحقيقية المختلفة للمعادلة $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$ موجودة ضمن الفترة $-3<x<3$.'

'ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين رسومات المعادلات التربيعية التاليتين ومحور السينات.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة التالية: (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة. (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'رسم الدوال التربيعية التالية. كما، العثور على الرؤوس والمحاور الخاصة بها.'

'الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة تربيعية'

'الفصل 4 وظائف الدرجة الثانية: حل 132 وظيفة درجة ثانية'

'عندما تتقاطع القطعة النردية y=x^{2}-(k+2)x+2k مع محور السينات وتقطع شريطاً من الطول 3 ، ابحث عن قيمة الثابت k.'

'الفصل 4 وظائف الربعية: رسم دالة من الدرجة 112'

'ارسم رسم بياني لدالة التربيعية y=ax^2+bx+c باستخدام طريقة استكمال المربع.'

'عندما يكون قمة القطعة الناقصة y=x^{2}+a x-2 على خط المستقيم y=2 x-1، ابحث عن قيمة الثابت a.'

'عندما يتم إطلاق كرة عمودياً في الاتجاه العامودي من الأرض، والارتفاع بعد مرور t ثانية هو y أمتار، فإن y يصبح دالة تربيعية لـ t. إذا وصل ارتفاع الكرة إلى الحد الأقصى 176.4 متر بعد 6 ثوانٍ، كيف يمكن التعبير عن y كدالة لـ t؟'

'ابحث عن قيمة الثابت a عندما يكون قمة القطع المكافئة للدالة y=x^2+ax-2 على الخط y=2x-1.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا ل 2x^{2}+3y^{2} عندما يكون x^{2}+2(y-2)^{2}=18. كما، تحديد قيم x وy في تلك اللحظة.'

'ابحث عن القيم القصوى والحد الأدنى للدوال التربيعية التالية:'

'حساب عدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدوال التربيعية التالية مع محور السينات.'

'لحالات عدم التغير في a ، العثور على القيم القصوى والدنيا للدالة f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 داخل النطاق 0 ≤ x ≤ 2.'

'حدد ما إذا كان المثال التالي وظيفة: "بالنسبة للجذر التربيعي لـ x ، x = 16 ، لذلك y = 4 و y = -4 ، لذلك y ليس وظيفة لـ x"'

'لنفترض أن رسم الدالة التربيعية $y=-2x^{2}+ax+b$ يمر عبر النقطة $(3،-8)$. ابحث عن قيمة الثابت $a$ عندما يلامس الرسم البياني محور $x$.'

'ابحث عن معادلة القوس التي تم الحصول عليها بتحريك القوس بشكل متناظر y=-2x^{2}+4x-4 بالنسبة للمحور x، ثم تحريكه بشكل متوازي 8 وحدات في اتجاه المحور x و 4 وحدات في اتجاه المحور y.'

'كيفية تحديد دالة تربيعية تفي بالشروط المعطاة'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا، إن وجدت، للدوال التربيعية التالية.'

'العثور على إحداثيات نقاط التقاطع بين القوابل والخطوط التالية.'

'الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة من الدرجة الثانية'

'عندما تكون x^{2}+y^{2}=4 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لمعادلة 2 y+x^{2}. كما، حدد قيم x و y في ذلك الوقت.'

'بالنسبة لرسم الدالة التربيعية $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$، أجب على السؤال التالي: (1) ابحث عن نطاق قيم الثابت $k$ عندما لا يكون لديه أي نقطة مشتركة مع محور السينات.'

'رسم الرسوم البيانية للمعادلات التالية: (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'ابحث عن دالة رباعية حيث معامل الحد الثاني هو -1 ، يمر المخطط من خلال النقطة (1،1) ، والرأس يكمن على الخط y=x.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية:'

'ابحث عن إحداثيات النقاط التي يتقاطع فيها رسم دالة مربعة y = x^2 - 6x + 6 مع محور السينات.'

'ارسم رسم بياني للمعادلة التربيعية التالية.'

'رسم دالة الرتبة الثانية y = mx^2 + 3x + m دائمًا فوق محور السين'

'شرح العلاقة بين رسم الدالتين التاليتين ومحور السينات X.'

'العثور على دالة تربعية تحقق الشروط التالية.'

'بالنسبة لرسم الدالة التربيعية y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3، أجب على الأسئلة التالية:'

'الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة من الدرجة الثانية ...... موقع المحور أمر حاسم. عند إعادة مراجعة الحل للمثال 83 مرة أخرى ، يمكن ملاحظة أن هناك حالات مختلفة يجب مراعاتها ، ولكن النقطة الرئيسية هي موقع المحور (البريمة) بالنسبة لنطاق القيم. على سبيل المثال ، بالنسبة لرسم بريمي لأسفل لدالة من الدرجة الثانية ، يمكن تقسيمه كما يلي: 1. المحور (البريمة) داخل النطاق. 2. المحور (البريمة) خارج النطاق. في حالة رسم بريمي لأعلى ، يكون الأمر كما يلي. صحيح. سيتم عكس المقدار. سواء كان رسم بريمي لأعلى أو لأسفل ، توجد حالات مختلفة تعتمد على ما إذا كان المحور (البريمة) موجودًا داخل النطاق أو خارجه ، وما إذا كان المحور (البريمة) على اليسار أو اليمين من وضع الوسيط للنطاق. في المثال 83 ، على الرغم من أن كل من القيمة القصوى والقيمة الدنيا تُعتبر في نفس الوقت ، ماذا يحدث إذا فكرنا في القيمة القصوى والدنيا بشكل منفصل؟'

'رسم الدوال التربيعية التالية والعثور على النقطة البؤرية والمحور.'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) نظرًا لأن المحور هو الخط المستقيم x=4 ، يمكن تعبر الدالة التربيعية التي يجب تحديدها على أنها y=a(x-4)^{2}+q. نظرًا لأن الرسم البياني يمر من خلال النقطتين (2,1),(5,-2) ، لدينا 1=a(2-4)^{2}+q ، -2=a(5-4)^{2}+q. من خلال تنظيم هذه المعادلات ، نحصل على 4a + q = 1 و a + q = -2. حل هذه المعادلات المتزامنة للعثور على الدالة التربيعية.'

'(1) أظهر أن المقلوبة y = x ^ 2 + ax + a-4 لديها دائمًا نقطتين متميزتين لتقاطع مع محور السينات x ، بغض النظر عن قيمة الثابت a.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تأخذ قيمة قصوى تبلغ 1 في x=3 و y=-1 في x=5.'

'حدد نطاق قيم الثابت a بحيث المنحنى القطعي y=x^{2}-8ax-8a+24 تتقاطع مع الجزء الإيجابي من محور الس س عند نقطتين متميزتين.'

'ابحث عن القيم القصوى والحد الأدنى للدوال التربيعية التالية.'

'لدراسة العلاقة بين رسم بياني لدالة رباعية ومحور السينات، من الضروري فهم ما يلي. نظراً لأن الإحداثي y لنقاط التقاطع بين الرسم البياني لدالة رباعية ومحور السينات دائمًا يكون 0، فإن الإحداثي x لنقاط التقاطع حيث y = 0 هو قيمة x. بعبارة أخرى، حل المشكلات التالية أمرٌ حيوي.\n1. اعثر على الإحداثي x لنقطة التقاطع بين الرسم البياني للدالة الرباعية y=ax^2+bx+c ومحور السينات.\n2. ما هو المصطلح لنقطة التقاطع الوحيدة؟ ما هي تلك النقطة؟'

'اعثر على عدد نقاط التقاطع بين الرسوم البيانية للدوال التربيعية التالية مع محور السينات.'

'عندما يتم رمي كرة عمودياً إلى الأعلى من الأرض والارتفاع بعد t ثانية هو y متر، يصبح y دالة تربيعية لـ t. إذا كان ارتفاع الكرة يصل إلى الحد الأقصى 176.4 متر بعد 6 ثوانٍ من الإطلاق، كيف يتم تعبير y كدالة لـ t؟'

'حوّل الدالة التربيعية y=ax^{2}+bx+c إلى شكل الحد الأقصى والحد الأدنى y=a(x-p)^{2}+q (اكمال المربع). عندما a>0 ، القيمة الدنيا عند x=p ، وهي q. عندما a<0 ، القيمة القصوى عند x=p ، وهي q.'

'لنجرب رسم القطع الناقص!'

'رسم الدوال التالية.'

'ابحث عن التوابع التربيعية للقبب التالية: (1) القبة مع النقطة القمة عند (2،-3) مارا بالنقطة (3،-1) (2) القبة مع المحور عند مستقيم x=4 مارا بالنقطتين (2،1) و (5،-2)'

'قم برسم الرسم البياني لدالة مربعة y=ax^2+bx+c (2)'

'الرجاء العثور على القيمة القصوى للدالة التربيعية التالية: f(x) = -2x^2 + 4x'

'القيمة القصوى هي 21 عندما تكون x=-4 ، والقيمة الدنيا هي -3 عندما تكون x=0'

'أعد صياغة الشروط التالية (أ)، (ب)، (ج) بحيث تصبح جميعها مكافئة للشرط (د).'

'لتكن a و b ثوابت، وليكن F هو رسم دالة الرباعية y=x^{2}+ax+b. اختر عبارتين صحيحتين حول F من بالتالي (1) إلى (6).'

'بتحريك القطعة الناتجة (2) متوازية مع محور السين بمقدار -3 والمحور الصاد (الصاد) بمقدار -6، ثم عمل انعكاس بالنسبة للمركز، ستعود لتكون قطعه ناتجة ①. خلال هذا الانتقال، يتم نقل القمة (2، -3) بواسطة التحريك المتوازي إلى النقطة (2-3، -3-6) والتي تكون النقطة (-1، -9)، ثم نقل بالانعكاس الخاص بالمركز إلى النقطة (1، 9). لذا، معادلة (1) هي y=(x-1)^{2}+9 وهي مكافئة ل y=x^{2}-2x+10، لذلك a=-2 ، b=10.'

''

'ما هو معادلة القوس الذي يتم الحصول عليه عن طريق نقل القوس y=-2x^2+4x-4 بتناظر حول محور الاكس ثم تحريكه بشكل موازي بمقدار 8 وحدات في اتجاه الاكس و 4 وحدات في اتجاه الواي؟'

'رسم الدالة التربيعية التالية وابحث عن القمة والمحور. (1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'ابحث عن دالة تربيعية ترضي الشروط التالية.'

''

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط التالية.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر من خلال النقاط التالية:\n(1) (-1،7)،(0،-2)،(1،-5)\n(2) (-1،0)،(3،0)،(1،8)'

'لنكن P هو رأس القطع الناقص y=x^{2}+2 x-1. أجب على الأسئلة التالية: (1) اعثر على إحداثيات النقطة Q التي تتناظر مع النقطة P نائبة للمحور x. (2) اعثر على معادلة القطع الناقص التي تتناظر مع هذه القطعة تقارنيًا للمحور x.'

'(1) y=2(x-2)^2-3[y=2x^2-8x+5] (2) y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'خطوات تحديد دالة تربيعية'

'عندما يتحرك نقطة P على القطعة الناقصة y=x² ، توجه خطوط متعامدة PQ و PR إلى الخطوط y=x-1 و y=5x-7 على التوالي. ابحث عن القيمة الدنيا لحاصل ضرب PQ・PR. كما، حدد إحداثيات نقطة P في ذلك الوقت.'

'عبر نقطة A(-1,0) ، دع ℓ تكون الخط ذو الميل a. المنحنى القطعي y = 1/2 x^2 يتقاطع مع الخط ℓ في نقطتين متميزتين P و Q.'

'ابحث عن معادلة المماس المرسومة على رسم دالة y=x^{2}-x والتي تمر عبر نقطة C (1،-1).'

'لنفترض أن 99a ثابت. بالنسبة للقطعة المخروطية y=x^{2}+ax+3-a، عندما يتغير a عبر جميع القيم الحقيقية، اعثر على مسار الرأس.'

'ابحث عن المنطقة المحصورة بالخطوط المماسة إلى المنحنى y=-x²+1 في النقطة (0,0) والنقطة (2،-2).'

'نظرًا للقوس y=x^{2} والدائرة x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0) ، اعثر على نطاق r الذي تكون فيه القوس والدائرة لهما 4 نقاط تقاطع.'

'احتساب معدل التغيير المتوسط للمشكلات الأساسية المعطاة 169'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية الإيجابية x و y 9x^2 + 16y^2 = 144 ، ابحث عن القيمة القصوى لـ xy.'

'اعثر على معادلة المستقيم المماس بميل -1 على القوس الكروي y=x^{2}-5 x+4.'

'ابحث عن القيمة القصوى ل y=-x^{2}+2x+3 والقيمة المقابلة لـ x.'

''

'البحث عن الحد الأقصى والحد الأدنى للمساحة'

'بعد ملء الصف الثالث من جدول الزيادة والنقصان ، قم برسم الرسم البياني. عند ملء قيمة y المقابلة لقيمة x في الصف الأول ، قم برسم الرسم البياني وفقًا للمحتوى. في هذه الحالة ، عند رسم الرسم البياني لدالة من الدرجة الثانية ، يُوصى أولاً بالعثور على النقطة القمة بحيث تكون y في أقصى قيمة أو أدنى قيمة. كما يجب العثور أيضًا على إحداثيات التقاطع مع محور y (استبدال x=0 في التعبير من أجل y).'

'ابحث عن معادلة الخط المار من خلال نقطة (2، -4) والملامسة للمنحنى y=x^{2}-2 x.'

'لتكن a>0 ، ننظر إلى خط المماس m عند النقطة (a، a^{2}) على القطعة E: y=x^{2}. ابحث عن المنطقة المحاطة بين E و m ومحور y ، معربة في صورة من a.'

'من النقطة (3،4) ، اعثر على معادلة الخط التماس المرسوم إلى المنحنى y=-x^{2}+4x-3.'

'ابحث عن القيمة الدنيا للمتغيرات التالية:\n31. (1) عندما x=4 القيمة الدنيا 8\n(2) عندما x=2 القيمة الدنيا 3'

'(1) عندما تكون x=-\\frac{1}{2} ، القيمة الدنيا هي -\\frac{3}{16}. عندما تكون x=0 ، القيمة القصوى هي 0. عندما تكون x=2 ، القيمة الدنيا هي -8. (2) عندما تكون x=1 ، القيمة الدنيا هي 0'

''

'لنلق نظرة أقرب على محتوى المثال الأساسي 214. يجب ملاحظة أنه في الإجابة الفعلية ، يجب أن تتم الحسابات كما في الحل المثالي دون استخدام ما يلي كصيغة.'

'تُحصل إحداثيات x لنقاط تقاطع المنحنى y=-2x^{2}+4x+6 ومحور الاحداث عن طريق حل المعادلة -2x^{2}+4x+6=0، أي x^{2}-2x-3=0، مما يعطي (x+1)(x-3)=0، لذا -1 ≤ x ≤ 3 و y ≥ 0، لذلك المساحة المطلوبة S هي'

'هناك معادلتان تربيعيتان f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2} و g(x)=x^2+ax+3.'

"عندما ترضي الدالة التربيعية $f(x)$ $f'(0)=1, f'(1)=2$ ، ابحث عن قيمة $f'(2)$."

'ابحث عن معادلة الخط الذي يمر عبر الدائرة x^2 + y^2 = 8 ومتعامد على الخط 7x + y = 0.'

'في نقطة P(a, a^2) على القوس C: y = x^2، حيث a > 0، اعثر على المستقيم المماس l1. إذا كان المستقيم المماس l2 في نقطة Q على C مختلفًا عن نقطة P مستقيمًا عموديًا على l1، اعثر على معادلة l2.'

"السطر الثاني مملوء باستخدام رسم بياني لـ y'"

'لنكن a ثابتًا، ولننظر إلى الدالة f(x)=-2x^{2}+6x+1 على الفترة a ≤ x ≤ a+1. أجب على الأسئلة التالية.'

'اعثر على الدالة التربيعية عندما يفي رسم الممارسة بالشروط التالية:'

'ابحث عن الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة التربيعية y=ax^{2}+bx+c.'

'ابحث عن القيمة الدنيا.'

'ابحث عن قيمة الثابت a عندما تلامس القوسية y=x^{2}+3x+a والمستقيمة y=x+4.'

'ابحث عن الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط (1،0)، (3،0)، و (4،2).'

'العثور على الدالة التربيعية التي تحقق الشروط التالية: المرور من خلال النقاط (1,8) ، (-2,2) ، (-3,4).'

'حدد نطاق الثابت m بحيث يحقق رسم دالة التربيعية y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 الشروط التالية: (1) تتقاطع مع الأجزاء الإيجابية والسالبة لمحور السين. (2) تشترك النقاط فقط مع الجزء السالب لمحور السين.'

'شرح كيفية حل مشاكل الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة رباعية ووصف خصائصها.'

'كيف تتغير عدد نقاط التقاطع بين رسم بياني للدالة التربيعية y=x^{2}-2x+2k-4 ومحور الـ x بقيم مختلفة للثابت k؟'

'ابحث عن الدالة التربيعية التي تلبي الشروط التالية: المرور عبر النقاط (-1،16)، (4،-14)، (5،-8).'

''

'ابحث عن معادلة الدالة التربيعية y = ax^2 + bx + c. يمر الرسم البياني من خلال النقاط (-1، 22)، (5، 22)، و (1، -2).'

'بالنسبة للدوال التربيعية التالية، إذا كانت هناك قيم قصوى أو دنيا، يرجى العثور عليها. (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'لنكن a ثابتًا، و f(x) = x^2 - 2ax + a + 2. ابحث عن نطاق القيم لـ a بحيث تكون f(x) > 0 صحيحة لجميع قيم x في النطاق 0 ≤ x ≤ 3.'

'ابحث عن نطاق قيم a عندما يكون رسم دالة y=ax^2+4x+2 له نقطتان مختلفتان تشتركان مع محور الاكس. كما يمكنك تحديد قيمة a عندما يتقاطع الرسم البياني مع محور الاكس في نقطة واحدة فقط.'

'حدد عدد نقاط التقاطع بين رسم دالة التربيع y=-x^{2} والخط y=-2x+k. حيث أن k ثابت.'

''

'استخدم برنامج رسم الرسوم البيانية على الكمبيوتر لعرض رسم بياني لدالة تربيعية y=ax^{2}+bx+c. في هذا البرنامج، قم بإدخال قيم معاملات a وb وc في المواقع A وAB وC على الشاشة، وسيتم عرض الرسم البياني المقابل لتلك القيم. الآن، بعد إدخال القيم في A وB وC، تم عرض رسم بياني مشابه للرسم على اليمين. (1) اختر مزيجًا مناسبًا من 11 إلى 8 في الجدول على اليمين كقيم مدخلة في المواقع A وB وC. (2) لعرض منحنى متماثل لنقطة الانطلاق للرسم البياني الحالي، ما القيم التي يجب إدخالها في A وB وC؟ اختر المزيج المناسب من 1 إلى 8 في الجدول (1).'

'يرجى شرح كيفية استخدام الرسوم البيانية والتحليل بشكل فعال لحل مشاكل الأمثلة.'

'عندما تأخذ الدالة التربيعية y=3x^2-(3a-6)x+b قيمة دنيا تبلغ -2 عند x=1، ابحث عن قيم ثوابت a و b.'

'العثور على الدالة التربيعية عندما تتحقق الشروط التالية.'

'حول رسم الدالة التربيعية y = ax^{2} + bx + c إلى الصيغة a(x-p)^{2} + q بإكمال المربع.'

'حدد نطاق قيم الثابت m بحيث يفي بالرسم البياني للدالة التربيعية y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 بالشروط التالية: (1) تتقاطع في الأجزاء الإيجابية والسلبية من محور x. (2) تشترك فقط نقطة واحدة مع الجزء السالب من محور x.'

'عادةً، عندما تحتوي نقطتان على الأقلّ في اثنين من القوسين، ابحث عن معادلة الخط التي تمر عبرها.'

'باستخدام برنامج رسم الرسوم البيانية ، يمكنك ملاحظة كيف تتغير الرسم البياني بناءً على قيمة a.'

'الفصل 3: الدوال التربيعية\nالقسم 8: الدوال والرسوم البيانية\nالمشكلة\nارسم رسوم الدوال التالية:\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'ابحث عن طول القطعة التي تم قطعها بواسطة رسم دالة الرباعية y=-3x^{2}-4x+2 من المحور x.'

'حدد نطاق الثابت m بحيث يفي برسم الدالة التربيعية y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m بالشروط التالية:'

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر من خلال النقاط (1,1)، (3,5)، و (4,4).'

'الحل المطلوب هو في النطاق المجتمع لـ \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) لذا\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ الحل هو \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ الحل هو \ \\quad-1<x<7 \'

'الرياضيات II\n(1) حدد قيمة الثابت a بحيث يكون رسم وظيفة y=x^{2}+ax+a مماسًا للخط y=x+1. اعثر على إحداثيات نقطة التماس.\n(2) لنت رقمًا ثابتًا. قم بالتحقيق في عدد نقاط التقاطع بين رسم وظيفة y=x^{2}-2kx والخط y=2x-k^{2}.'

''

'كيف تتغير عدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة التربيعية y=x^{2}-2 x+2 k-4 مع محور ال x بقيمة الثابت k؟'

'للدالة التربيعية y=ax^2+bx+c، المارة بنقطتين (-1,0) و (3,8)، والمماسة إلى المستقيم y=2x+6، ما قيم a, b, c ؟'

'هل لدى هذين القطاعين نقاط تقاطع؟ إذا كان الأمر كذلك، فجد إحداثياتهما.'

'نطاق وجود حل المعادلة'

'لننظر في موقع نقاط تقاطع بين القطعة الناقصة ومحور الس إكس. ارسم رسم بياني قطعي يفي بالشروط التالية.\n\nالشروط:\n1. الرسم البياني يتقاطع مع الجزء الإيجابي من محور الس إكس في نقطتين مختلفتين.\n2. موضع المحور إيجابي.\n3. f(0) > 0.\n\nشرح ماهية السمات التي سيكون بها رسم بياني يرضي هذه الشروط.'

'ممارسة: في الرسم البياني التالي للدوال التربيعية، كم تم تحويل رسومات دوال التربيعية في الأقواس الرباعية توازيا؟ كما رسم كل دالة، وجد محورها ونقاط قممها.'

'كيف تم نقل رسم الدالة التربيعية y=2x^{2}+6x+7 للحصول على رسم الدالة التربيعية y=2x^{2}-4x+1؟'

'تتغير شكل رسم بياني للدالة f(x) اعتمادًا على قيمة a، ولكن شرح لأي قيم من a لا تحتوي f(x) على قيمة قصوى.'

'إذا كانت طول القطعة التي تقطعها القطعة المكافئة y=x^{2}-(k+2)x+2k من المحور x هو 4 ، فجد قيمة الثابت k.'

'بالنسبة ل [5], [6], [7]، y هو الأدنى عند x=2.'

'الرياضيات I\nهل للقوسين والخطوط التاليين نقاط مشتركة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فجد إحداثياتها.\n(1) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(2) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(3) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'عندما يتم البحث عن إحداثيات A و B ، فإنها كما يلي.'

'يمتلك الرسم البياني للدالة التربيعية y=x^{2}+ax-a+3 نقاط تقاطع مع محور الأفق، ولكنه لا يحتوي على نقاط تقاطع مع الخط y=4x-5. هنا، a هو ثابت.\n(1) حدد نطاق القيم لـ a.\n(2) دع m يكون القيمة الدنيا للدالة التربيعية y=x^{2}+ax-a+3، اعثر على نطاق القيم لـ m. [جامعة معلومات هوكايدو]'

'ابحث عن قيم a و b و c للدالة التربيعية y=a x^{2}+b x+c التي تمر عبر النقط (-1,0) و(3,8) وتماس بالخط y=2 x+6.'

'هل تتقاطع رسومي هاتين الدالتين التربيعيتين مع محور الفقرات؟ إذا كان الأمر كذلك، فجد إحداثيات نقاط التقاطع.'

'ممارسة: العثور على القيم القصوى والدنيا للدوال التالية.'

'ابحث عن إحداثيات x لنقاط التقاطع لدالة y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 مع محور الإكس.'

'ابحث عن إحداثيات نقاط تقاطع الدوال التربيعية التالية مع محور السينات x.'

'عندما تأخذ الدالة التربيعية y=x^{2}+ax+b قيمة قصوى تبلغ 1 في النطاق 0 ≤ x ≤ 3 وقيمة قصوى تبلغ 9 في النطاق 0 ≤ x ≤ 6، ابحث عن قيم ثوابت a و b.'

'حدد علامة (إيجابية ، 0 ، سلبية) القيم التالية لرسم دالة تربيعية كما هو موضح على اليمين:'

'العثور على الشروط اللازمة لمرور منحنى الدالة التربيعية y = ax^2 + bx - 1 من خلال النقطتين (1،0) و (-2،-15).'

'ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين منحنيات الدوال y = x^2 - 4 و y = a(x + 1)^2.'

'اعثر على الدالة التربيعية الممثلة بواسطة الرسوم البيانية (1) و (2) للرسم البياني C للدالة y=x^{2}-4 x+3 والنقطة A(0،-1)، حيث (1) هو رسم يتم الحصول عليه بنقل الرسم C موازياً للمحور x مرورًا بالنقطة A و (2) هو رسم يتم الحصول عليه بنقل C موازياً للمحور y مرورًا بالنقطة A.'

'الفصل 3 الدوال التربيعية\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ أي عندما $a<\\frac{9}{2}$\nمن الشكل [1]، يحدث الحد الأقصى في $x=a$.\nالقيمة القصوى هي $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ مما يعني $a=\\frac{9}{2}$\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\nمن الشكل [2]، يحدث الحد الأقصى في $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$.\nالقيمة القصوى هي $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ مما يعني $\\frac{9}{2}<a$\nمن الشكل [3]، يحدث الحد الأقصى في $x=a+1$. القيمة القصوى هي\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

''

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التربيعية التالية:'

'عندما تأخذ الدالة التربيعية y = x^2 + a x + b قيمة قصوى تبلغ 1 في النطاق 0 ≤ x ≤ 3 وقيمة قصوى تبلغ 9 في النطاق 0 ≤ x ≤ 6 ، ابحث عن قيم ثوابت a و b.'

'قيمة الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة التربيعية f(x)=-x^{2}+2x لمدى a ≤ x ≤ a+2 هما دالتان لـ a، يتم تمثيلهما بواسطة F(a) وG(a) على التوالي. رسم الرسوم البيانية للدوال F(a) وG(a).'

'بالنظر إلى أن x و y يرضيان x^2 + 2y^2 = 1 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ 2x + 3y^2.'

'يعتبر رسم دالة من الدرجة الثانية فقاعة ، ويحدد قيم a و b و c ما إذا كان يفتح نحو الأسفل أو الأعلى ، ودرجة الانفتاح ، موقع المحور والقمة ، وما إلى ذلك. هنا ، لنفكر في كيفية تغيير الرسم البياني عند تغيير قيم a و b و c.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط الثلاثة التالية.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تستوفي الشروط التالية: (1) الرأس عند النقطة (1،3)، وتمر عبر النقطة (0،5).'

'ابحث عن الدالة التربيعية التي تمر عبر (-1،7)، (0،-2)، (1،-5).'

''

'من خلال استخدام رسم بياني لدالة تربيعية وعلاقتها مع محور السين، اعثر على الحلول الحقيقية للمعادلة التالية.'

'الفصل 3 الدوال التربيعية'

'عندما $5 < \\alpha$ ، من الشكل [6] ، يمكن ملاحظة أن $x=a$ يؤدي إلى القيمة الدنيا. القيمة الدنيا هي $ f(a)=a^{2}-9 a'

'ابحث عن دالة تربيعية تستوفي الشروط التالية: (2) محور الرسم البياني هو خط x=4، وتمر عبر النقطتين (2,1) و (5,-2).'

'مثال أساسي 84: اعثر على عدد نقاط التقاطع بين القوس y=x^{2}-2 x+2 k-4 ومحور السين بالنظر إلى حالات مختلفة للثابت k.'

'ابحث عن الدالة التربيعية مع النقطة الحدية عند (2، -3) والطول 6 للقطعة المقطوعة من محور الأكس.'

'نقاط يجب مراعاتها عند استكمال التربيع'

'حدد قيمة الثابت a ، بحيث يكون قوس الأرتفاع y=x^{2}-ax+a+1 ملامسًا للمحور x. كما ، اعثر على إحداثيات نقطة اللمس.'

'بالنسبة ل -4 <= x <= 0 ، من الشكل (1) ، يمكن ملاحظة أن القيمة القصوى تحقق عند x=-1 بقيمة f(-1)=3 ، والقيمة الدنيا تحقق عند x=-4 بقيمة f(-4)=-15.'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدوال التربيعية التالية:\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'ابحث عن دالة تربيعية تفي بالشروط التالية: (2) محور الرسم البياني هو خط x=-1 ويمر عبر النقط (-2,9) ، (1,3).'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التربيعية التالية: (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'أثبت أن طول القطعة الخطية المقطوعة من المحور x بواسطة رسم الدالة التربيعية y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 ثابت بغض النظر عن قيمة الثابت a.'

'صف الرسم البياني للدوال التربيعية التالية.'

'ابحث عن الدالة التربيعية التي تلبي الشروط التالية: في x=-3 ، يأخذ القيمة الدنيا -1 ، وفي x=1 ، y=31.'

'ابحث عن طول القطعة التي تم قطعها بواسطة رسم دالة الرتبة الثانية y=-x^{2}+3x+3 من المحور x.'

'الفصل 3 الدوال التربيعية\n(2) نظرًا لأن رأس القطع المخروطية التي يجب تحديدها تقع على الخط y=-x+2 ، تُمثل إحداثيات رأس الرأس على أنها (p،-p+2). لذلك، الصيغة المطلوبة هي y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2. نظرًا لأن القطعة المخروطية تمر عبر نقطة (1,5) ، لدينا 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2 ، مما يبسط إلى p^{2}-4 p-5=0. وبالتالي ، (p+1)(p-5)=0 ، وبالتالي p=-1,5. عندما يكون p=-1 ، يصبح (1) y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 (أو y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2}). عندما يكون p=5 ، يصبح (1) y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 (أو y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2}).'

'لتكن x و y أعدادًا حقيقية. ابحث عن القيمة الدنيا لعبارة 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 وقيم x، y المقابلة.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط التالية.'

'كيف يجب ترجمة القوس y = 3x ^ 2-6x + 5 لتتداخل مع القوس y = 3x ^ 2 + 9x؟'

'حدد عدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدوال التربيعية التالية مع محور السينات.'

'ابحث عن معادلة للقطع الناقص تتندمج مع القطعة y=-2 x^{2}+3 بعد أن تم تحريكها 2 وحدة على طول محور الاكس و -1 وحدة على طول محور الواي.'

'اعرض رسمي للدوال التربيعية التالية وجد محاورها ونقاط تقاطعها. (1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'ابحث عن دالة رباعية تفي بالشروط التالية: تصل إلى القيمة القصوى 10 عند x=3 ، و y=-6 عند x=-1.'

'يجب تحريك القطعة الناقصة y=-x^2+3x-1 بمقدار كم للحصول على القطعة الناقصة y=-x^2-5x+2.'

'العثور على إحداثيات نقطتي تقاطع للقوسين y = x^2 - x + 1 و y = -x^2 - x + 3.'

''

'رسم بياني للدالة الأساسية 832 ونقاط التقاطع مع محور السينات'

'تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة من الدرجة الثانية'

'لنكون الرسم البياني G للمعادلة y=2x^{2}-4x+5 تم نقله بشكل مواز لمحور y بمقدار k للحصول على الرسم البياني H. عندما يتقاطع الرسم البياني H مع محور x في نقطتين مختلفتين، ويتقاطع في نقطتين مختلفتين ضمن النطاق 2≦ x≦6، فإن نطاق القيم الممكنة لـ k بحيث يتقاطع الرسم البياني مع محور x في نقطتين مختلفتين هو ≦ k< .'

'ابحث عن معادلة القطع الزائد بعد تحريك القطع الزائد y = -x^2 + x - 2 متوازيًا مع المحور x بمقدار -3 ومتوازيًا مع المحور y بمقدار 1.'

'عند تحريك القطعة المخروطية y=x^2-3x-1 بشكل مواز لتمرير نقاط (1،-1) و (2،0) ، ابحث عن قمة القطعة المخروطية.'

'ابحث عن الدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط التالية.'

'تم نقل القطعة المخروطية y=2x^2-4x+1 بمقدار وحدتين بشكل متواز من القطعة المخروطية y=2x^2+6x+7.'

'العثور على الدالة التربيعية التي تستوفي الشروط التالية: (1) رأس الرسم البياني في النقطة (1,3) ويمر بالنقطة (-1,4).'

'ابحث عن طول الشاقول المقطوع برسم الدوال التربيعية التالية من محور الأسي. (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

"بالنسبة لـ 'a'، فإن علامة وقيمة المعامل 'a' تعتمد على ما إذا كانت القطعة الناقصة مقعرة نحو الأسفل أو نحو الأعلى، وكذلك درجة انفتاح القطعة الناقصة."

''

'لنفترض أن PR ثابت. بالنسبة للدالة f(x)=3 x^{2}-6 a x+5 (0 ≤ x ≤ 4)، ابحث عن:\n(1) القيمة القصوى.\n(2) القيمة الدنيا.\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\nرسم هذه الدالة هو قطع ناقص داخلي، حيث يكون المحور الخطي الخط x=a.'

'عندما ترضي x و y المعادلة 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0، ابحث عن أقصى وأدنى قيمة لـ x^{2}+2y.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة f(x) تحت الظروف التالية.\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\nابحث عن القيمة المثلى لـ x بناءً على الرسم البياني وكل شرط.'

'لنعتبر a ثابتًا . ابحث عن القيمة الدنيا للدالة f(x) = x^2 - 2x + 2 في النطاق a ≤ x ≤ a + 2 .'

'قم بدراسة عدد وخصائص حلول الدالة f(x) تحت الظروف التالية:'

'ابحث عن القيم القصوى والحد الأدنى للدالة f(x)=-x^2+2ax+a+b.'

'(1) بعد إدخال 1 في A والقيم في B و C ، تم عرض رسم بياني مثل الشكل 1. ما هو الجمع الأنسب من قيم b و c؟'

'الشكل الذي يمثله ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0'

'ابحث عن معادلة الخط المماس المرسوم من النقطة المعطاه إلى القوس التالي.'

'إحداثيات نقاط التقاطع بين منحنى ثنائي وخط مستقيم'

'اعثر على معادلة خط اللامس عند النقطة $(-1, \\frac{1}{5})$ على القطع الزائدة $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.'

'ابحث عن معادلات المماس والعمود على النقطة P على المناحي التالية.\n(1) \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0), \\mathrm{P}\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)\n(2) \\( x^{2}-y^{2}=1, \\mathrm{P}(2, \\sqrt{3}) \\)\n(3) \ x=\\cos 2 \\theta, y=\\sin \\theta+1, \\mathrm{P} \ تتوافق مع \ \\theta=\\frac{\\pi}{6} \'

'32 منحنيات ومناطق'

'(2) من $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$, نحصل على $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$'

'ابحث عن معادلات المقاطع المخروطية التالية. افترض أن p≠0 ، a>0 ، b>0. (1) قطع ناقصة النقطة المستعرضة y^{2}=4 p x ، مع المستقيم كمحور x=-1 والتركيز عند النقطة (3,4). (2) قطع زائد النقطة المستعرضة x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1 ، مع المستقيمات كخطوط لامتصاص y=x+1 و y=-x+1 ، وتمر عبر النقطة (3,3).'

'ابحث عن الإحداثية السينية لنقطة التقاطع بين القوس C₁ ومحور السينات x.'

'المعادلة تمر عبر تقاطع منحنياتين'

'عندما تكون الدالة \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\) معطاة، ابحث عن المساحة \ S \ المحاطة برسم \\( y=f(x) \\) ومحور السينات. هنا، \ a \ هو ثابت إيجابي.'

'إذا كان f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1، فجد مساحة S المحصورة بين رسم بياني ل y = f(x) ومحور ال x . هنا، a هو ثابت إيجابي.'

'ابحث عن رأس القوس y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2).'

'ابحث عن مسار قمة القوس y = x^{2}+px+p(p ≠ 2).'

'بالنظر إلى y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8، عند x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2، y^{\\prime}=0. بالتالي، من x^{2}+x-1=0، يمكننا أن نثبت أن عند x=(-1-\\sqrt{5})/2، y=(11-5 \\sqrt{5})/2. على نفس النحو، أظهر أن عند x=(-1+\\sqrt{5})/2، y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8.'

'المسافة بين النقطة P على القطعة المكافئة y = -x^2 + x + 2 ونقطة على الخط y = -2x + 6 تأخذ القيمة الدنيا عندما تكون إحداثيات P ألفا.'

'لنكن النقطة البؤرية للقطع الناقصة $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ هي $P$. اعثر على مسار النقطة البؤرية $P$ بينما يتغير $t$ عبر القيم غير السالبة.'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"

'عندما تكون القوس والدائرة لديهما أربع نقاط مشتركة مميزة ، يعني أن المعادلة التربيعية (1) لديها حلاً حقيقيًا مختلفًا في النطاق 1<y<3. لذلك ، يجب تحديد نطاق قيمة a التي ترضي الشروط [1] إلى [3] بشكل متزامن. لنفترض f(y)=2y^{2}-7y-a+6.\n[1] دع D يكون مقرر المعادلة (1) ، يُطلب أن يكون D>0 ، مما يعني 8a+1>0 ، مما يؤدي إلى a>-−1/8.\n[2] بالنسبة للمحور ، فإنه دائمًا مقداره 1<\\frac{7}{4}<3.\n[3] من f(3)=3-a>0 ، نعتقد أن a<3 ، ومن f(1)=1-a>0 ، نعتقد أن a<1. يتم تحديد المدى المشترك للفترة (3) إلى (5) على أنه -\\frac{1}{8}<\\alpha<1.'

'عندما تكون x = \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}، القيمة القصوى هي \\frac{11+5 \\sqrt{5}}{2}، وعندما تكون x = 2، القيمة الدنيا هي -7.'

'لتکن a و b أعدادًا حقيقية. قم برسم منطقة النقاط (a، b) بحيث لا تشترك منحنى بمعادلة y = ax^2 + bx + 1 مع الجزء الإيجابي من محور x.'

'إذا كانت a عددًا موجبًا. الرجاء إظهار أن مساحة الشكل المحاط بالمستقيم الذي يشير إلى نقطة P على المنحنى النهاية y = x ^ {2} + a والمنحنى y = x ^ {2} ثابتة بغض النظر عن موقع P واحتساب القيمة الثابتة. نفترض P (P ، P ^ {2} + a).'

'74 القطع الناقص y=3 x ^{2}+\\frac{2}{3}'

'لنكن m ثابتًا. القطعة الناقصة y=f(x) تمر عبر الأصل، وميل المماس في النقطة (x، f(x)) هو 2x + m. لنكن S مساحة المنطقة المحاطة بالقطعتين y=f(x) و y=-x^{2}+4x+5. ابحث عن القيمة الدنيا لـ S.'

'في كلتا الحالتين، x = 0 هو الحد الأدنى.'

'ابحث عن إحداثي x لنقاط التقاطع بين الانحناء C ومحور السينات. كما ابحث عن إحداثي x لنقاط التقاطع بين الانحناء C والانحناء y=-x^{2}+2x.'

'العثور على جزء المنحنى القطعي y=2x^{2}-3x حيث x<0 و 2<x'

''

'لتكن D الإقليم الذي يُمثله نظام المعادلات x²+(y-4)²≥4 و y≥-2/3x². ابحث عن الخط بميل أقصى يحتوي على نقطة تقاطع في الإحداثي y بين 0 و 2 والموجود في D.'

''

'110 (2) القطع الناقص y=3x^2-6x+2'

'101 (2) \ y=-x \\pm \\sqrt{2} \'

'قم برسم المنطقة الممثلة بالتباينات التالية.'

'عندما ترضي الأرقام الحقيقية x، y المعادلة x²+y²=2، ابحث عن القيمة القصوى والدنيا لـ 2x+y. كما، حدد قيم x و y في هذه الحالة.'

'يرجى التحقق من تناظر الدالة التالية: f(x) = x^2 + 3x + 2'

'(2) دع m يكون ثابتًا. ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين القوس y^2=-8x والخط x+my=2.'

'ميل الشاطئ إلى النقطة (x₁، y₁) على C (x₁ ≠ 0، y₁ ≠ 0) هو -1 / (2 / y₁) = -y₁ / 2. إذا كان y₁ / 2 = m، فإن y₁² = 4x₁. إذاً x₁ = m². لذلك، معادلة الشاطئ المطلوبة هي y = mx - m³ - 2m.'

'لنكن القطعة الناقصة $y^{2}=4 x$ معروفة بالمنحنى C.\n(1) ابحث عن معادلة الشكل للمنحنى $C$ بميل $m$.\n(2) كم عدد القياسات يمكن رسمها من النقطة $(a, 0)$ على محور الـ x إلى المنحنى $C$؟ حيثُ $a \neq 0$.'

'(3) لديه حد أدنى محلي عند x=-2 بقيمة -1/3 وحد أقصى محلي عند x=0 بقيمة 1'

'(3) المجال هو 1-4 x^{2} \\geqq 0 مع \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}'

'(1) x=-a ± √(a²+1)'

'هل لدى العمود القطعيين والخطوط التالية نقاط تقاطع. إذا كانوا يتقاطعون ، فتحديد ما إذا كان نقطة تقاطع أم تلامسًا ، والعثور على إحداثيات تلك النقطة.'

'بالنسبة إلى f(x) = 2 sqrt{x} والفترة [1،4]، اعثر على قيمة c التي تلبي شروط مبرهنة القيمة المتوسطة.'

'ابحث عن معادلة الخط المماس المرسومة من النقطة المعطاة إلى المنحنى التربيعي التالي: (أ) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, النقطة \\( (2,3) \\)'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية x، y المعادلتين غير المتجانستين x^2 + 9y^2 ≤ 9 و y ≥ x ، اعثر على القيمة القصوى والقيمة الدنيا لـ x + 3y.'

'تحديد الانحناء الذي يرسمه قمة القطع الناقص.'

'الدوال f(x) و g(x) متصلة على الفترة [a، b] ، بقيمة الحد الأقصى لـ f(x) أكبر من الحد الأقصى لـ g(x) وقيمة الحد الأدنى لـ f(x) أقل من الحد الأدنى لـ g(x). أثبت أن معادلة f(x) = g(x) لها حلاً في النطاق a ≤ x ≤ b.'

'من خلال استخدام صيغ المفاهيم الأساسية من الصفحة السابقة، ابحث عن معادلة خط المماس في النقاط المعطاة على المنحنيات التربيعية التالية.'

''

'ابحث عن قيم ثوابت a و b عندما يكون نطاق الدالة y = √(2x + 4) (a ≤ x ≤ b) هو 1 ≤ y ≤ 3.'

'القيمة القصوى هي 18 عندما x=4 و y=0'

None

'العثور على معادلات الخطوط التي تمس كل من المنحنيات y=-x^{2}, y=\\frac{1}{x}.'

'ابحث عن مساحة المنطقة المحصورة بين المحور Y والمنحنى الممثل بواسطة x = 2t + t^2 ، y = t + 2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) ، بواسطة المعامل t.'

'ابحث عن معادلة المستقيم المماس المار من النقطة A(1,4) إلى الهايبربولا 4 x^{2}-y^{2} = 4. كما، اعثر على إحداثيات نقطة الإلماس.'

''

"الفصل 4 تطبيقات التفاضل\n117\nنظرًا لأن 2x^2+x+1=2(x+\\frac{1}{4})^2+\\frac{7}{8)>0، دع y'=0، ثم x=1\nجدول زيادة وانخفاض y هو كما يلي.\n\nالسؤال: اعثر على النقطة التي يأخذ فيها y قيمة قصوى تبلغ 1."

'قيمة الحد الأقصى لـ 1 في x=0 ، الحد الأدنى لـ 17/9 في x=4'

''

'مماس منحنى من الدرجة الثانية\nمعادلة المماس في نقطة \\( \\left(\oldsymbol{x}_{1}, \oldsymbol{y}_{1}\\right) \\) على المنحنى \ p \\neq 0, a>0, \\quad b>0 \\n1 القطع المكافئ\n\\[ \egin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \egin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 القطع المستوى \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 الهيبوربولا \ \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ (نفس تسلسل العلامات)'

'اشرح تعريف وخصائص القطع المكافئ.'

'ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين المنحنيات الثنائية التالية وخط.'

'عندما يكون النقطة (x₁ ، y₁) على منحنى القطع الناقص y²=4px ، ابحث عن معادلة الخط المماس.'

'المنحنى من الدرجة الثانية والاستقطاب e\nالقطع الناقصة والهياكل والقطع المكافئ يمكن تحديدها كمسار نقاط حيث نسبة المسافة من نقطة ثابتة F وخط L هي ثابتة، تمامًا مثل القطعة. وهذا يعني، عند رسم عمودي PH من النقطة P إلى L، بحيث تكون PF: PH = e: 1 (e ثابت إيجابي)، فإن مسار النقاط P التي تستوفي هذا الشرط هو منحنى من الدرجة الثانية ب F كنقطة التركيز، L كمستقيم توجيهي، و e كالشغل. في هذه الحالة، يتم تصنيف المنحنى من الدرجة الثانية وفقًا لقيمة e على النحو التالي.\nعندما 0<e<1 القطعة الناقصة عندما e=1 القطعة المكافئة عندما e>1 الهياكل'

'ابحث عن معادلة خطوط المماس المرسومة من النقاط المعطاة للمنحنيات التربيعية التالية.'

'حل المعادلة من خلال النظر في المعنى الهندسي للمعادلة'

'ابحث عن معادلة المستقيم المماس عند النقطة المعطاة على المنحنيات التالية.'

'ما نوع الشكل الذي تمثله المعادلة التالية؟'

'النظر في المعادلة التالية:\n2. المعادلة: y^2 + x - 4y + 8 = 0'

'ارسم رسوم بيانية للدوال التربيعية التالية وجد محاورها ونقاطها القمة.'

'حدد قيمة الثابت a بحيث تكون رسم بياني المعادلة التربيعية y=x^{2}+a x+a مماسة للخط y=x+1. كما يجب العثور على إحداثيات نقطة التماس.'

'القوس y=4x^{2}+ax+b يمر عبر النقطة (1,1) ويمس محور السينات. ابحث عن جميع مجموعات a و b التي تُفي بهذا الشرط.'

''

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التربيعية التالية.'

'هل لدى رسومات هاتين الدالتين التربيعيتين أي نقاط مشتركة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فجد إحداثيات تلك النقاط.'

'حدد قيمة الثابت c بحيث يكون القيمة الدنيا للدالة y=-x^2+6x+c (1≤x≤4) تساوي 1. كما، احسب القيمة القصوى في ذلك النقطة.'

'في الرياضيات، تمرين 87، كتاب 66، صفحة 143، دع f(x) = x^2-ax+a+8. القيمة الدنيا لـ f(x) عند 0 ≤ x ≤ 5 يجب أن تكون أكبر من أو تساوي 0. تحويل f(x) يعطي'

'مع العلم بالمذكور أعلاه ، عندما a<-\\frac{2}{3} ، m(a) =2 a^{2}+3 a+2؛ عندما -\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3} ، m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1؛ عندما \\frac{2}{3}<a ، m(a)=2 a^{2}-3 a+2'

'ابحث عن المعادلة التربيعية التي تفي بالشروط التالية: (1) تكون الرأس على محور السين وتمر عبر النقاط (0,4), (-4,36). (2) إنها ترجمة موازية للمقطع الناقص y=2x^2 المار بنقطة (2,3) ولها الرأس على مستقيم y=6x-5.'

'عندما يكون معادلة الجذر التربيعي $x^{2}-ax+2a=0$ لديها حلاً حقيقيًا مميزًا، ويكون فقط واحد منهما ضمن النطاق $-1<x<1$، اعثر على نطاق قيم الثابت $a$.'

'يرجى العثور على القيم القصوى والدنيا لرسم دالة الربعية من مشاكل التمرين في الفصل 3.'

'مثال مهم 93 المعامل هو معادلة جيبية (2) المعادلة التربيعية في \ x \ \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) لديها حلاً حقيقيًا مختلفين, نطاق قيم \ \\theta \ بحيث تكون كل الحلول موجودة في الفترة \ -1<x<2 \. [جامعة آكيتا] <مثال 75'

'العثور على الدوال التربيعية التي لديها منحنيات بحركات متماثلة حول ما يلي: (محور السين) (محور الصاد) (الأصل).'

'من الرسم البياني، يمكن ملاحظة أنه عندما تكون x=1، القيمة الدنيا للمعادلة y=3(x-1)^{2}+2 تكون 2، ولا توجد قيمة قصوى.'

''

'العثور على القطع الناقص y=2(x-p)^{2}-p+3.'

'الدالة المعطاة هي دالة تربيعية، لذلك a ≠ 0.'

'باعتباره دائرة بقطر AC ، دعنا نكون نصف قطر x ، ثم يمكن جعل النقاط التالية.'

'أجب على السؤال رقم 45.'

'مثال 46 طول القطعة التي تقطعها القطعة الناقصة من محور السينات هو ثابت k. افترض أن المقطع y=x^{2}-kx-18 يقطع قطعة طولها l من محور السينات.'

'ابحث عن الدالة التربيعية y=a(x-p)^2+1.'

'(1) رسم بياني ل y=2x^2+3.\\n(2) رسم بباني ل y=2(x-1)^2.\\n(3) رسم بياني ل y=2(x+1)^2-4.'

'من خلال نقل نقطة P(x، y) على القطعة C_{1} بالتناظر حول الخط y=1 إلى نقطة جديدة P^{\\prime}(x^{\\prime}، y^{\\prime})، حيث x^{\\prime}=x و \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1. بالتالي، x=x^{\\prime}، y=2-y^{\\prime}، باستبدال هذا في y=ax^{2}+bx+4 يتم الحصول على 2-y^{\\prime}=ax^{\\prime 2}+bx^{\\prime}+4، لذلك معادلة القطعة C_{2} هي 2-y=ax^{2}+bx+4. بشكل مماثل، عند إيجاد معادلة للقطعة C_{3} بما في ذلك 2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4. نظرًا لمرور C_{2} و C_{3} من خلال النقاط (-2,-10) و (3,-2) على التوالي، يتم الحصول على نظام معادلات ل a و b، وعند حله يتم الحصول على قيم a و b.'

'ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع للقوس الكهربي التالي والخط.'

'عندما محور x = a داخل النطاق 0 ≤ x ≤ 2، أي 0 ≤ a ≤ 2، من الواضح من الرسم البياني على اليمين أن x = a يسفر عن القيمة الدنيا. القيمة الدنيا هي\n \\[ f(a) = -a^{2} - 4a\\]'

'عندما تُفي الأعداد الحقيقية x ، y بالشرط 2x^{2}+y^{2}=8 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ x^{2}+y^{2}-6x ، وقيم x و y المقابلة.'

'كيف يتم تحريك المنحنيات الخاصة بهذه الدوال التربيعية من الدالة y=2x^{2}؟'

'ابحث عن دالة تربيعية تفي بالشروط التالية.'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية x، y المعادلة x^2 + (y-1)^2 = 5، ابحث عن القيمة القصوى والدنيا للمعادلة 2x-y، وقيم x، y في تلك اللحظة.'

'ابحث عن إحداثيات النقطة القمة للمعادلة y=x^{2}-3x+6 [y=(x-3/2)^{2}+15/4].'

'تمرن على ما إذا كانت القوسيات والخطوط التالية لديها نقاط تقاطع. إذا كان الأمر كذلك ، فجد إحداثياتها.'

'العثور على نقطة التقاطع للنظام التالي من المعادلات.'

'حدد قيمة الثابت c التي تفي بالشروط التالية: (1) القيمة القصوى للدالة y=x^{2}-10x+c (3 ≤ x ≤ 8) هي 10. (2) القيمة الدنيا للدالة y=-x^{2}+4x+c (-1 ≤ x ≤ 1) هي -10. أكمل المربع أولاً وحوله إلى الشكل القياسي. على الرغم من عدم رسم رسم بياني دقيق، يجب وصفه بطريقة توضح موقع المحور والعلاقة مع نقاط نهاية الفترة.'

'ابحث عن معادلة القطع المكافئة التي تم الحصول عليها بواسطة تحريك القطعة y=x^{2}-4 x 2 وحدة في اتجاه المحور x و -1 وحدة في اتجاه المحور y.'

'ابحث عن دالة تربيعية تفي بالشروط التالية.'

'مثال: 1. اعثر على إحداثيات القمة والمحور للدالة التربيعية التالية: y = 2x^2 - 4x + 1 2. اعثر على القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدالة التربيعية التالية: y = -3x^2 + 6x - 2'

'ما هو معادلة القطع الناتجة عن ترجيح القطعة y=-2 x^{2}+4 x-4 في اتجاه x ب-3 وفي اتجاه y بواحد؟'

بالنسبة للرسم البياني للدالة التربيعية $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$، أجب عن السؤال التالي: (2) عندما يكون مماسًا للمحور $x$ ، حدد قيمة الثابت $k$ وإحداثيات نقطة التماس.

يمر الرسم البياني عبر النقاط (1,3) و (2,5) و (3,9). الدالة التربيعية المطلوبة هي $y = a x^{2} + b x + c$。

الأساسيات 76 | تحديد دالة تربيعية من الشروط القصوى والدنيا

ضع في اعتبارك القطع المكافئ $y = x^{2} + 2x - 1 \cdots \cdots$ (1) مع الرأس عند النقطة $\mathrm{P}$. أجب عن الأسئلة التالية: (1) أوجد إحداثيات النقطة $\mathrm{Q}$ التي هي متماثلة مع $\mathrm{P}$ بالنسبة إلى المحور $x$. (2) أوجد معادلة القطع المكافئ الذي هو متماثل مع هذا القطع المكافئ بالنسبة إلى المحور $x$.

ارسم الرسم البياني للدالة التربيعية oldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c (2)

بالنسبة للرسم البياني للدالة التربيعية \( y=x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-3 \)، أجب على السؤال التالي: (2) عندما يكون مماساً لمحور $x$، أوجد قيمة الثابت $k$ وإحداثيات نقطة التماس.

ابحث عن دالة تربيعية تمر بالنقاط (1,3)، (2,5)، و(3,9).

تعلمنا عن رسم الدالة التربيعية $y=a x^{2}$. هنا، سنتعلم عن رسم $y=a x^{2}+b x+c$ المرتبط بـ $y=a x^{2}$. لهذا الغرض، من المهم فهم رسم الدالة التربيعية بالشكل \( y=a(x-p)^{2}+q \)، لذا دعونا نلقي نظرة فاحصة.

ابحث عن الدوال التربيعية التي تلبي الشروط التالية. (1) منحنى يُحصل عليه عن طريق إزاحة القطع المكافئ $y=-x^{2}-2x$ الذي يمر من النقاط (-1، -2، 2، 1). (2) عند نقله بمقدار 2 وحدة في اتجاه $x$ و -3 وحدات في اتجاه $y$، فإنه يمر بالنقاط (1، 2)، (2، -2)، و (3، -4).

العلاقة بين رسم الدالة التربيعية والمحور السيني الأساس 90 عدد نقاط تقاطع رسم الدالة التربيعية مع المحور

أوجد إحداثيات نقاط تقاطع الدالة التربيعية $y=x^{2}-6x+6$ مع المحور x.

إذا اعتبرنا a و b أعدادًا حقيقية، احسب قيم الثوابت a و b عندما تتطابق رؤوس القطع المكافئ الممثلة بالدوال التربيعية y=4x^{2}-8x+5 و y=-2(x+a)^{2}+b.

ارسم رسم بياني للدالة التربيعية $y=ax^{2}+bx+c$ (1)

ابحث عن الدوال التربيعية التي تفي بالشروط التالية: (1) المنحنى الناتج عن نقل منحنى القطع المكافئ $y=-2 x^{2}$ بحيث تكون قمته عند النقطة (-3,1). (2) المنحنى الناتج عن نقل منحنى القطع المكافئ $y=x^{2}+2 x-3$ بحيث يمر بالنقاط \( (-1,6),(3,2) \).

اوجد الدوال التربيعية التي تلبي الشروط التالية. (1) تأخذ القيمة العظمى 1 عند $x=3$، وتكون $y=-1$ عندما $x=5$. (2) تأخذ القيمة الصغرى عند $x=-2$، ويمر الرسم البياني بالنقطتين \( (-1,2) \) و \( (0,11) \).

المعيار 73 | تحديد المعاملات من القيمة القصوى للدالة التربيعية

أساسي 72 | القيم العظمى والصغرى للدالة التربيعية (2)

ابحث عن الدالة التربيعية التي تكون لها قيمة صغرى عند oldsymbol{x}=1 وتمر بالنقاط \( (0,3) \) و \( (3,6) \).

ارسم مخطط الدالة التربيعية \( oldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \)

الدالة التربيعية y=α(x-p)²+q القيم القصوى والدنيا ① عندما يكون المجال غير مقيد (عندما يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل) هناك حالتان حسب إشارة a. عندما a>0 يتم الحصول على القيمة الدنيا q عند x=p لا توجد قيمة قصوى عندما a<0 يتم الحصول على القيمة القصوى q عند x=p لا توجد قيمة دنيا

ابحث عن عدد نقاط التقاطع بين رسوم المعادلات التربيعية التالية ومحور $x$. (1) $y=3 x^{2}+x-2$ (2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$ (3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

حدد قيمة الثابت $c$ بحيث يكون القيمة العظمى للدالة \( f(x)=x^2-10x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) تساوي 10.

إذا كانت رأس القطع المكافئ $y = x^{2} + a x - 2$ تقع على الخط $y = 2 x - 1$، فحدد قيمة الثابت $a$.

بخصوص الدالة التربيعية \( y=(x-3)^{2}+1 \) 1) $1 \leqq x \leqq 4$ 2) $2 \leqq x \leqq 5$ 3) $4 \leqq x \leqq 5$ 4) $2 \leqq x$

جد الدالة التربيعية التي لها قمة في النقطة (2,1) وتمر عبر النقطة (4,9).

أوجد إحداثيات النقاط التي يتقاطع فيها منحنى كل معادلة تربيعية مع المحور السيني. (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

لنقم بتنظيم خطوات رسم منحنى الدالة التربيعية $y=ax^{2}+bx+c$. اتبع الخطوات التالية: (1) أكمل المربع. (2) اكتبها بالشكل \( y=a(x-p)^{2}+q \). (3) اقرأ خصائص المنحنى. (4) إذا كان $a > 0$ فهو محدب للأسفل (يفتح لأعلى)، وإذا كان $a < 0$ فهو محدب للأعلى (يفتح لأسفل). (5) حدد إحداثيات القمة \( (p,q) \). (6) المحور هو الخط $x=p$. (7) ارسم فعلياً منحنى الدالة $y=x^{2}-6x+10$.

العلاقة بين منحنى الدالة التربيعية والمحور السيني أساسيات 91 شروط أن يكون لمنحنى الدالة التربيعية نقاط مشتركة مع المحور

حدد القيم القصوى والدنيا، إن وجدت، للدوال التربيعية التالية: (1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

الأساسي 71 | القيم القصوى والصغرى للدوال التربيعية (1)

لعلاقة $y=x^{2}+2 x-1$، جِد القيم القصوى والدنيا (إذا كانت موجودة) ضمن النطاقات التالية. (1) $-3 \leqq x \leqq 0$ (2) $-2<x<1$ (3) $0 \leqq x \leqq 2$

إذا كانت هذه الدوال تحتوي على أكبر قيم وأصغر قيم، فاوجدها. (1) \( y=x^{2}-2x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \) (2) \( y=2x^{2}-4x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \) (3) \( y=-x^{2}-4x+1(0 \leqq x \leqq 2) \) (4) \( y=x^{2}-4x+3(0<x<3) \)

ارسم الرسوم البيانية للدوال التربيعية التالية وحدد رؤوسها ومحاور التناظر. (1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \) (2) \( y=-rac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

اوجد عدد النقاط المشتركة بين رسومات الدوال التربيعية التالية ومحور x. (1) $y=x^{2}-x-3$ (2) $y=4 x^{2}+12 x+9$ (3) $y=-x^{2}+2 x-3$

اعثر على الدالة التربيعية التي تمر بالنقاط التالية: (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

اعثر على القيم القصوى والدنيا للدالة \( f(x)=(x-2)^{2} \) على المجال $0 \leqq x \leqq a$. افترض أن $a$ هو ثابت موجب. (1) $0<a<2$ (2) $2 \leqq a<4$ (3) $a=4$ (4) $4<a$

بالنسبة للدالة التربيعية \( f(x) = -x^2 + 6x - 7 \)، فإن القيمة العظمى في الفترة $a \leq x \leq a+1$ هي \( M(a) \).

أوجد قيمتي الحد الأقصى والأدنى للدالة \( f(x)=-(x-3)^{2} \) ذات المجال $1 \leqq x \leqq a$ لكل حالة من الحالات التالية. هنا، $a$ ثابت يحقق الشرط $a>1$. (1) $1<a<3$ (2) $3 \leqq a<5$ (3) $a=5$ (4) $5<a$

تحديد دالة تربيعية من شروط اجتياز 3 نقاط

التنمية 81 | القيم القصوى والدنيا للدوال التربيعية ومسائل الكلمات (2)

الأساسيات 75 | تحديد الدوال التربيعية من الشروط مثل الرؤوس

4. يتم نقل رسم الدالة التربيعية $y=6 x^{2}+11 x-10$ بمقدار $a$ وحدة في اتجاه محور $x$ و $b$ وحدة في اتجاه محور $y$ للحصول على الرسم $F$. عندما يمر $F$ بالنقطة الأصلية (0،0)، أجب عن الأسئلة التالية: (1) عبّر عن $b$ بدلالة $a$. (2) عندما تأخذ الدالة التربيعية \( f(x) \) التي تمثل $F$ نفس القيمة عند $x=-2$ و $x=3$، أوجد قيمة $a$ وقيمتي الحد الأقصى والأدنى للدالة \( f(x) \) في الفترة $-2 \leqq x \leqq 3$.

بالنسبة إلى رسم الدالة التربيعية \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \)، أجب عن الأسئلة التالية. (1) عندما لا تتقاطع مع محور $x$، أوجد نطاق قيمة الثابت $k$.

اعثر على دالة تربيعية بحيث يكون رسمها البياني على شكل قطع مكافئ كما يلي. (1) قطع مكافئ له رأس عند النقطة (-1,3) ويمر عبر النقطة (1,7) (2) قطع مكافئ يكون محوره الخط $x=1$ ويعبر النقطتين (3,-6) و (0,-3)

ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع بين منحنى الدوال التربيعية التالية والمحور السيني. (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

اوجد معادلة المماس لمنحنى القطع المكافئ $y^{2}=8 x$ عند النقطة \( (2,4) \).

أوجد معادلة الخط المماس عند النقطة \( (\sqrt{2}, 1) \) على القطع الناقص rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{2}=1 .

111 x=p t^{2}, y=2 p t \quad(p ≠ 0)

عبّر عن إحداثيات رأس القطع المكافئ $y=x^{2}-2tx+2$ (A) بدلالة t.

109 قطع مكافئ $y=x^{2}-5 x+3$

المثال 1. الرسم البياني للمعادلة $9 x^{2}+4 y^{2}+54 x-16 y+61=0$.

(1) معادلة قطبية لقسم مخروطي

أوجد معادلة القطع المكافئ التي تفي بالشروط التالية: (1) الرأس في الأصل، والبؤرة على المحور y، وخط الدليل يمر بالنقطة (3,2) (2) الرأس في الأصل، والبؤرة على المحور x، وتمر بالنقطة (-2, √6)

المعادلة القطبية للقسم المخروطي (2)

أوجد معادلة الخط المماس في النقطة \( \left(-1, rac{1}{5} ight) \) على القطع الناقص \( rac{(x+4)^{2}}{25}+rac{(y+3)^{2}}{16}=1 \).

معادلة الخط المماس عند نقطة على منحنٍ تربيعي

أوجد معادلات القطع المكافئ الذي يفي بالشروط التالية. (1) الرأس عند النقطة الأصل، البؤرة على محور y، والخط الدليل يمر بالنقطة (3,2). (2) الرأس عند النقطة الأصل، البؤرة على محور x، ويمر بالنقطة (-2, √6).

دعونا نستكشف بشكل أكبر نوع الشكل الذي تمثله المعادلة $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$.