التحليل - التفاضل والتكامل لمتغير واحد

'مثال مهم 79 | الحد الأقصى والحد الأدنى في منطقة (3)\nعندما ترضي الأعداد الحقيقية x, y العلاقات الثلاث y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0، ابحث عن القيم القصوى والدنيا ل x²+(y-3)².\n[جامعة طوكيو للاقتصاد]\nمثال 76'

'طريقة التفاضل'

'احسب التكامل الرقمي للتعبير التالي.'

'مارس إيجاد التكاملات المحددة التالية.\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'بالمثل، انظر إلى القيمة الدنيا. ابحث عن تلك القيمة الدنيا.'

'ابحث عن التكاملات المحددة التالية.'

'ابحث عن المساحة بين القطعة المخروطية ومحور السينات-x. (1) أساسي'

'ابحث عن قيمة التكاملات العينية التالية.'

'احتساب الإشتقاق باستخدام الحدود'

'العثور على التكاملات العينية التالية. (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'التدريب 197 (1) ابحث عن التكامل المحدد التالي. (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'ابحث عن التكامل المحدد لـ \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'قم بتقدير التكاملات العددية التالية.'

'ابحث عن التكامل المحدد \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'ابحث عن القيمة الدنيا لـ S(m) ، وهي مجموع المساحات المحاطة بالمنحنى y=x^2 والخط y=mx ل 0<m<1 ، حيث 0 ≤ x ≤ 1.'

'قيم التكاملات التحديدية التالية.'

'ابحث عن المساحة S بين المنحنى y = f(x) ومحور السينات.'

'باستخدام خصائص التكاملات التعريفية، اعثر على نتائج التكاملات التعريفية التالية:'

'العثور على التكاملات المحددة التالية.'

'تعلم خصائص التكاملات المحددة للسيطرة على المثال 198!'

'التكامل المحدد والتفاضل'

'ماذا يجب القيام به عندما لا تكون الأمثلة الأساسية واضحة؟'

None

'ابحث عن التكامل غير المحدد لـ ∫ 1/x dx.'

'ابحث عن التكاملات المحددة التالية. في (4) ، \ a, b \ ثوابت. (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'ابحث عن التكاملات العددية التالية. (1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \ (a > 0)'

None

'يتضمن هذا المصطلح شروحاً للمفاهيم وبراهين النظريات والصيغ، مما يجعل فهم المواضيع التي لم تُغطَ في الكتب المدرسية سهلاً.'

'حدد الشروط الضرورية والكافية، وشرح باستخدام العرض التالي.'

'ابحث عن المساحة المحصورة بين المنحنيات التالية، الخط، ومحور الاكس.\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'ابحث عن التكاملات الشاملة التالية.\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'قم بإثبات ما يلي حول الحلول α، β للمعادلة التربيعية\nax^2 + bx + c = 0\n1. الشرط لوجود حلين مختلفين من الأعداد الحقيقية.\n2. عندما تكون عدم المساواة at^2 + 2bt + c > 0 صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية t ، يعني وجود حلول إيجابية فقط.'

'حساب التكاملات الشاملة التالية.'

'ابحث عن المنطقة المحاطة بالمنحنيات والخطوط المعطاة.'

'ابحث عن التكاملات الافتراضية التالية.'

"المشتقة تعريف المشتقة لوظيفة f(x) f'(x) هو f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'حساب التكاملات المحددة التالية باستخدام الصيغ.'

'احسب $\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$.'

"وبالتالي ، بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x ، y'>0 ، لذلك تزيد الدالة المعطاة دائمًا"

'ثبت الشرط التالي. دع قيم المتغير x تكون x1 ، x2 ، ... ، xn. بالنسبة لقيمة معينة t ، يُعتبر مجموع تربيعات الانحرافات لكل قيمة عن t ، t-xk (k=1، 2، ... ، n) ، ك y. وهذا يعني أن y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+...+(t-xn)^2. أثبت أن y تكون في دُنيا عندما t=𝑥¯ (المتوسط الحسابي لـ x).'

'يرجى شرح ما هي الشروط الضرورية والكافية.'

'شرح الشبهات والاختلافات بين الأمثلة من 3 إلى 8 والأمثلة من 9 إلى 12.'

'معادلة ومنحنى'

'شرح الانقعاض ونقاط الانعطاف لرسم وظيفة.'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { لذلك } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { وبالتالي } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'169 (2) (ア) x y^{′}-2 y=0'

'عرّف مبرهنة رول وقدّم دليلًا عليها'

'مبرهنة هاملتون-كايلي'

'حجم الدوران حول محور y (3) لنفترض ان a≤b. الحجم V للجسم الصلب الذي يتشكل عن طريق دوران جزء من المنحنى الخاص ب y=f(x) ل a≤x≤b حول محور y، محدد بمحور x وخطين x=a, x=b، يعطى بواسطة V=2π∫a إلى b of(x)dx. أظهر ل a<c<d<b، وللدالة y=f(x) التي تنقص بشكل تصاعدي في الفترات [a, c]، [d, b] وتزيد بشكل تصاعدي في الفترة [c, d] كما هو مبين في الرسم البياني على اليمين. بالإضافه الى ذلك، اجد قيمة V_0 الخاصة ب V عندما f(x)=x^3، a=0، b=2.'

'ما هو مبرهنة القيمة المتوسطة؟'

'مارس إيجاد التكامل العيني التالي.'

''

'قم بدراسة سلوك الزيادة والانخفاض للدالة القابلة للتفاضل f(x) وابحث عن قيمها القصوى.'

'باستخدام التفاضل الثاني، اعثر على القيم القصوى للدالة التالية.'

'لتكن الدالة y=f(x) مستمرة.\n(1) لنكن a ثابتًا حقيقيًا. بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x ، إذا كانت المعادلة |f(x)-f(a)| ≤ 2/3|x-a| صحيحة ، قم بإثبات باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة أن المنحنى y=f(x) يتقاطع مع الخط y=x.\n(2) علاوة على ذلك ، إذا كانت المعادلة |f(x1)-f(x2)| ≤ 2/3|x1-x2| صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x1 ، x2 ، فقم بإثبات أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط للمعادلة رقم (1).'

'تعلم حل المشاكل المتعلقة بإيجاد مساحة وحجم الأشكال، طول المنحنيات، وحل معادلات تفاضلية بسيطة.'

'ابحث عن التكامل المحدد التالي. \\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'ابحث عن التكامل المحدد التالي.\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'ابحث عن التكاملات العددية التالية.'

''

'اعثر على مساحة الشكل المحيط بالمنحنى y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6 والخط المماس في النقطة (3،-6) على المنحنى.'

'(2) احسب التكامل العيني التالي:\n(أ) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'أولاً ، دعنا نستعرض طريقة استخدام التفاضل لتحديد عدد الحلول الحقيقية لمعادلة ما.'

'ابحث عن التكاملات الطويلة التالية.'

'ممارسة إيجاد التكاملات العينية التالية.'

'حدد معامل التفاضل للدالة f(x) في x=a.'

'ابحث عن التكامل المحدد \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \ .'

'ابحث عن قيمة التكامل الطبيعي التالي.'

'\nحساب المساحة والحجم وطول المنحنيات\nالمساحة بين المنحنى \\( x=g(y) \\) ومحور \ y \\nالمنطقة المحاطة بالمنحنى \\( x=g(y) \\) ومحور \ y \ وخطين \ y=c، y=d \ حيث \ c < d \ حيث \\( S=\\int_{c}^{d}|g(y)| dy \\)\n\nالمساحة للمنحنى الممثل بـ \\( x=f(t), \\quad y=g(t) \\) هي \\( S=\\int_{a}^{b} y dx=\\int_{\\alpha}^{\eta} g(t) f^{\\prime}(t) dt \\)\n\nحيث، دائماً \\( y \\geqq 0، \\quad a=f(\\alpha)، \\quad b=f(\eta) \\) حجم الشكل الصلب حيث حجم الشكل الصلب بـ \\( S(x) \\) هو \\( V=\\int_{a}^{b} S(x) dx \\) عندما \ a < b \'

'ابحث عن التكاملات التحديدية التالية.'

'حساب مساحة بين منحنيين.'

'لنعتبر المنطقة المحصورة بين المنحنيات C1 وC2 والخط x=π/2 ب T. عبّر عن الشروط التي تجعل T=2S في صورة a و b.'

'لتكن f(x) و g(x) وظائف مستمرة على الفاصل [a، b]. إذا كان f(a)>g(a) و f(b)<g(b) ، فأظهر أن معادلة f(x)=g(x) لديها حلاً واحدًا على الأقل في النطاق a<x<b.'

'(1) اعثر على قيمة c التي تستوفي شروط نظرية القيمة المتوسطة للدالة f(x) والفواصل: (a) f(x)=\\log x [1, e] (b) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208 عندما تكون الدالة f(x) مستمرة على الفترة a ≤ x ≤ b (a < b)\nثم int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c) حيث a < c < b\nثم أثبت وجود قيمة c. (مبرهنة القيمة المتوسطة للتكاملات)'

"عندما يتم تمثيل دالة y لـ x على أنها متغيرات وسيطة t، θ، ابحث عن المشتقة dy/dx كدالة من t، θ وفقًا للمعادلة التالية. هنا، 'a' في (2) هي ثابت إيجابي. (1) {x=t^3+2, y=t^2-1}، (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}"

'ابحث عن الدالة f(x) التي ترضي المعادلة (1).'

'الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة'

'الفصل 8: تطبيقات التكامل'

'(1) اعتبار نقطة P تتحرك على خط عددي مع سرعتها v كدالة للزمن v=f(t). كما لنفترض إحداثيات نقطة P في الزمن a تكون k.\n[1] إحداثيات P في الزمن b تكون x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] التغيير في موقع P من الزمن a إلى الزمن b هو s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] المسافة المقطوعة من قبل P من الزمن a إلى الزمن b هي l=∫[ a,b]|f(t)|dt'

'ابحث عن المنطقة المحصورة بين المنحنى y = f(x) والمحور x بين الخطوط x = a و x = b.'

'(1) بالنسبة لوظيفة مستمرة f(x)، أثبت المعادلة \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\)。\n(2) اعثر على التكامل المحدد \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \.'

'مبرهنة القيمة القصوى'

'قم بتعبير المنطقة S المحاطة بالمنحنيات \ C_{1}, C_{2} \ ومحور y بالنسبة ل a و b.'

'احتساب الحجم بين المنحنى y=f(x) ومحور السينات'

"باستخدام التكامل المحدد، نقوم برسم مخطط المنحنى C في شكل 'y كدالة لـ x' وفقًا للنقطة (1)."

'ابحث عن التكاملات التحديدية التالية.'

"بالنسبة للكمية f(t) التي تتغير مع مرور الوقت (مثل حجم صلب متمدد) ، فإن معدل التغير في تلك الكمية في الوقت t يتم تمثيله بـ f'(t) ، مشابه لسرعة 1."

'ممارسة: اعثر على التكاملات العينية التالية.'

'أثبت أنه عندما تكون الدالة $f(x)$ مستمرة على الفترة $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$ ، نحصل على $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c)$ حيث $a<c<b$ ، وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة للتكامل.'

'استخدام مبرهنة القيمة المتوسطة لإثبات عدم المساواة. على سبيل المثال، يُعتبر تطبيق مبرهنة القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x^3 - 3x + 2 على الفترة [0,1].'

'\nالتكامل المحدد وحدود المجموع (طريقة القسمة)\\( f(x) \\) مستمر على الفاصل \ [a, b] \ ، تقسيم هذا الفاصل إلى \ n \ أجزاء مع نقاط النهاية ونقاط التقسيم ك \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \ و \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \\n'

'جد التكاملات الذاتية التالية. في (2)، \ a \ ثابت.'

'المماس والعمود الأساسيات'

'ابحث عن طول المنحنيات التالية.'

''

'ثبت أنه إذا كان \\( f(x) \\) قابلاً للتفريق في \ x=a \ ، فإنه مستمر أيضًا. ومع ذلك، قم بشرح السبب في عدم صحة العكس (الدوال المستمرة ليست بالضرورة قابلة للتفرق)'

'في الفضاء الإحداثي ، هناك نقطة الأصل O والنقاط A(1،-2،3) ، B(2،0،4) ، C(3،-1،5) . اعثر على أدنى قيمة لمقياس الفيكتور OA + x * AB + y * AC وقيم الأعداد الحقيقية x و y في ذلك الوقت.'

'صيغة التكامل بالأجزاء'

'ابحث عن التكاملات العينية التالية: (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'حساب التكامل المحدد \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\).'

'قيم التكاملات العينية التالية.'

'ساهم في تطوير الاستدلال من خلال مفاهيم مثل تواصل الأعداد الحقيقية.'

'ابحث عن التكاملات المحددة التالية:\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'قيم التكاملات المحددة التالية.'

'أثبت y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax) باستخدام الاستدلال الرياضي.'

'معادلة الكرة هي عندما تكون إحداثيات المركز (0، b، 0)، نصف القطر r (r>0)'

'برهان نظرية القيمة المتوسطة'

'يرجى حل مشكلة حساب التكاملات التحديدية.'

'حدد نطاق قيم الثابت a ليتمكن المنحنى y=(x^2+ax+3)e^x من الحصول على نقاط التقاء. كما، كم نقطة تقاء يمكن خلقها في ذلك الوقت.'

'لتكن f(x) و g(x) وظائف مستمرة على الفاصل [a، b]. إذا كان f(a) > g(a) و f(b) < g(b) ، فأثبت أن معادلة f(x) = g(x) لديها على الأقل حلاً رقميًا واحدًا في النطاق a < x < b.'

"طول الانحناء\nطول الانحناء \\( x=f(t), y=g(t)(\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) هو\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} d t\\n\\]"

'حد الدوال المثلثية\nيوجد نقطة O في الوسط ، ونقطة P تتحرك على محيط دائرة بقطر AB طوله 2r. دع منطقة △ABP تكون S1 ومنطقة القطاع OPB تكون S2. أجب على الأسئلة التالية.\n(1) عندما تكون ∠ PAB = θ (0 <θ <π / 2) ، اعثر على S1 و S2.\n(2) كما يقترب P من B ، اعثر على حد S1/S2.'

'ابحث عن التكاملات الحدية التالية.'

'ابحث عن قيمة c التي تُفي بشروط نظرية القيمة المتوسطة للدوال والفترات التالية: (1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

'اشرح الخطوط الملامسة والعمودية، ثم اكتب معادلة خطوط الملامسة والعمودية عندما تمر المنحنى y=f(x) بنقطة A(a, f(a)).'

'مع مراعاة أن a و b ثابتان و m و n أعداد صحيحة غير سالبة، \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\) و يُعرف.'

'نظرًا لأن 17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \ ، إذن\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'ابحث عن قيمة التكامل المحدد التالي. (1) \\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx (3) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx (4) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'ابحث عن التكاملات التحديدية التالية.'

''

'ابحث عن التكامل المحدد التالي: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'الحد الأقصى والحد الأدنى للمساحة'

'احسب التكامل التحديد التالي:\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

'احسب التكامل المحدد لـ \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\)'

'شرح الفرق بين الشروط الضرورية والكافية.'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية للدالة f(x) المعرفة على النحو التالي. f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6 ، عندما تكون f(x) مستمرة ، كم عدد الحلول الحقيقية التي تحتوي عليها f(x)-x=0 على الأقل ل 0 ≤ x ≤ 1.'

'احسب المساحة بين المنحنى y = x^2 و x = 1.'

"في نظرية القيمة المتوسطة (1) ، حيث يقع c بين a و b ، لدينا b-a=h ، عند تحديد (c-a)/(b-a)=θ ، نحصل على b=a+h ، c=a+θh. لذلك ، يمكن أيضًا تعبير نظرية القيمة المتوسطة (1) على النحو التالي. (تسعف للقيمة المتوسطه (2): إذا كانت الدالة f(x) مستمرة على الفترة [a ، a+h] وقابلة للتفرق على الفترة (a ، a+h) ، فهناك عدد حقيقي θ الذي يرضي 0<θ<1 ، بحيث f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)."

''

'ابحث عن التكامل الطبيعي التالي. (3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'كيفية حساب حجم الجسم باستخدام مساحة المقطع العرضي. عندما تُمثِّل مساحة المقطع العرضي عند قطعه بواسطة مستوى متعامد على محور السين x بواسطة الدالة S(x) إلى x ، احسب الحجم V. اعتبر النطاق من a إلى b.'

'العثور على مساحة الشكل المحيطة بالمنحنى C والمحورين x و y.'