التحليل - التسلسلات والسلاسل

'ابحث عن التسلسل p_n من النتيجة أعلاه.'

'عندما يمكن تعبير العنصر الثامن k من تسلسل a_k على أنه a_k=f(k+1)-f(k) ، اعثر على الصيغة لـ \\sum_{k=1}^{n} a_k باستخدام المعادلة (*) أدناه واشرح السبب وراء ذلك.'

'من خلال استنتاج (2) و (4) فقط، من حقيقة أن البند العام للتسلسل المفصل للتسلسل {pn} هو (-1/2)^(n+1)، ابحث عن البند العام pn، أو من خلال استنتاج (1) و (3) فقط، حل العلاقة التكرارية بين البنود المتجاورة (3).'

'ممارسة: العثور على البند العام لسلسلة {an} المحددة من خلال الشروط التالية. (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'يرجى شرح كيفية حل نظام من المعادلات التكرارية المتزامنة.'

'ابحث عن المجموع S_{n} لسلسلة حسابية {a_{n}} مع العنصر الأول a، الفارق الشائع d، وعدد العناصر n.'

'لذلك، تسلسل {a_{n}+20} هو تسلسل هندسي بعنصر أولي يساوي 2 ونسبة مشتركة تبلغ 5/4.'

'ابحث عن البند العام لتسلسل $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ المحدد بواسطة الشروط التالية.'

'العثور على البند العام لتسلسل باستخدام صيغة المجموع'

'المثال رقم العملي 2 العلاقة التكرارية'

'بالنظر إلى جمع السلسلة Sn من العنصر الأول إلى العنصر الثامن، قدم الصيغة لإيجاد العنصر العام.'

'كيف تجد البند العام'

'كيفية العثور على البند العام من العلاقة التكرارية'

'مثال رقم التمرين 1 التسلسل الحسابي، التسلسل الهندسي'

'شرح تسلسل الحساب والبند العام، وجد البند العام بناءً على مثال.'

'ابحث عن مجموع البنود الأولى n من التسلسل المعطى.'

'ابحث عن قيمة الحد للتسلسل {an} الذي يتم تحديده بواسطة الشروط التالية. a1=0، a2=1، an+2=1/4(an+1+3an)'

'ابحث عن الحد للسلسلة \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المحددة من خلال الشروط التالية.'

'العثور على سلسلة لانهائية تتعلق بالمساحة.'

'ابحث عن مجموع سلسلة التسلسل اللانهائية التالية.\n(1) دع \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ تكون تسلسل هندسي بنسبة 2 ونسبة مشتركة مع البند الأول 2. ابحث عن \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (مماثل لمعهد آيتشي للتكنولوجيا)\n(2) لنكن \ \\pi \ الثابت الذي يمثل نسبة محيط دائرة إلى قطرها. حسب \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\nيمكنك استخدام الحقيقة أن \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) إذا لزم الأمر.\n(مماثل لجامعة كيو) \ \\rightarrow 33,35 \'

'ابحث عن الحد للتسلسل المحدد بواسطة الشروط التالية:'

'ابحث عن مجموع السلسلة $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$.'

'مبدأ خلق الائتمان'

'النظر في السلسلة اللانهائية التالية:'

'من خلال استخدام النتيجة من المثال أعلاه، أثبت أن متسلسلة لانهاية $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ تتبدل.'

'بالنسبة إلى سلسلة متقاربة $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$، حيث $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$، ثم ستتقارب السلسلة $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ أيضًا و $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$ (حيث $k, l$ ثوابت)'

'يرجى حل مشكلة متعلقة بمجموع سلسلة لا نهاية لها.'

'يرجى التحقق من تقارب التسلسل {1/n^k} عند k>0.'

'تدرب على إثبات أن المتسلسلات اللانهائية التالية تنحرف.'

'عدد الأشكال والتركيبات.'

'ابحث عن مجموع السلسلة التالية.'

'حدد الشروط لتكون التسلسل حسابيًا.'

'قم بإثبات صحة العبارة العامة التي تم تخمينها في (2) (1) باستخدام الاستدلال الرياضي.'

'ابحث عن مجموع السلسلة: \\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)'

'ابحث عن المجموع من البند الأول إلى البند الثالث في التسلسل.'

'العثور على البند العام للتسلسل التالي: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

'ابحث عن العنصر الخامس في التسلسل المحدد بالشروط التالية: (1) a₁=1، aₙ₊₁=3aₙ-1، (2) a₁=0، aₙ₊₁=-3aₙ+2n'

'ابحث عن المجموع التالي.'

'أثبت أنه إذا تقاربت سلاسل $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$، حيث $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$، فإن سلسلة $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ ستتقارب أيضاً وجد مجموعها. هنا، $k, l$ ثوابت.'

'أظهر شرط تقارب سلسلة هندسية لا نهائية.'

'قم بشرح وإثبات تقارب وتباين سلسلة هندسية لامتناهية. حدد الشروط التي تحتها تنحصر السلسلة اللانهائية التي تم إنشاؤها من التسلسل الهندسي اللانهائي {ar^n-1} بالعنصر الأولي a ونسبة النسبة r \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \، ابحث عن مجموعها، وحدد الشروط التي تحتها تتباين.'

'ابحث عن مجموع السلسلة \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\).'

'قم بدراسة تقارب وانحراف سلسلة هندسية لا نهائية ، وإذا تقاربت ، فجد مجموعها.'

'بالنسبة للسلسلة اللانهائية $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$،\n(1) حدد نطاق قيم $x$ التي تتقارب فيها هذه السلسلة اللانهائية.\n(2) دع $f(x)$ يكون مجموع هذه السلسلة اللانهائية عندما يكون $x$ في النطاق المحدد في الجزء (1). ارسم الرسم البياني للدالة $y=f(x)$ وقم باستقصاء استمراريتها.'

'أثبت أن سلسلة غير متناهية Σ(1 / n) تتبدل.'

'تمرين شامل'

'قم بدراسة حد المتتالية الهندسية اللانهائية {r^n}.'

'المثال 126 سلاسل لا نهاية لها والحدود (2)'

'مثال 11 | تقارب وتباعد السلاسل اللانهائية'

'قم بدراسة تقارب أو انحراف السلسلة اللانهائية التالية، وإذا تقاربت، فجد مجموعها. \n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]'

'قم بدراسة تقارب وتباعد التسلسلات التالية: (أ) { -n^{3} + 1 } (ب) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (ج) { \\frac{3}{n+2} } (د) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'تقارب وتباين السلاسل اللانهائية وحدود العناصر'

'ثبت معادلات التكامل غير المتساوية التالية.'

'تمرين 14 |II| → الكراسة ص .343\n(1) بافتراض أن تتقارب السلسلة {xn}، وقيمتها الحدية هي α\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\nوبالتالي، عندما n → ∞، xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\nبتربيع وإعادة ترتيب الجانبين يعطي α² - α - a = 0\nنظرًا لأن α > 0، فإن α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'ابحث عن مجموع السلسلة اللانهائية ∑ من n=0 إلى ما لا نهاية من (1/2)^n cos(nπ/6).'

'ثبت المعادلة رقم 22 من الكتاب الطويل'

'استخدام نظرية القيمة المتوسطة لحل مجموع المتسلسلات اللانهائية والتكامل الغير محدد'

'شرح حد سلسلة هندسية لا نهائية وأشر على الظروف التي تتقارب تحتها.'

'بالنسبة للتسلسل الذي يعرف بواسطة $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\cdots)$ ، دع $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$ . ابحث عن $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$ .'

'سلسلة لانهائية'

'أثبت أن سلسلة النقاط Pn(x_{n}, y_{n}) التي تستوفي العلاقة التكرارية والحدود (4) لنظام من المعادلات الخطية P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) على السطح. أثبت أن النقاط P1، P2، ... تقترب بشكل لا نهائي من نقطة ثابتة معينة. 〔مشابهة لجامعة شينشو〕'

'أثبت أنه بالنسبة لسلسلتين متقاربتين $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ تتقاربان إلى $S, T$ على التوالي، لثوابت $k, l$، فإن السلسلة $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ تتقارب أيضًا و $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$.'

'ابحث عن التكامل العيني \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \. أولاً، قسم الفترة \ [0, 1] \ إلى \ n \ أجزاء متساوية، ودع مساحة كل مستطيل بظل أزرق تكون \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots, n-1) \\) ، ثم الجمع هو\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'ابحث عن قيمة الحد للتسلسل \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المحددة بالشروط التالية.'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'ابحث عن قيمة الحد لتسلسل {an} المحددة بالشروط التالية.'

'حد التسلسل الهندسي اللامتناهي { r^n }'

'قم بفحص تقارب وتباين سلسلة التي تلي، وابحث عن المجموع إذا تحقق التقارب.'

'قم بدراسة تقارب أو انحراف السلسلة المتناهية الحدود \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ وجد مجموعها إذا تقاربت. يمكنك استخدام \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\).'

None

'أثبت أن المتسلسلة 1+ 1/2 + 1/3 + ... تنحرف.'

'ابحث عن مجموع هذه السلسلة اللانهائية: 1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'تدرب على استكشاف التقارب والتباين للسلسلة اللانهائية التالية ، وابحث عن المجموع إذا تقاربت.'

'يتم وضع مكعب يحمل علامة على وجه واحد على مستو أفقي. يتم اختيار إحدى الحواف الأربعة للقاعدة بالصدفة بنفس الاحتمال، ويتم رفع المكعب جانبيًا حول هذه الحافة n مرات. دع احتمال أن يكون الوجه المحمل لأعلى aₙ وأن يكون الموجه لأسفل bₙ. افترض أن الوجه المحمل يشير إلى الأعلى في البداية. (1) ابحث عن a₂. (2) عبّر عن aₙ₊₁ بالنسبة لـ aₙ. (3) اعثر على limₙ→∞ aₙ.'

'استخدم نتيجة (2) ، وجد مجموع المتسلسلة اللانهائية Σ_(n=1)^∞ n/2^n. يمكنك استخدام حقيقة أن lim (n→∞)(n/2^n)=0.'

'بالنسبة لسلسلة لانهائية $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$، ابحث عن (1) نطاق القيم لـ $x$ التي تتقارب فيها هذه السلسلة اللانهائية. (2) دع $f(x)$ يمثل مجموع هذه السلسلة اللانهائية عندما يكون $x$ في النطاق الذي تم العثور عليه في (1). ارسم الرسم البياني للدالة $y=f(x)$ وقم بدراسة استمراريتها.'

'ابحث عن قيمة الحد للتسلسل $\\{a_{n} \\}$ المحدد من خلال الشروط التالية.'

'اعثر على مجموع السلسلة اللانهائية \\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\).'

'الفصل 3\nالتفاضل والتكامل - 105\nعندما يكون n ≥ 2\n\\[\egin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nهذا ينطبق حتى عندما n=1.\n\\[\\text{وبالتالي،} \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\nالفصل 3\nمثال'

'ابحث عن مجموع متسلسلة لامتناهية التالية.\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'أثبت أن سلسلة ∑(1/n) تنحرف.'

'ابحث عن حد المتتاليات التالية.'

'ابحث عن مجموع سلسلة لانهائية التالية.'

'أثبت أن سلسلة التسلسل اللامتناهي التالية تنحرف. (1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية التي تنحسر فيها سلسلة لا نهائية.'

'قم بدراسة التقارب والانحراف للمتسلسلات اللانهائية التالية، وابحث عن المجموع إذا تقاربت.'

'استكشف حدود التسلسلات التالية.'

'ثبت أن سلسلة اللانهائية التالية تنحرف.'

'ابحث عن حد السلسلة المحددة بالشروط التالية.'

'ابحث عن حد تسلسل {an} الذي يتم تحديده بواسطة الشروط التالية.'

'ابحث عن مجموع السلاسل اللانهائية التالية.'

'ابحث عن طول المنحنيات التالية \ L \. (1) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right.'

'ابحث عن نطاق من الأرقام الحقيقية x التي تجعل التسلسلات التالية تتلاشى. كما ابحث عن قيمة الحد في تلك اللحظة.'

'سلسلة هندسية لانهائية'

'ابحث عن مجموع سلسلة لانهائية ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6).'

'من خلال استخدام صيغة المجموع الجزئي، اعثر على شرط التقارب ومجموع المتسلسلة الهندسية اللانهاية a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots.'

'(1) المتسلسلة اللامتناهية \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ تنحسر \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

''

'ابحث عن الحد للتسلسل المحدد بالشروط التالية: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ .\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

''