التحليل - الحدود والاستمرارية

'(1) ابحث عن \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\).\n(2) لنفترض x-a=h، ثم x=a+h، عندما x \\longrightarrow a، h \\longrightarrow 0. ابحث عن التعبير التالي:\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'ابحث عن الحدود التالية.'

''

'ابحث عن الحدود التالية. لاحظ أن \ a \ في (3) هو ثابت.'

'ابحث عن الحدود التالية، حيث (a) هو ثابت.'

'شرح طرق إثبات المعادلات وعدم المساواة.'

'المشتقة وحسابها: شرح التعريف لإيجاد المشتقة.'

'(20) تحديد معاملات التسلسل من الشروط الحدية\nتحديد معاملات التسلسل من الشروط الحدية.\nمثال: من أجل أن يتقارب التسلسل {an} ، يجب تحديد معامل معين a مسبقًا. اعثر على هذا المعامل.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'الدالة الشهيرة والحد المرتبط بها'

'ابحث عن الحد التالي.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ممارسة: دع المنحنى y=√(4-x) يُمثّل بـ C. بالنسبة ل t (2≤t≤3)، اعتبار النقاط (t,√(4-t)) على المنحنى C، المنشأ، والنقطة (t,0) لتشكيل مثلث بمساحة تمثل بـ S(t). قسم الفترة [2,3] إلى n أجزاء متساوية، حيث يُمثّل نقطتي النهاية ونقاط التقسيم بالترتيب المتزايد كـ t₀=2، t₁، t₂، ⋯، tₙ₋₁، tₙ=3 ، ثم العثور على القيمة المحددة limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ)).'

'لنتعلم عن التكاملات التحديدية وحدود المجموعات، وعدم المساواة.'

'ابحث عن الحدود التالية: (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'حدد تسلسلًا {In} حسب العلاقة I0 = ∫₀¹ e^(-x) dx, In = (1/n!) ∫₀¹ x^n e^(-x) dx (n=1,2,3,......). أجب على الأسئلة التالية:\n (1) اعثر على I0 و I1.\n (2) عبر عن In-In-1 في شروط n لـ n≥2.\n (3) اعثر على الحد lim(n→∞) In.\n (4) حدد Sn=∑(k=0,n) 1/k!. اعثر على الحد lim(n→∞) Sn.'

'عندما ترضي التسلسل {an}(n=1,2,3,⋯⋯) lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6، ثم lim_{n→∞}nan= \\ square.'

'الحد الأقصى للدالة: ابحث عن الدالة f(x) بموجب الشروط التالية:\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

''

'ابحث عن الحدود التالية:\n(1) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n(2) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n(2) جامعة طوكيو دينكي'

'العثور على الحد التالي.'

'نضع في اعتبارنا التسلسل {an(x)}، حيث an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x (0≤x≤π).'

'العثور على حد التسلسلات (2)...تعابير غير منطقية ، إلخ'

''

'حد الدالة \ y=x e^{-x} \ هو \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \.'

'العثور على الحد المتعلق بالمنطقة.'

'ابحث عن حد التسلسل {an}.'

'دع { an(x)} تكون سلسلة معرفة بواسطة an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π).'

'ما هو الحد من \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\)؟'

'شرح استمرارية وتحقق الاشتقاق للدوال.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ابحث عن حدود التسلسل {an}'

'إذا كان معامل التفاضل موجودًا ، فإن \\( f(x) \\) قابل للتفاضل في \ x=a \'

'استقصاء حد التسلسل 1/2، 2/3، 3/4، 4/5، ...'

'ابحث عن حدود السلسلة التالية:\n\nبالنسبة للسلسلة { n^k } ، اعثر على الحدود عندما يكون k عدد صحيح موجب وعدد كسري موجب وعدد غير منطقي موجب ، على التوالي.'

'ابحث عن الحد للتسلسل الذي يمثله العنصر الثالث.'

'ابحث عن حد المتسلسلة الممثلة بالتعابير التالية للمصطلح الثاني.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'العثور على الحد التالي.'

'احسب الحد التالي \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \.'

'العثور على حد المتسلسلة الممثلة بالبند الثاني مع التعابير التالية.'

'يرجى حل مشكلة العثور على الحد التالي: \\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\)'

''

'العثور على حد التسلسل الذي يُمثله التعابير التالية للمصطلح الثامن.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'احسب الحدود التالية.'

'العثور على حد السلسلات التالية:'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'(2) دع $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$، ثم $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$. نظرًا لأن $S_n$ يمثل مجموع مساحات المستطيلات، فإن $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$. يمكن حل المسألة بطريقة بديلة وهي $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$.'

'(2) لنكن {an} تسلسل من الأعداد الصحيحة الإيجابية بأرقام n. ابحث عن الحد lim(n→∞) (log10an)/n. [جامعة مدينة هيروشيما]'

'يرجى التحقق من الانحسار في التسلسل المعطى {n^k} (k>0).'

'الحد من جهة واحدة لوظيفة'

'بأي طريقة يمكن للرسوم البيانية الحمراء ترسيخ المهارات الرياضية؟'

'العثور على الحد من 62.'

'64\n\\[\n\\text { (1) } \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"التفاضل والدوال التفاضلية\nالتفاضل\nD متوسط معدل التغيير ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD التفاضل (معدل التغيير)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'(4) يُسمح باستخدام $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$.'

'شرح تعريف استمرارية وظيفة.'

'من خلال التكرار، نحصل على $a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$. لذلك، $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$.'

'العثور على حد الدوال الممثلة بالتكاملات المحددة'

''

'عندما تتقارب السلاسل {a_n} و {b_n} ، تنطبق القواعد التالية:'

"ابحث عن الحدود التالية. حيث 'أ' ثابت."

'ابحث عن حدود التسلسلات التالية: (1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}'

'دع الخط الرفيع يمثل الخط المستقيم y=ax+b ، ثم الحد من f(x)/x بينما x يقترب من موجب أو سالب لا نهاية هو a ، والحد من f(x)-ax هو b.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'أثبت الخصائص التالية لسلاسل التقارب {an},{bn} حيث lim(n→∞)an=α و lim(n→∞)bn=β:\n1. ضرب ثابت lim(n→∞)k an=kα\n2. مجموع - فرق lim(n→∞)(an+bn)=α+β, lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'ثبت المعادلة التالية. \\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'أثبت أن الحد من التتابع {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } عندما r>1 ، lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞。'

'الرياضيات الثالثة\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nلذلك، بمجرد أن يكون \ n \\longrightarrow \\infty \, الانحسار نحو قيمة غير صفرية ل \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) يحدث عند \ k-2=0 \ أي \ k=2 \ و \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'الرياضيات الثالثة'

'مثال 329 | حدود من جهة وجود الحدود'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\h \\longrightarrow+0\ و \h \\longrightarrow-0\ لهما نفس قيمة الحد، و\\(f^{\\prime}(0)=1\\) الذي يعني أن \\(f(x)\\) قابل للتفاضل في \x=0\.\nلذلك،\\(f(x)\\) مستمرة في \x=0\.'

'باستخدام قاعدة لوبيتال، ابحث عن الحدود التالية.'

'عندما تتقارب التسلسلات {a_{n}}, {b_{n}}، ينطبق ما يلي:'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'نظرًا لأن $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$، فإن الخط $y=0$ هو خط الانفصال.'

'مثال 19 | الصيغة التكرارية والحد (3)'

'العنصر الثامن a_{n} هو a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1}، لذلك، \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0، لذلك، تنحرف هذه السلسلة اللانهائية.'

'ننظر إلى التسلسل {an}، حيث البند الثاني an هو عدد صحيح إيجابي من n أرقام. ابحث عن الحد lim (n→∞) (log10 an)/n.'

'ابحث عن lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n و lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ابحث عن حد التسلسل {r^n}.'

'أثبت أنه إذا كان للمنحنى لا يزيد عن نقطة انعطاف واحدة، فإن المنحنى لا يحتوي على إرتداد.'

'ابحث عن الحد التالي. (أ)lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'تمرين شامل'

'أثبت أنه عندما يقترب رقم البند n من التسلسل غير المحدود {an} إلى اللانهاء، إذا كان a_n يقترب إلى قيمة ثابتة α، فإن lim{n -> ∞} a_n=α، أو عندما يقترب n إلى اللانهاء، يقترب a_n نحو α، ويُعرف α كقيمة الحد الخاص بالتسلسل {an}. أثبت هذا البيان.'

'ابحث عن حدود التسلسلات {r^n / n^k}, {n^k / r^n}.'

'إذا كانت الدالة f(x) متصلة لجميع قيم x في نطاقها، كيف يُعبَّر عن ذلك؟'

'عندما x > 1 ، تنطبق عدم المساواة 0 < log x < x. باستخدام هذه العدم المساواة ، ابحث عن الحد lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\. هنا ، يعتبر log x اللوغاريتم الطبيعي بقاعدة e = 2.71828....'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'عندما تكون الدالة ( ) مستمرة بالتتابع في الفترة ( ) وقابلة للتفريق في ( ) ، وعندما تكون الحدود ( ) موجودة ويتطابقان ، فإن ( ) ناتجة للدفق في ( ) في ( )'

'العثور على الحد التالي.'

'تحقق مما إذا كانت الوظائف التالية مستمرة وقابلة للتفريق في x = 0:'

'العثور على الحد من (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}'

'مسألة تمرين 22 إثبات صيغة واليس، صيغة ستيرلنج'

'(1) احسب $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$'

'بالنسبة لعدد حقيقي x ، دع [x] يكون العدد الصحيح m الذي يرضي m ≤ x < m+1. اعثر على الحد عندما يقترب n من اللانهاية من [10^(2n)π] / 10^(2n).'

'ابحث عن حدود التسلسلات التالية. (أ) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (ب) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (ج) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'شرح حول الحد من جهة واحدة لوظيفة.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'العثور على الحدود التالية. حيث أن α هو ثابت.'

'ابحث عن الحد المعطى.'

'(1) ابحث عن قيم الثوابت \ a, b \ التي ترضي المعادلة \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \.\n(2) عبّر عن \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) بالنسبة لـ \\( f^{\\prime}(a) \\).'

''

'ابحث عن الحدود التالية.'

'العثور على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ممارسة العثور على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ثبت عدم المساواة لمجموع سلسلة وجد الحد (1) لأعداد طبيعية n أكبر من أو تساوي 2، أثبت العدم المساواة التالية.'

'ابحث عن العنصر العام an والمجموع Sn من العنصر الأول إلى العنصر الثامن.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'(4) الحد من اليمين هو 0 ، من اليسار هو 1. الحد غير موجود'

'بالنسبة للعدد الحقيقي x، دع [x] تعبر عن العدد الصحيح m الذي يرضي m≤x<m+1. ابحث عن قيمة lim n→∞ [10^2nπ]/10^2n حيث يتجه n نحو اللانهاية.'

'(٣) (أ) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ لذلك \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ بالتالي \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'عندما تستوفي الدالة \\( f(x) \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) ، ابحث عن \\( f(x) \\).'

"العثور على الحدود التالية. حيث أن 'a' ثابتة."

'إيجاد قيمة \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\).'

'العثور على الحد التالي. $\\ الحد _ {ن \\ الى \\ لانت} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left(e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac {3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right)$'

'ابحث عن الحد الذي \ S_{n} \ يقترب منه بينما \ n \ يقترب من اللانهاية.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية. إذا لزم الأمر، يمكنك استخدام \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ في (2).'

'العثور على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'لذلك، $\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$، $\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$ طرح المعادلتين يعطي $a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$، حذف $a_{n+1}$. لذلك، $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

''

'ابحث عن الحدود التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية. (2) حيث \ p>0 \.\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'العثور على الحد.'

''

'حدد قيمة الثابت a بحيث تكون المعادلة $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$ صحيحة.'

'العثور على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحد التالي (1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'حل المشكلة التالية:'

'(1) دع \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) تكون تسلسل حيث \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\), ثم\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ هو } \'

'(1) احتسب $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$'

''

'شرح العلاقة بين القابلية للتفاضل والاستمرارية.'

'تحقق مما إذا كانت الدالة مستمرة وقابلة للتفاضل في النقطة x=0. (2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'حدد قيم ثوابت a و b بحيث يتم الوفاء بالمعادلة. \\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'حدد قيم الثوابت a و b بحيث تكون المعادلات التالية صحيحة.'

'شرح مفاهيم التقارب والتباعد في الحدود، ووصف الخصائص الأساسية لسلوك السلاسل.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'عندما تستوفي الدالة من الدرجة الثالثة f(x) شرط lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3، اعثر على f(x).'

'حد الدالة'

'حدود الدوال المثلثية\nعندما تكون وحدة الزاوية بالراديان \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'(1) الحد موجود من الجانب الأيمن والجانب الأيسر؛'

'العثور على الحد للتسلسل الممثل بالفصل الخامس.'

'اشرح معنى اقتراب x من a+0 واقتراب x من a-0 في الدالة f(x) ، وسواء كان حد الدالة موجودًا عند تطابق هذه القيم أم عندما تكون مختلفة.'

'عندما تتقارب السلاسل {a_n} و {b_n} وحدودهما عندما يقترب n من اللانهاية a_n = α, b_n = β.'

'باستخدام قاعدة لوبيتال، اعثر على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحد التالي. (4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'قيم الحد التالي.'

'لنكن \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) هو التسلسل المحدد بواسطة \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) . (1) ابحث عن الحد \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) لهذا التسلسل. (2) دع \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) يُعرف بواسطة \\( A(x) \\) ، ارسم المُخطط البياني للدالة \\( y=A(x) \\).'

'بالنسبة لدالة مستمرة على فترة مغلقة ، ينطبق مبدأ القيمة الوسيطة. بمعنى آخر ، بالنسبة لدالة مستمرة f(x) على فترة مغلقة [a، b] ، بالنسبة لأي قيمة k بين f(a) و f(b) ، يوجد c ما يجعل f(c) = k. عندما لا تتحقق هذه الشرط ، فكر في الدالة f(x) = sin(1/x) المفترضة مستمرة على الفترة (0، 1] ، واشرح السيناريو حيث لا يوجد c مما يجعل f(c) = k لقيمة معينة k.'

''

'بفرض أنه كل عام في المستقبل، ينتقل ثلث الأشخاص الذين يعيشون خارج طوكيو إلى المدينة، وينتقل ثلث الأشخاص الذين يعيشون في المدينة خارجها. دع سكان الناس خارج المدينة في السنة الثانية an والداخلية bn. ابحث عن lim n→∞ an/bn. يُفترض أن الإجمالي لسكان كل من الداخل والخارج للمدينة ثابت بغض النظر عن السنة.'

'عرّف S كالحد التالي، ابحث عن قيمة S.'

'102 a=4, b=-1, الحد -\\frac{15}{8}'

'بناءً على الشروط المعطاة، ابحث عن إحداثيات نقطة Q ومسار السرعة. عندما تتحرك النقطة P على محور السين من الأصل (0,0) إلى (π,0) بسرعة π في الثانية، ابحث عن سرعة النقطة Q (v(t)) بعد ثوان t.'

'العثور على الحدود التالية.'

'تمارين الحدود في الفصل 4'

'استمرارية الدالة'

'أثبت أنه بالنسبة لتسلسل لا نهائي {an} (n=1,2,⋯⋯)، حيث يقترب n من اللانهاية فإن الحد النهائي ل 1/n^k هو 0.'

'قم بدراسة الحد للتسلسل التالي \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ المعطى بواسطة \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \.'

'العثور على الحد التالي.'

'الرياضيات \nفي تنظيف المقام بالمقام، لدينا (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) وبالتالي 2 c^{2}=x+1 وبالتالي c^{2}=\\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 لذلك c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \n\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)} =\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \n\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'ابحث على الحد الذي يمثله السلسلة من خلال العنصر الثالث.'

'لجعل الحد \\(\\lim_ {x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\) له قيمة محددة، حدد قيم ثوابت \a، \\quad b\ وجد قيمة الحد.'

'ابحث عن الحد التالي.'

''

'ابحث عن الحد للتسلسل الذي يمثله البند الثاني والثلاثون'

'تمرين شامل'

'احسب \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'ابحث عن الحدود التالية.\n\n(1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) جامعة ياماغوتشي، (2) معهد شيباورا للتكنولوجيا〕'

'دع التسلسل \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) يكون معرفًا على النحو التالي \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) .\n(1) اعثر على الحد لهذا التسلسل, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) .\n(2) دع \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) يُعرف بـ \\( A(x) \\). رسم رسم بياني للدالة \\( y=A(x) \\) .\n〔جامعة ميجو〕'

'ابحث عن قيمة الثابت \ a \ بحيث يتحقق المعادلة \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\).'

'استكشف حد التسلسل 1/2، 2/3، 3/4، 4/5.'

'العثور على الحدود التالية.'

'العثور على الحد التالي.'

'ابحث عن الحدود التالية. (1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'حد تسلسل'

'ابحث عن الحد \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n}.'

'قد تبدو العبارات التالية المتعلقة بالحدود غامضة، ولكن في الواقع، هي جميعا غير صحيحة. دعونا نكتشف متى لا تحدث من خلال دراسة الأمثلة المضادة.'

'(1) عندما \ x \\rightarrow \\infty \, \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ قسم البسط والمقام على \ 2^{x} \.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'(2) \ \\quad( \ والتعبير \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'معامل التفاضل'

'(2) الحد من اليمين هو \ \\infty \, من اليسار هو \ -\\infty \; الحد غير موجود'

'ابحث عن قيم الحدود الثلاثة. حيث $a$ هو ثابت.\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'ابحث عن حدود السلاسل التالية. (أ) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, (ب) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots'

'ممارسة العثور على حد المتتابعات التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية. يرجى ملاحظة أن a و b ثابتان. (1) جامعة أوتارو ، (2) جامعة طوكيو دينكي'

'(2) احسب \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \ .'

'العثور على الحد من $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$.'

'بالنسبة للتسلسل المعطى {a_n}، ابحث عن الحد \\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'احسب القيمة المحددة للحد التالي من S.'

'(1) بالنسبة للتسلسل {an} الذي يرضي العلاقة التالية، ابحث عن lim(n→∞)an و lim(n→∞)nan. 30(a): lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'أثبت أن الدالة f(x) غير قابلة للتفاضل في x=π/2.'

'حل المشكلة التالية:'

'ابحث عن الحد من المعادلة \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'العثور على الحدود التالية.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'العثور على الحد.'

' (1) مستمرة ولكنها غير قابلة للتفاضل\n (2) مستمرة وقابلة للتفاضل'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { حيث } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { لذلك } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { وبالتالي } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'قم بدراسة الحدود عندما يقترب x من 1-0 ، وعندما يقترب x من 1+0 ، وعندما يقترب x من 1.'

'المثال 16 | حدود الدوال (2)'

'ابحث عن الحد. \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'مثال (41) الحدود والمشتقات'

'بالنسبة إلى الحد السلسلة \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \, ينطبق ما يلي.'

'[2] مثال$\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'ابحث عن الحد. دون استخدام الصيغة أعلاه (1). (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'كيفية إيجاد حد لوظيفة'

'ابحث عن الحدود التالية. [(1) جامعة كيوتو، (2) معهد طوكيو للتكنولوجيا] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'استخدام تعريف \ e \ لحساب الحدود\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\), اعثر على الحدود التالية:\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'ابحث عن الحدود التالية. (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'تحديد رقم الصفحة المتعلقة بحدود الدوال المثلثية من الجدول المعطى.'

'ابحث عن الحد التالي. (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[معهد أوساكا للتكنولوجيا]'

'\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ لذلك \\[ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]'

'أجب على الأسئلة التالية.'

'(1) نظرًا لأن القاعدة \\\sqrt{2}>1\ ،\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n (2) نظرًا لأن القاعدة \0<\\frac{2}{3}<1\ ،\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'عندما r>-1 ، اعثر على الحد lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1)).'

'ابحث عن الحد التالي:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'المثال 15 | حد دالة (1)'

'الحد الأقصى والأدنى لدالة\nبالنسبة لدالة مستمرة f(x) على فترة [a، b] ، يتم تحديد القيم القصوى والدنيا من قبل\n[1] القيم القصوى والدنيا لـ f(x) عند a ≤ x ≤ b\n[2] مقارنة القيم في نهايات الفترة ، f(a) و f(b)\nملاحظة: للعثور على قيم الحد الأقصى والأدنى لـ f(x) على فترة (a، b) ، يتعين مقارنة القيم المتطرفة لـ f(x) وقيم lim x→a+0 f(x) و lim x→b-0 f(x). أيضًا ، في حالة الفترة (a، ∞) ، يتطلب المقارنة مع lim x→∞ f(x).\nيجب ملاحظة أنه في الفترات المفتوحة ، قد لا تكون القيم القصوى والدنيا موجودة دائمًا.'

'تحقق ما إذا كانت الدوال التالية مستمرة وقابلة للتفريق عند x=0:\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'ابحث عن الحد من التسلسلات التالية. 17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'أثبت ما يلي باستخدام المبرهنة الثنائية:\n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'ما هي النقاط الرئيسية في تحويل التعبيرات في الحدود؟'

'باستخدام نظرية القيمة المتوسطة ، ابحث عن الحدود التالية.'

'تعريف حد تسلسل'

'حل مشكلات تتعلق بحدود التسلسل (باستخدام عدم المساواة).'

'الفصل 2 الحد 69 الحل البديل'

'استكشاف الحد في الحالات التالية.'

'باستخدام قاعدة لوبيتال ، ابحث عن الحد التالي.'

'ابحث عن الحد الذي تمثله المتسلسلة في البند الثاني.\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'حد التسلسل'

'مثال 15 | مبدأ المقص (2) (2) دع {a_{n}} تكون تسلسل حيث العنصر الثامن a_{n} هو عدد صحيح إيجابي من n أرقام. العثور على الحد lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n.'

'الفصل 6 تطبيق التكامل'

'حدد قيم ثوابت a، b بحيث تتحقق المعادلة.'

'مثال 17 أثبت أن lim_{n→∞} (r^n / n^2) = ∞ للتسلسل {r^n / n^k}, {n^k / r^n} عند r > 1.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'اشرح ما يقصد بالحد من جهة واحدة لوظيفة ، وقم بتمثيل الحد الأيمن لـ f(x) برمز عندما يقترب x من a من النطاق x > a.'

'أثبت أن (1) ، (2) صحيحة.'

'(1) عندما ترضي التسلسل {an}(n=1,2,3,⋯⋯) lim_{n→∞}(2n-1)an=1 ، ابحث عن lim_{n→∞}an و 13lim_{n→∞}nan.\n(2) ابحث عن قيم ثوابت a, b عندما تكون lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5.'

'تطبيقات الحساب التفاضلي'

'ابحث عن الحد دون استخدام الصيغة المعطاة (1).'

'ابحث عن الحد التالي:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'لنكن f(x)=-log x. بالنسبة لعدد حقيقي a، ابحث عن عدد خطوط المماس للمنحنى y=f(x) التي تمر عبر النقطة (a, 0). يمكنك استخدام lim_{x→+0} x log x=0.'

'مثال 35 | مشكلة نصية عن حد الدوال المثلثية'

'هذه مشكلة في إيجاد حد لدالة. يرجى تحديد قيمة الحد للدالة f(x) عندما يقترب x من a. على وجه الخصوص ، ضع في اعتبارك الحد الأيمن \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) والحد الأيسر \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x).'

'ابحث عن الحدود التالية.'

''

'ابحث عن \ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \.'

'قم بدراسة الحد الخاص بالخطوط المستقيمة المتوازية لمحور الصِّنْدُول (x=a).'

'ابحث عن الحد التالي:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'حل المشاكل المتعلقة بحدود السلاسل (المضروبات والكسور).'

'العثور على الحد.\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) ابحث عن \\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\). \n(2) ابحث عن \ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'(3) حول الأعداد الحقيقية'

'دعونا نلخص النقاط الرئيسية للطرق التي تعلمناها حتى الآن لحساب حدود التتابعات. طرق للعثور على حدود تتابع'

'ابحث عن الحد.'

'ابحث عن الحد التالي.'

"إذا كانت f(x) دالة قابلة للتفاضل في x=a ، فيمكن تعبير القيم التالية باستخدام a ، f(a) ، f'(a) ، الخ.:\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'العثور على الحدود التالية. (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'لنكون f(x) دالة قابلة للتفاضل لجميع الأعداد الحقيقية x وتستوفي الشروط الاثنين التاليين.'

'ابحث عن الحد التالي'

'ابحث عن الحد للتسلسلات التالية'

'(1) ابحث عن الحدود التالية: (أ) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (ب) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (ج) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) بالنسبة لـ $x>1$ ، تنطبق المعادلة $0<\\log x<x$ . باستخدام هذا المعادلة ، ابحث عن الحدّ $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$. حيث $\\log x$ هو اللوغاريتم بقاعدة العدد $e=2.71828 ....$ .'

'العثور على الحدود التالية.'

'بالنسبة إلى تسلسل مصطلحات إيجابية $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$، إذا كان $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$، فإنه إذا كان $k<1$ فإن التسلسل $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ يتقارب، وإذا كان $k>1$ فإن التسلسل $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ يتبدل.'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'حل مشاكل تتعلق بحد التعبيرات الغير منطقية.'

'باستخدام قاعدة لوبيتال ، اعثر على الحدود التالية.'

'شروط وجود الحد'

'ابحث عن الحدود التالية.'

'العثور على الحدود التالية:'

'اعثر على الحد الذي تمثله المتتالية بالتعبيرات التالية.'

'ابحث عن الحد الخاص بالسلاسل التالية'

'العثور على الحدود التالية.'

''

'ابحث عن الحدود التالية.'

'(2) حساب \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'داخل دائرة C ذات نصف قطر 1 المتمركزة في O ، يوجد نقطة فريدة A ليست في المركز. دع نقطة التقاط النصف الخطية OA و C تكون P0 ، ودع P0 تكون نقطة البداية لتقسيم محيط C إلى n أجزاء متساوية باتجاه عقارب الساعة بالتسلسل ك P0 ، P1 ، P2 ، ... ، Pn=P0. اعتبر المسافة بين A وPk كـ APk. العثور على الحد عندما يقترب n من اللانهاية من 1/n * Σ(k=1 إلى n)(APk^2)^2. بشرط أن OA=a. [جامعة غونما]'

'ابحث عن حد المتسلسلة {r^n / n^k}.'

'احسب الحد التالي.'

'لنكن {an} سلسلة لانهائية. قيمة التقارب α تتقارب (لا تتقارب) إلى الانحراف الى ما لا نهاية \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ أو سالب ما لا نهاية \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \، تتذبذب. عندما تكون حدود السلسلة \ \\infty \ أو \ -\\infty \، فإنه لا يُطلق عليه القيمة الحدية.'

'(3) ابحث عن \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\).'

'عندما تكون r عددًا حقيقيًا ، ابحث عن الحد lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n)).'

'ابحث عن حد تسلسل { r^n }.'

''

'(1) أثبت $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$. (2) ابحث $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$.'

'ابحث عن الحد التالي.'

'ابحث عن الحد التالي. (3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'ابحث عن الحد من التعبير للعنصر الثاني.'

'بنظركم ، هل البيان التالي صحيح عندما نأخذ في الاعتبار التسلسلات {an}، {bn}؟ قم بإثبات صحته إذا كان صحيحًا ، أو قدم مثال ضد ذلك إذا كان خاطئًا. حيث أن α ، β ثوابت.'

'إذا كان a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx، فإن lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = .'

"دع a يكون ثابتا، ولتكن الدالة f(x) قابلة للتفاضل عند x=a. عبر عن الحدود التالية باستخدام a و f'(a)."

'(3) عندما \ x \\longrightarrow \\infty \ ، \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \ ، لذلك \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'ابحث عن الحد التالي ل PR.'

'ابحث عن الحدود التالية.\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'ابحث عن الحد التالي: \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'العثور على حد الدالة المثلثية sin(x)/x بينما يقترب x من 0.'

'عندما يكون r>-1، ابحث عن الحد lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}. (2) عندما يكون r عددًا حقيقيًا، ابحث عن الحد lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}. تلميح (2) عندما يكون r=-1، r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1. (1) عندما |r|<1، يكون lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0، لذلك يكون الحد lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0. عندما يكون r=1، يكون r^{n}=r^{n+1}=1، لذلك يكون الحد lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}. عندما r>1، تكون \\left|\\frac{1}{r}\\right|<1، لذلك يكون الحد lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0، لذلك يكون الحد lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'العثور على حد التسلسل الممثل بالتعابير التالية:'

'الحد من تسلسل {r ^ n}'

'ابحث عن الحد في المثال الأساسي المعطى 35 (3).'

'الفصل 2\nالحد\nEX متسلسلة \ \\{a_{n}\\} \ ترضي \\( a_{n}>0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, ابحث عن \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'ابحث عن الحد التالي. \ \\lim _{x \\rightarrow -0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'يرجى تقديم دليل باستخدام طريقة النزول اللانهائي.'