التحليل - المعادلات التفاضلية الأساسية

'ابحث عن التكاملات العينية التالية.'

'يُرجى تقديم إشراف للتفسير'

'إثبات خصائص التكامل التمامي (أ)، (ب)، (ج)'

''

'إحداثي x لتقاطع القطعتين هو الحل لمعادلة x^{2}+x+2=x^{2}-7x+10. لذلك، x=1'

'ثبت الاقتراح حول الشرط والمجموعة.'

'ثبت أن المعادلة التفاضلية يمكن تحويلها إلى الشكل التالي وإيجاد الحل. عن طريق وضع y = uv ، سنحصل على du/dx * v + u * dv/dx - uv/x = x'

''

'قم بإثبات المبرهنة التالية: بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، إذا كانت الدوال المشتقة من الدرجة الثانية f^{(n)}(x) و g^{(n)}(x) لـ f(x) و g(x) موجودة ، فإن الدالة المشتقة من الدرجة الثانية للضرب f(x) g(x) يمكن تعبيرها كما هو موضح في مبرهنة لايبنتز.'

'دليل على عدم المساواة باستخدام نظرية القيمة المتوسطة للتكامل'

"المشتقة الثانية والأقصى: عندما تكون $f'(a)=0$، إذا كانت $f''(a)$ موجودة، يمكن استخدامها لتحديد الأقصى."

'أثبت باستخدام الاستدلال الرياضي أن المعادلة (1) صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية n.'

'يتم تعريف المشتقة في x=a للدالة y=f(x) على النحو التالي.'

''

'تكامل البديل وبالأجزاء للتكاملات غير المحددة'

'إثبات (المتوسط الحسابي) ≥ (المتوسط التربيعي) بواسطة الأشكال الهندسية'

'التكامل المحدد والحجم'

'هناك مشكلة في دليل التكامل المحدد لـ Iₙ في الرياضيات (1).'

''

'العثور على المساحة $S$ المحاطة بالمنحنى \\left\\{\egin{\overlineray}{l} x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t \\end{\overlineray} (0 \\leq t \\leq \\pi)\\right., محور $x$، والخط $x=\\pi$.'

'استخدم التكامل بالأجزاء لإيجاد التكامل التالي.'

"عندما توفي الدالة القابلة للتفاضل f(x) (x>0) المعادلة f(x)=x log x + ∫1^e t f'(t) dt ، ابحث عن f(x)."

'بفرض $\\frac{dy}{dx}=-2$ ، نحصل من (*) على $-\\frac{8x+y}{x-3y}=-2$، وبالتالي $6x+7y=0$، باستبدال $x=\\frac{e^{t}+3e^{-t}}{2}$ و $y=e^{t}-2e^{-t}$ في (6) وتبسيطها، نحصل على $2e^{t}-e^{-t}=0$، لذلك $e^{-t}(2e^{2t}-1)=0$، ونظرًا لأن $e^{-t}>0$، فإننا نحصل على $e^{2t}=\\frac{1}{2}$، مما يؤدي إلى $2t=-\\log 2$، وبالتالي $t=-\\frac{1}{2}\\log 2$.'

'(1) في المثال المهم 220، دع Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx (حيث n عدد صحيح غير سالب)، أثبت أن Iₙ=Jₙ عندما يكون n أكبر من أو يساوي 0.'

'ابحث عن التكاملات القطعية التالية.'

'نظرية القيمة المتوسطة'

'ابحث عن الدالة f(x) التي ترضي المعادلة التالية: (3) f(x)=1/2 x+∫[0, x](t-x) sin t d t'

'يرجى شرح التكاملات المحددة وحدود المجموعات.'

'ابحث عن التكامل غير المحدد التالي.'

'تطبيقات التكامل'

'ابحث عن التكامل المحدد: \\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x\'

"حل المعادلة التفاضلية التالية والعثور على القيمة القصوى. بافتراض f'(x)=0، سيصبح x / sqrt(4-x²)=1. لذلك، sqrt(4-x²)=x. برفع الطرفين إلى التربيع نحصل على 4-x²=x². وبالتالي x²=2، لذا x=±sqrt(2). بين هذه القيم، x>0 لذلك x=sqrt(2). بعد ذلك، f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0، لذلك x=sqrt(2) له قيمة قصوى. لذلك، القيمة القصوى هي f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1)."

تحقق من صحة المعادلة التالية للمجموعات الفرعية $A, B$ من المجموعة الشاملة $U$ باستخدام رسم تخطيطي: \( \overline{(ar{A} \cap B)}=A \cup ar{B} \)