الوظائف المتقدمة - الدوال المثلثية وتطبيقاتها

'تمرين 8 III (2)'

'\ \\sin \\theta=x \ و \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ ، فإن المعادلة تكون \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ أو \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ الشرط المطلوب هو أن المعادلة التربيعية \\( (*) \\) تمتلك حلا عدديًا على الأقل في النطاق \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \. لنفرض \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\) ، ولنفرض أن البذر الخاص بـ \\( f(x)=0 \\) هو \ D \. 1] شرط أن يكون كلا الحلين في النطاق \ -1<x<1 \ هو أن يتقاطع الرسم البياني لـ \\( y=f(x) \\) (بما في ذلك حالة الملمس) مع جزء المحور \ x \ بين \ -1<x<1 \ ، وتتحقق في الوقت نفسه الشروط التالية (i)---(iv). (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ محور \ <1 \'

'شروط وجود حلول للمعادلات المثلثية'

'العثور على الفترة الزمنية ل y = \\sin k \\theta.'

'تحقق 39 ⇒ الصفحة 187 في هذا الكتاب. (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية. يرجى ملاحظة أن نطاق θ هو 0≤θ≤π. (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'عبّر عن y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 في صورة cosθ.'

'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ منها \ 1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta \ ، لذلك \\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta\ \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'لنكن f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x و g(x)=a x(x-2) (حيث a>1).'

'(1) العثور على جميع قيم $x$ التي تُرضي المعادلة $\\sin 3 x=-\\sin x$.'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية للدالة f(x)=x^{3}-3 x+1.'

'مثال تمريني 10 الدوال المثلثية والمتعددات البيولة لتشبشيف'

'106 4 sin^4 α'

'افترض أن الدالة f تحقق f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} لأعداد حقيقية x, y. أثبت أن الدالة f تحقق f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} لـ n أعداد حقيقية x1, x2, ..., xn.'

'باستخدام قياس الزاوية بالراديان، قم بتحويل الزوايا التالية إلى راديان.'

'اعثر على فترة الدالة y = tan kθ.'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ يؤدي إلى cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 لذلك cos θ = ±1/√5'

'حساب الدوال المثلثية بناءً على الظروف التالية. (1) π<θ<2π، وبالتالي sin θ<0، وبالتالي sin^2 θ+cos^2 θ=1، لذلك sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 كذلك، tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) من sin3x = -sinx ، لدينا 3sinx - 4sin^3x = -sinx ، مما يبسط إلى 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0. لذلك، sinx = 0, ±1. نظرًا لأن 0 ≤ x ≤ 2π ، نحصل على x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.'

'السؤال 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{ما}\'

'استخدم الزوايا القوسية لتحويل الزوايا القوسية التالية إلى درجات.'

'الزوايا والدوال الجيبية\nالعثور على طول القوس ومساحة القطاع ذي نصف قطر r، وزاوية مركزية θ بالراديان.\nطول القوس: rθ\nالمساحة: 12r^{2}θ'

'قم بإثبات خصائص التكامل المحدد للدوال الفردية والزوجية:'

'مثال 47 | رسم دوال المثلثات (1)\\nارسم الرسوم البيانية للدوال التالية.\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'

'مثال 98 | المعادلات وعدم المساواة المثلثية (4)'

' باستخدام صيغة الجمع، اعثر على القيم التالية.'

'حدد دوال الجيبية sin θ، cos θ، tan θ لزاوية عامة θ على مستوى الإحداثيات.'

'مثال تمريني 3 10 وظائف المثلثات والمتعددات تشيبيشيف (مستمرة)'

'المثال 55 | صيغة جمع المشتقات لثلاث زوايا'

'حل مشكلات تتعلق بالمعادلات المثلثية، وعدم المساواة المثلثية، وإيجاد القيم القصوى والدنيا للدوال المثلثية.'

'مثال 54 | قيم الدوال المثلثية (نظرية الجمع)'

'لقد خطرت لي فكرة استخدام الإحداثيات لتمثيل الأشكال في مستوى.'

'عند 0≤θ<2π ، اعثر على القيم القصوى والدنيا للدالة y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ.'

'ما هو الحركة الدائرية المتجانسة؟'

'مثال تمرين 10 الدوال المثلثية والمتعددات شيبيشيف (مستمر) للعثور على الدرجة الخامسة للتعبير cos 5θ'

'مثال 97 | معادلة مثلثية (استخدام صيغ الجمع والضرب)'

'ثبت الهوية المثلثية التالية:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'نظرت في استخدام عدد لا نهائي من الدوال المثلثية لتمثيل دالة دورية.'

'(1) بالنسبة لأي زاوية θ، رسم المنطقة في المستوى xy التي تتكون من النقاط (x، y) التي ترضي -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1، وتحديد مساحتها. (2) بالنسبة لأي زوايا α، β، رسم المنطقة في المستوى xy التي تتكون من النقاط (x، y) التي ترضي -1≤x²cosα+ysinβ≤1، وتحديد مساحتها. [جامعة هيتوتسوباشي]'

'قم بدراسة الحد الأقصى والحد الأدنى للدوال المثلثية في المعادلة المعطاة، وحل المشاكل بما في ذلك التطبيقات على الهندسة.'

'الدوال المثلثية ومتعددات تشيبيشيف'

'(3) من $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ ، نجد $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$ ، وبالتالي $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$. بالتعويض في المعادلة $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2(\\cos ^{2} \\theta)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$ . من $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ ، نحصل على $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$ ، عند حلها نجد $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$ . نظرًا لأنه $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$ ، نجد $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$ (1) ، وعند الاستبدال نجد $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$ .'

None

'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'مثال تمرين 10 الدوال المثلثية ومتعددات تشيبيشيف (مستمر)'

'مثال 50 => صفحة 180\n(1) هو رسم بياني ل y=cosθ تم ترجمته تناظريا حول محور θ. يتم عرض الرسم البياني على اليمين. بالإضافة إلى ذلك، الفترة هي 2π.'

'من الشرط، tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'

'لنكن الزاوية التي تتكون بين الخطين والاتجاه الإيجابي لمحور السين x هي α و β على التوالي. الزاوية الحادة θ التي نبحث عنها هي عندما تكون tanα=√3/2 و tanβ=-3√3. لذلك، يكون tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3. نظرًا لأن 0<θ<π/2، فإن θ=π/3'

'١٢٤\n—رياضيات II\n(٢) الجانب الأيسر = \\ frac { \\ cos \\ theta(١- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(١+ \\ sin \\ theta)}{(١+ \\ sin \\ theta)(١- \\ sin \\ theta)}= \\ frac {٢ \\ cos \\ theta}{١- \\ sin ^{٢} \\ theta} \\ frac {٢ \\ cos \\ theta}{ \\ cos ^{٢} \\ theta}= \\ frac {٢}{ \\ cos \\ theta} لذلك, \\ frac { \\ cos \\ theta}{١+ \\ sin \\ theta}+ \\ frac { \\ cos \\ theta}{١- \\ sin \\ theta}= \\ frac {٢}{ \\ cos \\ theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nلذلك، الفترة الأساسية هي 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nلذلك، الفترة الأساسية هي \\pi'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'السؤال 145 الشروط لوجود قيمة قصوى لدالة في نطاق معين'

'بالنظر إلى المعادلة \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] لذلك, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) مما يعني \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ مع النظر في \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \, من \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ نحصل على \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ ومن \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ نحصل على \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] لذلك, الحلول هي \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'التفاوت الذي ينطوي على الدوال المثلثية يُسمى التفاوت المثلثي، وحل التفاوت المثلثي ينطوي على إيجاد نطاق الزوايا (الحل) التي ترضي التفاوت.'

'الرسم البياني هو انكماش رأسي بنصف الدالة y=tanθ. الرسم على اليمين هو النسخة المنكمشة. الفترة هي π والاسينتوت هو الخط θ=π/2+nπ (n عدد صحيح).'

'علاقات الدوال المثلثية'

'باستخدام صيغ الجمع والزاوية المضاعفة ، قم بإثبات المعادلات التالية (صيغة زاوية مضاعفة).'

'ابحث عن قيم θ التي ترضي المعادلات التالية لقيم 0≤θ<2π:'

'عندما تكون \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\ ، قم بحل المعادلات وعدم المساوات التالية.'

'شرح تعريفات الدوال المثلثية sin ،cos ،و tan.'

'ثبت العلاقات المثلثية التالية استنادًا إلى تعريف -sin(θ): (i) tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) (ii) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (iii) 1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)'

'افترض الدالة y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π)'

'كيفية حفظ صيغة الجمع ، زاوية مزدوجة وصيغ الزاوية النصفية'

'تقنيات الحساب الزاوي تحتسب المعادلة وتحكم في المثال 123!'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [الربع 4 \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [الربع 3]'

'المثال 5: الحد الأقصى والحد الأدنى العملي للدوال المثلثية'

'بما أن α هو زاوية في الربع الثاني بجي sinα=3/5 ، و β هو زاوية في الربع الثالث بـ cosβ=-4/5 ، ابحث عن قيم sin(α-β) و cos(α-β).'

'أثبت المعادلة \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\.'

'احتر masterأ مبدأ الجمع وقم بغزو 130 مثال!'

'\2\\sin x=t\ ، افترضنا ذلك ، لذا \0 \\leq x<2 \\pi\ ، إذا \-1 \\leq t \\leq 1\. علاوة على ذلك ، من المعادلة (1) نحصل على \\n\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\ . انتبه إلى تغيرات \t\. حول المعادلة التربيعية إلى الشكل القياسي. لذلك ، تأخذ \y\ القيمة القصوى 2 عند \t=1\ والقيمة الدنيا \-\\frac{9}{8}\ عندما \t=-\\frac{1}{4}\ .'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية عند 0≤θ<2π. (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'المعادلات التي تنطبق على الدوال المثلثية، حيث n عدد صحيح.'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدوال التالية.'

'الحد الأقصى والحد الأدنى للدالات الزائدية (استخدام t=sinθ+cosθ)'

'عندما تكون 0 ≤ θ < 2π ، حل المعادلات والمتفاوتات التالية.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال وقيم θ المقابلة لها. (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'رسم بياني للدوال المثلثية (3)... التوسيع والترجمة'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا والقيم المقابلة لثيتا من الدالة y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2) .'

'المعادلات وعدم المساواة التي تتضمن الدوال المثلثية (الاستبدال)'

'شرح التوسيع من نسب المثلثات الى الدوال المثلثية، وقدم تعريفات جيب θ، جيب قيمة θ، جيب زاوية θ لزاوية عامة θ.'

'العثور على الزاوية التي تشكلها خطان باستخدام صيغة جمع التمام (tan)'

'تظهر الشكل أعلاه رسوم بيانية لـ (1) y=a sin bθ و (2) y=a cos bθ. اعثر على قيم الثوابت a و b. يرجى ملاحظة أن a>0، b>0.'

'العلاقات التبادلية للدوال المثلثية'

'الصيغ المزدوجة والنصف زاوية إلى جانب القيم المثلاثية'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة y = 3sinθ - 2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π)، وقيم θ المقابلة.'

'ابحث عن قيم زاوية ترضي المعادلات التالية.'

'ابحث عن قيم θ التي ترضي المعادلات التالية لـ 0 ≤ θ < 2π.'

'معادلات وعدم المساواة تحتوي على الدوال المثلثية (باستخدام التكوين)'

'من خلال تكبير رسم بياني ل y = cos^2 θ بمقدار 2 في اتجاه محور y بناءً على الخط y = 1، نحصل على رسم بياني يتم الحصول عليه عن طريق ترجمة الرسم البياني ل y = cos^2 θ نحو أسفل بمقدار 1 وحدة في محور y، ثم التكبير رأسيًا بمقدار 2 بالنسبة لمحور θ، ومن ثم موازاة إلى أسفل مرة أخرى بمقدار 1 في محور y، وبالتالي السم المعادلة هي y = a(cos^2 θ - b) + 1. ابحث عن الخيار الذي يتطابق مع الرسم البياني.'

'استخدام صيغ الجمع الثلاثة مع β=α: (1) حساب ما يلي باستخدام الصيغ: (a) sin 2α (b) تقديم تعبير آخر لـ cos 2α: cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) استبدال جميع القيم بـ θ/2 وحسابها: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'ابحث عن القيمة القصوى والحد الأدنى للدالة y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) وقيمتها المقابلة لθ. كما، قم برسم الدالة.'

'الحد الأقصى والحد الأدنى للدوال المثلثية (استخدام التكامل)'

'معادلة تتضمن الدوال المثلثية (باستخدام sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'حجم الزوايا للدوال المثلثية المتعلمة حتى الآن، مثل \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \ ، تُمثل باستخدام وحدات الدرجات مثل \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \. يُعرف هذا بنظام الدرجات حيث يساوي 1 درجة \ \\frac{1}{90} \ من زاوية قائمة.'

'في علم المثلثات، هناك صيغ لتحويل حاصل ضرب الجيب وجيب التمام إلى مجموع وفرق، والعكس.'

'نظام من عدم المساواة يتضمن وظائف مثلثية'

'اشتق التعبير بعد قسمة 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 على cos² θ ، وابحث عن القيم القصوى والدنيا في النطاق 0 ≤ θ ≤ π/3.'

'بالنسبة للدالة f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π)'

'عندما يكون x > 1 ، نظرًا لأن 4(x²-1) > 0 و 1/(x²-1) > 0 ، يمكننا استنتاج عدم المساواة التالية بناءً على متوسط الحسابي يكون أكبر من أو يساوي المتوسط الهندسي. 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8. لذلك ، 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8 ، مع المساواة عندما يكون 4(x²-1)=1/(x²-1). في هذه الحالة ، (x²-1)²=1/4. نظرًا لأن x > 1 ، فإن x²-1=1/2 ، وهذا يعني x²=3/2 ، لذلك x=√(3/2)=√6/2. لذلك ، القيمة الدنيا لتعبير 4x² + 1/((x+1)(x-1)) هي 8 ، مع x يساوي 2√(3/2) = √(6)/2.'

'حل المتباينات التالية لـ 0 ≤ θ < 2π.'

'المثال الأساسي 124 حل المعادلة التالية ل 0 ≤ θ < 2π: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'أثبت المعادلات التالية.'

'باستخدام الصيغة الإضافية، ابحث عن القيم التالية.'

'إذا كانت الدالة $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ تأخذ قيمة قصوى تساوي 0 عند $x=1$ وكان رسم منحنى $y=f(x)$ يبدو كما هو موضح في الشكل الأيمن،'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'رسم بياني للدوال المثلثية والترجمة / التحويل'

'حل المعادلات المثلثية التالية.'

'أثبت المعادلة التالية.'

'الدوال الثلاثية في محيطك'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية والقيم المقابلة لـ θ.'

'العثور على القيم التالية.'

'نظام من عدم المساواة يشمل وظائف المثلثات'

'أيّ من الرسوم البيانية التالية لا تتطابق مع رسم الذي! ك في نطاق يتراوح بين 0 و π؟ الخيارات الصحيحة هي: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'

'تحويل تعابير المثلثات'

'الحد الأقصى والحد الأدنى للدوال المثلثية (يقلل إلى الدوال التربيعية)'

'أساسيات الزوايا بالراديانات، طول القوس ومساحة القطاع'

'ابحث عن القيم القصوى والحد الأدنى للدالة y=3sinθ+4cosθ.'

'رسم بياني للدوال المثلثية (1) - تكبير / تصغير'

'عند 0 ≤ θ ≤ π و sinθ+cosθ=√3/2، اعثر على قيمة التعبير التالي.'

'معادلة متباينة تشمل الدوال المثلثية (باستخدام sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'أثبت صيغ الزاوية المضاعفة.'

'احسب المنطقة المحاطة بالمنحنى y=|x^2-1| والخط y=3.'

'أثبت أن \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \.'

'يُقال إن الشعور بأن الدراسة ممتعة أمر مهم، ولكن لماذا يؤثر هذا المفهوم في الذاكرة؟'

'اشرح الفرق بين التغيير الفيزيائي والتغيير الكيميائي.'

'ابحث عن قيمة sin(45 درجة).'

'(١) في المثال أعلاه، احسب مقدار تسارع نقطة بي.'

'ابحث عن المعادلة القطبية للمنحنى \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\). كما يمكنك رسم الشكل العام لهذا المنحنى، مع النظر إلى الأصل \ \\mathrm{O} \ كالقطب والجزء الإيجابي من المحور \ x \ كالخط الابتدائي.'

'يرجى شرح خصائص رسم بياني ل y=√(ax) (حيث a ≠ 0).'

'نقاط يجب مراعاتها عند رسم مخطط لرسم الدوال'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'بفرض a>0، افترض أن f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) هو الدالة. ابحث عن نطاق قيم a عندما يشترك رسم دالة y=f(x) ورسم دالتها العكسية y=f^{-1}(x) في نقطتين متمايزتين.'

'نقاط مهمة في طريقة الاستبدال للتكامل المحدد'

'ابحث عن معادلة المنحنى C2 الناتجة عن دوران المنحنى C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 عقارب الساعة بزاوية π/6 راديان حول الأصل.'

'النظر في التغيير في قيم الدالة، الحد الأقصى والحد الأدنى، منحنى C: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4).'

'لماذا يمكن حساب التكاملات المحددة $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ و $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ بنجاح عند استبدال $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ و $x=a \\sin \\theta$؟'

'ابحث عن الخطوط الرأسية لدالة y = x + 1 + 1 / (x - 1).'

'ابحث عن حجم الصلب V الناتج عن تدوير المنطقة المحيطة بالمنحنى x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) ومحور x حول محور x مرة واحدة.'

'من خلال استخدام صيغة أويلر، قم بتعبير الدوال المثلثية كدوال تربيعية واستقراء المعادلات التالية.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'عبّر عن المنحنيات التي تُمثّلها المعادلات القطبية التالية في الإحداثيات المستطيلة.'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'الأساسي 2: ترجمة وتحديد دوال الكسور'

'عندما تمر الرسم البياني للدالة $y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$ من خلال النقطة $(-2, \x0crac{9}{5})$ ويكون لديه خطين $x=-\x0crac{1}{3}$، $y=\x0crac{2}{3}$ كأسيمبتوت، اعثر على قيم الثوابت $a, b, c$.'

'ثبت أنه بالنسبة لنقطة P(x, y) تتحرك على محيط نصف قطره A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) بسرعة 1، تنطبق البيانات التالية.'

'عندما تعطى إحداثيات نقطة P التي تتحرك على مستوى الإحداثيات في الوقت t من خلال التعبيرات التالية ، ابحث عن مقدار سرعة وتسارع النقطة P.'

'عندما تمثل إحداثيات (x، y) للنقطة المتحركة P على مستوى الإحداثيات في الوقت t بتعبيرًا {x=ج sin t y=12 جيب cos 2 t}، اعثر على القيمة القصوى لقيمة مقدار سرعة P.'

'ثبت أن المعادلة \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ تنطبق عندما \ 0<a<b<2\\pi \.'

'عندما يتحرك النقطة P على طول الخط العددي ، فإن إحداثياتها x كدالة للزمن t معطاة بواسطة x=2cos(πt+π/6) ، اعثر على السرعة v والتسارع α عند t=2/3.'

'على مستوى الإحداثيات مع الأصل O ، اعتبر المنحنى $C: \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ حيث يتم أخذ النقطة P(1، $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$).'

'أثبت أن المعادلة f(x)=x^{2} لديها على الأقل 2 حلاً حقيقيًا في النطاق 0<x<2 عندما تكون الوظيفة f(x) مستمرة و f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'لنفرض 0°≤θ≤180°. حل المعادلة التالية.'

''

'لن 0° ≤ θ ≤ 180°. حل المعادلة التالية.'

''

'ابحث عن الجيب، السين، والظل للزوايا التالية.'

'باستخدام جدول النسب المثلثية في النهاية ، ابحث عن القيم التالية لـ θ.'

''

'في مثلث ABC، إذا كان sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19، ابحث عن قياس الزاوية الأكبر في هذا المثلث.'

''

'العثور على الدوال التربيعية التي تمثلها الرسوم البيانية التالية.'

'عبّر عن الدوال المثلثية التالية فيما يتعلق بالزوايا بين 0 درجة و 90 درجة. كما، اعثر على قيمهم باستخدام الجدول المثلثي في النهاية.'

'باستخدام قانون الجيوب، نجد قيمة a.'

''

'في مثلث ABC، إذا كانت sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7، فجد نسبة cosA: cosB: cosC. (جامعة توهوكو غاكوين)'

'قم بحساب الدوال المثلثية وعرض النتائج.'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'بالنسبة ل 0° ≤ θ ≤ 180°، اعثر على نطاق θ الذي يرضي المعادلات غير المتساوية التالية.'

'في مثلث ABC ، إذا كان sin A: sin B: sin C = 5: 7: 8 ، فإن cos C = __.'

'من الشكل (1) إلى P (-1، 1)'

'من 2sinθ = sqrt(2) إلى sinθ = 1 / sqrt(2). نقاط P و Q على نصف الدائرة ذات النصف القطري 1، حيث إحداثي y هو 1 / sqrt(2)، هي المواقع المراد النظر إليها. الزاوية المطلوبة هي ∠AOP و∠AOQ.'

'توسيع نسب المثلثات: ابحث عن نسب المثلثات عندما يكون الزاوية في نطاق 0° إلى 360°.'

'(4) حل المعادلة. بالنظر إلى 0 ≤ θ ≤ 180°. حل المعادلة: √2 sinθ = tanθ'

'في مثلث ABC، إذا كان sin A:sin B:sin C = 3:5:7، ابحث عن نسبة cos A:cos B:cos C.'

'شرح تعريف وعلاقات النسب المثلثية. (1) تعريف النسب المثلثية (2) علاقات النسب المثلثية (3) النسب المثلثية في الزوايا الخاصة'

'متى يمكنك استخدام صفحة الأمثلة الموسعة والتمارين؟'

'تحويل المتغيرات'

'في أمثلة تحليل حركة رسومات الدوال والأشكال الهندسية، ما هو المحتوى الرقمي الذي يمكن استخدامه لربط الصور البصرية بالمعادلات الرياضية لأغراض التعلم؟'

'ملخص الدوال المثلثية'

'القاعدة الجيبية أم القاعدة الظلية؟'

'لنستعرض قاعدة الجيب وقاعدة الجيب التمامي!'

'بالترتيب, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'اشرح العلاقة بين الشروط الضرورية والشروط الكافية.'

'تطبيقات المثلثات'

'ملحق لجيب، جيب تمام بالزاويتين 0° و 90° و 180°\n\nعندما یكون θ=0°، فی صيغة تعریف النسب الثلاثیة بـ r=1 والنقطة P₀ بإحداثیات (1,0)،\nجین 0°=0، \nجیب 0°=1، \nظان 0°=0\n\nعندما یكون θ=90°، فی صيغة تعریف النسب الثلاثیة بـ r=1 والنقطة P₁ بإحداثیات (0,1)،\nجین 90°=1، \nجیب 90°=0\n\nعندما یكون θ=180°، فی صيغة تعریف النسب الثلاثیة بـ r=1 والنقطة P₂ بإحداثیات (-1,0)،\nجین 180°=0، \nجیب 180°=-1، \nظان 180°=0'

'استخدام جداول المثلثات لإيجاد الزوايا'

'ابحث عن sin θ للمثلث AED.'

'θ هو العلاقة المتبادلة لمعاملات المثلثات من 0° إلى 180°'

'حل المشكلة الرياضية'

'العثور على قيمة الجيب من صيغة نسبة الجيب'

'الحل المرغوب هو أنه نظرًا لأن رسم الدالة y=|x^2-6x-7| إما يتقاطع أو يقع بالكامل فوق رسم y=2x+2،'

'من خلال استخدام قانون دي مورغان، يرجى تقديم مثال محدد مع مجموعات A و B و C.'

'(6) معدلات المثلثات -117'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'في مثلث ABC ، إذا كانت sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC صحيحة ، فجد قياس أكبر زاوية.'

'قيمة الهوية التناظرية التمامية'

'النسب المثلثية لـ 15 درجة'

'(1) باستخدام جدول الدوال الثلاثية، ابحث عن قيم جيبية، وجيب، وتمام شامل لـ 128 درجة.\n(2) افترض sin 27° = a. عبِّر عن جيب 117 درجة بالنسبة إلى a.'

'θ (المعادلة المثلثية) التي تلبي الهوية المثلثية'

'أثبت أنه بالنسبة لمثلث ABC مع الزوايا A، B، و C، المعبر عنها بأ، ب، و ج، تنطبق المعادلات التالية.'

'قاعدة الجيب أم قاعدة الظل؟'

'العلاقات المثلثية عندما تكون θ زاوية حادة'

'المعادلتان التاليتان صحيحتان أيضاً. \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] يُلخص ذلك كقاعدة الجيب: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] أثبت المساويات التالية في مثلث ABC اعتمادًا على قاعدة الجيب. \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'أثبت أن المعادلات التالية تنطبق على زوايا الداخلية A وB وC للمثلث ABC:'

'لنراجع نظرية الجيب ونظرية التمام!'

'العثور على قيم الدوال المثلثية للزوايا الغير مستديرة'

'حل المعادلات: sin aθ = sin bθ، sin aθ = cos bθ'

'اشرح كيفية استخدام الكتاب للعثور على الحلول.'

'نظرًا لأن $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3} ، \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi ، \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$ ، فإن القيمة الصغرى في $\\ sin 1 < \\ frac {1} {2} < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} ، \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1 ، 0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$. لذلك ، $\\ sin 3$ هو القيمة الإيجابية الدنيا في $\\ sin 1 ، \\ sin 2 ، \\ sin 3 ، \\ sin 4$ ، والقيمة القصوى هي $\\ sin 2$.'

'ابحث عن القيم التالية.'

''

'لنفكر في العلاقة بين حركة (المسار) أكواب القهوة في متنزه وظائف المثلثات. عندما يكمل القرص 1 دورة كاملة باتجاه عقارب الساعة، في حين يكمل القرص 2 بنصف النصف دورتين بعكس الاتجاه، ما هو نوع المسار الذي يتبعه نقطة C على القرص 2؟'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية عند 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ = √3 cosθ + 2 (2) sin 2θ < sinθ'

'طريقة رسم رسم بياني لدالة درجية مكعبة - إنشاء جدول زيادة وانخفاض'

'الحد الأقصى والحد الأدنى للدوال المثلثية (1)'

''

'أثبت المعادلة 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2).'

'قيمة الدالة المثلثية (1)'

'باستخدام صيغة الجمع ، ابحث عن القيم التالية.'

'الفصل 4 الدوال المثلثية 195'

'مثال 128 باستخدام نظرية الجمع'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للمعادلة الهمجية 1372 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2).'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن نطاق الثابت k الذي يشترك فيه المنحنى y=x^3-2x+1 والخط y=x+k في 3 نقاط مميزة.'

''

'مجموع والفرق بين زاويتين α و β، ممثلة في دوالهما المثلثية للزاويتين، تُعرف باسم صيغة إضافة المثلثات.'

'حل المعادلة أو عدم المساواة التالية عندما 0 ≤ θ < 2π. 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'ابحث عن قيم $a$ و $b$ بحيث تكون القيمة القصوى للدالة $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ تساوي $3+\\sqrt{7}$ والقيمة الدنيا تساوي $3-\\sqrt{7}$.'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'فترة الدوال المثلثية'

'لماذا لا يتم تصغير رسم بياني للدالة y=sinθ في المثال 118(3) بمعامل 1/2 في اتجاه θ؟'

'احسب قيم الدوال المثلثية التالية.'

'بالنسبة للدالة \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \:'

''

'فيما يلي رسوم الوظائف (1) و (2). حساب القيم من A إلى H. (1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'ثبت المعادلات التالية.'

'رسم مخططات الدوال التالية وتحديد فتراتها:'

'رسم بياني للدوال المثلثية (1)'

'من بين sin 1 و sin 2 و sin 3 و sin 4 ، القيمة السالبة هي A. القيمة الدنيا للقيم الإيجابية هي B ، والقيمة القصوى هي C.'

'العلاقات الدالة المثلثية'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\ \\pi'

''

'لنكن a>1 تمارين 190 درجة. للدالة y=2x^{3}-9x^{2}+12x حيث 1≤x≤a، (1) ابحث عن الحد الأدنى. (2) ابحث عن الحد الأقصى.'

'عند x = -π/3'

'في السطح $x y$ ، تمر المنحنى $y=f(x)$ دائمًا من خلال نقطتين ثابتتين بغض النظر عن قيمة $a$. ما هي إحداثيات هاتين النقطتين الثابتتين؟ حدد نطاق قيم $a$ التي لا يكون فيها $f(x)$ متطلبات.'

'يرجى شرح دورية الدوال المثلثية.'

'بالنسبة لزوايا A و B و C داخل مثلث ABC بزوايا 120 درجة ، أجب على الأسئلة التالية:'

'ابحث عن قيم الجيب، والظل، والتمام للزاوية 195 درجة.'

'ابحث عن البند العام للتسلسل {an} المحدد بالشروط التالية باستخدام الاستبدالات بين الأقواس.'

'احسب قيم الدوال المثلثية التالية.'

'أثبت صيغ التحويل من الضرب إلى الجمع، ومن الجمع إلى الضرب'

'العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2)، وقيم Ϋ التي تعطي الحد الأقصى والحد الأدنى.'

''

'العثور على القيم القصوى والدنيا للوظائف المعطاة. كما، تحديد قيم θ في ذلك الوقت.'

'باستخدام الصيغة نصف الزاوية ، اعثر على القيم التالية. (1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'لنفكر في طريقة حل المعادلات والمتباينات المثلثية (المعادلات التربيعية). هناك طريقة لحل المعادلات والمتباينات المثلثية التي تشمل العديد من الدوال المثلثية، مثل في المثال الأساسي 124.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية عند 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (متحد الزوجين بنفس الترتيب)'

'رسوم بيانية للدوال المثلثية (2)'

'عبر عن القيم المعطاة في صورة دوال مثلثية للزوايا من 0 إلى $\\ frac {\\ pi} {4}$. (1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'لنفترض f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x. (1) في مستوى ال xy ، المنحنى y=f(x) يمر دائمًا عبر نقطتين ثابتتين. ابحث عن إحداثيات هاتين النقطتين الثابتتين. (2) حدد نطاق قيم a بحيث f(x) ليس له قيم متطرفة.'

'قم بإثبات الهويات المثلثية التالية.'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'

'قوانين الجمع'

'عبّر عن التعابير التالية في شكل $r \\sin(\\theta+\\alpha)$. بشرط أن $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$.\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"OB'=r ، وليكن α هو الزاوية بين OB' واتجاه الإيجابي لمحور السين"

'أثبت أن المعادلات التالية تنطبق عند t = tan(θ/2) (t ≠ ±1).'

'إثبات الهويات المثلثية'

'حول الزوايا المعطاة إلى راديان.'

'يرجى تقديم وصف مفصل للنقاط الهامة التي يجب مراعاتها عند العمل على الدراسات الحالية المهمة.'

'اختر الإجابة المناسبة لكل مجموعة من الإجابات التالية: أ وج. ترتيب الخيارات ليس له أهمية.'

'لنقم برسم منحنى نموك.'

'عبر عن نسب المثلثات التالية فيما يتعلق بزوايا أقل من 45 درجة.'

'في الشكل (أ) ، ابحث عن قيم \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \.'

'ابحث عن نطاق القيم لـ θ التي ترضي حالات عدم المساواة التالية عند 0° ≤ θ ≤ 180°.'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nعلى النصف الدائري ذو نصف قطر 1 ، تكون نقطتان P و Q هما النقطتان حيث تكون إحداثي y هو \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ كما هو موضح في الشكل الأيمن. الزوايا التي يجب تحديدها هي \ \\angle AOP \\text { و } \\angle AOQ\\\nلذلك\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'لنكن θ زاوية حادة. عندما يكون sin θ = 12/13 ، اعثر على قيم cos θ و tan θ.'

'استخدام الرسم البياني على اليمين ، اعثر على قيم sin 15 درجة ، cos 15 درجة ، tan 15 درجة.'

'لنفترض أن 0°<θ<180°. عندما يكون 4cosθ+2sinθ=√2 ، اعثر على قيمة tanθ.'

'لنأخذ 0°≤θ≤180°. عندما يأخذ أحد sinθ، cosθ، tanθ قيمة معينة، ابحث عن القيمتين الأخرتين.'

'علاقات الدوال المثلثية (1)'

'لتكن θ بين 0 درجة و 180 درجة. ابحث عن نطاق قيم θ التي تحتوي على حلولين حقيقيين متميزين للمعادلة التربيعية x^2-(cosθ)x+cosθ=0 ، وكلاهما يكون ضمن النطاق -1<x<2.'

'لنفترض أن θ زاوية حادة. عندما تكون tanθ=√7، اعثر على قيمة (sinθ+cosθ)².'

'ارسم رسما بيانيا للدوال التالية.'

'ما قيمة sin 140 درجة + cos 130 درجة + tan 120 درجة؟'

'الجيومتريا هي طريقة تم تطويرها لقياس الأشياء مثل المسافة إلى الأشياء البعيدة والأرتفاعات التي لا يمكن قياسها مباشرة، وتعود تاريخها إلى العصور القديمة. هنا، سنناقش طريقة حساب ارتفاع الجبل باستخدام الجيومتريا.'

'ابحث عن نطاق قيم θ التي ترضي المتباينات التالية عندما تكون 0° ≤ θ ≤ 180°: (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'عندما 0° < θ < 90°، y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'ابحث عن قيمة cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70°.'

'\\لذلك\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة التالية، بالإضافة إلى القيم المقابلة لـ θ.'

''

'بقانون الجيوب'

'أشر إلى الجدول المثلثي وأجب على السؤال التالي. عندما θ = 37°، اعثر على قيم sin θ، cos θ، tan θ.'

'استخدام الرسم البياني على اليمين ، ابحث عن قيم sin 22.5 درجة ، cos 22.5 درجة ، و tan 22.5 درجة.'

'ابحث عن قيمة θ التي تُرضي المعادلة التالية عندما تكون 0° ≤ θ ≤ 180°: (6) √3 tanθ + 1 = 0'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للمعادلة y = sin^2θ + cosθ - 1 عندما تكون 0° ≤ θ ≤ 180°. كما، حدد قيم θ في تلك النقاط.'

'في الدعوى "إذا كانت p ثم q" ، فلنعتبر مجموعة العناصر التي تستوفي الشرط p هي P ، ومجموعة العناصر التي تستوفي الشرط q هي Q. عندما تكون الدعوى "إذا كانت q ثم p" صحيحة ، بالنسبة إلى مضادها ، ∎ صحيحة. اختر الخيار الصحيح لملء الفراغ.'

'ابحث عن النسب المثلثية التالية.'

'قيمة الدالة التناظرية المثلثية'

''

'قيم وتحويلات الدوال الزاوية للزوايا الغير مستديرة'

'بالنسبة لـ PR 0° ≤ θ ≤ 180° ، اعثر على قيم Ϋ التي ترضي المعادلة التالية: (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'العلاقات المثلثية الأساسية 108 دع θ يكون زاوية حادة. (1) عندما يكون sin θ = 2/√13 ، العثور على قيم cos θ و tan θ. (2) عندما يكون tan θ = √5/2 ، العثور على قيمة sin θ و cos θ.'

'الدوال الثلاثية للزوايا الخاصة'

'تطبيقات المثلثات'

'عبّر عن نسب المثلثات التالية كنسب مثلثات للزوايا بين 0° و 90°، وجد قيمها باستخدام جدول المثلثات. (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'

'السؤال 5 (2) اعثر على المماس للزاوية الثانية الأكبر في مثلث ABC.'

'العلاقات المثلثية (0° <= θ <= 180°)'

'إنشاء وظيفة المثال 57'

'الهويات المثلثية والقيم'

'عندما تكون θ تساوي 75°، اعثر على قيمة tan θ.'

'في مثلث ABC ، إذا كان sin A: sin B: sin C = 5:16:19 ، فجد حجم أكبر زاوية في هذا المثلث.'

'السؤال 10'

'ابحث عن جيب، جيب التمام ومماس للزوايا التالية. (1 )135 درجة (2) 150 درجة (3) 1'

'في مثلث ABC، إذا كان ∠A=α، ∠B=β، ∠C=90 درجة، فأثبت صحة المتباينات التالية: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1'

'حل معادلات مثلثية'

'قم بإثبات العلاقات بين الهويات المثلثية التالية: $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$.'

'اختر اثنين من الخيارات التالية التي تساوي sin 44 درجة. (1) sin 46 درجة (2) cos 46 درجة (3) sin 136 درجة (4) cos 136 درجة'

'عندما 0° ≤ θ ≤ 180°، ابحث عن قيم θ التي تفي بالمعادلة التالية: 2sinθ = √2'

''

'أثبت عدم المساواة الجيبية sin 29 درجة < tan 29 درجة < cos 29 درجة.'

'لن 0° ≤ θ ≤ 180°. إذا كان sinθ+cosθ = 1/√5، ابحث عن قيم المعادلات التالية: (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'يرجى شرح كيفية تحويل معاملات المثلثات الزاوية غير القائمة إلى معاملات المثلثات الزوايا الحادة باستخدام الصيغ.'

'العثور على جيب، جيب التمام، والظل من الزوايا التالية.\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'ما الانحناء الذي تمثله القيم المعطاة بتمثيل المعامل؟'

''

"عكس الحساب من 'الذات التي ترغب في أن تصبح'."

'العثور على منحنى المعادلة x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0.'

'الفصل 4 المعادلات والمنحنيات\n17 القطع الناقص\n18 النواقيس\n19 الهياپربولا\n20 ترجمة المنحنيات التربيعية\n21 المنحنيات التربيعية والخطوط\n22 التمثيلات المعلمية للمنحنيات\n23 الإحداثيات القطبية والمعادلات القطبية'

'ما هي الأشياء الجيدة للعمل عليها بعد حل الأمثلة الأساسية والأمثلة القياسية؟'

''

"كيف تكون الرياضيات مفيدة في المجتمع؟ تغيرت الطرق التي تكون فيها الرياضيات 'مفيدة' مع مرور الوقت. في الماضي ، عند مناقشة تطبيق الرياضيات ، كان يرتبط ذلك في كثير من الأحيان بالكلمة الرئيسية 'العلوم والتكنولوجيا المتطورة'. أهمية العلوم والتكنولوجيا المتقدمة في المجتمع لا يوجد شك فيه ، ومع ذلك ، لم يكن شيئًا مألوفًا في حياتنا اليومية. في السنوات الأخيرة ، تغيرت الحالة. يرجع ذلك إلى أن الرياضيات بدأت تخترق مختلف جوانب حياتنا اليومية."

'(1) نظرًا لأن cos(-x) = cos x و (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x ، فإن cos x هو وظيفة زوجية و x^2 sin x هي وظيفة فردية. لذلك ، ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'صف الانحناءات التي تمثلها المعادلات القطبية التالية في الإحداثيات المستقيمة.'

'(50)(2) عندما يكون n فرديًا ، $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$ ، وعندما يكون n زوجيًا ، $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'في (1) ، إذا كان نطاق الدالة هو 1 ≤ y < 3/2 ، فالعثور على النطاق.'

'بالنسبة للعدد الإيجابي a ، فلنعتبر النقطة A (a، a^{2}) على القوس y=x^{2} ، ولنكن الخط الخطي المدار -30 درجة حول نقطة A مع l. دع B يكون نقطة تقاطع الخط l والقوس y=x^{2} التي ليست A. بالإضافة إلى ذلك ، دع (a، 0) يكون C والأصل O. ابحث عن معادلة الخط l. بالإضافة إلى ذلك ، دع S (a) تكون المساحة المحاطة بشرائح الخط OC و CA والقوس y=x^{2} ، ودع T (a) تكون المنطقة المحاطة بشرائح الخط AB و CA والقوس y=x^{2}. ابحث عن c = lim_{a→∞} T(a)/S(a).'

'بالنسبة للأعداد الحقيقية المرضية (3) 0 ≤ θ < 2π، افترض z = cosθ + i sinθ. قم بإثبات المعادلة |1 - z| = 2 sin (θ/2) صحيحة.'

'أظهر انحدار وانقباض الدالة التي تلبي الشروط التالية.'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'مثال مهم\nالحد الأقصى والحد الأدنى لـ 13|ux + vy|\nعندما ترضي الأعداد الحقيقية x، y، u، v المعادلات x^2 + y^2 = 1 و (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ ux + vy.'

''

'العثور على نقطة التقاطع للدالة عند القيم التالية لx.'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'لنكن الانحناء الذي يمثله المتغيرات المعلمية \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) ممثلا بـ \ C \.'

'بالنسبة لمعادلة r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}، (1) أثبت أنه عندما a= ±1، يمثل القطعة المخروطية، وعند |a|<1، يمثل البيضاوي. (2) أثبت أن منحنى المعادلة التي تمثلها القطعة تتقاطع مع محور الصِّب y في y= ±1 بغض النظر عن قيمة a. (3) عندما |a|<1، دع الجزء في الربع الأول من البيضاوي والمحصور بالمحور x والمحور y يكون D. ابحث عن حجم الصلب الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير الشكل D حول محور x.'

'(2) استمرار للنقطة (1): وبالتالي ، دع الزاوية بين aa\\overrightarrow{AB} و\\overrightarrow{AC} تكون θ. ثم ، \\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}. نظرًا لأن \\sin \\theta > 0، فإن \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'في حالة 0<θ<π/2 ، إذا كان dL/dθ=0 ، فإن cosθ=1/√3. لن فكر في α كـ الَّذِي يُحقِق هذا الشرط ، فسوف تحصل على tanα=√(1/cos²α-1)=√2. من (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2 ، نحصل على tanθ₁<tanα<tanθ₂. بمعنى آخر ، θ₁<α<θ₂. وبالتالي ، جدول الزيادة والانقاص لـ L كما هو مبين على اليمين لـ θ₁<θ<θ₂. لذا ، L يحقق قيمته القصوى عندما θ=α. نظرًا لأن sinα=√(1-cos²α)=√6/3 ، فإن القيمة القصوى المطلوبة هي 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3. في هذه الحالة ، cosθ=1/√3.'

"المشكلة 94 الاستجابة للتغييرات الصغيرة\n(1) كم ستزيد مساحة S لمثلث ABC بواسطة؟\n(2) كم ستزيد طول الضلع CA y بواسطة؟\n باستخدام الصيغة التالية.\nصيغة التغييرات الصغيرة Δy≒y'Δx\nالإجابة:عندما يزيد الزاوية B بقدرة 1 درجة\n ابتداءً من S≒√3sin(x)."

'العثور على إحداث الإحداث من خلال الانعكاس حول المحور الحقيقي والدوران ب -π/2 حول الأصل.'

'مثال 41 | حساب التكاملات المحددة (2)\nابحث عن التكامل المحدد ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx. هنا، m و n هما أعداد طبيعية.'

'(2) الحد الفاصل لقيم a الحقيقية التي تجعل معادلة a cos^2x + 4 sinx - 3a + 2 = 0 لها حلاً.'

'الدوال العكسية المثلثية'

'ممارسة خصائص الدالة f(x) = x sin(1/x) (x > 0) 134'

'أثبت أنه بالنسبة للدالة العكسية y=g(x) ل y=tan x (-π/2<x<π/2)، ينطبق أن g(1/2)+g(1/3)=π/4.'

'قم بالتحقق من السلوك المتزايد والمتناقص للدالة $y = f(x)$ من الجدول أدناه وابحث عن القيم القصوى.'

'العثور على التكامل غير المحدد التالي.'

'ابحث عن الظروف التي يكون فيها المنحنى y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d له خط مماس مُتعدد.'

None

'احسب قيمة sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5).'

'العثور على مجموع سلسلة لا نهائية باستخدام علاقة التكرار'

'بماذا يُقارن حل مشكلة رياضية؟'

'ما ستتعلمه في هذا الفصل يبني على ما تعلمته حتى الآن. باستخدام هذه المعرفة، من الضروري تحليل هندسة الأشكال بشكل أعمق. في هذا الفصل، سنطبق أساليب الهندسة التحليلية لدراسة خصائص الأشكال التي لم تُغطَ في السابق، مركزين بشكل رئيسي على خصائص الأقسام المخروطية مثل النصف قطع النادرة والهيبيربولا والقطع المخروطية. بالإضافة إلى ذلك، سنلمس بإيجاز الأساليب المستخدمة لتمثيل المنحنيات بالمعادلات، بما في ذلك التمثيلات المعلمية والإحداثيات القطبية بالإضافة إلى المعادلات القطبية.'

'(1) تعطى إحداثيات نقطة Q على المنحنى C بواسطة المعادلات المعلمية، حيث المعلم t بين -π/2 إلى 0، كما (√2/cos t, √2 tan t). معادلة الخط المماس l في نقطة Q هي [√2/cos t x-√2 tan t y=2]، وهذا يعادل [x-sin t y=√2 cos t]'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا، و القيمة المقابلة لـ x للدالة المعطاة'

'مع ابتعاد النقطة على الخط المنحني إلى ما لا نهاية، يقترب الخط المنحني من خط مستقيم معين، ويُشار إليهذا الخط المستقيم باسم أسطراط الخط المنحني.'

'عندما يصبح $x$ لانهائيًا كبيرًا، ما القيمة التي يقترب منها $y$؟'

'عندما S=4, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ تُحل كما \k=\\sqrt{3}\. لذلك, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\. نظرًا لأن \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\, فإننا نحصل على \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\. وبالتالي, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\. في النطاق حيث \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\, تُعرف المساحة المحاطة بالمنحنيات \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\، والخط \x=\\theta\ باسم \T\. ليكون \T<4\ صحيحًا، يجب أن يكون \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\.'

'قم بتحويل الدالة اللامنطقية المعطاة إلى شكل دالة جذرية.'

'المثال 35 | حركة نقطة على المستوى'

'شرح سبب عدم اتصال الدالة f(x): f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'تكاملات الدوال المثلثية هي كما يلي. يرجى ملاحظة أن الزوايا بالراديان.'

'العثور على جميع الخطوط المماسة للمنحنى y = x cos x التي تمر عبر الأصل.'

'العنصر الثنائي a_{n} هو a_{n} = \\cos n \\pi الذي تعادل الى k كعدد طبيعي عندما n=2k-1, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1 عندما n=2k ، \\cos n \\pi=\\cos 2k \\pi=1 لذلك ، السلسلة \\{a_{n}\\} تتذبذب لذلك ، عنصر السلسلة a_{n} هو a_{n}=(-1)^{n} ، والذي لا يتقارب الى 0 ، لذلك، هذه السلسلة اللانهائية تتبدد.'

'على مستوى XY ، حيث يكون الأصل القطب وجزء السهم الإيجابي كخط بداية في إحداثيات قطبية ، دعنا نعتبر الانحناء الممثل بالمعادلة القطبية r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) كـ C. ابحث عن حجم الجسم المستحصل عليه بقلب المنطقة المحصورة بين C والمحور X حول المحور X للدوران الكامل.'

'ممارسة ما نوع المنحى الذي تمثله معادلات الإحداثيات القطبية التالية؟ أجب بإحداثيات مستطيلة.'

'حل دالة التراكب المثلثية. عندما تكون 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π) ، فإن الحلول هي x=π/3، π'

'المنطقة الممثلة بواسطة نظام المعادلات الغير متجانسة المعطاة هي أن إحداثية x من نقاط التقاطع بين المنحنى y=sin x والخط y=t-x ترمز إليها α ، حيث sin α=t-α و 0 < α < t. في هذه الحالة ، V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x+1/3 π sin^2 α·(t-α). من (1) ، يكون V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x + 1/3 π sin^3 α。'

'لتكن 33θ عدد حقيقيًا و n عددًا صحيحًا. إذا كان z=sinθ+i*cosθ ، فعبر عن الجزء الحقيقي والجزء الخيالي للعدد المركب zn بالنسبة لcos(nθ) وsin(nθ).'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9، لذلك (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'من cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ، قم بتعبير المعادلة r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 باستخدام x = r cos θ, y = r sin θ'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) إذا كان f′(t)=0 ، فإن sin(t−π/4)=0. نظرًا لأن t−π/4>−π/4 ، فإن t=π/4+(n−1)π (n=1,2، ...)'

'عندما يتم تمثيل الدالة y باستخدام المعلمة θ على أنها x=1-cosθ ، y=θ-sinθ'

'عندما يكون 0 ≤ θ ≤ π، فإن cos(θ/2) ≥ 0. عندما 0 ≤ θ ≤ π/2، فإن cos(θ) ≥ 0. عندما يكون π/2 ≤ θ ≤ π، فإن cos(θ) ≤ 0. كما أن cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2)).'

'الدوال الثلاثية'

'ابحث عن القيم التالية.'

'حل المعادلة التالية لحالة 0 ≤ θ < 2π. كما، اعثر على الحل العام لها. (1) sin θ = √3/2'

'أظهر أن الشروط التالية تتحقق وجد قيمة cos 36 درجة: (1) عندما تكون θ = 36 درجة، فإن sin 3θ = sin 2θ'

'أثبت المعادلة التالية.'

'تمرين شامل الجزء 2 رياضيات الفصل الثاني الدوال المثلثاتية'

'العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى في [ ] والقيم المقابلة لـ x.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للوظائف المعطاة. كما، حدد قيم θ في تلك النقاط. النطاق المسموح به هو 1620 ≤ θ ≤ π. (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

''

'ثبت المعادلة \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \.'

''

'تحديد قيمة الثابت a بحيث تكون قيمة الحد الأدنى المطلق للدالة y=2sin3x+cos2x-2sinx+a تساوي القيمة القصوى.'

'باستخدام صيغة الجمع، ابحث عن القيم التالية.'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [التمرين \\( 156(2) \\) ] الحل العام هو'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

''

'(1) تأخذ الدالة y=f(x) قيمة قصوى عند x=α وقيمة دنيا عند x=β. أظهر أن منتصف النقطة M لقطع الخط المتصلة بين نقطتي (α, f(α)) و (β, f(β)) يكون على المنحنى y=f(x).'

'كيفية حفظ نظرية الجمع وصيغ زاوية مزدوجة/نصف زاوية؟'

'قم بممارسة رسم الرسوم البيانية للدوال التالية والعثور على فتراتها.'

'أثبت أن قيمة $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ ثابتة عندما ترضي الأعداد الحقيقية الإيجابية $\\alpha, \eta, \\gamma$ المعادلة $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'الحل للمعادلات sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'1. صيغة جمع الجيوب: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. صيغة جمع الأظلاع: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. صيغة جمع التماس: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) إذا كانت \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \ ، اعثر على قيم \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \.'

'العثور على الدوال المثلثية للزاوية $\\theta$.'

'حساب التالي التعبير.'

'باستخدام نظرية الجمع ، اعثر على القيم التالية.'

'حل المعادلة sin aθ=sin bθ، sin aθ=cos bθ'

'العثور على قيم sin θ ، cos θ ، tan θ عندما تكون Ϋ القيم التالية.'

'(3) أثبت أن قيمة $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ ثابتة عندما تكون الأعداد الحقيقية الإيجابية $\\alpha, \eta, \\gamma$ ترضي $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'مقياس الزاوية والدوال المثلثية بالزوايا المعربة'

'مارس العثور على القيم التالية.'

'حل المعادلة التالية ل 0 ≤ θ < 2π. كما العثور على الحل العام.'

'عندما يكون n عددا طبيعيا و θ عددا حقيقيا، أجب على السؤال التالي. (1) أثبت أن cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0.'

'اشرح خصائص التكاملات المعينة للدوال الزوجية والفردية.'

'27 تركيب الدوال الثلاثية'

'دالة دورية بفترة 4\nبالنسبة لدالة \\( f(x) \\)، إذا كانت هناك ثابت غير صفري \ p \ بحيث المعادلة \\( f(x+p)=f(x) \\) تتوافق لجميع القيم لـ \ x \، فإن \\( f(x) \\) تسمى دالة دورية بفترة \ p \. في هذه الحالة، ونظرًا لأن \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\)، يكون لدى فترات \ 2p, 3p, \\cdots \ أيضًا فترات صالحة، وتكون هناك عدد لا متناهي من الفترات لدالة دورية.\n\nالمشكلة: حساب فترة الدالة \\( y = \\cos(5\\theta) \\).'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'مشكلة لإيجاد حل لعدم المساواة المثلثية'

'حل المعادلة التالية. كما يرجى العثور على الحل العام لها. (4) sinθ=-1'

'خصائص ورسوم بيانية للدوال المثلثية'

''

'قم بممارسة رسم المنحنيات الخاصة بالدوال التالية. كما، حدد فتراتها.'

'(4) نظرًا للمعادلة $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$, نحصل على $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$, و $\\cos \\theta \\neq 0$. لذلك، $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, مما يبسط إلى $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$. وهذا يعطينا $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$. بما أن $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$, نحصل دائمًا على $\\cos \\theta-2<0$. لذلك، $2 \\cos \\theta+1=0$, أي $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$. نظرًا لأن $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$, لدينا $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'

'ابحث عن قيمة ثابتة m بحيث تكون مساحتا الشكلين المحاطين بالمنحنى y=x^{3}-6x^{2}+9x والخط y=mx متساويتان. هنا، 0<m<9.'

'[القيمة القصوى والقيمة الدنيا]'

'تأمل... يشرح بشكل أفقي خصائص الحلول المستفادة من أمثلة متعددة. من خلال فهم النقاط الرئيسية لتقييم الحلول، يمكن للشخص تعميق فهمه.'

'عندما \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \, القيمة القصوى \ \\frac{1}{4} \; عندما \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \, القيمة الدنيا -2'

'عبّر عن القيمة القصوى لـ ¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ بالنسبة إلى ¥( a) ¥.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}). كما، ابحث عن قيمة θ في ذلك الوقت.'

'أبق l ثابتة، وغير قيمة θ. افترض أن tan θ = t، وعبِّر عن التعبير r / (1 + cos 2θ) كدالة لـ t، وجد قيمتها القصوى.'

'القيمة القصوى هي \\frac{5}{3} عند x=-1، والقيمة الدنيا هي -9 عند x=3'

''

'رسوم بيانية لوظائف المثلثية المختلفة\nفي وظائف المثلثات، ننظر إلى العلاقة بين الأشكال الأساسية y=sinθ، y=cosθ، y=tanθ.\n\nسؤال: شرح كيفية تمدد أو ضغط رسم وظيفة y=2sin(3θ) على طول محور θ والتحول على طول محور y.'

'الأمور الأساسية\n1. رسوم بيانية للدوال المثلثية\n(1) رسم y=sin θ\n(2) رسم y=cos θ\nθ هو عدد حقيقي, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) رسم y=tan θ\nθ ≠ π/2+nπ (n عدد صحيح), y يأخذ جميع القيم الحقيقية. الخط θ=π/2+nπ (n عدد صحيح) هو خط أفقي.\n\nكما تم تعلمه في D. 216, باعتبار نقطة P(x, y) على محيط الدائرة الوحدية ونقطة تقاطع الخط x=1 والخط OP بأنها T(1, m). دع الزاوية التي تمثل نصف القطر OP تكون θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nمن خلال استخدام هذا، يمكن رسم الرسوم البيانية للدوال y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ. تسمى الرسوم البيانية للدوال y=sin θ و y=cos θ بالمنحنيات الجيبية، وتسمى رسم الدالة y=tan θ بالمنحنى المماس. بالإضافة إلى ذلك، فيما يتعلق بالمحور الرأسي (المحور y)، في الرسم البياني للدالة y=f(θ)، يُشار إلى المحور الأفقي بمحور θ. أيضًا، عندما تقترب الدالة من خط مستقيم، يُعرف هذا الخط بالنظير التقريبي للدالة.'

''

'مثال 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'

'قم بحساب التعبير التالي.'

'عندما تكون 0 ≤ x ≤ 3/4π، ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا والقيم المقابلة لـ x للدالة y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx.'

'عندما يتحرك m من خلال جميع الأعداد الحقيقية، ما هي الشكل الذي يرسمه نقاط التقاطع P للخطين التاليين؟ m x-y=0 (1)، x+m y-m-2=0 (2) للعثور على إحداثيات نقطة التقاطع P، يُعتبر (1) و (2) معادلات متزامنة في x و y ويُحل: x=(m+2)/(m^2+1)، y=(m(m+2))/(m^2+1) عندما نحاول القضاء على m من هاتين المعادلتين وإيجاد العلاقة بين x و y، سيؤدي ذلك إلى حساب صعب. لذلك، دعونا ننظر في الشروط لوجود نقطة التقاطع P. إذا حددنا قيمة m، فإن الخطين (1) و (2) تحددان، ويتم تحديد نقطة التقاطع P للخطين (1) و (2). على سبيل المثال، عندما تكون m=0، x=2، y=0، وعندما تكون m=1، x=3/2، y=3/2. لذا، النقاط (2,0) و (3/2, 3/2) على الشكل المرغوب. من منظور معاكس، إذا كانت نقطة التقاطع P بين الخطين (1) و (2) موجودة، فهذا يعني وجود عدد حقيقي m يرضي كل من (1) و (2). لذا، لننظر في ذلك كشرط لوجود الحل للمعادلات المتزامنة (1) و (2). بمعنى آخر، اعتبره كما لو كان يلبي (1) و m من أجل تلبية (2)، قم بالقضاء على m من (1) و (2)، واستخرج العلاقة بين x و y. تأكد من أنه عند إزالة m، فمن الضروري مراعاة الحالة حيث x≠0 و x=0 عند الحل لm. عند الإجابة، نلفت الانتباه أيضًا لنقاط الاستبعاد.'

''

'(2) (أ) P = 3sin2θ + 4cos2θ + 3'

'ابحث عن القيمة الدنيا لـ tan(x + y) + tan(x - y). [الشروط] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2].'

'مثال 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'

''

'ابحث عن القيم الدقيقة لحلول المعادلة f(x) = cos 2x (0 ≤ x ≤ π)'

'قم بإثبات المعادلة التالية عن طريق اتباع نفس الخطوات.'

''

''

'التمرين (1) ابحث عن معادلة الخط المماس الذي رُسم من النقطة (3،4) إلى القوس y=-x^{2}+4x-3.'

'عندما يكون ميل التماس في النقطة (أ ، ب) على الهايبربولا x^2-4y^2=4 هو m ، أجب على الأسئلة التالية. افترض أن b ≠ 0.'

''