الوظائف المتقدمة - الدوال الأسية واللوغاريتمية

'بالنسبة لمتعددة f(x)، المعادلة f(f(x))={f(x)}^{2} صحيحة. ابحث عن جميع الـ f(x) التي تلبي هذا الشرط، مع f(x) دائمًا غير معدولة.'

'(3) لنكن البادئة $a$ ونسبة التناسب $r(r>0)$. وفقًا للشروط\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\nمن النقطة (2) لدينا $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\nباستبدال (1) نحصل على $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\nإذًا\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nتفكيك العوامل يؤدي إلى $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\nولذلك $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\nبما أن $r>0$، فإننا نحصل على $r^{3}=8$، لذلك $r=2$\nباستبدال $r=2$ في (1) نحصل على $7 a=21$، لذلك $a=3$\nلذلك، البادئة هي 3، ومجموع أول 5 عناصر هو $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$'

'تحديد ملامح رسم بياني للدالة اللوغاريتمية y=log_a x.'

'معادلة المماس في النقطة (2، -2) هي y - (-2) = -3(x - 2)، والتي تتبسط إلى y = -3x + 4. تم العثور على إحداثي x لتقاطع الخطوط (1) و (2) ليكون x = 1 من x = -3x + 4، لذلك يتم تسمية المساحة التي يجب تحديدها بـ S، حيث S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3.'

'الدالة تأخذ القيمة القصوى ل 2a√a + b عندما x = -√a، والدالة تأخذ القيمة الدنيا ل -2a√a + b عندما x = √a.'

''

''

'إحداثي x لنقطة تلاقي منحنيات 2 هو الحل لـ x^3-3x^2+2x=ax(x-2). بما أن x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)، لدينا x(x-1)(x-2)=ax(x-2). لذلك x(x-2)(x-1-a)=0. لذلك x= 0,2, a+1. نظرًا لأن a>1، فإن الشكل العام للمنحنيين كما هو موضح في الشكل الأيمن، والشرط لتكون المناطق S1 ، S2 متساوية هو S1=S2، وهذا يعني أن S1-S2=0. لذلك'

'العثور على القيمة الدنيا للدالة y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1).'

'حل معادلة اللوغاريتمية \ \\log_{a} x = b \. هنا، \ a \ و \ b \ ثوابت، و \ x \ متغير.'

'النظر في الدالة من الدرجة الرابعة لـ x ، f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x ، حيث a و b أعداد حقيقية.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 للنطاق 2 ≤ x ≤ 16، والقيم المقابلة لـ x.'

'مثال 152 الحد الأقصى والحد الأدنى لمجموعة متنوعة من الدوال (استخدام التفاضل 2) (1) ابحث عن القيمة الدنيا للدالة f(x)=2^{3x}-3*2^{x} والقيمة المقابلة لـ x. (2) ابحث عن القيمة القصوى للدالة f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) والقيمة المقابلة لـ x.'

'حساب الفائدة التراكمية\nبافتراض سعر فائدة سنوي r ، باستخدام حساب الفائدة التراكمية كل عام ، ابحث عن الآتي:\n(1) الرأس مال T ين لجعل المبلغ الإجمالي بعد n سنة S ين\n(2) ادخر P ين في بداية كل عام ، وإجمالي الرأس مال بعد n سنة هو \xa0Sن\xa0 ين'

'العثور على القيمة الدنيا للدالة f(x).'

'المثال 31 | علاقة التكرار تشمل الضرب والأسس (باستخدام اللوغارتم)'

'انقلب الرسم البياني للدوال التالية. كما ، حدد العلاقة بين الدوال و \ y=\\log _{4} x \.'

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 عندما x=-s, s [1] s>0 جدول زيادة ونقصان f(x) هو كما يلي عن اليمين. (i) عندما 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = زيادة الأقصى & انخفاض الأدنى & زيادة f(x) هو القيمة الدنيا عند x=s لذلك g(s)=f(s)=s^3 / 3 - s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) عندما s ≥ 2 f(x) هو القيمة الدنيا عند x=2 لذلك g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] عند s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 لذلك 0 ≤ x ≤ 2 f(x) هو القيمة الدنيا عند x=0 لذلك g(0)=f(0)=0"

'عبر عن الحجم النسبي لكل مجموعة من الأرقام باستخدام عدم المساواة.'

'حل المعادلة (1) ، 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'صيغة تحويل القاعدة'

'خصائص الدوال اللوغاريتمية\nخصائص ورسم بياني للدالة اللوغاريتمية \ y=\\log _{a} x \ حيث \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) المجال هو جميع الأعداد الإيجابية، والنطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.\n(2) تمر من خلال نقاط \\( (1,0),(a,1) \\)، مع محور \ y \ كخط أفقي.\n(3) عندما \ a>1 \، كلما زادت قيمة \ x \، زادت قيمة \ y \ أيضًا.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nعندما \ 0<a<1 \، كلما زادت قيمة \ x \، قلت قيمة \ y \.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'بسط المعادلات التالية.'

'بسط العبارات التالية:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'العثور على القيم القصوى والحد الأدنى للدالة y = 9^x - 2 \\ cdot 3^{x+1} + 81 (-3≤x≤3).'

'حدد تعريف اللوغاريتم الشائع.'

'بسط المعادلات التالية.'

'بسط التعابير التالية.'

'الدالة الأسية\nخصائص الدالة الأسية ورسمها \ y=a^{x} \\nلتكن \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) المجال هو جميع الأعداد الحقيقية، والنطاق هو جميع الأعداد الإيجابية\n(2) تمر عبر النقاط \\( (0,1),(1, a) \\) والمحور الأفقي هو خطها الرافد\n(3) عندما تكون \ a>1 \، عندما يزيد \ x \، يزيد \ y \ أيضًا\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nعندما تكون \ 0<a<1 \، عندما يزيد \ x \، ينقص \ y \\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'بسط المعادلات التالية.'

'ابحث عن الدالة f(x) التي ترضي المعادلة f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t. عن طريق إعادة تنظيم الجانب الأيمن، نحصل على f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a. مع اعتبار a و b ثوابتًا، نجد ان a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}. وبالتالي، a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t يعني 2 a-6 b-3=0. من ناحية أخرى، b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1، لذلك a+b+1=0 (1)، حل المعادلات يعطي a=-\\frac{3}{8}، b=-\\frac{5}{8}، وبالتالي f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x يمكن التعامل معها كثابت.'

'يرجى وصف نطاق ومدى الدالة الأسية y=a^{x}.'

'دالة لوغاريتمية'

'ابحث عن القيم التالية.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية.'

'استكشف العلاقة بين الرسم البياني الأساسي ل y=a^x ورسوم y=3^x و y=3^{-x}.'

'بسط العبارات التالية.'

'اللوغاريتمات وخصائصها\nتعريف اللوغاريتمات\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { قيم معطاه. } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'لنعتبر المنحنيات C1: y=a e^{x}، C2: y=e^{-x}. عندما تتغير الثابت a في النطاق 1≤a≤4، دع D1 تكون المنطقة المحاطة بين C1 و C2 ومحور الص y، ودع D2 تكون المنطقة المحاطة بين C1 و C2 والخط x=log 1/2. (1) اعثر على قيمة a عندما تكون مساحة D1 هي 1. (2) العثور على القيمة الدنيا لمجموع مساحة D1 و D2 والقيمة المقابلة ل a.'

'ثبت عدم المساواة (1) باستخدام التفاضل (الأساسي)'

"بالنسبة للدالة f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x (حيث A و B ثوابت) ، أجب على الأسئلة التالية: (1) اعثر على f'(x). (2) عبّر عن f''(x) بالنّسبة إلى f(x) و f'(x). (3) اعثر على ∫ f(x) dx."

'احسب التكاملات غير المحددة التالية.'

'الدالة الشهيرة وحدودها المرتبطة\nحد الدالة \ y=\\frac{\\log x}{x} \ هو \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية. (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'أثبت أن التفاوت b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) صحيح عندما تكون a > 0 ، b > 0.'

'لتكن \\( f(x)=-e^{x} \\) ولنكن \ b \ عددًا حقيقيًا. ابحث عن عدد التماسات للمنحنى \\( y=f(x) \\) التي تمر عبر نقطة \\( (0, b) \\). يمكنك استخدام \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \.'

'ابحث عن التكامل المحدد التالي. $$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'بالنسبة للأعداد الحقيقية a ، b ، c ، لتكن F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1 ، f(x) = x^2 + c x + 1. أيضًا ، دع T يكون المجموعة المتحقق عن طريق إزالة النقاط 1 و -1 من الدائرة الوحدية في المستوى المركب.'

'بالنسبة لثابت k، حدد عدد الحلول الحقيقية لمعادلة log(sin x+2)-k=0 ل 0<x<2π.'

'كيفية رسم الرسوم البيانية للتفكير. استخدام طريقة التفاضل في رسم الرسوم البيانية مهمة.'

'العثور على الدالة العكسية والمنطقة.'

'لنكن n عدد صحيح إيجابي تعسفي، ولتكن الدالتان f(x)، g(x) دالتين يمكن تفاضلهما n مرات. [كبير جدًا] (1) اعثر على المشتقة الرابعة للمنتج f(x)g(x) d^4/dx^4{f(x)g(x)}. (2) استنتج معامل f^(n-r)(x)g^(r)(x) في المشتقة الثانية d^n/dx^n{f(x)g(x)} للمنتج f(x)g(x)، وثبت أن الاستنتاج صحيح باستخدام الاستقراء الرياضي. هنا، r عدد صحيح غير سالب لا يتجاوز n، وf^(0)(x)=f(x)، g^(0)(x)=g(x). (3) اعثر على المشتقة الn h^(n)(x) للدالة h(x)=x^3e^x، حيث n≥4.'

'لنفترض a > 0، b > 0، و f(x) = log ((x + a) / (b - x))، أثبت أن المنحنى y = f(x) متماثل حول نقطته عند انعطاف.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'العثور على الدوال العكسية للدوال التالية. كما، قم برسم رسوم بيانية لها.'

''

'تغير قيم الدالة، الحد الأقصى والحد الأدنى، رسم بياني للدالة'

'لنكن n عدداً صحيحًا. أثبت صحة المعادلات التالية: حيث، \ \\cos ^{0} x = 1 \، (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\).\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \ (n \\geqq 1)'

'كيف يمكننا حل المسألة المحرجة \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ بطرق مختلفة؟ في المثال المهم 141 (1) ، قمنا بحله عن طريق افتراض \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ ، ولكن هناك العديد من الطرق الأخرى أيضًا. أولاً ، دعونا نلقي نظرة على طريقة استبدال \ x=\\tan \\theta \ كما هو مشار إليه في الصفحة السابقة.'

''

'لتكن \ a \ ثابتًا غير متساويا عن الصفر، ولتكن \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \. ابحث عن قيم \ A, B \.'

'يوجد ثوابت a، b، حيث ab ≠ 1. ابحث عن الشرط الذي يتطابق فيه الدالة العكسية ل y = (bx + 1) / (x + a) مع الدالة الأصلية.'

'الأساسي 11: الشرط لتكون الدالة العكرية متساوية مع الدالة الأصلية'

'لنكن n عددًا طبيعيًا أكبر من أو يساوي 2. قم بإثبات عدم المساواة التالية:'

'العثور على التكامل غير المحدد لـ \\\int e^{2x+e^x} dx\.'

'أثبت أنه يوجد تسلسل نقاط Pₙ(xₙ, yₙ) يرضي P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2، ...) على مستوى، وتقترب التسلسل P₁، P₂، ... لنقطة ثابتة بشكل لامتناهي.'

'ثبت عدم المساواة عند x>0 \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10}'

'التكامل بالاستبدال والتكامل بالأجزاء'

''

''

'اعثر على نطاق الثابت a عندما يمكن رسم خط مماس من النقطة (a, 0) على محور السينات إلى رسم دالة y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}}.'

'ابحث عن التكامل للدالة f(x)=3 cos 2x+7 cos x على الفاصل [0, π] بشكل \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\).'

'العثور على معادلات الخطوط والقواطع التي تم الحصول عليها من خلال تحريك الخطوط التالية والقواطع موازية للمحور السيني بمقدار -3 وللمحور الصادي بمقدار 1.'

'تكلفة بيع y شوكولاتة، مدلة ب c(y)، تعطى من خلال c(y)=y^{2}. ابحث عن قيم سعر البيع p والكمية y التي تحقق فيها أقصى ربح لشركة A (الفرق بين الإيرادات والتكلفة الإجمالية).'

''

'تحويل المتغيرات'

'توسيع 159 باستخدام تحويل المتغيرات'

'في المثال 30، نقوم بتجزئة مقامات كل عنصر قبل القيام بالحسابات. ومع ذلك، في المثال 31 (1)، نواصل مع الحسابات دون تجزئة المقامات. دعنا نفكر في السبب وراء هذا النهج.'

None

'لنكن S(a) المساحة المحاطة بالخط المار عبر النقطة (1،2) بميل a والقوس الجذعي y=x^2. ابحث عن قيمة a التي تقلل من S(a) مع تغير a في النطاق 0 ≤ a ≤ 6.'

'ارسم الرسوم البيانية للدوال التالية وصف العلاقات المكانية لها مع الدالة y=3^x.'

'حل المعادلات التالية:'

'ارسم منحنيات الدوال التالية واشرح العلاقة المكانية لها مع الدالة y=log_{2} x.'

'بسّط التعبيرات التالية.'

'أقصى وأدنى للدالة اللوغاريتمية (1): العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة اللوغاريتمية التالية.'

''

'بخصوص حسابات اللوغاريتمات'

'ابحث عن القيمة القصوى والقيمة الدنيا وقيم x المقابلة للدالة y = log_2(x/2)log_2(x/8) (1/2 ≤ x ≤ 8).'

'بناءً على معادلة f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) مع قيمة قصوى تبلغ 5 وقيمة دنيا تبلغ -7 في الفترة -1 ≤ x ≤ 1، حدد قيم ثوابت a و b.'

'احسب اللوغاريتم الشائع للرقم 1.95 من البيانات 1.'

'حل المعادلات التالية.'

'أثبت أن قيمة \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] تصبح دالة للقيمة الوحيدة k, بغض النظر عن قيم m و σ, عندما تتبع المتغير العشوائي X التوزيع الطبيعي N(m, σ^2).'

'صف الرسم البياني والخصائص لدوال اللوغاريتم التالية.'

'نظر في الدالة y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1، المحددة لـ 1550 1/3 ≤ x ≤ 3. ابحث عن القيمة القصوى والحد الأدنى للدالة y وقيم x المقابلة.'

'صف خصائص الدالة اللوغاريتمية.'

'بالنسبة لرسم بياني لدالة y = x ^ 2 (x > 0) ، استخدم مقاييس لوغاريتمية لكل من المحور الأفقي والعمودي.'

'صيغة تحويل القاعدة: حول قواعد اللوغاريتمات التالية.'

'ابحث عن المنطقة المحاطة باثنين من القطع الناتئة معرفة باسم S(a). دع إحداثي x لنقاط تقاطع القطع الناتئة يكون α و β (α < β) ، ثم من الشكل على اليمين:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nحلول المعادلة التربيعية (1) هي x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3. نظرًا لأن α و β هما حلول (1) ،\nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nلذا ، S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nنظرًا لأن -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8) ، في النطاق 0 < a < 9/2 ، -2a^2 + 9a هو الأقصى في a = 9/4 ، وفي هذه النقطة S(a) هو الأقصى أيضًا.\nبالتالي ، S(a) هو الأقصى في a = 9/4\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8.'

'أجب على الأسئلة التالية حول مفاهيم اللوغاريتمات الأساسية. قم بحساب اللوغاريتم استنادًا إلى المعادلات المعطاة.'

'ارسم رسوم الدوال التالية واشرح علاقتها مع دالة y=log_{2} x.'

'شروط وجود حلول المعادلات اللوغاريتمية: تحديد الشروط اللازمة لوجود حلول للمعادلة اللوغاريتمية التالية.'

'عدد الحلول الحقيقية المتميزة n لمعادلة f(x)=0 يساوي عدد نقاط التقاطع بين المنحنى y=f(x) ومحور السينات. استنادًا إلى (1)، عندما يكون a≤0، n=1، واستنادًا إلى (2)، عندما يكون a>0، يعتمد القيمة الدنيا -4√2a3/2+16 على قيمة a ويمكن أن تكون إيجابية، 0، أو سالبة، لذلك n=1،2،3. لذلك، بتلخيص (1) و (2)، إذا كانت n=1، فإن a<0، a=0، a>0 جميعها ممكنة؛ إذا كانت n=2، فإنه يمكن أن يكون a>0 فقط؛ إذا كانت n=3، يمكن أن يكون a>0 فقط.'

'ما هو سبب تضمين عدد كبير من المشاكل في الرسم البياني الأزرق؟'

'كيف يمكنك تعميق تعلمك عن طريق استخدام المحتوى الرقمي؟'

'\\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2} إجابة التمرين 67 (2)'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة. في (3)، (4)، حيث (a≠0، b≠0). (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن التكامل غير المحدد \ \\int e^{x} \\cos x dx \.'

'لتكن y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x).'

'ننظر إلى الدالة 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2. (1) افترض أن f(x) تمثل الإشتقاق الثاني لـ f(x)، أظهر أن معادلة \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) تتحقق. (2) ابحث عن التكامل المحدد \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x.'

'قم بدراسة زيادة وانخفاض دالة f(x)=x-1-log x، وأثبت عدم المساواة log x ≤ x-1 عند x>0.'

"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'باستخدام المعادلات [4] [6] أعلاه كصيغ، دعونا نحاول العثور على التكامل المحدد التالي.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية. (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'مثال مهم 165) الكمية والتكامل ينشأ تدوير جزء من المنحنى y = e^x حول محور y من 0 ≤ x ≤ 2 الى حاوية، حيث يتم صب الماء بمعدل a (ثابت إيجابي) في كل وحدة زمنية. لنكون V حجم الماء عندما يكون العمق h، ولنكون S مساحة سطح الماء. (1) ابحث عن ∫(log y)^{2} dy. (2) عبّر عن V بالنسبة ل S. (3) ابحث عن معدل توسع سطح الماء عندما يصبح S يساوي π. [معهد شيبورا للتكنولوجيا] التوجيه (3) معدل توسع سطح الماء هو dS/dt، لكن يبدو أنه من الصعب التعبير عن S بالنسبة لـ t. لذلك، باستخدام تلميح (2)، استخدم dV/dt = dV/dS * dS/dt للعثور على الحل.'

''

'ابحث عن التكامل غير المحدد التالي.'

'(1) اجد المشتقة للدالة $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$. (2) على مستوى $x y$ ، يكمن النقطة $P$ على المنحنى $C$ الممثل بالمعادلة $x^{2}-y^{2}=1$ وهو في الربع الأول. إذا كانت المنطقة المحاطة بقطعة الخط $OP$ التي تربط الأصل $O$ والنقطة $P$ ، محور $x$ ، والمنحنى $C$ هي $\\frac{s}{2}$ ، فعبر عن إحداثيات النقطة $P$ في مصطلحات $s$.'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { ولنعتبر } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'كيفية العثور على العكس من وظيفة؟'

'أثبت أن عدم المساواة تنطبق عندما تكون x > 0.'

'استخدم المعادلة (1) من التمرين 152 في الصفحة 530، حيث (1) هي V=2π∫₀ᴨx{cosx-(-1)}dx.'

'(2) \\\\ فلنفرض \ e^{x}+1=t \ ، ثم \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'باستخدام صيغة التكامل بالتبديل (2) ، اعثر على التكامل التالي.'

'(2) لنكن التتابع \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ معرفًا بواسطة \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\). باستخدام حقيقة أن \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ يعني \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\) ، قم بإثبات أن التتابع \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ يتقارب وجد قيمته الحدية. يمكنك استخدام حقيقة أن \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'لذلك \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nلذلك \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] حل هذا يعطي \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nوبالتالي \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'ثبت عدم المساواة التالية.'

'سؤال مهم 115 الدوال العكسية والتكامل المحدد\nدع الدالة العكسية للدالة y=e^{x}+e^{-x}، المحددة لـ x≥0، تكون y=g(x). ابحث عن ∫_{2}^{4} g(x) dx.'

'تمرين 102 \\Rightarrow الصفحة 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ فلنفترض \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nلذلك \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nوبالتالي \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nوبالتالي \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'نظرًا لأن (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2) ، فإن x e^(x^2) هو دالة فردية.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'حدد نطاق الأرقام الحقيقية التي تتقارب فيها متسلسلة {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n}. كما اعثر على القيمة الحدية في ذلك النقطة.'

'نظرًا لأن هذا الخط يمر عبر النقطة (0، Y(a)) ، فإن Y(a) = (a ^ 2 + 1)e ^ (-a ^ 2/2)'

'ابحث عن الفيكتورات v و α.'

'ممارسة 163'

''

'(1) العثور على حجم $V$ للصلب الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنيات $y=x^{2}, y=\\sqrt{x}$ حول محور $y$.\n(2) دع المنحنى $y=\\log 3x$ يتم تمثيله بـ $C$. العثور على حجم $V$ للصلب الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بـ $C$ والخط المماس الذي يمر من خلال المنشأ $O$ ومحور الـ $x$ حول محور $y$.'

'الرياضيات II\n407\n[2] عند \ p>2 \\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\nمن [1], [2], الجدول الذي يوضح التغيير في S كما يلي.\nلذلك، \ S \ هو الحد الأدنى عند \ p=\\frac{4}{3} \، وقيمته الدنيا هي\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & الحد الأدنى المحلي & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { عند } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'قم بتفريق الوظائف التالية.'

'(5) مع \ \\log x=t \ نفرض \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'ابحث عن التكاملات العينية التالية.'

'مثال 143 تحديد معاملات من المساحة'

'العثور على الدالة التي تفي بالشروط التالية.'

'استخدام نظرية القيمة المتوسطة لإثبات البحوث التالية:'

'ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'استخدم الصيغة (4) لحساب التكامل التالي.'

'البحث عن القيمة المتطرفة للدالة في x=1/√e.\n(1) عند x=1/√e ، الدالة لديها قيمة دنيا (-1/(2e\n(2) عند x=-4/3 ، الدالة لديها قيمة قصوى 4√6/9 ، وفي x=0 ، الدالة لديها قيمة دنيا 0'

'مثال 163 نقطة تتحرك على منحنى بسرعة ثابتة\n547\nهناك نقطة P تتحرك على السطح الإحداثي. تبدأ النقطة P من (0,1) وتتحرك على طول المنحنى y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) بسرعة وحدة واحدة في الثانية. دع إحداثيات النقطة P بعد ثوان تكون (f(t), g(t)). ابحث عن f(t), g(t).\n[شينكي]\nافترض طريقتين للتعبير عن المسافة l من 0 ثانية إلى t ثانية.\n[1] نظرًا للحركة بسرعة وحدة واحدة في الثانية, l=t\n[2] نظرًا للحركة على المنحنى y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0), دع إحداثي x لنقطة P بعد ثوان t يكون p, ثم\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"في حالة x>0 ، إذا كان f'(x)=0 ، فإن x+π/4=kπ ، مما يعني x=kπ-π/4 (k=1،2،3، ...). نظرًا لأن f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)}"

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'العثور على المشتقة للدالة اللوغاريتمية log_a x بالنسبة لأي قاعدة a.'

''

'حل الاندماج التالي.'

'العثور على الشرط الضروري والكافي الذي يجب أن تفي به القيمة q لكي لا تمتلك المستقيمة y = px + q أي نقاط مشتركة مع رسم دالة y = log x.'

'العثور على الدوال العكسية للدوال التالية.'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'تمرين 97 \\Rightarrow الكتاب ص.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'التكامل \ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ معروف بالتكامل الغاوسي ويساوي \ \\sqrt{\\pi} \.'

'170 (2) (و) f(x)=-e^{-x}+1'

'ثابت باستخدام الإستدلال الرياضي المشتقة الثانية والصيغة التكرارية ل f(x) = 1 / (1 + x^2).'

'ممارسة (1) اعثر على إحداثيات x لتقاطع منحنيين y=logx وy=a/x^{2} (a>0) ، تمثل بواسطة p ، قم بالتعبير عن a بالنسبة لـ 144p.'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'التعبير المعطى في الرياضيات \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nحلا آخر هو \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\)، لذلك\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) أثبت عدم المساواة \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\).'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية:'

'هناك نقطتان P و Q تتحركان على محور السين. في الزمن t=0 ، تكون النقطتان في الأصل O وسرعة كل من P و Q في الزمن t هي على التوالي v_P(t)=a t (0 ≤ t) و v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1)، t log t (1 ≤ t). (1) أثبت أن Q سيتجاوز دائمًا P. (2) ابحث عن الوقت الذي يلحق فيه Q P والمسافة القصوى بين P و Q خلال ذلك الوقت.'

'يتم ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'لنكن ٢٨ مثبتًا صحيحًا لأي عدد صحيح إيجابي، وليكن الدالتان f(x) و g(x) دالتين قابلتين للتفاضل بترتيب n.'

'بالنسبة لأي عددين صحيحين غير سالبين m و n ، دع Iₘ،ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx.'

'(1) $8\\log 2-1$ (2) $\\frac{1}{\\log 2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) العثور على المشتقة f'(x) للدالة f(x) = log(x+√(1+x^2)) المعرفة عند x ≥ 0. (2) العثور على طول الجزء من المنحنى المعرف بالمعادلة القطبية r=θ(θ ≥ 0) ل 0 ≤ θ ≤ π."

''

'143 (1) x=0، π/2 لأقصى قيمة 1؛ x=π، 3π/2 للقيمة الدنيا -1\n(2) x=log_{2} (كسر) √5 ± 1/2 للقيمة الدنيا 1-10 √5'

'امثل نطاق النقاط $(x, y)$ التي تحقق المعادلة $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$.'

"العثور على قيم ثوابت a و b و c بحيث تستوفي الدالة الثالثية f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c الشرط 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6."

'الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة اللوغاريتمية'

'بسط التعبيرات التالية.'

'عدد الحلول لمعادلة لوغاريتمية'

'القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدوال التربيعية'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدوال التالية. (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) دع a>0 ، a \\neq 1. للدالة y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2 ، لنفترض a^{x}+a^{-x}=t. عبّر عن y بالنسبة لـ t وابحث عن القيمة الدنيا لـ y. (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'ابحث عن الدوال f(x) و g(x) التي تستوفي الشروط المعطاة.'

'ابحث عن القيمة القصوى للدالة y = log_4(x+2) + log_2(1-x) والقيمة المقابلة لـ x.'

'سؤال 2: الدوال اللوغاريتمية'

'بما أن F(x) يأخذ قيمة قصوى تبلغ 5 عند x=1 وقيمة دنيا تبلغ 4 عند x=2 ، اعثر على قيم f(t) و α عندما يكون α ثابتًا حقيقيًا و f(t) دالة من الدرجة الثانية.'

'ابحث عن قيم الملازمات التالية.'

''

'(1) اعثر على القيمة الدنيا لـ x^{2} + y^{2} عندما \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3.\n(2) بالنسبة لأعداد حقيقية موجبة x, y التي ترضي xy=100 ، اعثر على القيمة الدنيا لـ (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} ، وقيم x و y في ذلك الحد الأدنى.\n(3) لتكن f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (حيث ab=8 ، a>b>0). إذا كانت القيمة الدنيا لـ f(x) تساوي -1 ، فاعثر على قيمة a^{2}. [جامعة واسيدا]'

'بسط التعبيرات التالية.'

'دع a و b يكونان ثوابت. أثبت عدم المساواة التالية.'

'دع a>0، a≠1، b>0. رسم جميع نقاط (a، b) في السطح الإحداثي حيث تحتوي المعادلة التربيعية 4x²+4xlogₐb+1=0 على حلاً فريدًا في النطاق 0<x<1/2.'

'حل المعادلات التالية، معادلات متزامنة. في (3)، نفترض أن 0<x<1، 0<y<1.'

None

'الدالة العكسية ورسمها البياني'

"اعتمادًا على شرط g(x) ، قم بفحص إشارة g(x) أو f'(x) وأنشئ جدولًا لزيادة وانخفاض f(x)."

'وظائف قابلة للتفاضل، f(x) و g(x)، المعرفة على مجموعة كاملة من الأعداد الحقيقية، تلبي الشروط التالية.'

'عندما n عدد صحيح موجب، فإننا نعرف I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx. (1) ابحث عن I_{1}. (2) ابحث عن نطاق قيم \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| لمدى 2 \\leqq x \\leqq 3. كما يرجى العثور على \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}. (3) عبّر عن I_{n+1} بالنسبة إلى I_{n}. (4) ابحث عن \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}. 〔جامعة كوانساي غاكوين〕'

'ممارسة دع \ n \ يكون عددًا صحيحًا. قم بإثبات المساواة التالية. حيث, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\).\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت a بحيث يمكن رسم مستقيم مماس من النقطة (a، 0) إلى المنحنى y=e^{-x^{2}}.'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'ابحث عن حجم المادة الصلبة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير المنطقة المحيطة بالقوس الذي يمثله y = 2 x - x^{2} حول محور y مرة واحدة.'

'العثور على الدوال العكسية للدوال التالية. كما، قم برسم رسوم بيانية لها.'

"لنكن الدالة العكسية للدالة f(x) هي g(x). عندما f(1)=2 و f'(1)=2 ، احسب قيم g(2) وg'(2) على التوالي."

'أثبت أن \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n هو عدد طبيعي, C هو ثابت التكامل ) \\).'

"عندما تكون f(x) دالة يمكن تفريقها مرتين، فقم بالتعبير عن \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) بالاعتماد على f'(\\tan x) و f''(\\tan x)."

'قم بممارسة الوظيفة f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (حيث k هو ثابت): (1) اعثر على قيمة k عندما تكون f(x) لديها قيمة محلية في x=-2. (2) حدد نطاق القيم الممكنة لـ k التي يمكن لـ f(x) أن تكون لديها قيمة محلية.'

'اشتق الدوال التالية. في (6)، a هو ثابت.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

''

'ابحث عن نطاق القيم للثابت a بحيث يمكن رسم خط مماس من النقطة (a، 0) إلى المنحنى y=xe^x.'

'ابحث عن التكامل غير المحدد \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \。'

'ممارسة بحيث n يكون عددا طبيعيا. ابحث عن المشتقة الثانية للتالي.'

'قم بتمرين إثبات المتباينات التالية:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'باستخدام العدد الطبيعي n ، ابحث عن المشتقة الـ n للدالة y=(1-7x)^{-1}.'

'ابحث عن الجزء من f(x) الذي يساوي 3/1x3 + 2log|x|.'

'لنكن \n$n$ عدداً طبيعياً أكبر من أو يساوي 2. اعتبر الدوال $y=e^{x}$\n(1) و $y=e^{nx}-1$\n(2).\n(1) أظهر أن المنحنيات الخاصة بـ (1) و (2) تحتوي على نقطة تقاطع واحدة فقط في الربع الأول.\n(2) دع إحداثيات نقطة الانقطاع المُحصلة في (1) تكون $(a_{n}, b_{n})$. اعثر على $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$ و $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$.\n(3) دع المنطقة المحاطة بالمنحنيات لـ (1) و (2) في الربع الأول ومحور $y$ تكون $S_{n}$. اعثر على $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$.'

'بالنسبة للدالة f(x)=a e^{2 x} (حيث a ثابت)، عندما تكون المستقيمة المماسة في النقطة (b, f(b)) على المنحنى y=f(x) هي y=x وتمر عبر (3, 15). أجب على الأسئلة التالية.'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

''

'بالنسبة للدالة f(x)=e^(kx)/(x²+1) (حيث k ثابت)، أجب على الأسئلة التالية.'

'أثبت أن الدالة f(x) = ax + xcosx - 2sinx لديها نقطة واحدة فقط بين π/2 و π. حيث -1 < a < 1.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'لنكن n عدداً طبيعياً. ابحث عن المشتقة الثانية من الدالة y=\\frac{1}{1-7x}.'

"نظرًا لوظيفة قابلة للتفاضل $f(x)$ التي ترضي العلاقة $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$. ابحث عن الإشتقاق $f'(x)$ لـ $f(x)$، لذا $f'(x)= \\square$. كما أنه، نظرًا لأن $f(0)=1$، نجد أن $f(x)= \\square$."

'(1) هناك نقطة P تسافر على خط الأعداد بدءًا من النقطة 1 بسرعة $v=t(t-1)(t-2)$ بعد مضي t ثانية. الموقع الخاص ب P بعد 3 ثوانٍ من البداية هو A، والمسافة التي سافرها P هي B.\n\n(2) دع g تكن التسارع الناتج عن الجاذبية. صاروخ بتسارع $\x0crac{1}{1+t}$ بعد t ثانية من الإطلاق من الأرض رأسياً بسرعة بادئة $v_{0}$. اعثر على سرعة الصاروخ وارتفاعه بعد t ثانية.'

'امثل الشكل العام للرسم البياني للدالة y=(-x+1) e^{-x+1}. بشرط أن lim _{x → ∞} x e^{-x}=0.'

'ابحث عن قيمة a وإحداثيات نقطة التقاء عندما تكون الخط y=x مماسًا للمنحنى y=a^x. هنا، a>0 و a ليس يساوي 1.'

'ثبت الأوامر الغير متكافئين التالية ، حيث n هو عدد طبيعي. [جامعة توهوكو]'

'(2) عن طريق القيام بنفس الشيء كما هو الحال في (1)'

'التفاضل للدوال الأسية واللوغاريتمية\nلنفرض \a>0, a \\neq 1\.\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'ثبت التالي من العدمية'

''

''

'لنكن n عددًا طبيعيًا أكبر من أو يساوي 2. نفترض الدوال y=e^x ... (1) و y=e^(nx)-1 ... (2).\n(1) أثبت أن رسومات (1) و (2) تحتوي على نقطة تقاطع واحدة فقط في الربع الأول.\n(2) دع (a_n, b_n) تكون إحداثيات نقطة التقاطع المستخرجة في (1). احسب lim n → ∞ a_n و lim n → ∞ n a_n.\n(3) دع S_n تكون المساحة المحصورة بين الرسوم البيانية للدوال (1) و (2) في الربع الأول ومحور y. احسب lim n → ∞ n S_n. [معهد طوكيو للتكنولوجيا]'

'العثور على المشتقة للدوال التالية.'

'تمرين (2) بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، قم بإثبات أن (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} صحيح.'

'عندما تكون المنحنيات y = x^2 - 2x و y = log x + a ملتصقة ، ابحث عن قيمة الثابت a. كما ، ابحث عن معادلة الخط المماس في نقطة التماس.'

''

'قم بتحويل المثال (1) بمنع تجزئة المقام ثم قم بالتكامل.'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ عدد صحيح أكبر من أو يساوي 0) . أثبت أن \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\). حيث \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \.'

'بفرض وجود دالة y=f(x) محددة على جميع الأعداد الحقيقية، تكون قابلة للتفاضل مرتين وترضي دائمًا f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x)، أجب عن الأسئلة التالية: (1) عند تعريف الدالة F(x) كـ F(x)=e^x f(x)، أظهر أن F’’(x)=-F(x). (2) أظهر أن دالة F(x) ترضي F’’(x)=-F(x) ستؤدي إلى {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} أن يكون ثابتًا، وجد lim_{x -> ∞} f(x). [جامعة نساء كوتشي]'

'ثبت المعادلة \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\).'

'إذا زادت كل جانب من مكعب طول الحافة a بمعدل b في الثانية ، فلنكن V حجم المكعب بعد t ثانية ، حيث V=(a+bt)^3. ما هو معدل تغيير حجم المكعب t ثانية بعد بدء الزيادة؟'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'ابحث عن معادلة النمط الموجود بين النقطة P المعطاة ومنحنيات التماس، وحدد إحداثيات نقطة الاتصال.'

None

'يرجى مقارنة معدل الزيادة للدوال \\( x^{q}(q>0) \\) و \ e^{x} \.'

''

'ابحث عن المشتقة العكسية للوظيفة.'

'اعثر على القيم القصوى للدالة f(x)=x e^{-2x} وإحداثيات نقاط الانعطاف للمنحنى y=f(x).'

'استقصي زيادة وانخفاض الدالة التالية.'

'ترتيبت مفوضية الحفظ $f(x), g(x)$ المحددتان على جميع الأعداد الحقيقية تفي بالشروط التالية:'

'في حالة a>0، b>0 و f(x)=log((x+a)/(b-x))، قم بإثبات أن المنحنى y=f(x) متماثل حول نقطته المتضاربة.'

''

"لتكن F(x) دالة أولية لـ f(x) ، تنطبق الشروط التالية [1] ، [2]. العثور على f'(x) ، وحساب 175f(x). مع العلم أن x > 0. \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"

'يرجى مقارنة معدل زيادة الدوال \ \\log x \ و \\( x^{p}(p>0) \\).'

'احسب f(x) بناءً على الشروط التالية'

'عندما تكون الأعداد الحقيقية a، b تحقق الشرط 0 < a < b < 1، قارن بين قيم 2^a - 2a/(a-1) و 2^b - 2b/(b-1).'

'المنطقة د هي المنطقة المظللة باللون الأحمر في الرسم البياني على اليمين، لذا V1 = π∫1e a²(log x)² dx تنتج [الحساب التفصيلي المحذوف] π(e-2)a². علاوة على ذلك، من y= a log x، لدينا log x = y/a، وبالتالي x = e^(y/a)، وبالتالي V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a. من خلال دمج جميع الحسابات، نحصل في النهاية على π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a، نظرًا لأن a > 0، فيمكننا القول بأن 2(e-2)a = e²+1، وبالتالي a = (e²+1)/2(e-2)'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'الجواب على السؤال (2):'

'العثور على المنطقة S المحاطة بالمنحنى وشرائح الخط التالية:'

'ممارسة - العثور على أقصى وأدنى قيم في الدوال التالية: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [مماثلة لجامعة كانساي] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [مماثلة لجامعة مدينة ناغويا]'

''

'بالنسبة للمنحنى C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t}،\n(1) معادلة المنحنى C هي x^{2}+1 x y- y^{2}=25.\n(2) عبّر عن \\frac{d y}{d x} بالنسبة ل x و y.\n(3) في النقطة على منحنى C المقابلة ل t= ، \\frac{d y}{d x}=-2.'

'أثبت أنه بالنسبة لأي عدد حقيقي x، تنطبق عدم المساواة e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2).'

'(1) العثور على التكامل غير المحدد \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'y = (x^2−1)e^x'

'من g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2، نحصل على g(2)=1 من (1) وg′(2)=1/f′(1)=1/2'

'اشرح خصائص الهايبربولا وشكلها العام.'

'العثور على جميع الدوال الخطية g(x) التي تفي بشرط g(f(x)) = f(g(x)) لدالة الدرجة الثالثة f(x)=x³+bx+c.'

'بالنسبة للثوابت $a>0، b$ ، قم بمراجعة المعادلة فيما يتعلق بالعدد الحقيقي $t$'

'العثور على الدوال العكسية.'

'من خلال استخدام نظرية قيمة المتوسط، قم بإثبات ما يلي:\n\\nللقيم e^{-2}<a<b<1، \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'النظر في التكامل الحاسم والعلاقة التكرارية 122'

'لتكن e ثابتة ، ولتكن المنحنى 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 ممثلة بـ C. أي من البيانات التالية حول المنحنى C ، عند تغيير قيمة e ، صحيح؟'

'ابحث عن التكامل غير المحدد التالي.'

None

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية:'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية. (1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'العثور على الدوال العكسية للدوال التالية ورسم المنحنيات الخاصة بها.'

'تفريق الدوال التالية.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'ابحث عن التكاملات التحديدية التالية.'

''

'قم بالتحقيق ما إذا كانت الدالة f(x) مستمرة أم متقطعة. حيث [x] يمثل أكبر عدد صحيح لا يتجاوز العدد الحقيقي x.'

'ثبت أن المعادلات التالية صحيحة عندما يكون PR n عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2. حيث \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \.'

'أثبت أنه عندما تكون الدالة y=log x، فإن الإشتقاق الرابع لـ y هو (-1)^ (n-1) * (n-1)! / x^n.'

'سؤال 99\n(1) عند x=e ، يكون القيمة القصوى لـ e^{1/e}'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'ترجم النص المعطى إلى لغات متعددة.'

''

'العثور على معادلة المستقيم المماس للمنحنى y=log(log x) في x=e^{2}.'

'باستخدام مبرهنة تايلور، أظهر مطور تايلور من الدرجة الثالثة للدالة f(x) = e^x حول x = 0.'

'حسب تفاضل الدالة f(x)=1/x log(1+x).'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'ابحث عن المساحة S المحاطة بالمنحنى y=(3-x)e^{x} والمحور x، والخطوط x=0، x=2.'

'ابحث عن التكامل غير المحدد التالي: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'ابحث عن المشتقة للدوال التالية.'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية a و b و c و d شرط ad-bc≠0 ، للدالة f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d} ، أجب على الأسئلة التالية. (1) اعثر على الدالة العكسية f^{-1}(x) لـ f(x). (2) اعثر على العلاقة بين a و b و c و d التي ترضي f^{-1}(x)=f(x) و f(x)≠x.'

''

"في الفترة $0<x<2\\pi$ ، عندما $y'=0$ ، لدينا $x=\\frac{\\pi}{2}$ من $\\sin x-1=0$؛ و $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$ من $2\\sin x+1=0$. لذلك ، جدول زيادة وانخفاض $y$ هو كما يلي."

'ابحث عن التكامل غير المحدد \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \.'

'تفريق الدالة التالية.'

' (4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\) .'

'العثور على الدالة العكسية لدالة معينة والتحقق من الشروط لوجود الدالة العكسية. على سبيل المثال، العثور على الدالة العكسية للدالة y=\x0crac{a x+b}{c x+d}. التحقق من الشرط a d-b c \neq 0.'

'ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية x التي تتقارب فيها المتسلسلة {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n}. كما، ابحث عن القيمة الحدية في تلك النقطة.'

'قم بإثبات أن رسم الدالة f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) متماثل حول نقاط التقاطع.'

'أثبت أن المعادلات التالية صحيحة عندما يكون n عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي 2. حيث cos^0x=1 وtan^0x=1.'

'عندما تتوافق الدالة المستمرة f(x) مع العلاقة f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t ، ابحث عن f(x).'

'(1) احسب قيمة التكامل المحدد $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$.'

''

'ابحث عن التكامل غير المحدد التالي.'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'ثبت أن عدم المساواة a^b > b^a صحيحة عندما e<a<b.'

'ابحث عن التكامل المحدد \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \ .'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'عندما -\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3} ، \\ cos \\ theta \\ geqq 0 ، لذلك'

'ابحث عن القيم القصوى للدالة f(x)=x^{1/x}(x>0).'

'(٦) الدوال الشهيرة والحدود'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'ابحث عن التكاملات غير المعينة التالية.'

'بالنسبة لعدد طبيعي n، نفكر في S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1).'

"(1) y'= 3^x * log3 + 1\nنظرًا لأن 3^x > 0 و log 3 > 0، فإن y' دائمًا أكبر من 0\nلذلك، يزيد على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها."

'ابحث عن التكاملات العينية التالية.'

'أثبت أن e^3 > 3^e.'

'لذلك (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} يكون y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} و (2) y=x^{x+1}(x>0) يكون y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'

'تفضل بتفريق الدوال التالية.'

'بالنسبة لعدد حقيقي موجب a ، دع المنحنى يكون y=e^{ax} ولنعتبره C. خط يمر عبر الأصل ومماس للمنحنى C عند النقطة P. دع D تكون المنطقة المحصورة بواسطة C ، الخط ، ومحور الصّ'

'حول الدوال الشهيرة والحدود'

'ابحث عن الدوال العكسية للدوال التاليين. كما، رسم الرسوم البيانية الخاصة بهم.\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'بالنسبة للدالة الأسية y=a^{x} والدالة اللوغاريتمية y=\\log_{a} x ، يمكن فهم الحدود من الرسم البياني على النحو التالي.'

'جد التكامل غير المحدد.'

'العثور على الدالة العكسية للدوال المعطاة.'

'في مجتمع الاستهلاك الحديث، لماذا يتم اختيار المنتجات الجاهزة بشكل أكثر من المنتجات المخصصة؟'

'قيم التكامل غير المحدد لدالة غير منطقية (2) (التكامل الخاص بالاستبدال)'

'نقطة P تتحرك على المستوى بإحداثيات (x، y) التي تُعطى بواسطة x = 6e^{t}، y = e^{3t} + 3e^{-t}، حيث t هو أي عدد حقيقي.\n1. إزالة t من المعادلات المعطاة والحصول على المعادلة y = f(x) التي تستوفي x و y.\n2. رسم مسار نقطة P.\n3. العثور على السرعة v لنقطة P في الزمن t.\n4. تحديد المسافة التي سافرتها نقطة P من t = 0 إلى t = 3.'

'بالنسبة للدالة f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0) ، أجب على الأسئلة التالية.'

'لنكن N عددًا طبيعيًا ، ولنعرِّف الدالة f(x) على أنها f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x). (1) بالنسبة للأعداد الصحيحة m و n ، ابحث عن \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x. (2) ابحث عن \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x.'

'ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية x التي تتقارب فيها التسلسلات المعطاة. كما، حدد القيمة الحدية في ذلك الوقت.'

'التكامل من (1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'ابحث عن التكاملات غير المحددة التالية.'

''

'بواسطة مبدل المثلث'

'مثال 121 التكامل غير المحدد بطريقة التكامل بالأجزاء (3) (نفس الشكل يحدث)'

'ابحث عن التكاملات العينية التالية:\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'

المعيار 70 | التحويل المتوازي للقطع المكافئ (2)

كيف يمكن نقل القطع المكافئ $y=x^{2}+4x+5$ لجعله يتطابق مع القطع المكافئ $y=x^{2}-6x+8$؟

أوجد معادلة القطع المكافئ الناتج عن انعكاس القطع المكافئ $y=-2 x^{2}+4 x-4$ حول المحور $x$، ثم نقله بمقدار 8 وحدات في اتجاه المحور $x$ و 4 وحدات في اتجاه المحور $y$.